平面曲线的方程
一、曲线的方程
• 曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线 上点的坐标x与y应满足的制约条件，一般用 方程表示为
F ( x, y) 0
或
y f ( x).
定义2.1.1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一
条曲线之间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标； ②曲线上任何一点的坐标 x, y 满足这个方程， 那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做 这个方程的图形。 “点的坐标满足方程”也说成“点满足方程”
得
( x 2) 2 ( y 2) 2 ( x 2) 2 ( y 2) 2 =4
( x 2) 2 ( y 2) 2 ( x 2) 2 ( y 2) 2 4
两边平方化简可得
( x 2) 2 ( y 2) 2 x y 2
而这向径可由t0 (a t0 b)通过r (t ) x(t )e1 y(t )e2
完全决定；
此时，就把表达式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2
叫做曲线的向量式参数方程， 其中t为参数.
即r (t ) x(t )e1 y(t )e2叫做一条曲线的向量式参数方程，
当t在[a, b]内变动时，向径r (t )的终点描绘出一条曲线。 y A P( x(t ), y (t ))
r (a) r (t ) r (b)
B
x
O
从而可得曲线的坐标式参数方程：
x x(t ), (a t b). y y(t )
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点 的轨迹.
2a 2bt x 2 , 2 2 b a t t R. 2 2 2 y b(b a t b 2 +a 2t 2
②
由图可知，
a AB PB b
a 所以 = , b ba 又因为 (i , CP) b 由于| CP | b, ba ba 所以CP ib cos jb sin b b
r OP OC CP OC i (a b)cos j (a b)sin ba ba CP ib cos jb sin b b ba 所以r [(a b) cos b cos ]i b ba [(a b) sin b sin ] j b a b [(a b) cos b cos ]i b 向量式参数方程 a b [(a b) sin b sin ] j b
第二章 轨迹与方程
取定相应坐标系后
平面上的点
空间上的点
一一对应 一一对应
二元有序数组(x,y)
三元有序数组(x,y,z)
将图形看作点的轨迹，就可以建立轨迹与方程的对应。
本章内容：
1.平面曲线的方程 2.曲面的方程 3.空间曲线的方程
§1 平面曲线的方程
本节内容：
• 一、曲线的方程
• 二、曲线的参数方程
二、曲线的参数方程
向量函数： r r (t ), a t b,
因变量 自变量
向量式参数方程：
定义2.1.2
若取t (a t b)的一切可能取的值，如果：
(1)由r (t ) x(t )e1 y(t )e2表示的向径r (t )的终点总在一
条曲线上；
(2)这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，
开始 解： 取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，
时点Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ好在原点O(如图),
由图可知
r OP OA AC CP
设 (CP, CA), 则CP与x轴形成的有向角为
2 从而CP =ia cos( ) ja sin( ) 2 2 =(a sin )i (a cos ) j (CP, i ) (
• 例1
求圆心在原点，半径为R 的圆的方程.
解： 根据圆的定义，有
圆上任意一点到圆心的距离等于半径, 从而设圆上任意一点的坐标为M ( x, y), 于是M ( x, y)到圆心(0,0)的距离等于半径R,
从而
| OM | R,
根据两点之间的距离公式，可得
x 2 y 2 R x2 y 2 R2 .
( x - 2) 2 ( y - 2) 2 x y - 2
(1)
两边平方化简可得
xy 2.
(2)
可以看出方程(1)和方程(2)不同解。
在方程(1)中x y 2 0, 但是在方程(2)中，没有此限制，
于是要求的方程为： xy 2,( x y 2).
从而如果在(2)中加上条件x y 2后，两个方程便同解.
注意： 求曲线的方程，在化简过程中，会增添不属于 给定条件的点，此时，需要把方程中代表那些不符合 给定条件的点去掉.
•
例2
已知两点 A 2, 2 和 B 2,2 ，求满足条件
MA MB 4 的动点M 的轨迹方程
解： 设M的坐标为M ( x, y), 则由
MA MB 4
),
又
|OA|= AP a
AC aj ,
所以OA=a i ,
所以r OP OA AC CP a i aj (a sin )i (a cos ) j a( sin )i a(1 cos ) j , 此为P点轨迹的向量式参数方程.
