湖南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)解析版

高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|（x+1）（x-2）＜0}，B={x||x+1|＜2}，则A∪B=（）A. （-3，1）B. （-3，2）C. （-1，1）D. （-1，2）2.若复数z=（a∈R）为纯虚数，则a=（）A. -B.C. -2D. 23.已知向量=（2，-1），=（0，1），（+k）•=3，则k=（）A. -2B. 2C. -4D. 44.已知x，y满足约束条件，则z=y-x的最大值为（）A. 1B.C. 2D. 35.已知双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦点坐标为（）A. （±，0）B. （±，0）C. （0，±）D. （0，±）6.函数y=的图象大致为（）A. B. C. D.7.如图,我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面两颗叫上珠,下面5颗叫下珠,一从一档的7颗算珠中任取2颗,至少含有一颗上珠的概率为( )A. B. C.D.8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A. 36B. 45C. 55D. 669.要得到函数f（x）=cos x（sin x+cos x）的图象，可将函数g（x）=cos x（sin x-cos x）的图象（）A. 向左平移个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移个单位，再向下平移1个单位10.设a=log2e，b=ln3，c=e，则（）A. a＜b＜cB. B＜a＜cC. c＜a＜bD. c＜b＜a11.已知函数f（x）=-m在区间（-1，+∞）上有两个不同的零点x=θ1与x=θ2（θ1＜θ2），则下列结论正确的是（）A. tan（-θ1）=B. tan（-θ1）=C. tan（θ2-）=D. tan（θ2-）=12.半径为1的球与正三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面和两个底面均相切，则该球被平面A1BC截得的圆面面积为（）A. πB.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若（2x2-）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______14.已知正三棱锥A-BCD中，BC=AB，E是CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为______15.已知△ABC的面积为15，以A为圆心，AB为半径的圆交线段AC于D，且AD：DC=3：2，cos∠ABC=，则BD=______16.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，|AF|=6，P是y轴上一点，当∠APF最大时P点坐标为（0，2），则p=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2=b2，a4=b3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设T n=a1b n+a2b n-1+…+a n b1，求T n．18.如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2．（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；（2）求二面角C-BE-F的大小．19.随着社会的发展，人们在购买商品时支付的方式也呈现多样化某超市在顾客支付商品时可提供“现金支付”，“信用卡支付”，“微信支付”三种支付方式，根据超市统计结果显示，用“现金支付”的人约占，用“信用卡支付”的人约占，用“微信支付”的人约占．若用上面的频率表示概率，现有甲乙丙三人，他们选择支付的方式互不影响（1）求三人选择支付方式互不相同的概率；（2）在甲、乙选择支付方式相同的条件下，X表示甲乙丙三人选择“微信支付”的人数，求X的分布列与期望．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其四个顶点围成的四边形面积为，抛物线E：x2=2py（p＞0）与C有一个相同的焦点．（1）求椭圆C与抛物线E的方程；（2）设与E相切的直线l交椭圆C于A、B两点，O为原点，求△OAB面积的最大值．21.已知函数f（x）=．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）当a=1且x＞0时，f（x）＞m ln（x+1），求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数，a≠0），以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程为θ=（ρ∈）．（1）写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）若在C1上至少存在一点P到C2的距离为1，求a的取值范围．23.设函数f（x）=|x-a2|+|x+b2|．（1）若a=2b，f（1）＜10，求a的取值范围；（2）若a+b=3，证明：f（x）≥．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|-1＜x＜2}，B={x|-3＜x＜1}，∴A∪B=（-3，2）．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵z==为纯虚数，∴，解得a=-．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．由平面向量数量积的坐标运算可得：（+k）•=+k2=-1+k，再解方程即可得解．【解答】解：因为=（2，-1），=（0，1），所以（+k）•=+k2=-1+k=3，解得k=4，故选D．4.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=y-x为y=x+z，由图可知当直线y=x+z过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】D【解析】解：双曲线（a＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有a=2，则双曲线的b=，c==，即有双曲线的焦点为（0，±），故选：D．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2，求得双曲线的c，可得所求焦点坐标．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和焦点，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，y=，其定义域为{x|x≠0}，有f（-x）=-=-f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A、D；当x＞0时，e-x＞0，则有ln（e x+e-x）＞ln（e x）=x，必有＞1，排除B；故选：C．根据题意，分析可得f（x）为奇函数，据此排除A、D，进而分析可得ln（e x+e-x）＞ln （e x）=x，必有＞1，排除B，据此分析可得答案．本题考查函数的图象判断，注意用排除法分析，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了古典概型的概率计算，计数原理，结合对立事件的概率和为1可以简化计算．本题属于基础题．至少含有一颗上珠的对立事件为没有上珠，再根据对立事件概率和为1，即可得到结论．【解答】解，设事件A表示“从一档的7颗算珠中任取2颗，至少含有一颗上珠”，则事件A的对立事件为={从一档的7颗算珠中任取2颗，不含有上珠}，所以P（A）=1-P（）=1-=1-=．故选：B．8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得A=1，n=0执行循环体，n=1，M=3，A=3不满足条件n＞6，执行循环体，n=2，M=2，A=6不满足条件n＞6，执行循环体，n=3，M=，A=10不满足条件n＞6，执行循环体，n=4，M=，A=15不满足条件n＞6，执行循环体，n=5，M=，A=21不满足条件n＞6，执行循环体，n=6，M=，A=28不满足条件n＞6，执行循环体，n=7，M=，A=36此时，满足条件n＞6，退出循环，输出A的值为36．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）=cos x（sin x+cos x）=，函数g（x）=cos x（sin x-cos x）==，所以将函数g（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到f（x）的图象．故选A．10.【答案】D【解析】解：根据题意可以函数，y2=ln x，①：表示；②：表示y2=ln x，可画出函数图象为：则可得a＞b＞1；且0＜c=＜1，则c＜b＜a．故选：D．画出俩个函数图象，即可比较出b＜a，在判断出c的范围，则可得c＜b＜a．本题考查了指数函数与对数函数的大小比较，利用图象是比较简单的做法，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由f（x）=0，即|sin x|=m（x+1），分别作出y=|sin x|，y=m（x+1）在（-1，+∞）上的图象，可得直线y=m（x+1）与y=|sin x|，m＞0，直线y=m（x+1）与y=sin x（0＜x＜2）相切，可设切点为（θ2，sinθ2），由y=sin x的导数为y′=cos x，可得cosθ2=m=，可得tanθ2==θ2+1，则tan（θ2-）==．故选：C．由f（x）=0，可得|sin x|=m（x+1），分别作出y=|sin x|，y=m（x+1）在（-1，+∞）上的图象，考虑直线y=m（x+1）与y=sin x（0＜x＜2）相切，可设切点为（θ2，sinθ2），由导数的几何意义和直线的斜率公式，以及同角的商数关系和两角差的正切公式，计算可得所求结论．本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想，导数的几何意义和三角函数的变换，考查化简运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查多面体内切球问题，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，求出三棱柱内切球的球心到截面圆心的距离，进一步求出截面圆的半径，则答案可求．【解答】解：如图，设下底面三角形的外心为O1，上底面三角形的外心为O2，连接O1O2，则O1O2的中点O为正三棱柱ABC-A1B1C1的内切球的球心，分别设D，D1为BC，B1C1的中点，连接AD，A1D1，D1D，可得四边形ADD1A1为矩形，连接A1D，交O1O2于G，则O2G=2O1G，即2OG+O1G=2O1G，得O1G=2OG，∵球O的半径为1，∴OG=，过O作OO3⊥A1D，垂足为O3，则OO3=OG==，∴球被平面A1BC截得的圆的半径为．∴该球被平面A1BC截得的圆面面积为．故选：B．13.【答案】60【解析】解：依题意，（2x2-）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n=6，所以二项展开式的第k+1项为T k+1=•（-x-1）k=，令12-3k=0得，k=4，所以常数项为：=60．故答案为：60．（2x2-）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n=6，再根据二项展开式的通项即可求出常数项．本题考查了二项式定理的性质，二项展开式的通项，属于基础题．14.【答案】【解析】解：取AC的中点AC，连接EF，则EF∥AD，则∠FEB（或其补角）为异面直线BE与AD所成角，不妨设AB=1，则BC=，则BF==，EF==，BE=，在△BEF中，由余弦定理得：cos∠FEB==，故答案为：．先作出异面直线BE与AD所成角，再在△BEF中由余弦定理即可得解．本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．15.【答案】6【解析】解：如图，由于AD：DC=3：2，设AD=AB=3x，则CD=2x，AC=5x，设BC=y．△ABC中，由正弦定理可得：（5x）2=（3x）2+y2-6xy×，化为：7-33•-112=0，因式分解为：（7+16）（-7）=0，解得：=7．∴y=7x．∵cos∠ABC=，∴sin∠ABC==，x•7x×=15，解得x=2．△ABC中，由正弦定理可得：=，∴=，解得sin A=．由A为最大角，∴A=．∴BD2=2x2-2x2cos=3x2．∴BD=x=6．故答案为：6．如图，由于AD：DC=3：2，设AD=AB=3x，则CD=2x，AC=5x，设BC=y．△ABC中，由正弦定理可得：（5x）2=（3x）2+y2-6xy×，解得y=7x．由cos∠ABC=，可得sin∠ABC=，利用面积公式可得x．△ABC中，由正弦定理可得：sin A．解得A．△ABD中，利用余弦定理即可得出BD．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】4或8【解析】解：解法1：如图1，因为以AF为直径的圆与y轴相切，所以∠APF≤90°，当P为切点时，∠APF取最大值90°，此时PM⊥y轴，设AF中点为M，则y M=y P=2，所以，由|AF|=6，得x A+=6，所以x A=6-，故A坐标为（6-，4），由A在抛物线y2=2px，代入（4）2=2p（6-），解得p=4或p=8．解法2：如图2，因为以AF为直径的圆与y轴相切，所以∠APF≤90°，所以当P为切点时，∠APF取最大值90°，此时∠OPF=∠PAF，所以△OPF∽△PAF，所以，即=，整理得p2-12p+32=0，解得p=4或p=8．解法3：设P（0，a），F（，0），A（2px12，2px1），由=（2px12，2px1-a）•（，-a）=（px1-a）2≥0，故∠APF≤90°，因为a=2，=0，∠APF最大，所以px1=2，|AF|=2px12+=6，整理得p2-12p+32=0，解得p=4或p=8．解法：4，如图3，由题意设A（x0，y0），满足y02=2px0，①由|AF|=x0+=6，②由米勒定理可知：当且仅当△AFP的外接圆O′与PQ相切时，∠APF取最大值，由抛物线的性质及定义可知，AF中点得为△AFP外接圆的圆心，所以y0=4，③由①②③解得p=4或p=8，故答案为：4或者8．解法1：根据题意当P为切点时，∠APF取最大值90°，此时PM⊥y轴，利用抛物线的定义及中点坐标公式即可求得p的值；解法2：根据题意，利用相似三角形的性质，即可求得p的值；解法3：根据向量的坐标运算及夹角公式，即可即可求得∠APF取最大值90°，此时PM⊥y 轴，即可求得p的值；解法4：根据米勒定理，可知当且仅当△AFP的外接圆O′与PQ相切时，∠APF取最大值，根据抛物线的性质及抛物线的定义即可求得p的值．本题考查米勒问题的应用，考查抛物线的性质及定义，本题的实质为米勒问题的应用，因此在客观题的解题中，尤其是圆锥曲线这一模块，如果我们记住一些二级结论和解题思想，那么对解题将有意想不到的效果，入本题不从相切入手，就会非常的麻烦，这些就需要我们在解题中慢慢总结和积累，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解（1）设公差为d且不为0的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2=b2，a4=b3．故a n=a1+（n-1）d，，所以，解得d=1，q=2．故．（2）由于，所以①，②①-②得：=．所以．【解析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式，求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通行公式的求法，乘公比错位相减法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18.【答案】解：（1）证明：取CD中点H，连结BH，则四边形ADHB为正方形，∴BC=BD=，∴CD2=BD2+BC2，∴BC⊥BD，∵平面ADEF⊥平面ABCD，DE⊥AD，且,∴DE⊥平面ABCD，又∵,∴DE⊥BC，∵BD∩DE=D，,∴BC⊥平面BDE，∵BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE．（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则C（0，2，0），B（1，1，0），E（0，0，1），F（1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，1），=（0，-1，1），设=（x，y，z）是平面BEF的法向量，则，令y=1，得=（0，1，1），同理求得平面BCE的法向量=（1，1，2），设二面角C-BE-F的大小为θ，∵二面角C-BE-F为钝角，∴cosθ=-||=-=-，∴二面角C-BE-F为150°．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．（1）取CD中点H，连结BH，推导出BC⊥BD，DE⊥AD，从而DE⊥平面ABCD，DE⊥BC，进而BC⊥平面BDE，由此能证明平面BCE⊥平面BDE．（2）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-BE-F的大小．19.【答案】解：（1）根据题意，三人选择支付方式互不相同的概率P=A33×××=，（2）∵甲乙所选择的支付方式相同，∴甲乙选择微信支付的概率P==，∴甲乙不选择微信支付的概率为，由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，EX=0×+1×+2×+3×=．【解析】（1）根据计数原理及相互独立事件的概率乘法公式，可以得到结论；（2）先求出甲乙选择的支付方式相同的条件下选择微信支付的概率，和甲乙选择的支付方式相同的条件下不选择微信支付的概率，列出随机变量X的所有可能的取值，求出对应概率，列出分布列，求期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查了条件概率，相互独立事件的概率乘法公式，是中档题．20.【答案】解：（1）椭圆的四个顶点围成的四边形面积为2ab=，ab=，∵，∴，得a=2，b=，c=1，∴，p=2．∴椭圆C：，抛物线E：x2=4y；（2）设l与E相切于点（x0，），A（x1，y1），B（x2，y2），∵y，∴，则l：，即，代入椭圆C的方程，整理得．由△=＞0，解得-4＜x0＜4．，．∴|AB|==，O到直线l的距离d=．∴≤．当且仅当，即＜16时取等号．可得△OAB面积的最大值为．【解析】（1）由椭圆的四个顶点围成的四边形面积得ab=，结合椭圆离心率与隐含条件可得a，b，c，p的值，则椭圆C与抛物线E的方程可求；（2）设l与E相切于点（x0，），A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数求得切线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求O导AB的距离，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．本题考查椭圆方程与抛物线方程的求法，考查直线与抛物线、直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属难题．21.【答案】解：（1）∵f（x）=在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）=，即xe x-e x+a≥0．设g（x）=xe x-e x+a，则g′（x）=xe x＞0，∴g（x）＞g（0）=a-1，则a-1≥0，得a≥1．（2）当a=1时，f（x）＞m ln（x+1）⇔e x-x-1＞mx ln（x+1）⇔e x-x-1-mx ln（x+1）＞0，设h（x）=e x-x-1-mx ln（x+1），则h′（x）=，再令H（x）=，则H′（x）=．若m，∵x＞0，∴m（）＜1，则H′（x）＞0，h′（x）在（0，+∞）上单调递增，h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）是增函数，h（x）＞h（0）=0，可得f（x）＞m ln（x+1）成立；若m＞，H′（x）=在（0，+∞）上单调递增，H′（0）=1-2m＜0，H′（ln（2m））=2m-=＞0．∴存在x0∈（0，ln（2m））使得H′（x0）=0，当x∈（0，x0）时，H′（x）＜0，∴h（x）在（0，x0）上单调递减，可得h（x）＜h（0）=0，即f（x）＞m ln（x+1）不成立．综上可得，m的取值范围为（-∞，]．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．（1）由f（x）=在（0，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥0恒成立，即xe x-e x+a≥0，利用导数可得g（x）=xe x-e x+a为增函数，由g（x）＞g（0）=a-1求解a的取值范围；（2）当a=1时，f（x）＞m ln（x+1）⇔e x-x-1-mx ln（x+1）＞0，设h（x）=e x-x-1-mx ln（x+1），两次求导证明m时f（x）＞m ln（x+1）成立；m＞时f（x）＞m ln（x+1）不成立，可得m的取值范围为（-∞，]．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数，a≠0），转换为直角坐标方程为x2+（y-1）2=a2，以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程为θ=（ρ∈）,转换为直角坐标方程为y=．（2）由于圆的方程是以（0，1）为圆心，|a|为半径，且圆心到直线y=x的距离d==，由于在C1上至少存在一点P到C2的距离为1，所以必须满足|a|+≥1，解得．【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，绝对值不等式的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和绝对值不等式的解法的应用求出结果．23.【答案】解：（1）当a=2b时，．∵f（1）＜10，∴．当a2≤1时，恒成立，∴a2≤1；当a2＞1时，，∴1＜a2＜8，综上，a2＜8，即，∴a的取值范围为；（2）证明：∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2=9，∴，当且仅当时取等号，∴f（x）=|x-a2|+|x+b2|≥|（x-a2）-（x+b2）|=a2+b2≥．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，重要不等式和利用绝对值三角不等式求最小值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．（1）将a=2b代入f（x）中，由f（1）＜10可得，然后分a≤1和a＞1两种情况解不等式可得a的范围；（2）由2（a2+b2）≥（a+b）2=9，可得，然后利用绝对值三角不等式求出f （x）的最小值，即可证明f（x）≥．。

