级数总结复习
版高考数学一轮总复习数列与级数的递推公式与通项公式推导
版高考数学一轮总复习数列与级数的递推公式与通项公式推导版高考数学一轮总复习：数列与级数的递推公式与通项公式推导数列和级数是高中数学中的重要概念，也是高考数学中常见的考点。
其中，数列的递推公式和通项公式是数列研究的关键。
本文将深入讨论数列和级数的概念，并推导数列的递推公式和通项公式，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，其中每个数称为数列的项。
一般表示为{an}或an（n∈N*），其中an表示数列的第n个项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
例如，1，2，3，4，5就是一个有限数列；1，2，3，4，…则是一个无限数列，其中的省略号表示数列的继续。
二、等差数列的递推公式和通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差保持不变的数列。
记首项为a1，公差为d，那么等差数列的递推公式可表示为an = an-1 + d，其中n≥2。
递推公式可以通过当前项与前一项的关系得到下一项的值。
为了更方便地计算等差数列的项，我们需要推导出等差数列的通项公式。
设等差数列的第n项为an，那么通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
通项公式可以根据数列的首项和公差，直接计算出任意一项的值。
三、等比数列的递推公式和通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比值保持不变的数列。
记首项为a1，公比为q（q≠0），那么等比数列的递推公式可表示为an = an-1 * q，其中n≥2。
递推公式可以通过当前项与前一项的关系得到下一项的值。
为了更方便地计算等比数列的项，我们需要推导出等比数列的通项公式。
设等比数列的第n项为an，那么通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
通项公式可以根据数列的首项和公比，直接计算出任意一项的值。
四、级数的概念级数是指数列中各项相加所得到的和。
常见的级数有等差级数和等比级数。
等差级数的前n项和可以表示为Sn = n(a1 + an) / 2，其中a1为首项，an为第n项；等比级数的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
无穷级数复习题
无穷级数复习题无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。
无穷级数是由一系列无穷多个数相加而得到的数列。
通常表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3等为数列的项。
如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我们说这个无穷级数收敛，记作S = L。
反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。
接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。
例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比为1/2。
我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。
因此，这个级数是收敛的。
例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...这个级数是一个等差级数，公差为1。
我们知道，等差级数只有在公差小于1时才能收敛。
因此，这个级数是发散的。
例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。
对于交错级数，我们可以使用交错级数判别法来判断其收敛性。
根据该定理，如果交错级数的绝对值数列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。
在这个例子中，绝对值数列为1, 1, 1, ...，显然不满足单调递减趋于零的条件，因此这个级数是发散的。
通过以上的例题，我们可以看到，判断一个无穷级数的收敛性需要使用不同的方法和定理。
在实际应用中，我们经常会遇到一些特殊的无穷级数，比如幂级数、傅里叶级数等，它们在数学和物理等领域中有着重要的应用。
幂级数是一个形如S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...的级数，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量。
级数期末复习题及答案
级数期末复习题及答案一、选择题1. 考虑级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)，以下哪个选项是正确的？A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 无法确定2. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛的充分必要条件是：A. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty\)C. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2\) 收敛D. 所有选项都正确二、填空题3. 根据比较判别法，如果 \(0 \leq a_n \leq b_n\) 对所有 \(n\) 成立，且 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛，则\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) ________。
4. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\) 可以通过部分和公式 \(S_n = 1 - \frac{1}{n+1}\) 判断其 ________。
三、简答题5. 请简述绝对收敛和条件收敛的区别。
6. 给定级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\)，判断其收敛性，并说明理由。
四、计算题7. 计算级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) 的和。
8. 证明级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}\) 收敛，并求其和。
五、证明题9. 证明：如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，那么级数\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2\) 也收敛。
10. 使用比值判别法证明级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}\) 收敛。
高等数学：第十章 无穷级数 复习
1. 幂级数的收敛半径
•根据幂级数的系数确定其收敛半径(基于达朗
2.正项级数收敛的充要条件
命题1：正项级数收敛的充分必要条件是其部 分 和序列有上界。
§2 正项级数的收敛判别法
定理1：设两正项级数 un 与 vn 的一般项满足
n1
n1
un vn (n1 2 )，则
(1)由级数 vn 收敛可断定级数 un 也收敛；
n1
n1
(2)由 un 发散可断定 vn 也发散。
(2) 比较审敛法的极限形式
(3) 极限审敛法
设un 0,vn 0 若un与vn 是同阶无穷小
则 un与 vn同敛散
特别 若un ~ vn （等价无穷小）
则 un与 vn同敛散
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
3、交错级数及其审敛法 Leibniz定理
k 1
S2，则级数 (ak bk ) 也收敛，并收敛于S1±S2. k 1
(2) 若 ak
收敛于S，则对任意常数c，级数 cak
k 1
k 1
也收敛，并收敛于cS.