利用cos3 4cos 3cos ,sin 3 3sin 4sin 得
3 3
3 x a cos , 3 y a sin
此曲线为四尖点星形线.
x2 y 2 椭圆 2 2 1的参数方程： a b
①
x a cos ， ( ) y b sin
当圆在直线上每转动一 周时, 点P在一周前后 的运动情况是相同的 ,因此曲线是由一系列完 全相 同的拱形组成 (如图),曲线叫旋轮线或摆线 .
y
o
x
例4 已知大圆半径为a, 小圆半径为b, 设大圆不动，而 小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆周上某一定点P的 轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程.
a b r [(a b) cos b cos ]i b a b [(a b) sin b sin ] j b
从而可得其坐标式参数方程为
a b x [(a b) cos b cos ], b y [(a b) sin b sin a b ] b 特殊地，当a 4b时，
解： 设运动开始时，P点与A点重合， 经过一段时间后， P点运动到如图所示，
则r OP OC CP
设 = (i , OC), (CP, CB), 因为| OC | a b, 所以OC i (a b)cos j (a b)sin
OC i (a b)cos j (a b)sin
r a( sin )i a(1 cos ) j
设P点的坐标为( x, y), 从而可得P点的坐标式参数方程为
x a( sin ), ( ). y a(1 cos ) 当0 时，消去，可得
a y x a arccos 2ay y 2 . a
曲面和平面的交线方程
曲面和平面的交线方程曲面和平面的交线方程是描述曲面和平面交线的方程。
曲面和平面都是几何体，曲面是三维空间中的一个二次曲线，平面是一个没有任何曲率的二维几何图形。
当一个平面与一个曲面相交时，交线是平面曲线，其形状可以是直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
本文将介绍曲面和平面的交线方程的基本概念、相关理论和具体案例。
首先，我们来了解曲面和平面的基本概念。
曲面是三维空间中的二次曲线，它可以用一个二次方程表示。
一个二次方程的一般形式是：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是实数系数。
当方程的系数满足某些条件时，我们可以得到不同类型的曲面，比如球面、圆柱面、锥面等。
平面是一个没有任何曲率的二维几何图形，它可以用一个一次方程表示。
一个一次方程的一般形式是：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C、D都是实数系数。
一个平面可以通过三个点或者一个点和一个法向量确定。
当一个平面与一个曲面相交时，它们的交线是平面曲线，其方程可以通过以下步骤确定：1.确定平面和曲面的方程。
根据给定的条件，可以得到平面和曲面的方程。
2.将平面方程代入曲面方程。
将平面方程的变量表达式代入曲面方程中，可以得到与之相交的曲面上的点坐标。
3.求解方程组。
将得到的点坐标代入曲面方程和平面方程中，可以得到方程组。
通过求解方程组，可以确定曲面和平面的交线方程。
具体情况下，交线方程的形式可能会有所不同。
下面将通过几个具体的实例来解释曲面和平面的交线方程。
例1：平面与球面相交设球面的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 1，平面的方程为x + y + 2z = 0。
将平面方程代入球面方程中，得到方程组：(x + y + 2z)^2 + y^2 + z^2 = 1化简得：2x^2 + 3y^2 + 5z^2 + 4xy + 8xz + 4yz = 1通过求解方程组，可以得到平面与球面的交线方程。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
平面曲线的方程
)
取0 时，消去参数，可得P点轨迹
在0 时的普通方程为
x=aarccos a y 2ay y2 . a
解析几何
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
特别地，当R=r时，得到心脏线
参数方程为：
x2Rcos(1cos) y2Rsin(1cos)
解析几何
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上 解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆 的渐伸线或切展线（involute）
解析几何
取 直 角 坐 标 系 ， 设 半 径 为 a的 圆 在 x轴 上 滚 动 ，
开 始 时 点 P恰 好 在 原 点 O ， 设 P点 的 坐 标 为 （ x， y） ，
可得P点的坐标式参数方程为
x y
a a
sin ，（ 1 cos
概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系
解析几何
例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是M到 圆心O的距离等于半径R，即OMR，由两点间的距离公式可得
x2y2 R，
(1)
两边平方可得x2y2 R2.(2.1.1) 方程（1）与（2.1.1）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.