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2022年湖南省长沙市宁乡市高考数学模拟试卷(5月份)+答案解析(附后)

2022年湖南省长沙市宁乡市高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题：本题共17小题，每小题3分，共51分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.函数的定义域为( )A. B.C. D. R3.化简( )A. B. C. D.4.不等式的解集是( )A. 或B. 或C. D.5.设i为虚数单位，则复数( )A. B. C. D.6.某地区连续六天的最低气温单位：为：9，8，7，6，5，7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为( )A. 7和B. 8和C. 7和1D. 8和7.如图，长方体中，，，则( )A. 1B.C. 2D.8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则( )A. B. 或 C. D. 或9.已知平面，和直线l，则下列说法正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则10.( )A. B. C. D.11.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D.12.若，，则( )A. B. C. D.13.设a，，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.如图，在三棱锥中，E为棱SC的中点，若，，则异面直线AC与BE所成的角为( )A.B.C.D.15.若平面向量，的夹角为，且，则( )A. B. C. D.16.小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为v，则( )A. B. C. D.17.某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利( )A. 15B. 25C. 35D. 45二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

18.函数的最小正周期为______.19.已知平面向量，满足，，，则______ .20.命题“，”的否定是______.21.袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是______.三、解答题：本题共3小题，共30分。

2023湘豫名校联考高三5月第三次模拟考试理科数学试题(含答案解析)

数学(理科)参考答案第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择尊享套餐的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择尊享套餐选择普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择普通套餐的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。