3.收敛级数的性质
(3)设有两个级数 ak 与 bk ，若存在一个N，使得
k 1
k 1
ak=bk,当k≥N,
则这两个级数同时收敛或同时发散。
n1
§2 正项级数的收敛判别法
4.正项级数的达朗贝尔判别法（比值判别法）
• 定理3：若正项级数 un (un 0)
满足 lim un1 l,
则
n1
n un
(1)当l 1时级数收敛;
(2)当l 1时级数发散;
(3)当l 1时级数可能收敛也可能发散。
高数下册-级数复习题
A. 1 + x2 + x4 + x6 + !； B. 1 − x2 + x4 − x6 + !；
2! 3!
2! 3!
C. 1 + x + x2 + x3 + !； D. 1 − x + x2 − x3 + !；
n=1
73、 求幂级数 x + x2 + x3 + !的收敛域；
3 3⋅5 3⋅5⋅7
74、
∞
求幂级数 ∑ nxn−1(| x |< 1)在收敛区间内的和函数；
n=1
∑ 75、
∞
求幂级数
x4n+1 (| x |< 1)在收敛区间内的和函数；
n=1 4n + 1
76、 函数 f (x) = e−x2 展开成 x 的幂级数为：（ ）
n=1
A.
un+1
≤ un(n = 1,2,!) ；
B.
lim
n→∞
un
= 0；
C.
un+1
≤
un
(
n
=
1,2,
!)
且
lim
n→∞
un
= 0；
第十一章 级数复习题
51、
判别级数
∞
∑
n=1
⎜⎛ ⎝
−
3 4
n
⎞ ⎟ ⎠
的收敛性；
52、
∞ −1
判别级数 ∑ 2n+1 的收敛性；
n=1
53、
判别级数
∞
∑
n=1
⎜⎛ ⎝
1 5n
级数总结复习
第七章 级 数一． 数项级数及其敛散性 二． 幂 级 数 一． 数项级数及其敛散性 （一）、 数项级数及其性质 （二）、 正项级数及其敛散性 （三）、 交错级数及其敛散性 （四）、 绝对收敛与条件收敛 一 数项级数及其性质 1. 数项级数的概念定义 1 设给定一个数列 … , ，…，则式子,2,1u u ,n u (3)211+++++=∑∞=u uu u u n n n,n u 称为常数项无穷级数，简称数项级数，其中第n 项 称为一般项或通项．,n u 例 ① 算术级数+++++)2()(121d a d a a …＋(+−+))1(1d n a …② 等比级数（几何级数）+++2111q a q a a …++… ，11−n q a ③ p -级数 ∑∞=++++=11312111n p p p pn n…… .定义２ 设级数∑的前n 项之和为 ∞=1n n u =+++=n n u u u S 21∑∞=1k ku称为级数∑的前 项部分和.当依次取n S ∞=1n n u n n ⋅⋅⋅,3,2,1时，得到一个新的数列,,11u S =212u u S +=, ,21n nu u u S+++=数列{称为级数的部分和数列.}n S ∑∞=1n nu若此数列的极限存在，即S S n n =∞→lim (常数)，则称S 为级数∑的和，∞=1n nu记作∑此时称级数收敛.如果数列{}没有极限，则称级数发散，这时级数没有和.∞==1n n S u ∑∞=1n nun S ∑∞=1n nu 当级数收敛时，其部分和 是级数 n S S 的近似值，称n S S −为级数的余项，记作 ，即 n r ++=−=++21n n n n u u S S r .思考题：1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围.2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法：（1）利用收敛定义，即考查是否存在.n n s ∞→lim （2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断.习作题：1. 判别下列数项级数是否收敛：（1）∑∞=−+11(n n n , （2）∑∞=131n n, （3）∑∞=1!n n n n , （4）)1(1)1(11+−∑∞=−n n n n . 解：（1）∵nn n n ++=−+111121+>n ,而级数∑∞=+111n n 发散, ∴级数∑∞=−+1)1(n n n 发散. （2）∑∞=131n n 是公比31=q 的等比级数，而1<q ， ∴∑∞=131n n 收敛.（3）∵ nn n a a 1lim +∞→ = nn n n n n n !)1()!1(lim 1+∞→++=n n n n )1(lim +∞→=,1e 1<−∴ 原级数收敛.