第二种参数方程以斜率 t
为参数：x b2 a2t2
y
2ab2t b2 a2t2
三点求曲线方程
三点求曲线方程
要在平面上三点求曲线方程，首先需要确定曲线是二次曲线、一次曲线还是其他类型的曲线。
以下是针对不同类型曲线求方程的方法：
1. 二次曲线（如抛物线、椭圆、双曲线等）：
假设曲线方程为：Ax² +By² +Cx + Dy + E = 0
已知三点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3），则可以列出以下方程组：
A(x1)² +B(y1)² +Cx1 + Dy1 + E = 0
A(x2)² +B(y2)² + Cx2 + Dy2 + E = 0
A(x3)² +B(y3)² +Cx3 + Dy3 + E = 0
解这个方程组，可以得到A、B、C、D 和 E 的值。
然后将这些值代入曲线
方程，即可得到所求曲线方程。
2. 一次曲线（如直线、圆等）：
如果两点坐标已知，可以先判断曲线是否为直线。
如果两点间的斜率存在，则直线方程为：y - y1 = k(x - x1)，其中k 为两点间的斜率，
(x1, y1) 为其中一个点的坐标。
如果两点坐标为（x1，y1）和（x2，y2），则直线方程为：
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x -x1)
如果两点坐标相同，则直线与x 轴重合，方程为：y = y1。
如果三点共线，可以利用两点求斜率，然后用斜率公式求直线方程。
3. 其他类型曲线：
对于其他类型（如指数函数、对数函数等）的曲线，通常需要根据曲线的特点和已知条件建立方程。
曲线方程的一般式
曲线方程的一般式曲线方程是指一类几何图形形状，它们定义在几何平面上，并且可以通过方程来描述。
曲线方程中包括一元方程、二元方程、三元方程和多元方程。
曲线方程可以用方程描述、画出图形，也可以解决许多数理问题。
二、曲线方程的一般式曲线方程的一般式是指所有的曲线具有的共同的形式，比如一元方程的一般式为：y=f(x)=ax+b其中，a为一般式中的参数，它用来表示曲线的斜率；b为一般式中的参数，它用来表示曲线的截距。
三元方程的一般式为：ax+by+cxy+dx+ey+f=0其中，a、b、c为一般式中的参数，它们用来表示曲线的抛物线系数；d、e、f为一般式中的参数，它们用来表示曲线的位移参数。
多元方程的一般式为：F(x1,x2,…,xn)=0其中，x1、x2、…、xn为多元函数中的变量，F(x1,x2,…,xn)为多元函数的表达式。
三、曲线方程的性质1、曲线方程的性质可以通过一般式来表示。
比如，一元方程的一般式中的a参数，表示曲线的斜率；三元方程的一般式中的a、b、c参数，表示曲线的抛物线系数；多元方程的一般式中的F(x1,x2,…,xn)表达式，表示曲线的多元函数表达式。
2、曲线方程的性质可以通过比较和分析方式来表示。
比如，一元方程的一般式中的a参数，表示曲线的斜率；三元方程的一般式中的a、b、c参数，表示曲线的抛物线系数；多元方程的一般式中的F(x1,x2,…,xn)表达式，表示曲线的多元函数表达式。
3、曲线方程的性质可以通过图形来表示。
即，通过一次关系或多次关系，将一种几何形状画出来，从而表示曲线方程的性质。
四、曲线方程的应用1、曲线方程可以用来求解微积分问题，比如二元函数求积分等。
2、曲线方程可以用来求解微分方程问题，比如常微分方程等。
3、曲线方程还可以用来求解几何问题，比如求曲线的长度、面积等。
4、曲线方程还可以用来描述一种几何图形的性质，比如圆的圆心、半径等。
五、结论曲线方程的一般式可以用来表示曲线的性质，同时也可以用来解决许多数理问题、几何问题。
平面曲线的切线与法线
由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
一、平面曲线的切线与法线
曲线 L ：F( x, y) 0; 条件：P0( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y(x) ( 或 x x( y) ) ;
L 在 P0 处的切线： y y0 Fx (P0 ) Fy (P0 ) ( x x0 )
论( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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的条件. 容易算出 ( Fx (P0 ), Fy (P0) ) (15, 12 ),
于是所求的切线与法线分别为 15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4x 5 y 13 0 .