湖南省长沙市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)解析版

高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈Z|x2+2x-3＜0}，N={-1，0，1，2}，M∩N=（）A. {-2}B. {-1，0}C. {-2，1，2}D. {-1，0，1}2.复数的共轭复数是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i3.已知向量、满足|+|=|-|，且||=，||=1．则向量与+的夹角为（）A. B. C. D.4.抛物线x2=8y的焦点到双曲线.-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A. B. C. D.6.已知f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则y=f（x）的解析式是（）A. f（x）=sin（2x-）B. f（x）=sin（2x）C. f（x）=sin（2x+）D. f（x）=sin（x+）7.若（x-3）2（x+1）8=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则log2（a1+a3+…+a9）=（）A. 4B. 7C. 8D. 98.y=4cos x-e|x|图象可能是（）A. B.C. D.9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱，，，和都是边长为的等边三角形，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.10.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，己知cos C+cos A=1，则角B的取值范围为（）A. （0，]B. [，π）C. [0，]D. （，π）11.已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）=f（x）+x2，且当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）-f（x+2）＜2x+3的解集为（）A. （，+∞）B. （-，+∞）C. （-∞，-3）D. （-∞，3）12.设直线l与抛物线相交于A、B两点，与圆M：x2+（y-4）2=r2（r＞0）相切于点P，且点P为线段AB的中点，若这样的直线有四条，则半径r的取值范围是（）A. 0＜r＜2B.C.D. 1＜r＜2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足的约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为______14.宁乡市政府决定派遣7名干部分成两个小组，到龙田镇和巷子口镇去检查扶贫工作，若要求每组至多5人，不同的派遣方案有______种．（用数字作答）15.三棱锥A-BCD中，△ABC与△BCD都是等边三角形，BC=1，且二面角A-BC-D的余弦值为，则三棱锥A-BCD的内切球的表面积为______．16.对任意的实数x∈[1，e2]，总存在三个不同的实数y∈[-1，4]，使y2xe1-y-ax-ln x=0成立，则实数a的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列等差数判{a n}的前n项和S n，满足S n+2-S n=4n+4（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n=a n•2n，设{b n}的前n项的和为T n，求T n18.如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：平面ADM⊥平面BDM；（2）点E是线段BD上的一动点，且满足=，求二面角E-AM-D的余弦值．19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点的直线交椭圆于、两点，当直线垂直于轴时，．（1）求椭圆的标准方程：（2）已知椭圆上顶点为，若直线斜率为，求证：以为直径的圆过点．20.“996”工作制是指早上9点上班，晚上9点下班，中午和傍晚休息1小时（或不到），总计工作10个小时以上，并且一周工作6天的工作制度．近日，“996”加班文化被推上了舆论的风口浪尖，也引发了社会对创业公司推行狼性文化的争议．而在大公司也在高喊“活下去”的市场形势下，创业公司也往往是步履维艰．某互联网+产品工厂的创业公司从2012年开始创业，到2017年每年所支出的运营费用y（万元）和年份及其编号t，有如下统计资料“（1）若运营费用与年份y编号t满足线性相关关系，求y与t的线性回归方程，并预测2019年所需要支出的运营费用（2）该公司对2018年卖出的产品进行质量标指标值检测，由检测结果得如图所示频率分布直方图．预计2019年生产产品质量指标值分布与上年一致，将图表中频赞率作为总体的概率．每件产品质量指标值不低于185时为合格，低于185时为次品，出售产品时，合格品可获利0.6万元，次品不仅全额退款，还要对客户进行赔付，所以每件次品亏损1.4万元．（Ⅰ）记Z为100件产品中合格产品的数量，求Z的期望．（Ⅱ）该工厂2019年至少出售多少件这种产品，才能在这批设备上实现盈利？（总利润=销售利润-运营成本）参考数据：=17.5，=382.5回归方程=t+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为==，=-21.已知函数，其中m∈R．（1）当m＝2时，讨论f(x)的单调性；（2）若m＞1，并且f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cos（θ-）．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）设点P，Q为C1、C2文交点，其中P点坐标为（0，m），求|PQ|长度．23.设函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（1）求不等式f（x）≥1的解集：（2）若∀x∈R，f（x）≥a（x-）+恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵M={x∈Z|-3＜x＜1}={-2，-1，0}，N={-1，0，1，2}，∴M∩N={-1，0}．故选：B．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】可根据得出，从而可以求出，这样即可得出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量夹角的范围．【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，∴，又，∴．故选：A．4.【答案】B【解析】解：抛物线x2=8y的焦点为（0，2），双曲线-x2=1的渐近线方程为2x±y=0，可得焦点到渐近线的距离为d==，故选：B．求得抛物线的焦点，以及双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可得所求值．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查焦点和渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由茎叶图知：==90，设被污损的数字为a，=（83+83+87+90+99+a）=88.4+，∵甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，∴88.4+≥90，解得a≥8，∴a=8或a=9，∴甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为，故选：D．根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论．本题主要考查古典概率的计算，利用茎叶图求出x的值是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得：A=1，T=•=+，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式，可得：1=sin（2×+φ），即sin（+φ）=1．再由|φ|＜，可得：φ=，所以函数f（x）=sin（2x+）．故选：B．由函数图象可求A，由周期求出ω，由图象的对称轴求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由图象的对称轴求出φ的值，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵（x-3）2（x+1）8=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=0，可得a0=9，令x=1，可得9+a1+a3+…+a9+a10=210，令x=-1，可得9-a1+a2-a3+…-a9+a10=0，∴两式相减得：2（a1+a3+…+a9）=210．∴a1+a3+…+a9=29，则log2（a1+a3+…+a9）=log229=9故选：D．令x=0，可得a0=9，令x=1，可得9+a1+a3+…+a9+a10=210，令x=-1，可得9-a1+a2-a3+…-a9+a10=0，∴两式相减得：2（a1+a3+…+a9）=210．∴a1+a3+…+a9=29，代入对数运算即可．本题考查了二项式定理的应用，赋值法在二项式定理中的应用，对数运算，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：显然y=4cos x-e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，y′=-4sin x-e x=-（4sin x+e x），显然当x∈（0，π]时，y′＜0，当x∈（π，+∞）时，e x＞eπ＞e3＞4，而4sin x≥-4，∴y′=-（4sin x+e x）＜0，∴y′=-（4sin x+e x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴y=4cos x-e|x|在（0，+∞）上单调递减．故选：D．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在（0，+∞）上的单调性即可得出结论．本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查不规则几何体的体积求法，本题解题的关键是看出几何体可以分成三部分，逐个求出三部分的体积，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．本题可以采用分割的方法，过F，E做一个与平面ABCD垂直的平面，这个平面把几何体分割成三部分，包括1个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到结果．【解答】解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB-EF）=1，PF==，OQ=BC=1，∴OF==，采用分割的方法，过F，E做一个与平面ABCD垂直的平面，这个平面把几何体分割成三部分，如图，包含1个三棱柱EMN-FQH，两个全等的四棱锥：E-AMND，F-QBCH，∴这个几何体的体积：V=V EMN-FQH+2V F-QBCH=S△QFH×MQ+2×=+2×=．10.【答案】A【解析】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，己知cos C+cos A=1，则，整理得b2=ac．由余弦定理的得cos B=，所以，故．故选：A．直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的应用和函数值的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数值的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.【答案】B【解析】解：根据题意，g（x）=f（x）+x2，且f（x）为定义在R上的偶函数，则g（-x）=f（-x）+（-x）2=f（x）+x2=g（x），即函数g（x）为偶函数，f（x+1）-f（x+2）＜2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＜f（x+2）+（x+2）2，即g（x+1）＜g（x+2），又由g（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，则有|x+1|＜|x+2|，解可得：x＞-，即不等式的解集为（-，+∞）；故选B．根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数g（x）为偶函数，进而分析可得f（x+1）-f（x+2）＜2x+3⇒g（x+1）＜g（x+2），结合g（x）的单调性分析可得|x+1|＜|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则x12=4y1，x22=4y2，相减，得（x1+x2）（x1-x2）=4（y1-y2），当l的斜率k存在且不为0时，利用点差法可得2k=x0，因为直线与圆相切，所以=-，所以y0=2，即P的轨迹是直线y=2．将y=2代入x2=4y，得x2=8，∴-2＜x0＜2．∵P在圆上，∴x02+（y0-4）2=r2（r＞0），∴r2=x02+4＜8+4=12，∵直线l恰有4条，∴x0≠0，∴4＜r2＜12，故2＜r＜2时，直线l有2条；斜率为0时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜2，故选：C．确定P的轨迹是直线y=2，代入抛物线方程可得x=±2，代入圆方程可得r的范围，即可得出结论．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；将目标函数变形为y=-x+z，画出其相应的直线，由，解得；所以当直线y=-x+z平移至B（2，2）时z取得最大值，且最大值为z max=2+2×2=6．故答案为：6．画出约束条件表示的平面区域，将目标函数在不等式组表示的平面区域内平移，找出最优解，计算z的最大值．本题考查了二元一次不等式组表示平面区域以及求目标函数的最值应用问题，是基础题．14.【答案】112【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将7人分成2组，要求每组至多5人，若分成2、5的两组，有C72=21种分组方法，若分成3、4的两组，有C73=35种分组方法，则有21+35=56种分组方法；②，将分好的2组全排列，安排到两个乡镇，有A22=2种情况，则有56×2=112种不同的派遣方案；故答案为：112．根据题意，分2步进行分析：①，将7人分成2组，要求每组至多5人，②，将分好的2组全排列，安排到两个乡镇，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图所示，△ABC和△BCD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥BC，AN⊥BC．∴∠AND是二面角A-BC-D的平面角，过点A作AO⊥DN交DN于点O，可得AO⊥平面BCD．在△ADN中，AN=DN=，∴AD2=AN2+DN2-2AN•DN•cos∠AND==1，则AD=1．故三棱锥A-BCD为正四面体，则其内切球半径r=．因此，三棱锥A-BCD的内切球的表面积为4πr2==．故答案为：．作出图形，由已知可得二面角A-BC-D的平面角为∠AND，再利用余弦定理求出AD，可知三棱锥A-BCD为正四面体，求出内切球的半径，再利用球的表面积公式求解．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．16.【答案】[，）【解析】解：∵x≠0，∴原式可化为y2e1-y=+a，令f（x）=+a，x∈[1，e2]，则f′（x）=，x∈[1，e）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；x∈（e，e2]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；计算f（1）=a，f（e）=a+，f（e2）=a+，∴f（x）∈[a，a+]；令g（y）=y2e1-y，y∈[-1，4]，∴g′（y）=2y•e1-y-y2e1-y=y（2-y）e1-y，∴g（y）在（-1，0）递减，在（0，2）递增，在（2，4）递减，而g（-1）=e2，g（2）=，g（4）=，要使g（y）=f（x）有解，则g（y）=f（x）∈[g（4），g（2）]，即[a，a+]⊆[，），所以，解得≤a＜．故答案为：[，）．原式可化为y2e1-y=+a，令f（x）=+a，x∈[1，e2]，令g（y）=y2e1-y，y∈[-1，4]，问题转化为g（y）=f（x）∈[g（4），g（2）]，得到关于a的不等式组，解出即可本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是综合题17.【答案】解：（1）设公差为d的等差数列{a n}的前n项和S n，满足S n+2-S n=4n+4，当n=1时S3-S1=8=a2+a3=2a1+3d，①当n=2时S4-S2=12=a3+a4=2a1+5d，②由①②得a1=1，d=2，所以a n=2n-1．（2）由（1）得，所以①，②①-②得，解得．【解析】（1）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：∵AM=BM=，∴AB2=AM2+BM2，即AM⊥BM．∵平面ADM⊥平面ABCD，∴BM⊥平面ADM，∴平面ADM⊥平面BDM；（2）解：取AM的中点O，AB的中点N，则ON，OM，OD两两垂直，故以O为原点建立空间直角坐标系．则A（，0，0），B（-，，0），M（-，0，0），D（0，0，），，-），由=，可得E（-，，）易得平面ADM的法向量为，设平面AME的法向量为=（x，y，z）．，=（-，，）．则，cos=．∴二面角E-AM-D的余弦值为【解析】（1）由AB2=AM2+BM2，可得AM⊥BM．BM⊥平面ADM，即可证明平面ADM⊥平面BDM；（2）取AM的中点O，AB的中点N，则ON，OM，OD两两垂直，故以O为原点建立空间直角坐标系．求出平面ADM的法向量和平面AME的法向量即可求解．本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．19.【答案】（1）解：设椭圆的焦距为2c，当直线l垂直于x轴时，l的方程为x=c，则A，B的坐标为（c，），（c，-），则|AB|=，又，a2=b2+c2，解得a=，b=1．∴椭圆方程为；（2）证明：由（1）可知，P（0，1），直线l的方程为y=．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y可得．则有，．∴===．∴点P在以AB为直径的圆上．【解析】（1）由已知可得|AB|=，结合椭圆的离心率及隐含条件联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）写出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合向量数量积为0证明以AB为直的过点P．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意可求得t的平均数=3.5，y的平均数=16，所以==2.6，=16-2.6×3.5=6.9，所以线性回归方程为=2.6t+6.9，预测2019年时取t=8，代入方程可求得=27.7，所以预测2019年所需要支出的运营费用为27.7万元．（2）（Ⅰ）假设“任意抽取一件产品为合格品”为事件A，由图可得P（A）=0.89，则抽取100件产品时合格产品件数期望为E（Z）=100×0.89=89件，（Ⅱ）假设工厂2019年至少出售x件这种产品，由（Ⅰ）可得，该公司2019年的总利润为0.6×0.89x-1.4×0.11x-27.7=0.38-27.7万元，当x≥73时，0.38-27.7＞0，∴工厂2019年至少出售73件这种产品，才能在这批设备上实现盈利．【解析】（1）由表中数据，计算得，的值，则线性回归方程可求，取t=8求得y值得答案；（2）（Ⅰ）由由图可得P（A）=0.89，乘以100得答案；（Ⅱ）假设工厂2019年至少出售x件这种产品，由（Ⅰ）可得不等式，解得即可．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）当m=2时，f（x）=，∴f′（x）=-，由f′（x）＜0得，x＜1-或x＞1+，由f′（x）＞0得，1-＜x＜1+，∴f（x）的单调递减区间为（-∞，1-），（1+，+∞），f（x）的单调递增区间为（1-，1+）．（2）证明：∵函数f（x）=，∴f′（x）=-，f(x)存在两个极值点x1，x2,∴f′（x）=0的两根为x1、x2，∴，∴，∴f（x1）+f（x2）=+，=+，≥4m，=，＞，∴＜f（x1）+f（x2）成立；下面只需证明f（x1）+f（x2）=+=+＜，即证+＜，设g（x）=，∴g′（x）=+=（1-x）（+）=0，得x=1，当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）max=g（1）=，又当x1=1时，必有m=1，x2=1，与题意不符合．则有g（x1）＜g（1）=，命题得证．综上不等式＜f（x1）+f（x2）＜成立．【解析】本题考查利用导数求函数单调性，考查了均值不等式和分析法及利用导数证明不等式，属于难题.（1）求导数根据f′（x）＞0，f′（x）＜0即可求f（x）的单调性．（2）令f′（x）=0的两根为x1、x2，表示出f（x1）+f（x2），利用均值不等式和导数即可证明不等式．22.【答案】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=4cos（θ-）．转换为，转换为直角坐标方程为．即：．（2）将直线C1的参数方程是（t为参数），代入圆的方程得到，整理得：t2+（m-4）t=0，解得m=0或2，利用直线和曲线的位置关系式求出|PQ|=4或2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用方程组和两点间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|2x-1|+|x-1|=，当x＜时，不等式f（x）≥1化为2-3x≥1，解得x≤；当≤x≤1时，不等式f（x）≥1化为x≥1，解得x=1；当x＞1时，不等式f（x）≥1化为3x-2≥1，解得x＞1；综上，不等式f（x）≥1的解集为（-∞，]∪[1，+∞）；（2）由题意知，y=f（x）的图象如图所示，其中A（，），B（，），C（1，1）；直线y=a（x-）+B（，）；则k AB=0，k BC==，满足f（x）≥a（x-）+，即∀x∈R，f（x）≥a（x-）+恒成立时，a的取值范围是0≤a≤．【解析】（1）利用分段讨论法解不等式f（x）≥1，求出解集即可；（2）由题意画出函数y=f（x）的图象，利用图象求出不等式恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。

湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷及答案解析.

湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（） A.(){}1,1 B.(){}2,4- C.()(){}1,1,2,4- D.∅2.已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（） A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 3.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A.甲B.乙C.丙D.丁4.已知直线,a b 表示不同的直线，则//a b 的充要条件是（）A.存在平面α，使//,//a b ααB.存在平面α，使,a b αα⊥⊥C.存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥D.存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒5.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B. C. D.6.()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( )A.－60B.240C.－80D.1807.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）B.413D.478.关于函数()sin cos 22x x f x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称；②函数()f x 的最小正周期为π；③0x ∃∈R ，()01f x = .其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.39.设a,b,c 分别是ΔABC 的内角A,B,C 的对边，已知(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，设D 是边BC 的中点，且ΔABC 的面积为√3，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )等于（）A. 2B. 4C. -4D. -210.已知椭圆C:x 24+y 2b =1(0<b <2),作倾斜角为3π4的直线交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b=( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. √6211.在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，G 为ΔDBC 的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30∘，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（）A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π12.已知函数()1ln m f x n x x=--（0m >，0e n ≤≤）在区间[1,e]内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（） A.22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B.22,11e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ C.2,11e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ D.1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）S 的值是__________．14.在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =cos cos c B b C +=，则ABC 的面积的取值范围为______．15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 是坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为A ，B ，且OAB ∠为直角，记OAF △和OBF 的面积分别为OAF S ，OBF S ，若35OAF OBF S S =△△，则双曲线C 的离心率为______． 16.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n −2n+1，若不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n 对∀n ∈N ∗恒成立，则整数λ的最大值为__.三、解答题（题型注释）17.已知数列n a 的前n 项和为n S ，()*10,N a a a a =>∈，1n n S pa +=（0p ≠且1p ≠-，*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +，②2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为k d ，求p 的值及对应的k d ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，且3PA AB ==，2AC =，E 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；（3）在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由. 19.已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 20.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金，经过评估，对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是l.38万元、1.18万元、l.14万元的概率分别为16、12、13；对于B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是()01p p <<，记B 项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为1ξ，记对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为2ξ． (i)求1ξ，2ξ的概率分布列和数学期望1E ξ，2E ξ；(ii)如果你是投资决策者，将做出怎样的决策?请写出决策理由．21.设函数()ln x f x x x ae =-，()212x mx x φ=+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数．（1）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）当10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，设()()()F x f x x φ=-，m R ∈，若()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证： 212x x e >． 22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB，求α的值. 23.已知函数f(x)=|x−2a|−|x−a|，a∈R．（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|(y+2020)|+ |y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案1.C【解析】1.首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-，故选：C.2.D【解析】2. 试题由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 3.B【解析】3.结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.4.B【解析】4.根据充要条件的定义，逐项判断//a b 是否能推出选项成立，和选项是否能得出//a b 成立，即可得出结果.A 选项，//a b ⇒存在平面α，使//,//a b αα；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故A 错误.B 选项，//a b ⇒存在平面α，使,a b αα⊥⊥；反之，也成立.故B 正确.C 选项，//a b ⇒存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故C 错误.D 选项，//a b ⇒存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故D 错误.故选：B5.D【解析】5.∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ，故选：D ．6.D【解析】6.求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案.由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为： 3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D【解析】7.设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a ，再利用面积之比可得结论.由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=，所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠，即()222323cos 3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得AF =，所以，大正六边形的边长为AF =，所以，小正六边形的面积为21122222S a a a =⨯⨯+⨯=，大正六边形的面积为2212222S =⨯⨯=，所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D.8.B【解析】8.根据偶函数的定义可得()f x 为偶函数,故①错误;根据()()f x f x +π=对任意的x 都成立,知②正确;在一个周期[0,)π内任取一个x ,都有()f x ∈,可知③错误. 依题意，()()()sin cos sin cos ()2222x x x x f x f x ---=+=+=，故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误；因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，故②正确，③错误. 故选B .【解析】9.利用三角形内角和定理可得(b +c )sinB =(a +c )(sinA −sinC )．由正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A ∈（0，π）可得A 的值，结合ΔABC 的面积求得bc,将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )利用向量加减法运算转化为AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,即可求得结果.∵(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，，∴由正弦定理可得：(b +c )b =(a +c )（a −c ），整理可得：b 2+c 2﹣a 2=-bc ，∴由余弦定理可得：cosA=−12，∴由A ∈（0，π），可得：A=2π3，又ABC 的面积为√3，即12bcsin 2π3=√3,∴bc=4,又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=(DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )•(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2-DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=−4AB⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 4=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ •AC⃑⃑⃑⃑⃑ =-bccosA=2. 故选A.10.B【解析】10.分析：首先设出点A ,B 的坐标，然后结合点差法计算b 的值即可.详解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则{x 124+y 12b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+ (y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0. 因为y 1−y 2x 1−x 2=−1,所以x 04−y 0b 2=0.即y 0x 0=b 24. 由y 0x 0=b 24=12,解得b 2=2,即b =√2. 本题选择B 选项.11.D【解析】11.分析：求出△ABC 外接圆的直径，利用勾股定理求出球O 的半径，即可求出球O 的表面积．详解：取BC 的中点为E ，由题意，AE=√3，AD=1，cos ∠BAC=2×2√3×2√3=﹣12，∴sin ∠BAC=√32，∴△ABC 外接圆的直径为2r=√32=4√3，设球O 的半径为R ，∴R=√12+14=72 ∴球O 的表面积为49π， 12.A【解析】12.由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩或(1)0,(e)0,f f >⎧⎨≤⎩化简可得关于.m n 的约束条件，利用线性规划求解即可. 22()m n m nx f x x x x '+=--=-，当0n =时，2()0m f x x '=-<，当0e n <≤时，令()0f x '=，则0mx n=-<，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减，由函数()f x 在区间[]1,e 内有唯一零点，得(1)0, (e)0,f f ≥⎧⎨<⎩,即10,10,em mn -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 即10,e e 0,m m n -≥⎧⎨--<⎩或 (1)0, (e)0,f f >⎧⎨≤⎩,即10,e e 0,m m n ->⎧⎨--≤⎩,又0m >，0n e ≤≤，所以10,e e 0,0,0e,m m n m n -≥⎧⎪--<⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （1）或10,e e 0,0,0e,m m n m n ->⎧⎪--≤⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （2）所以m ，n 满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，则2(2)1(1)n n m m +--=+--表示点（m ，n ）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得21n m ++的最小值在A 点处取得，根据e e 0,e,m n n --=⎧⎨=⎩得A 点坐标满足2e e,e,m n ⎧=+⎨=⎩，所以最小值为2e 2e e 1+++，故选A. 13.0【解析】13.模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案.1,0tan3n S π==+=22,tan 03n S π=== 33,0tan 03n S π==+=44,0tan3n S π==+=55,tan 03n S π=== 6,0tan603n S π==+=由于()tan 3f n n π=的周期33T ππ==，则tan 3n π的值以3为周期循环出现即该程序框图S 的值会以3为周期循环出现因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：014.【解析】14.利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 232C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+==ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin a C c A ==，1sin sin 2ABCSac B B ∴==∈．故答案为：.【解析】15.不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，先求出点,A B 的纵坐标，再根据35A OAFOBF B y S S y ==△△求出离心率. 不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，因为OAB ∠为直角，所以直线AB 的方程为()ay x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得点A 的纵坐标22A abc y a b =+，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点B 的纵坐标22B abc y b a =-，所以222235A OAF OBF B b a y S S y a b -===+△△，解得2214b a =或4，又离心率e =，所以双曲线C16.4【解析】16.试题分析：当n =1时，S 1=2a 1−22得a 1=4，S n =2a n −2n+1；当n≥2时，S n−1=2a n −2n ，两式相减得a n =2a n −2a n−1−2n ，得a n =2a n−1+2n ，所以a n2n −a n−12n−1=1．又a 121=2，所以数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列，a n 2n=n +1，即a n =(n +1)•2n ．因为a n >0，所以不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n ，等价于5−λ>2n−32n．记b n=2n−32n，n ≥2时，b n+1b n=2n−12n+12n−32n =2n−14n−6．所以n ≥3时，b n+1b n<1,(b n )max =b 3=38．所以5−λ>38,λ<5−38=378，所以整数λ的最大值为4．17.（1）()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）见解析【解析】17.