（4） ∑∞=−+−11)1(1)1(n n n n ∵=∑∞=+1)1(1n n n ,而级数∑∞=+1)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛.2. 证明级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++2222sin 33sin 22sin 1sin n n θθθθ对任何θ都收敛. 证明： ∵221sin nn n ≤θ, 而级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++23221312111n =∑∞=121n n收敛,故因比较判别法知, 原级数对任何θ都绝对收敛.3. 将循环小数化为分数. 83.0 解： = 83.0 +×+×+×+−−−38.01038.01038.01038.0642 =∑∞=⋅1210138n n=∑∞==1299381038n n.4. 判定级数∑∞=142cos n n n α的敛散性. 解：因为级数42cos nn α≤41n , 而级数∑∞=141n n 收敛，故级数∑∞=142cos n n n α绝对收敛.例 1 考察级数∑∞=+11ln n nn 的敛散性.解 注意到 n n nn n u ln )1ln(1ln−+=+= )1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 21+=−+++−+−=+++=n n n u u u S n n，所以lim lim ln(1)n n n S n →∞→∞=+=+∞由定义级数∑∞=+11lnn nn 是发散的. 解 这是公比为2的几何级数1212−−=n n s 例 2 考察级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++−128421n 的敛散性.所以+∞=−=∞→∞→)12(lim lim nn n n S ，级数是发散的.为避免 例 3 考察级数的敛散性.∑∞=−−11)1(n n 解 这是公比为-1的几何级数，即 11111+−+−它的部分和数列是1,0,1,0,…，显然不存在,所以级数是发散的.n n S ∞→lim 例4 把循环小数化为分数.••63.0解 把化为无穷级数 ••63.0••63.0 ++++=n 1003610036100361003632 ，这是公比为1001的几何级数,由等比数列求和公式10011)10011(10036−−=nnS 所以1149936100111003610011)10011(10036lim lim ==−=−−=∞→∞→n n n n S ， 这个无穷级数的和为114,即••63.0114=.性质1 级数与级数 (常数 ∑∞=1n n u ∑∞=1n n ku 0≠k )敛散性相同,且若收敛于 ∑∞=1n n u S ,则 ∑ 收敛于ks .∞=1n n ku性质2 若级数∑与分别收敛于∞=1n nu∑∞=1n nvβ与 α,则级数收敛于∑∞=+1)(n n nv uαβ+.性质3 添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散性不变.性质 4 (两边夹定理) 如果 ≤ n u n v ≤ ,且n w 1n n u ∞=∑和都收敛,则也收敛.∑∞=1n n w ∑∞=1n nv 性质5 (级数收敛的必要条件) 若级数收敛,则∑∞=1n n u .0lim =∞→n n u证 设,由于S u nn =∞→lim 1−−=n n n S S u ,所以0lim lim )(lim lim 11=−=−=−=−∞→∞→−∞→∞→S S S S S S u n n n n n n n n n .例6 判别级数∑∞=+−112)1(n n n n 的敛散性.解 由于12)1(lim +−∞→n nn n 不存在,由性质5可知此级数是发散的.例 7 证明：调和级数∑∞=11n n虽有01lim =∞→n n ，但是它是发散的.二、 正项级数及其敛散性正项级数：若≥0，则级数称为正项级数.n u ∑∞=1n n u 定理 1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.∑∞=1n n u 证 对于正项级数，由于 ≥0，∑∞=1n n u n u 因而11+++=n n n u S S ≥ ，n S 所以正项级数∑收敛的充分必要条件是，它的部分和∞=1n n u数列{}有界，显然 存在，从而级数 收敛；若{}无界，则，从而级数∑发散.n S nn S ∞→lim ∑∞=1n nun S +∞=∞→n n S lim ∞=1n n u 例8 证明正项级数 ∑∞=++++=0!1!21!111!1n n n 是收敛的. 