若 P0( x0, y0 ) ( x(t0 ), y(t0 )) 是其上一点, 则曲线
在点 P0 处的切线为
y y0
y(t0 ) x(t0 )
(
x
x0
),
或
x x0 y y0 . x(t0 ) y(t0 )
下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0
平面曲线方程
平面曲线方程
平面曲线方程是指在二维平面上表示曲线的方程。
一般来说，平面曲线都可以用参数方程
或者隐式方程表示。
1. 参数方程：用参数表示曲线上的点的位置。
例如，如果曲线是一条直线，可以表示为：
x = at + b
y = ct + d
其中a、b、c、d为常数，t为参数。
曲线上的每一个点都可以通过选择不同的参数值t得到。
2. 隐式方程：直接用x和y的关系表示曲线。
例如，如果曲线是一个圆，可以表示为：
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
通过满足该方程的x和y值可以得到圆上的点。
需要注意的是，并不是所有的曲线都可以用简单的参数方程或隐式方程表示，有些曲线可能需
要更复杂的方程或者其他表示方式来描述。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。
这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。
一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。
参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。
曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。
当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。
因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。
同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。
平面曲线的参数方程
Y
B P
uur R (i, BP)
（大小是
方向相反）
2
2
O
A
X
|
uuur BP
|
B»AR，
uuur BP
R
[i
cos(
)
jsin(
)]
r
2
2
R (i sin j cos )，故 r iR(cos sin ) jR(sin cos )，
O
是l的向量式参数方程，t 为参数。
Mg
X
得l
的坐标式参数方程
x y
x0 y0
Xt Yt
，(t为参数)
(1)
r
uuuuuur
当v是单位向量时有| M0M || t |，即M到M0间的距离为| t |。
7
例2
例2. 求圆心在A( a , 0)，半径为 a 的圆的参数方程。
uuur
此时 r OA AC CP，设 R (CP, AC)，而OA ai，AC aj，
又R
uur (i,CP)
(
)，|
uuur CP
|
uuur a，CPa[icos(
)]
j sin(
)]
ia sin
2
ja cos，
r 所以r
15
二、求曲面方程的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）设曲面上动点P(x, y, z), 按已知条件推出动点满足的方程；
空间解析几何第三章
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第十讲 平面曲线的方程 空间曲面的方程 空间曲线的方程
脚本编写：
教案制作：
第一节
一、平面曲线与方程：
平面曲线的方程
定义：当平面上取定了标架之后， 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； ）满足方程的 必是曲线上某一点的坐标； 必是曲线上某一点的坐标 （2）曲线上任何一点的坐标 满足这个方程； ）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 满足这个方程 则这个方程称为这条曲线的方程， 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 方程的图形。 y 曲线的方程常表示为： 曲线的方程常表示为： xy=2 F(x,y)=0 或 y=f(x) o x
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 + c
的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 半径随c 的增大而增大 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 两个基本问题 （1）求曲面方程． 求曲面方程．
（2）已知曲面方程，研究曲面形状． 已知曲面方程，研究曲面形状． 曲面方程
xoz 面上的投影曲线: 面上的投影曲线 投影曲线:
R( y , z ) = 0 x = 0
T ( x , z ) = 0 y = 0
x2 + y2 + z2 = 1 在坐标面上的投影. 例4 求曲线 1 在坐标面上的投影. z = 2
）消去变量z后得 解 （1）消去变量 后得 3 2 2 x +y = , 4 在xOy面上的投影为 面上的投影为