（1）由1n n S pa +=再写式子12n n S pa n -=≥（），两式作差得到11n n a pa p++=（n ≥2），所以数列{a n }从第二项起是公比为1p p+的等比数列，又当n ＝1时2a a p =，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1k a +，2k a +，3k a +，若选①，则1232k k k a a a ++++=，解出p 值，即可求得k d ；同理若选②，则2312k k k a a a ++++=，解出p 值，求得k d . （1）因为1n n S pa +=，当2n ≥时，1n n S pa -=，两式相减，得()112n n a p n a p ++=≥，故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列，又当1n =时，120a pa -=，1a a =，所以2a a p =，从而()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）得111k k a p a p p -+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21k k a p a p p +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，131k k a p a p p ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若选①，则1232k k k a a a ++++=，11p p +=或112p p +=-，得23p =-，所以113122k k a a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，133122k k a a ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1319182k k k k a d a a -++⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭．若选②，则2312k k k a a a ++++=，11p p +=或12p p +=-，得13p =-，所以()1132k k a a -+=--，()232kk a a +=--，所以()11292k k k k d a a a -++=-=-⋅-．18.（1）证明见解析.（2（3）存在，13PM PB =【解析】18.（1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，可证//EF PB ，从而得线面平行；（2）由题意以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可用向量法求出线面角；（3）在（2）基础上，设(01)PM PB λλ=<<，求出平面MAC 和平面EAC （（2）中已有）法向量，由法向量夹角与二面角的关系可求得λ．（1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF .∵ABCD 是平行四边形，∴F 是BD 的中点.又E 是PD 的中点，∴//EF PB 又PB ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，∴//PB 平面AEC ；（2）以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)A ，，，(030)B ，，，(200)C ，，，(230)D -，，，(003)P ，，，33(1)22E -，，.设平面AEC 的法向量为()x y z n =，，. ∵33(1)(200)22AE AC =-=，，，，，， ∴00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3302220.x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，不妨取1y =，得(011)n =，，又(203)PC =-，，.设直线PC 与平面AEC 所成的角为α，则326sin cos 26PC αPC PC n n n⋅=<==⋅>，即直线PC 与平面AEC所成角的正弦值为26．（3）假设在线段PB 上(不含端点)存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为.连接AM MC ，.设(01)PM PB λλ=<<，得(0333)M λλ-，，. 设平面MAC 的法向量为()x y z m =，，. ∵(0333)(200)AM λλAC =-=，，，，，， ∴00m AM m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3(33)020.y z x λλ+-=⎧⎨=⎩，不妨取1z =，得1(011)λm =-，，设二面角M AC E --的平面角为θ，则cos cos 102θm n m n m n⋅=<===⋅⋅>，.化简得29920λλ-+=，解得13λ=，或23λ=. ∵二面角M AC E --的余弦值为10，∴13λ=. ∴在线段PB 上存在一点M ，且13PM PB =，使得二面角M AC E --的余弦值为10. 19.（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】19.(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可. 解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足.（2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以1212222y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m =+222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 20.（1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大；（2）(i)分布列见解析，1E ξ=1.2，2E ξ20.50.3 1.4p p =--+； (ii) 当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．理由见解析【解析】20.（1）由图表可知甲地区的数据比较分散，所以甲地区比乙地区的方差大；也可求出两地区的平均数，比较平增多数；（2）（i ）由题可知1ξ分别取l.38、1.18、l.14时，其对应的概率分别为16、12、13，从而可列出1ξ的分布列，由题意得~(2,)B p ξ，从而可列出ξ的分布列，而ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元，由此可列出2ξ的分布列，并可求出期望；（ii ）对（i ）得到的数学期望1E ξ，2E ξ比较大小，进行决策. （1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大；（2）（i ）由题意得1ξ的概率分布列为所以1 1.38 1.18 1.14 1.2623E ξ=⨯+⨯+⨯=．由题意得~(2,)B p ξ，即ξ的概率分布列为由题意得下调次数和利润2的关系为所以2的概率分布列为所以222 1.4(1) 1.252(1)0.6E p p p p ξ=⨯-+⨯-+⨯()()2221.412 2.50.6p p p p p =⨯-++⨯-+⨯20.50.3 1.4p p =--+（ii ）当12E E ξξ<，得21.20.50.3 1.4p p <--+，即25320p p +-<，整理得(52)(1)0p p -+<，解得205p <<；当12E E ξξ=时，25p =；当12E E ξξ>时，215p <<；所以，当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．21.（1）1(0,)e；（2）证明见解析.【解析】21.（1）()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则()0f x '=有两根，再分离参数，借助导数研究即可；（2）要证212x x e >即证12ln ln 2x x +>，()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，即()ln F x x mx '=-有两个零点1x ，2x ，可得()()12121212ln ln ln ln x x x x x x x x -++=-，设21x t x =，则()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >，即证()1ln 21t tt +>-，1t >，即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.解：（1）()1x f x lnx ae '=+-，由题意可知，10x lnx ae +-=在(0,)+∞上有两个不同的实数根，即1xlnx a e +=，只需函数1()xlnx g x e +=和y a=图象有两个交点， 211(1)1()()x x x x e lnx e lnx x x g x e e-+--'==，易知1()1h x lnx x =--在(0,)+∞上为减函数，且()10h =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数；所以1()(1)max g x g e ==，所以1a e<，又当0x →，()g x →-∞，x →+∞，()0>g x ，要使()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则10a e <<．故a 的取值范围为1(0,)e．（2）10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭易得0a =，()()()21ln 2F x f x x x x mx x φ=-=-- ()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <()ln F x x mx '∴=-有两个零点1x ，2x ，则1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，解得12121212ln ln ln ln x x x x m x x x x +-==+- 于是()()221212111221211ln ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==-- 又120x x <<，设21x t x =则1t >，因此()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t > 要证12ln ln 2x x +>，即证()1ln 21t t t +>-，1t > 即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，1t >，则 ()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=>++ 所以，()h t 为()1,+∞上的增函数，又()10h =，因此()()10h t h >=于是，当1t >时，有()21ln 1t t t->+，所以，有12ln ln 2x x +>成立，即212x x e >，得证22.（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα=【解析】22.（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解.（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩, 消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+= 曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=, 设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈ 点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<< 3424πππαα∴-=∴= 23.（Ⅰ）(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）[−1010,0).【解析】23.（Ⅰ）由题意不等式化为|1−2a|−|1−a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为[f(x)]max ≤[|y +2020|+|y −a|]min ，分别求出[f(x)]max 和[|y +2020|+|y −a|]min ，列出不等式求解即可．（Ⅰ）由题意知，f(1)=|1−2a|−|1−a|>1，若a≤12，则不等式化为1−2a −1+a >1，解得a <−1；若12<a <1，则不等式化为2a −1−(1−a)>1，解得a >1，即不等式无解；若a≥1，则不等式化为2a −1+1−a >1，解得a >1，综上所述，a的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y−a|恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y+2020|+|y−a|]min，当x∈(−∞,a]时，|x−2a|−|x−a|≤−a，[f(x)]max=−a，因为|y+2020|+|y−a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y−a)≤0时，[|y+2020|+|y−a|]min=|a+2020|，即−a≤|a+2020|，解得a≥−1010，结合a<0，所以a的取值范围是[−1010,0).。

湖南省常德市武陵区第一中学2025届高考数学五模试卷含解析

湖南省常德市武陵区第一中学2025届高考数学五模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)2．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（） A ．8B ．16C ．62D ．1223．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（）A ．1-B ．23C ．32D ．44．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．45．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．6B ．5C ．2D ．326．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n nn a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．337．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-8．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<9．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（） A ．－2B ．－4C ．3D ．－310．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =12．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市2020届高考5月模拟考试数学(理)试卷及答案

2017届高中毕业生五月供题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|20162017,|20171P x x Q x x =-≤≤=-<，则PQ =A. ()2016,2017B. (]2016,2017C. [)2016,2017D.()2016,2017- 2.若复数z 满足()222z z z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z 为 A. 12i -- B.1i -- C.12i -+ D.12i -3.已知变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则82x y z =⋅的最大值为A. 33B. 32C. 35D. 344.如图是一个正方体，A,B,C 为三个顶点，D 是棱的中点，则三棱锥A-BCD 的正视图，俯视图是（注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图）5.为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.85,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为A. 1.79万元B. 2.55万元C. 1.91万元6.执行如图所示的程序框图，如果输入的15,12m n ==，则输出的n 是 A. 15 B. 12 C. 3 D. 1807.某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B 往操场看了一次，以后每50秒往操场上看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是 A. 逆时针方向匀速前跑 B. 顺时针方向匀速前跑 C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动 8.已知1a =，a 与b 的夹角为3π，()23a b a +⋅=，则b 的值是 2 D.29.随机地取两个数,x y ，使得[][]1,1,0,1x y ∈-∈，则满足2y x ≥的概率是A.13 B. 23 C. 14 D.3410.已知函数()1cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x 满足12306n x x x x π≤<<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()()1122,n n f x f x n n N *-+-=≥∈，则n 的最小值为A. 6B. 10C. 8D. 12 11.mn mk n k n k CC --==∑A. 2m n+ B. 2m n m C C. 2n m n C D. 2m m n C12.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1AB ，且平面α⊥平面1C BD ，平面α平面11ADD A AS =，则1A AS ∠的正切值为A.2B. 5C. 3D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定义运算,0,0x xy x y y xy ≥⎧∇=⎨<⎩，例如()343,244∇=-∇=，则函数()()222f x x x x =∇-的最大值为 . 14.已知,tan tan 33παβαβ-=-=，则()cos αβ+的值为 .15.锐角ABC ∆中，D 为BC 的中点，满足90BAD C ∠+∠=，则角,B C 的大小关系为 .（填“B C <”或“B C =”或B C >）16.在半径为R 的圆内，作内接等腰ABC ∆，当底边上高(]0,h t ∈时，ABC ∆的面积取得最大值24，则t 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点,n n S A n n⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x x c =-+的图像上运动，其中c 是与x 无关的常数，且1 3.a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值. 18.（本题满分12分）某班级50名学生的考试分数x 分布在区间[)50,100内，设考试分数x 的分布频率是()f x ，且()()()0.4,10101,5,6,7,10,10101,8,9.5nn x n n f x n b n x n n ⎧-≤<+=⎪⎪=⎨⎪-+≤<+=⎪⎩，考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[)50,60内的成绩记为1分，考试分数在[)60,70内的成绩记为2分，考试分数在[)70,80内的成绩记为3分，考试分数在[)80,90内的成绩记为4分，考试分数在[)90,100内的成绩记为5分，在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分，3分的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ（将频率视为概率）. （1）求b 的值，并估计班级的考试平均分数；（2）求()7P ξ=；（3）求ξ的分布列和数学期望. 19.（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面相互垂直，2,1,AB AF G ==为线段AD 上的任意一点。