证 因为n n ⋅⋅⋅⋅= 3211!1≤),4,3,2(21222111 ==⋅⋅⋅⋅−n n 于是对于任意的n ，有.3213211211121212111)!1(1!21!1112122<−=−−+=+++++<−++++=−−−n n n n n S 即正项级数的部分和数列有界，故级数∑∞=0!1n n 收敛. 定理2 （比较判别法） 设和 是两个正项级数，且≤ ，∑∞n u =1n =1n ∑∞n v n u n v （1）若级数∑收敛,则级数也收敛;∞=1n n v ∑∞=1n n u （2）若级数∑发散，则级数也发散.∞=1n n u ∑∞=1n n v 例9 讨论−p 级数 )0(13121111>+++++=∑∞=p n npp p n p 的敛散性.解 当p ≤1 时，p n 1≥n 1，因为∑∞=11n n发散，所以由比较判别法知，p ≤1 时，∑∞=11n pn发散. 当1>p时,顺次把−p 级数的第1项,第2项到第3项,4到7项,8到15项, …… 括在一起,得++++++++++)15181()71615141()3121(1pp p p p p p p ， 它的各项显然小于级数++++=+++++++++−−−31211)21()21(2118181()4141()2121(1p p p p p p p p p 对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为,1211<=−p q 故收敛,于是当1>p 时,级数∑∞=11n pn收敛. 例10 判定级数 +++++⋅+⋅)4)(1(1631521n n 的敛散性.解 因为级数的一般项 )4)(1(1++=n n u n 满足21)4)(1(10n n n <++< ，而级数∑∞=121n n是2=p 的 −p 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.定理3 (达朗贝尔比值判别法) 设是一个正项级数，并且 ∑∞=1n n u q u u n n n =+∞→1lim ，则(1)当 时，级数发散； 1>q (2)当时，级数收敛；1<q (3)当 时级数可能收敛，也可能发散.1=q 例11 判别下列级数的敛散性：(1）∑∞=1223n n nn ;（2）∑∞=−1)!1(1n n解(1)221211322)1(3lim lim n n n n n n n n n u u ⋅+=++∞→+∞→,12311123lim )1(23lim 222>=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=+=∞→∞→n n n n n 所以级数∑∞=1223n n nn 发散.解(2) 10!)!1(lim lim 1lim 1<==−=∞→∞→+∞→nn n n n n n n u u 所以级数∑∞=−1)!1(1n n 收敛. 三、 交错级数及其敛散性交错级数：设,则级数称为交错级数.0>n u n n n u ∑∞=−−11)1(定理4（莱布尼茨判别法） 如果交错级数( 满足莱布尼茨（Leibnizi）的条件：n n n u ∑∞=−−11)1(),2,1,0 =>n u n （1）≥（n =1,2,…）， n u 1+n u （2）,0lim =∞→n n u则交错级数收敛n n n u ∑∞=−−11)1(例12判定交错级数 +−++−+−−n n 1)1(41312111 的敛散性.解 此交错级数 ,11,11+==+n u n u n n 满足： （1）;111+>n n（2）01lim lim ==∞→∞→nu n n n ，由定理4知它是收敛的. 四、绝对收敛与条件收敛定义 3 若 ∑∞=1n n u 收敛，则称是绝对收敛的，若只是收敛而∑∞=1n n u ∑∞=1n n u ∑∞=1n nu发散，则称是条件收敛的.∑∞=1n n u 定理5 绝对收敛的级数必是收敛的.证 如果∑∞=1n n u 收敛，由于 n u −≤ ≤ n u n u ，故从性质1及性质4知也是收敛的.∑∞=1n n u 例13 判定级数∑∞=12sin n nna的敛散性 解 考虑级数∑∞=12sin n nna， 由于 0≤n na 2sin ≤n 21 而级数∑∞=121n n 收敛，由两边夹定理知级数 ∑∞=12sin n nna 是收敛的.根据定义3， ∑∞=12sin n nna是绝对收敛的.由定理5知它也是收敛的. 思考题1.级数收敛的必要条件所起的作用是什么?2.判定一个级数是否收敛，有哪几种方法? 