选修4—5不等式选讲高考题及答案

1、解不等式311≥-++x x

2、已知函数2)(-++=x a x x f .

（1）当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；

（2）若4)(-≤x x f 的解集包含[]2,1，求a 的取值范围.

3、若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 .

4、若不等式24≤-kx 的解集为{}31≤≤x x ，则实数=k .

5、不等式121

≥++x x 的实数解为 .

6、已知函数m x x x f --++=21)(.

（1）当5=m 时，求0)(>x f 的解集；

（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围.

7、已知函数a x x f -=)(.

（1）若不等式3)(≤x f 的解集为{}51≤≤-x x ，求实数a 的值；

（2）在（1）的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.

8、已知函数a x x f -=)(，其中1>a .

（1）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；

（2）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 解集为{}21≤≤x x ，求a 的值.

9、设函数x a x x f 3)(+-=，其中0>a .

（1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；

（2）若不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值.

10、已知a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++c b a .

求证：（1）8111111≥??

? ??-???? ??-???? ??-c b a ； （2）3≤++c b a .

11、设a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++ca bc ab .

求证：（1）3≥++c b a ；

（2）

()c b a ab c ac b bc a ++≥++3.

12、已知0>x ，0>y ，证明：()()xy y x y x 91122≥++++.

13、已知函数2)(--=x m x f ，R m ∈，且0)2(≥+x f 的解集为[]1,1-.

（1）求m 的值；

（2）若a ，b ，c ∈R ＋，且＋＋＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.

14、若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为 .

15、求函数x x y -+-=9453的最大值.

1、解：①当x ≤－1时，原不等式可化为

－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－.

②当－1

x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．

③当x ≥1时，原不等式可以化为

x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥.[9分]

综上，可知原不等式的解集为.

2、解(1)当a＝－3时，f(x)＝错误!

当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2

当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f(x)≥3的解集为{≤1或x≥4}．

(2)f(x)≤－4|?－4|－－2|≥＋.

当x∈[1,2]时，－4|－－2|≥＋

?4－x－(2－x)≥＋?－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．

3、解析∵－5|＋＋3|＝|5－＋＋3|

≥|5－x＋x＋3|＝8，

∴(－5|＋＋3|)＝8，

要使－5|＋＋3|

4、解析∵－4|≤2，∴－2≤－4≤2，∴2≤≤6.∵不等式的解集为{1≤x≤3}，∴k＝2.

5、解析∵≥1，∴＋1|≥＋2|.

∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4，∴2x＋3≤0.

∴x≤－且x≠－2.

6、解(1)由题设知＋1|＋－2|>5，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

错误!或错误!或错误!

解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

(2)不等式f(x)≥2即＋1|＋－2|>m＋2，

∵x∈R时，恒有＋1|＋－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

不等式＋1|＋－2|≥m＋2解集是R，

∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．

7、解方法一(1)由f(x)≤3得－≤3，解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{－1≤x≤5}，

所以错误!解得a＝2.

(2)当a＝2时，f(x)＝－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，

于是g(x)＝－2|＋＋3|＝错误!

所以当x<－3时，g(x)>5；

当－3≤x≤2时，g(x)＝5；

当x>2时，g(x)>5.

综上可得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．

方法二(1)同方法一．

(2)当a ＝2时，f (x )＝－2|.

设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．

由－2|＋＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.

从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．

8、解 (1)当a ＝2时，

f (x )＋－4|＝错误!

当x ≤2时，由f (x )≥4－－4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－－4|无解；

当x ≥4时，由f (x )≥4－－4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－－4|的解集为{≤1或x ≥5}．

(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，

则h (x )＝错误!

由(x )|≤2，解得≤x ≤.

又已知(x )|≤2的解集为{1≤x ≤2}，

所以错误!于是a ＝3.

9、解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。

( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤

此不等式化为不等式组30x a x a x ≥??

-+≤? 或30x a a x x ≤??-+≤?即 4x a a x ≥???≤?? 或2

x a a a ≤???≤-?? 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-由题设可得2

a -= 1-，故2a =

10、证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，

∴a ＋b ≥2，b ＋c ≥2，c ＋a ≥2，

(－1)·(－1)·(－1)

＝

≥＝8.

(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，

∴a ＋b ≥2，b ＋c ≥2，c ＋a ≥2，

2(a ＋b ＋c )≥2＋2＋2，

两边同加a ＋b ＋c 得

3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2＋2＋2

＝(＋＋)2

.

又a ＋b ＋c ＝1，∴(＋＋)2≤3，

∴＋＋≤.

11、证明(1)要证a＋b＋c≥，

由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.

即证：a2＋b2＋c2＋2(＋＋)≥3，

而＋＋＝1，

故需证明：a2＋b2＋c2＋2(＋＋)≥3(＋＋)．

即证：a2＋b2＋c2≥＋＋.

而这可以由＋＋≤＋＋＝a2＋b2＋c2 (当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．

∴原不等式成立．

(2) ＋＋＝.

在(1)中已证a＋b＋c≥.

因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.

即证＋＋≤1，

即证＋＋≤＋＋.

而＝≤，

≤，≤.

∴＋＋≤＋＋ (a＝b＝c＝时等号成立)．

∴原不等式成立．

12、证明：因为x>0，y>0，

所以1＋x＋y2≥3>0，

1＋x2＋y≥3>0，

故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9.

21、(1)解因为f(x＋2)＝m－，

f(x＋2)≥0等价于≤m.

由≤m有解，得m≥0，且其解集为{－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.

(2)证明由(1)知＋＋＝1，

又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得

a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)

≥2＝9.

13、解由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.

不等式①中当且仅当＝时等号成立，x2＋y2取得最小值，由方程组错误!解得错误!

因此当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为.

14、函数的定义域为[5，9]

5*210

6.44y x =≤===函数仅在时取到