湖南省“一起考”大联考2023届高三下学期5月三模数学试题(含解析)

湖南省“一起考”大联考2023届高三下学期5月三模数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．．
．．
．正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，的中点，若AC AM BN λμ=+
，则λμ+ ）．
65
B ．
85
2D ．
83
．已知(),0απ∈-，且3cos 24cos αα+，则tan α等于（）
二、多选题
三、填空题
四、解答题
（1）求k 的取值范围；
（2）若1ABC S ∆=，求k 为何值时，
(1)若B到平面ACD的距离为
(2)求AB与平面ACD所成角的大小
20．统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，
集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有
参考答案：
故选：C.3．B
【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差机变量的观测值.对于A 选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故
设正方形边长为1，则AM u u u u r 因为AC AM BN λμ=+ ，所以
该圆的方程为22(1)2x y ++=，所以BC 的最大值为2BE +故答案为：32
16．7,2
⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
设CD a =，则(),0,0,D a B 由2AC AB a ==，得20y 002362,,(0,33y a z a A =
=显然(),0,0,(0,CD a CA ==。

2023年湘豫名校联考高三5月高考三模理科数学试卷含答案

湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（理科）注意事项：1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,2,4,3,4U U U A B ===痧，则（）A .1,1A B∈∉ B.2,2A B ∈∈C.3,3A B∈∉ D.5,5A B ∉∈2.已知()3i i ,a b a b =-∈R ，则a b +的值为（）A.1- B.0C.1D.23.已知向量()()1,3,1,7a a b =+=- ，则向量a在向量b 方向上的投影为（）A.5B.C.5D.4.近年来，电动自行车以其快捷､轻便､经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放､私拉电线充电､占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到,,A B C 三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（）A.49 B.1427C.59D.16275.若双曲线1C 与双曲线222:17xC y -=有相同的焦距，且1C 过点()3,1，则双曲线1C 的标准方程为（）A.22162x y -= B.221-=C.22162x y -=221= D.22162x y -=或2213x y -=6.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式不正确的是（）A.14ab ≤ B.2212a b +≥C.1121a b +>+ D.1≤7.执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b m 的值分别为1,1,5，则输出的M =（）A.4B.5C.18D.2728.61(3)x x y y ⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中43x y 的系数为（）A.18 B.135C.540D.12159.已知等差数列{}n a 中，18522a a a +=-，31126a a +=，则数列{}cos πn a n ⋅的前2022项的和为（）A.1010B.1011C.2021D.202210.已知非钝角ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点.若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PAQ △周长的最小值为1+-P ABC 外接球的体积为（）A.B.6πC. D.8π11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，点D 为准线l 与x 轴的交点，若30FMD ∠= ，则四边形AMDB 的面积为（）A.3B.203C.3D.16312.已知222111e ,,ln 1e e ea b c +===+，则（）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a>> D.b a c>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()3224f x x x =+在点()()1,1f 处的切线方程为__________.14.已知直线:l y x =与圆222:()(1)C x a y r -+-=（a 为整数，r 为正整数）相交于,A B 两点，若AB =，则满足条件的a 的值可以为__________.（答案不唯一，答出一个即可）15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足674252,8S a a ==，则当n =__________时，12n a a a 最大.16.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，同时满足()3π4f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若函数()()1g x f x =-在区间()0,λ上共有8个零点，则这8个零点之和为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，且sin cos C c A a b +=+.（1）求角C ；（2）若2,c ABC = ABC 的周长.18.随着我国居民生活水平的提高和人们对精神生活的追求，如今有越来越多的人养宠物，很多人的朋友圈除了晒美食､晒旅行､晒孩子外，还会晒各自的宠物，宠物也成了很多家庭中的重要角色之一，为记录下宠物可爱､呆萌的瞬间，会有很多人选择去宠物照相馆，为了解顾客的消费需求，某宠物照相馆对近期200名客户的宠物拍照信息进行了相关统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.若套餐价格（单位：元）在[]898,1498内的称为“尊享套餐”，在[)298,898内的称为“普通套餐”.（1）根据统计数据完成以下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关？选择“尊享套餐”选择“普通套餐”合计年龄不低于45岁50年龄低于45岁80合计（2）把频率当作概率，现从年龄低于45岁的所有客户中，随机抽取3名客户，记所抽取的3名客户中选择“普通套餐”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥0.10.050.010.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.82819.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，2,3,AC BC AB ===，D 为1CC 上一点，且1:4:9CD C D =.（1）证明：平面1AB D ⊥平面11ABB A ；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为392，求二面角1A B D B --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，离心率为23，过点1F 作直线l （与y轴不重合）交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF 的周长为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 是椭圆C 的上顶点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，当0k ≠时，求证：12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定值.21.已知函数()()()21e sin cos ,2xf x x x ax a f x =---'∈R 为函数()f x 的导函数.（1）若曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线π4e π1y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭平行，求实数a 的值；（2）若不等式()()ln 1f x x ≥'-对任意的(),1x ∈-∞恒成立，求实数a 的值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为33,212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为π6⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()42f x x x a =++-.（1）当2a =时，求不等式()13f x ≤的解集；（2）若()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（理科）注意事项：1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D 【10题答案】【答案】A 【11题答案】【答案】A 【12题答案】【答案】B二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】1480x y --=【14题答案】【答案】3（答案不唯一）【15题答案】【答案】7或8【16题答案】【答案】15π三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【17题答案】【答案】（1）π3C =（2）6【18题答案】【答案】（1）列联表见解析，没有（2）分布列见解析，()94E ξ=【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）17【20题答案】【答案】（1）22195y x +=（2）证明见解析【21题答案】【答案】（1）4a =（2）3a =（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程【22题答案】【答案】（1）0x -=，220x y x +-=（2）2选修4-5：不等式选讲【23题答案】【答案】（1）1313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）733,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。