第二节 幂 级 数 一、 幂级数的概念 二、 幂级数的性质三、 将函数展开成幂级数 四、 幂级数应用 一、 幂级数的概念1.函数项级数:如果级数∑∞=1n nu= ++++)()()(21x u x u x u n的各项都是定义在某个区间上的函数，则称为函数项级数, 称为一般项.)(x u n 收敛点与收敛域：当 x 在区间I 中取某个特定值 时,级数就是一个数项级数.0x ∑∞=1)(n n x u 如果这个数项级数收敛，则称 为级数的一个收敛点；0x 如果发散，则称 为这个级数的发散点.一个级数的收敛点的全体称为它的收敛域. 0x 和函数：对于收敛域内的任意一个数 x ,函数项级数成为一个收敛域内的数项级数,因此有一个确定的和 S .这样，在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数)(x S ,通常称)(x S 为函数项级数的和函数,即)(x S = ++++)()()(21x u x u x u n .其中是收敛域内的任意一点.x 将函数项级数的前 项和记作则在收敛域上有.n )(x S n )()(lim x S x S n n =∞→2. 幂级数的概念形如①...)(...)()()(020201000+−++−+−+=−∑∞=n n n nx x a x x a x x a a x x a的函数项级数,称为的幂级数,其中常数,称为幂级数的系数.0x x −0a ,,,,21n a a a 当=0时，上式变为0x =∑∞=nn n x a 0 ++++n n x a x a x a a 2210 ② 称为的幂级数,如果作变换x 0x x y −= ,则级数①就变为②.因此,下面只讨论形如②的幂级数.（1） 幂级数的收敛半径由于级数②各项可能符号不同，将级数②的各项取绝对值,则得到正项级数+++++=∑∞=n n n nnx a x a x a a xa 22100设当n 充分大时, ≠0,且n aρa a nn n =+∞→1lim 则 .lim lim lim 1111ρx x a a x a x a u u nn n n n n n n n n n ⋅=⋅==+∞→++∞→+∞→ 于是,由比值判别法，可知： 当0≠ρ时，若1<⋅ρx ,即R x =>ρ1，则级数②收敛；若 1>⋅ρx ，R x =>ρ1，则级数②发散.这个结果表明，只要 ∞<<ρ0 ，就会有一个对称开区间),(R R −在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，R x ±=时，级数可能收敛可能发散.称ρ1=R 为幂级数②的收敛半径.当0=ρ时，10<=⋅ρx ，级数②对一切 x 都绝对收敛，这时规定收敛半径+∞=R .如果幂级数仅在0=x 一点处收敛，则规定收敛半径0=R ，由此可得 定理1 如果以上幂级数②的系数满足ρa a nn n =+∞→1lim ， 则① 当+∞<<ρ0时，ρR 1=； ② 当时， 0=ρR =+∞； ③ 当+∞=ρ，0=R . 2）幂级数的收敛区间若幂级数的收敛半径为R ，则),(R R −称为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛.我们把收敛区间的端点R x ±=代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.思考题：1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且可逐项积分.2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法. 间接展开法与直接展开法比较有以下优点：（1）避免直接展开法中求系数时的复杂运算，而由基本展开式可直接求出,n a )(0)(x f n n a （2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性.3. 将函数展开成幂级数与将函数在0=x 处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意0x x =处展开，而将函数在处展开成泰勒级数是指将函数在特定的点0=x 0=x 处展开成幂级数.4. 计算器上，对函数的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实验.x ln 答：能. 习作题：1. 求下列幂级数的收敛域：（1）, （2）∑∞=1!n nx n ∑∞=1)!2(n nn x . 