2023届湖南省衡阳市名校协作体高三下学期5月全真模拟适应性考试数学试题及参考答案

2023届湖南省衡阳市名校协作体高三下学期5月全真模拟适应性考试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<-+=x x x A ，集合(){}1ln +==x y x B ，则=B A （）A .()3,1-B .()1,3-C .()11，-D .()∞+-，12.已知复数z 满足()()i ii z -=-33，则=z （）A .i 5153-B .i 5153+C .i5256-D .i 5256+-3.612⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x 的展开式中的常数项是（）A .20-B .20C .160-D .1604.两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形AOB 的圆心角为α()πα<<0，弧长为π4，且=-）A .π24B .π12C .π48D .π325.我国时一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储量机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓（设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为1:10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边），已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷（π取近似值3）A .105000吨B .68160吨C .157000吨D .146500吨6.已知函数()()ϕω-=x x f sin 2()πϕω<<>0,0的一条对称轴为π32=x ，一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛02，π.则当ω取最小整数时，函数()x f 在()5,0内极值点的个数为（）A .3B .4C .5D .67.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，过1F 作直线l 与椭圆相交于N M ,两点，︒=∠902N MF ，且M F N F 2234=，则椭圆的离心率为（）A .31B .21C .33D .558.若曲线()()0<=k xkx f 与()x e x g =有三条公切线，则k 的取值范围为（）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,1eB .⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-e 1，C .⎪⎭⎫⎝⎛-0,2e D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-e 2，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 为线段1BC 的中点，则（）A .异面直线1BD 与1CC 所成角为45°B .DP ∥面11D AB C .1AD DP ⊥D .点P 到平面D D BB 11的距离为2210.已知函数()x x x f 2cos2π-=，则（）A .()x f 在[]1,1-上最大值为2B .()x f 有两个零点C .()x f 的图象关于点()2,1对称D .存在实数a ，使()a x f -2的图象关于原点对称11.已知抛物线C ：2ax y =的顶点为O ，准线为21-=y ，焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于N M ,两点（N M ,顺序从左向右），则（）A .21=a B .若直线l 经过点()0,1-，则25=MN C .ON OM ⋅的最小值为1D .若MF FN 3=，则直线l 的斜率为3312.已知b a ,是方程3x e x=的两根()b a <，52-==ed c dc()d c <<0，e 为无理数，则（）A .ed c 12>+B .5>+b a C .01<-ad D .01<-bc三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为27,32,39，m ，46,47；小李的六次成绩从小到大分别为30,31,34,41,42,45.只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则=m .14.已知公共点为N M 、的圆1C 和圆2C 均与x 轴相切，且与直线x y 22=均相切于第一象限，两圆的半径之和为4，则直线MN 的方程为.15.若1=x 是函数()()()012≤-+=a bx ax e x f x的极小值点，则a 的取值范围为.16.在平面四边形ABCD 中，︒=∠90ADB ，︒=∠90ABC ，2==BC BD ，沿对角线BD 将ABD ∆折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥BCD A -，则三棱锥BCD A -外接球表面积的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++3sin 2cos 3ππC b B c b .（1）求角C ；（2）已知边AB 的中点为D ，且1=CD ，求ABC ∆面积的最大值.18.（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n T ，21=a ，且对任意2≥n ，n n T a ，1a ，1-n n T a 成等差数列，又正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，342=S ，9133=S .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n b T c ⋅=2，是否存在正整数n ，使921>+++n c c c .若存在，求出n 的最大值；若不存在，请说明理由.19.（12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，2==BC AC AB ，，31=AA ，D 是棱BC 的中点，棱1CC 上的点F 满足2=CF ，棱1BB 上的点M 满足1=BM .（1）证明：AF CM ⊥；（2）若AC 与平面11A ABB 所成的角为60°，求平面CAM 与平面1CBA 所成锐二面角的余弦值.20.（12分）某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从A 类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从B 类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A 类题操作正确得10分，B 类题操作正确得20分.以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A 类7题中有5题会操作，B 类5题中每题正确操作的概率均为32，且各题操作互不影响.（1）求李明被终止比赛的概率；（2）现已知李明A 类题全部操作正确，求李明B 类题操作完后得分的分布列及期望；（3）求李明获二等奖的概率.21.（12分）已知双曲线C ：12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 22=，且经过点()222，.（1）求双曲线C 的离心率及方程；（2）已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,413M ，点()0,t N ()2<t ，过点N 的直线l 与双曲线交于B A ,两点，MB MA ⋅是否为常数？若为常数，求出此常数及t 的值；若不为常数，请说明理由.22.（12分）已知函数()x x x f ln +=，()xe x g =.（1）求函数()()()x xg x f x H -=的最大值；（2）当e x 1>时，证明：()()()11122+≥---x x x f x xg .参考答案一、选择题1.C解析：{}13<<-=x x A ，{}1->=x x B ，∴()1,1-=B A .2.A解析：∵()()i i i ii ii i z 515310323231333+=+=-=-+=--=，∴i z 5153-=.3.C 解析：∵612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式的通项为()r r r rr x C T --+-=366121，令03=-r 得3=r ，故展开式的常数项为160836-=-C .4.A解析：设扇形AOB 额圆心角为α，所在圆的半径为r ，∴πα4=r，=--=-，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+⋅-22222344OB OB OA OA OB OB OAOA ，r ==，αcos 2r OB OA =⋅，∴21cos =α，πα<<0,∴3πα=，12=r ，故扇形的面积为ππ2442441=⨯⨯.5.A 解析：由于粮仓高50米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为1:10，设粮仓顶部圆锥形的高为x 米，底面直径为x 10米，圆柱的高为()x -50米，两座粮仓总的容积为()()()()x x x x x x V -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=7531005315052222πππ.若靠矩形长边建造，则⎩⎨⎧≤≤801010020x x ，∴50≤<x ；若靠矩形宽边建造，则⎩⎨⎧≤≤100108020x x ，∴40≤<x .∵()()250100xx x V -='π，当50≤<x 时，()0>'x V ，()x V 在(]5,0单调递增，∴5=x 时，()x V 取最大值3175000π，两个粮仓最多能储存稻谷1050006.03175000=⨯π吨.6.B解析：∵函数()()ϕω-=x x f sin 2()πϕω<<>0,0的一条对称轴为π32=x ，∴ππϕωπ1232k +=-，Z k ∈1……①又()x f 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛02，π，∴∴πϕωπ22k =-，Z k ∈2……②，①-②得()3621+-=k k ωπ，∵0>ω，∴ω取最小整数值为3.当3=ω时，由②得ππϕ223k -=，Z k ∈2，∵πϕ<<0，∴2πϕ=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23sin 2πx x f .由223πππ+=-k x 得()x f 极值点为()3,2,1,0,,131=∈+k Z k k π时极值点在()5,0内.7.D解析：如图所示，设c F F 221=，∵M F N F 2234=，设t N F 32=，则t M F 42=.在MN F Rt 2∆中，t MN 5=.由椭圆定义可知：t a N F 321-=，t a M F 421-=t t a MN M F N F 57411=-==+，解得t a 3=.∴N F t t a N F 21332==-=，t t a M F 2421=-=，在21NF F ∆中，可得tcF NF 3cos 21=∠.在21MF F ∆中，由余弦定理可得ctt c F MF 23cos 2221-=∠.∵π=∠+∠2121F MF F NF ，∴0cos cos 2121=∠+∠F MF F NF ，即023322=-+ctt c t c ，解得t c 553=，∴椭圆的离心率55==a c e .8.A解析：设公切线为l ，()11,y x P 是l 与()x f 的切点，()22,y x Q 是l 与()x g 的切点，()2xk x f -='，()xe x g ='，∴l 的方程为()1211x x x k y y --=-，整理得2212x k x x k y +-=，同理()222x x ey y x -=-，整理得()2122x e x e y x x -+=，依题意两条直线重合，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-21211222x e x k e x k x x ，消去1x 得()22142--=x e k x，由题意此方程有三个不等实根，设()()21--=x ex h x，即直线k y 4=与曲线()x h 有三个不同的交点.∵()()21xe x h x-='，令()0='x h ，1±=x ，当1-<x 或1>x 时，()0<'x h ；当11<<-x 时，()0>'x h .∴()x h 有极小值()141--=-e h ，()x h 有极大值()01=h .又()0≤x h ，当-∞→x 时，()0→x h ；当当+∞→x 时，()-∞→x h ，故()x h 的图象简单表示如图.∴当0441<<--k e，即01<<-k e时，直线k y 4=与曲线()x h 有三个不同的交点.二、选择题9.BC 解析：对于A，∵11CC DD ∥，∴异面直线1BD 与1CC 所成角为B DD 1∠（或补角），2tan 1=∠B DD ，故A 错误；对于B，连接11111,,AD B D AB DC DB ，，，由于1111B D DB AD BC ∥，∥，∴1AD ∥面1BDC ，11B D ∥面1BDC ，又1111D B D AD = ，∴面11D AB ∥面1BDC ，又⊂DP 面1BDC ，∴DP ∥面11D AB ，故B 正确；对于C，∵点P 为线段1BC 的中点，DP BC DC DB ⊥=11，.又11AD BC ∥，∴DP AD ⊥1，故C 正确；对于D，作11C B PE ⊥，交11C B 于E ，11D B EF ⊥，交11D B 于F ，则PE BB ∥1，∴PE ∥面D D BB 11，∴点P 到平面D D BB 11的距离即E 到平面D D BB 11的距离，∵1111111B B B D B EF B B D B EF =⊥⊥ ，，，∴EF ⊥平面D D BB 11，∴E 到平面D D BB 11的距离为线段EF 的长度42，故D 错误.10.AC解析：对于A，∵()2sin 22ππ+='x f ，∵11≤≤-x ，∴222πππ≤≤-x ，∴12sin 1≤≤-x π，∴222sin 2222ππππ+≤+≤-，∴()0>'x f ，∴()x f 在[]1,1-上单调递增，∴()()21max ==f x f ，故A 正确；对于B，()x f 的零点个数即方程02cos 2=-x x π的实根个数，即方程x x 2cos 2π=的实根个数，即x y 2=与x y 2cos π=图象的交点个数.在同一坐标系中画出x y 2=与x y 2cos π=图象如图所示：两个函数图象只有一个交点，故B 错误；对于C，若()x f 的图象关于点()2,1对称，则有()()42211=+=-++x f x f 对任意R x ∈恒成立.∵()()()()()()x x x x x f x f ---++-+=-++12cos 1212cos1211ππ422cos 22cos 4=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x ππππ恒成立，∴()x f 的图象关于点()2,1对称，故C 正确；对于D，若存在实数a 使()a x f -2的图象关于原点对称，则()a x f -2为奇函数.令()()a x f x g -=2，∴()()0=-+x g x g 对任意R x ∈恒成立，即()()()()022cos 2222cos22=-----+---a x a x a x a x ππ恒成立，即021cos cos 2=⋅+a x a ππ对任意R x ∈恒成立，则有⎪⎩⎪⎨⎧==021cos 02a a π，上述方程组无解，故D 错误.11.ABD解析：抛物线方程化为y a x 12=，准线为21-=y ，∴ap a p a 412,12,0==>，准线为21412-=-=-=a p y ，∴21=a ，故A 正确；又⎪⎭⎫ ⎝⎛210，F ，过F 作直线l 角抛物线于N M ,两点，显然l 的斜率存在，设l 的方程为21+=kx y ，与221x y =联立消去y 整理得0122=--kx x ，0442>+=∆k 恒成立.设()()2211,,y x N y x M ，，则k x x 221=+，121-=x x ，()()2222122121244141k k k x x x x k MN +=++=-++=.直线l 经过点()0,1-，则21=k ，25=MN ，故B 正确；()()4444422212142224121++=+⋅+=⋅x xx x x x x x ON OM ()()[]21221212221222121241744164x x x x x x x x x x x x -++=+++=221625418161741k k +=++=，当0=k 时，ON OM ⋅最小为45，故C 错误；由MF FN 3=得213x x =-，又121-=x x ，01<x ，02>x ，解得33233211=+=-=k x x k x ，，，故D 正确.12.ABC解析：对于A，∵52-==ed c dc()d c <<0，∴52ln ln -==d d c c ，构造函数()x x x g ln =，∵()1ln +='x x g ，∴()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10，上递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上递增，∴()x g 有唯一的极小值⎪⎭⎫ ⎝⎛e g 1，∵()()d g c g =，d c <，∴110<<<<d ec .设()()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛--=x e x e x x x e g x g x F 2ln 2ln 2，e x 10<<，∵()0ln 21ln 22ln ln 2222=+<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='--e e e x x e x x F ，∴()x F 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10，上有()01=⎪⎭⎫ ⎝⎛>e F x F ，即()⎪⎭⎫⎝⎛->x e g x g 2，由e c 10<<，()⎪⎭⎫ ⎝⎛->c e g c g 2，∵()()d g c g >，∴()⎪⎭⎫⎝⎛->c e g d g 2，∵e d e c e 1,12>>-，()x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 上递增，∴c e d ->2，即e d c 2>+，故A 正确；对于B，b a 、是方程3x e x=的两根()b a <，∵0>xe ，∴03>x ，∴0>x ，∴1>xe ，∴1>x ，∴b a <<1，又3a e a=，3b e b=，∴a a ln 3=，b b ln 3=，3ln ln ==bba a .