解：（1）1lim+∞→=n n n a a R =)!1(!lim +∞→n n n =11lim +∞→n n =0,∴级数的收敛域为∑∞=1!n n x n }0|{=x x .（2）1lim+∞→=n n n a a R =)]!1(2[1)!2(1lim +∞→n n n =1)22)(12(lim++∞→n n n=,∞+∴级数∑∞=1)!2(n nn x 的收敛域为),(+∞−∞.2. 求幂级数∑的和函数.∞=+−0)1()1(n n n x n 解：设,∑∞=+−=0)1()1()(n n n x n x s 两端关于求积分得：x==x x s x d )(0∫∑∞=+−01)1(n n n x xx+1 )1,1(−∈x 两端求导得：2)1(1)(x x s +=, 即∑∞=−∈+=+−02)1,1(,)1(1)1()1(n n n x x x n . 3. 将xx f 1)(=展开成的幂级数，并求收敛域. 3−x 解：)3(31)(−+=x x f =)33(1131−+⋅x , 因为∑∞=+=−011)1(n n n xx )1,1(−∈x , 所以 ∑∞=−⋅−=−+⋅)33(31)1(33(1131n n n x x =∑∞=+−−01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<−<−x ， 即60<<x . 当时，级数为0=x ∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅−031)1(n n 发散,故 x 1=∑∞=+−−01)3()31()1(n n n n x )6,0(∈x .4. 以函数xx f −=11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域.（1）x +11, （2）211x+, （3）)1ln(x +,（4）x arctan , （5）x cot cos .解：（1）x +11=)(11x −−=.∑∞=−∈−0)1,1(,)1(n n n x x （2）211x + =∑=,∞=−02)(n nx ∑∞=−02)1(n n n x )1,1(−∈x . （3）=)1ln(x +∫+x x x 0d 11=∫∑∞=−x n n n x x 0d )1(==∑∫∞=−0d )1(n x nnx x ∑∞=++−011)1(n n n x n , ]1,1(−∈x . (4) 211)(arctan x x +=′=, ∑∞=−∈−02)1,1(,)1(n nn x x 于是 x arctan ==∫∑∞=−x n nnx x 02d )1(()∑∞=++−012121n n nx n , ]1,1[−∈x .(5) 211)cot arc (x x +−=′=∑, ∞=+−∈−021)1,1(,)1(n n n x x 于是 x cot arc ==∫∑∞=+−x n n n x x 021d )1(()∑∞=+++−0121121n n n x n , ]1,1[−∈x .例1 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛半径与收敛域 . 解 因为 011lim )!1(!lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→n n n a a n n nn n , 所以所给幂级数的收敛半径 +∞=R 收敛域为（－∞，＋∞）.例2 求幂级数∑∞=1n nnx 的收敛半径与收敛域. 解 因为 1111lim 1lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→nn n a a n n n n n ,所以所给幂级数的收敛半径1=R .当1=x 时，级数为调和级数∑∞=01n n发散. 当1−=x 时，级数为交错级数∑∞=−0)1(n nn，收敛.所以该级数的收敛域为；)1,1[−例3 求幂级数的收敛半径.∑∞=1n nnx n 解 因为+∞=++=+=∞→+∞→+∞→)1()11(lim )1(lim lim 11n nn n a a n n n n n n n n ， 所以所给幂级数的收敛半径0=R .例4 求幂级数的收敛半径.∑∞=−0122n n nx解 所给幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数的标准形式，因此不能直接应用定理1，这时可以根据比值法求其收敛半径.2212121122lim 22lim lim x x xx u u n n n n n n n n n ===→∞−++→∞+→∞ , 当122<x ，即 22<x 时，所给级数绝对收敛； 当,122>x 即 22>x 时，所给级数发散. 因此所给幂级数的收敛半径 R = 22. 二、 幂级数的性质性质 1 幂级数的和函数在收敛区间内连续.即若，则)(0x f x a nn n =∑∞=)(x f 在收敛区间内连续.若,)(0x f x a nn n =∑∞=),(11R R x −∈)(0x g xb nn n=∑∞=,),(22R R x −∈记，则在),min(21R R R =),(R R −内有如下运算法则：加法运算∑∑∑∞=∞=∞=±=±=±0)()()(n n n nn n nn nn x g x f x b a x b x a乘法运算⎞⎜⎛∑∑∞=∞0n n n n n x b x a ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎠⎝=0n+++++++++++=−n n n n x b a b a b a x b a b a b a x b a b a b a )()()(01102021120011000)()(x g x f ⋅=设，收敛半径为 ∑∞==0)(n nn x S x a R ，则),(R R −内有如下运算法则： 运算∞=∞=−=′==′=微分∑∞∑∑′⎟⎠0010)()(n n n n n n n x S x na x a , 且收敛半径仍为 ⎞⎛n ⎜⎝n x a R . 积分运算dx x s x n a dx x dx x a xn ∫∑∑∞∞⎟⎞⎜⎛x n n n n n x nn a ∫∑∫=∞=+=+==⎠001010)(1且收敛半径仍为 n =⎝0R .例 5 求级数)1(n nn x ，，∑∞=−0∑∞=02n n x ∑∞=++011n n n x ，∑∞=++−011)1(n n n n x ，∑∞=++01212n n n x ，∑nx . ∞=−01n n 的和函数解 对于级数，∑∞=+++++=021n nnx x x x1<x 时，看成公比为 x 当的收敛等比级数，则得 ∑∞−==11nxx ，)1,1(−∈x 0n , 因为收敛区间是关于原点对称的区间,所以–x 也在收敛区间内,用-x 代换显然 级数中的x ,∑∞=+1=−01)1(n nnx x ,)1,1(−∈x , 上面两个级数相加可得∑=222nx，)1,1(∞=−012n x−∈x ，即 ∑∞=−=2211n nxx，)1,1(−∈x ,利用解析运算可得∑=+∞−=+01,11ln 11)1,1(−∈x n n x x n , ∑∞++=+−=1)1ln(11)1(n nx x n , ]1,1(−∈x ,n ∑∞=+−+=+01211ln 21121n n x x x n , )1,1(−∈x , ，∑∞=−=01)(n n nxx )1,1(−∈x 设 S ,两端积分∫∑∑∞=∞=−−=−==xn n nnxx x dx x S 011111)(，)1,1(−∈x , 解 设 ∑=++−=012121)1()(n n nx n x S ∞, 两端求导∑∞=−−==021)1(1)(n n x nxx S ，)1,1(−∈x . 两端求导得∑∑∞=∞=+=−=−022211)()1(n n nnnxx x ，=′)(x S )1,1(−∈x ,两端积分得∫=+=xx dx xx s 02arctan 11)( ， 即 ∑∞+=+−=12arctan 121)1(n nx x n ，)1,1(−∈x 0n ,当1−=x 时,∑∞=++−−012121)1(n n n 收敛; 当1=x 时,∑∞=++−012121)1(n n n 收敛,所以∑∞+=+−=12arctan 121)1(n nx x n ,]1,1[−∈x 0n . 7．求幂级数∑∞=n n nx 的收敛域，并求其和函数解 由111lim ||lim ||1n n n n a n a n+→∞→∞+==得到收敛半径为1，当时级数成为1)n n n ∞=∑，发散；当时级数成为∞=所以收敛域为（-1，1）。
二次函数的级数展开和泰勒展开的复习
二次函数的级数展开和泰勒展开的复习在学习数学的过程中，我们经常与函数打交道。
其中，二次函数是一种特别重要且广泛应用的函数形式。
为了更好地理解和应用二次函数，我们需要对其进行级数展开和泰勒展开的复习。
一、二次函数的级数展开级数展开是将一个函数表示为一系列无穷多项的和的形式。
对于二次函数来说，我们可以通过展开其幂级数来得到该函数的级数展开形式。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
我们希望将其展开成级数形式。
为了实现这一目标，我们需要首先找到该二次函数的形式化级数展开表示。