构造函数()()1ln >=x x xx f ，()xx x f 2ln 1ln -='，当()e x ,1∈时，()0<'x f ；当()+∞∈,e x 时，()0>'x f ，∴()x f 在区间()e ,1上递减，在区间()+∞,e 上递增，∴()x f 有唯一的极小值()e f ，若()()b f a f =，b e a <<<1，构造函数()()()x e f x f x G --=2，类比选项A，可证52>>+e b a ，故B 正确；对于C，b e a <<<1，11<<<d e c ，()x g x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛11，()d g d f -=⎪⎭⎫⎝⎛11，e d<<11，e a <<1，()x f 在区间()e ,1上递减，∴()()a f d g d f =<=-=⎪⎭⎫⎝⎛32511，∴a d >1，1<ad ，故C 正确；对于D，()x f 在区间()+∞,e 上递增，()c g c f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛11，e c>1，e b >，∴()b f c f =<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛3255211，b c <1，即1>bc ，故D 错误.三、填空题13.45解析：∵3%506=⨯，8.4%806=⨯，∴甲组的第50百分位数为239m+，乙组的第80百分位数为42，42239=+m，∴4539422=-⨯=m .14.042=-+y x 解析：设直线x y 22=的倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛<≤2202πθθ，222tan =θ，直线21C C 的倾斜角为θ，其方程为x y θtan =由22tan 1tan 22tan 2=-=θθθ，解得22tan =θ或2tan -=θ（舍去），故直线21C C 为x y 22=.设()a a C ,21，()b b C ,22，4=+b a ，圆1C 方程为()()2222a a y a x =-+-，圆2C 方程为()()2222b b y b x =-+-，两圆方程相减，得直线MN 的方程为：042=-+y x .15.⎥⎦⎤ ⎝⎛-051，解析：()()[]122-+++='b x b a ax e x f x，∵1=x 是()x f 的极小值点，∴()01='f ，即0123=-+b a ，从而231ab -=.()()[]1312211231231222--++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='a x a ax e a x a a ax e x f x x ()()132121++-=a ax x e x.当0=a 时，()()121-='x e x f x，当1<x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减；当1>x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增，符合题意；当0<a 时，令()0='x f ，得11=x ，aa x 2132+-=，若1=x 是()x f 的极小值点，则1213>+-a a ，解得051<<-a .综上，a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-051，.16.()π522+解析：在平面图形中设()︒<<=∠900θθCBD ，θ-︒=∠90ABD ，即ADB Rt ∆中，θ=∠BAD ，θtan 2=AD .在BCD ∆中，2sin 42sin2θθ=⋅=BC CD .设BCD ∆外接圆圆心为M ，外接圆半径为r ，由正弦定理可得2cos22cos 2sin 22sin4sin 2θθθθθ===CDr ,2cos1θ=r .设三棱锥BCD A -外接球球心为O ，则OM ⊥平面BDC ，又∵平面ADB ⊥平面BDC ，交线为BD ，︒=∠90ADB ，∴⊥AD 平面BDC ，∴OM AD ∥，∴四边形OMDA 为直角梯形.设外接球的半径为R ，在平面OMDA 中，过O 做AD OE ⊥于E ，在AOD ∆中，R DO AO ==，∴E 为AD 的中点，∴θtan 121===AD ED OM ，222OE AE AO +=，∴θθθθθθθθθθ22222222cos 1cos 231cos 1cos 22cos cos 12cos 1cos 2cos1tan 1--+-=--+=++-=+=R .令31cos 23<<=-t t ，θ，则23cos t-=θ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=-+-+-=⎪⎭⎫⎝⎛--+-=t t tt tt t R 56416541231122225152641+=⨯-+-≥tt ，当且仅当tt 5=时，即5=t 时（满足31<<t ）等号成立.∴求表面积最小值为()ππ5222514+=+⨯.四、解答题17.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛++3sin 2cos 3ππC b B c b ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+3sin sin sin sin sin 3πC B B C B ，∵0sin ≠B ，∴C C C C sin 23sin 213sin sin 3-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-π,∴16sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πC ，又π<<C 0，∴6566πππ<-<-C ，∴26ππ<-C ，即32π=C .（2）∵π=∠+∠BDC ADC ，由余弦定理0224224222222=⨯⨯-++⨯⨯-+CD c a CD c CD c b CD c ，解得22222c b a -+=，又C ab b a c cos 2222-+=，∴ab b a c ++=222，∴()ab ab ab ab b a c b a 212121212222222=-≥-+=-+=，当且仅当b a =时取等号，∴4≤ab ，∵ab C ab S ABC 43sin 21==∆，∴ABC ∆面积的最大值为3.18.解：（1）设{}n b 的公比为q ，显然1≠q ，由342=S ，9133=S ，∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--9131134113121qq b q q b ，解得31=q 或41-=q （舍去），11=b ，∴131-⎪⎭⎫⎝⎛=n n b .又对任意2≥n ，n n T a ，1a ，1-n n T a 成等差数列，21=a ，∴41=+-n n n n T a T a ，∵()21≥-=-n T T a n n n ，有()()411=+---n n n n T T T T ，()24212≥=--n T T n n ，故{}2nT 是以421=T为首项，公差4=d 的等差数列，∴()n n T n 44142=⨯-+=，又0>n a ，∴0>n T ，n T n 2>，当2≥n 时，()1241--=+=-n n T T a n n n ，当1=n 时，21=a 满足上式，故()12--=n n a n .（2）1314-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n n c ，设n n c c c T +++='21，1213143112318314-⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯='n n n T ……①()nn n n n T ⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯='-31431143112318314311321……②①-②得：nn n n T ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+='-31431431123143144321321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nn n n n n 313123234313113114，()()93123931631991<++-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-n nnn n n T ，故不存在正整数n ，，使921>+++n c c c .19.解：（1）证明：连接DF AD ,，∵AC AB =，D 是棱BC 的中点，∴BC AD ⊥，又∵AD BB ⊥1，B BC BB = 1，⊂BC BB ，1平面11BCC B ，∴AD ⊥平面11BCC B ，又⊂CM 平面11BCC B ，故CM AD ⊥，又1=BM ，2=BC ，1=CD ，2=CF ，∴2tan 21tan =∠=∠CDF MCB ，，∴DF CM ⊥，又∵D AD DF = ，⊂AD DF ,平面ADF ，故⊥CM 平面ADF ，∵⊂AF 平面ADF ，∴AF CM ⊥.（2）过C 作AB CE ⊥于点E ，又∵1BB ⊥平面ABC ，∴CE BB ⊥1，∵B BB AB =1 ，⊂1,BB AB 平面11BAA B ，∴⊥CE 平面11BAA B ，∴CAE ∠即为AC 与平面11BAA B 所成的角且为60°，又∵AC AB =，∴ABC ∆为正三角形，E 为AB 的中点，∵EC BB EA ，1,两两垂直，∴以E 为原点，EC EA ,所在直线分别为z x ,轴，过点E 做1BB 的平行线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz E -，可知各点坐标分别为：()000，，E ，()001，，A ，()300，，C ，()()011001，，，，，--M B ,()0311，，A ，∴()301，，-=AC ,()012，，-=AM ,()0321，，--=B A ,()3311，，--=C A ，设平面ACM 的法向量为()1111,,z y x n = ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅020*******y x AM n z x AC n ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==1111323y z x ，取()1,32,31=n .设平面1CBA 的法向量为()2222,,z y x n = ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+--=⋅=--=⋅033032222122212z y x C A n y x B A n ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=22223323z y z x ，取()3,2,32-=n .设平面CAM 与平面1CBA 所成的锐二面角为θ，则83cos 2121=⋅=n n n nθ，故平面CAM 与平面1CBA 所成的锐二面角余弦值为83.20.解：（1）设“李明被终止比赛”事件为M ，M 表示选的4题均会操作或3题会操作，故()()721147451235=+⋅-=-=C C C C M P M P .（2）设李明在竞赛中A 类题全部操作正确后得分为x ，x 的取值为40,60,80,100.B 类题正确操作题数⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3~B n ，()271313240303=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C x P ；()923132602113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C x P；()943132801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C x P ；()27831321000333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C x P ；所求的分布列()802781009480926027140=⨯+⨯+⨯+⨯=x E .（3）设李明获二等奖的事件为N ，事件N 即A 类题全部操作正确，B 类题正确操作2题或A 类题操作正确3题，B 类题全部正确操作，()189443231323334712352234745=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=C C C C C C C N P .21.解：（1）∵双曲线C ：12222=-by a x 的渐近线方程为x a b y ±=，又一条渐近线方程为x y 22=，∴22=a b ，∴2221a b =，∴2222222321a a a b a c =+=+=，则双曲线C 的离心率26==a c e 双曲线C 的方程可写为：122222=-ay a x ，∵双曲线经过点()222，，∴14822=-a a ，∴42=a ，22=b ，∴双曲线C 的方程为12422=-y x .（2）由（1）双曲线C 的方程为12422=-y x .假设存在点()()20,<t t N ,满足题设条件，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，2<t ，与双曲线无交点；当直线l 的斜率存在时，设为k ，直线l 的方程为()t x k y -=，直线l 与双曲线C 交点()()2211,,y x B y x A ，，x 406080100()x P 2719294278联立方程组：()⎪⎩⎪⎨⎧-==-t x k y y x 12422，消去y 可得：()04242122222=--+-t k tx k x k ，由题可知0212≠-k ，且()()()042214422222>+⋅-+=∆t k k tk ，∴1242124222212221-+=-=+k t k x x k t k x x ，则⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211,413,413y x MB y x MA ，，∴()()()t x t x k x x x x y y x x MB MA -⋅-+++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅2122121212116169413413413()()16169413122212212+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=t k x x t k x x k ()16169124413212421222222222++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=t k k t k t k k t k k()16169124413222+-++-=k k t t 若为常数，则1424132-=+-t t ，解得1=t 或12=t ，∵2<t ，∴1=t ，常数为16105，∵0212≠-k ，且()()()042214422222>+⋅-+=∆t k k t k ，∴322<k ，且212≠k ，∴存在1=t ，使得MB MA ⋅为常数16105.22.解：（1）()()()xxe x x x xg x f x H -+=-=ln ，定义域为()∞+，0，则()()()()()0111111>⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-+=+-+='x e x x x e x x xe e x x H x x x x ，令()x e x x t -=1，则()x e xx t --='21，∴()x t 单调递减，又()011<-=e t ，022121>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e t ，∴存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,210x ，使()00=x t ，即01x ex =，即0ln 00=+x x ，当00x x <<时，()0>'x H ，()x H 单调递增；当0x x >时，()0<'x H ，()x H 单调递减，∴()x H 有最大值，()1ln 00000-=-+=x ex x x x H .（2）不等式()()()11122+≥---x x x f x xg ，即证1ln 1221+≥+-x x xe x ，即证⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+-x x x e x 121ln 11，当1=x 时，不等式显然成立；当11<<x e 时，令()x e x m x -=-1，∴()11-='-x e x m ，又11<<x e ，∴()0<'x m ，∴()x m 在11<<x e上单调递减，()()01=>m x m ，∴x e x >-1，要证不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+-x x x e x 121ln 11，可以证明⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+x x x x 121ln 1，等价于证明：x x x ln 11222+≥+，令()()x x x x F ln 11222+-+=，则()()()0112222<+--='xx x x F ，∴函数()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛1,1e 上单调递减，∴()()01=>F x F ，即x x x ln 11222+≥+；当1>x 时，x x x ln 11222+≥+只需证x xxe x ln 11221+>+-，令()2112x e x h x +=-，()x x x u ln 1+=，则()()()01122221>+-='-xx e x h x ，∴函数()x h 在()∞+，1上单调递增，()()11=>h x h ，又∵()0ln 2<-='x xx u ，∴函数()x u 在()∞+，1上单调递减，∴()()11=<u x u .∴1>x 时，()()x u x h >，∴不等式x xxe x ln 11221+>+-成立；综合上述不等式得证.。

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