在数学中，一个常见的级数展开形式是泰勒级数展开。
而泰勒级数又是一种特殊的幂级数展开，用来表示多项式函数。
泰勒级数展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)²/2! + f'''(a)(x - a)³/3! + ...其中，f(a)表示函数在点a处的取值，f'(a)表示函数在点a处的导数值，f''(a)表示函数在点a处二阶导数的值，以此类推。
对于二次函数来说，它是多项式函数，因此其幂级数展开即是其泰勒级数展开。
以二次函数为例，假设我们选取展开点a = 0。
首先，我们计算出函数在该点的取值为f(0) = c。
接下来，我们求出一阶导数、二阶导数、三阶导数的值，分别为f'(0) = b、f''(0) = 2a、f'''(0) = 0。
将这些计算结果代入泰勒级数展开式中，我们可以得到二次函数的级数展开形式：f(x) = c + bx + ax²/2这就是二次函数的级数展开形式。
二、泰勒展开泰勒展开是泰勒级数的特殊情况，适用于连续可导的函数。
泰勒展开将一个函数表示为以展开点为中心的多项式的形式。
级数部分复习题讲解
lim n 1 1
收敛半径为 R 1
n n
收敛区间为 (1,1)
s(x)
nxn1
(
xn ) (
x
)
1
n1
n1
1 x (1 x)2
(1,1)
172、设级数
n 1
an
，则lim n
an
0
是级数收敛的（
A
）
条件.
A.必要 B.充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要
173、幂级数 an x 1n 在 x 1 处收敛，则级数在 n0
an
1
n2
1 2
(an2
n2
1
)
an2 收敛
n1
1
lim n2
n 1
n2
lim
n
n2
1
n2
收敛 1
n1 n2
167、设
为常数，则 n1
[
sin n
n
2
1 n
]
（
A
）
A.发散 C.绝对收敛
B.条件收敛 D.收敛性与 有关.
168、若幂级数 an (x 2)n 在x 2处收敛，则此级数在 n1
n 1
n 1
B. un 与 un2 均发散
n 1
n 1
C.
un
收敛而
u
2 n
发散
n 1
n 1
D.
u
发散而
n
n 1
un2
收敛
n 1
176、设常数
0
，则级数
n1
1n
1
cos
n
（
C
）
A.发散 C.绝对收敛
级数 复习题
第四章、级数----习题课： 1、 设已给复数序列}{n z 。
如果ζ=∞→n n z lim ，其中ζ是一个有限复数，那么ζ=+++∞→nz z z n n ...lim 21。
2、 证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列。
3、 证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，第1段中关于柯西乘积的结果仍成立。
4、 证明定理2.1及2.2。
5、 试求下列幂级数的收敛半径：(1)∑∞+=02n nnz q，其中1||<q ； (2) ∑∞+=1!n n z;(3)∑∞+=0n np zn，其中p 是一正数；(4) ∑∞+=-+0])1(3[n nnn z；(5) n n nz nn ∑∞+=!；(6)...)1(!2)1()1(12++++++z c c b b a a z c ab...)1)...(1(!)1)...(1()1)...(1(+-++-++-+++nz n c c c n n b b b n a a a其中a 、b 、c 是复数，但c 不是零或负整数。
6、 设在R z <||内解析的函数)(z f 有泰勒展式......)(2110+++++=nn z z z z f αααα试证：（1）令|)(|max )(20θπθi re f r M ≤≤=，我们有n n rr M )(||≤α （柯西不等式），在这里;0,...;2,1,0R r n <<=（2）由(1)证明刘维尔定理； （3）当R r <≤0时∑⎰∞+==022202||d |)(|21n nn i rre f αθππθ。
7、 证明：如果在上r z <||及ρ<||z 内，我们分别有∑∞+==0)(n nn za z f 及∑∞+==0)(n nn zb z g ，其中+∞<<ρ及r 0，而且)(z f 在r z ≤||内连续，那么在ρr z <||内，⎰∑=∞+==r n nn n z g f i z b a ||0d )()(21ζζζζζπ。
级数(函数项级数、幂级数)复习总结
函数项级数、幂级数一、 函数项级数概念121()()()(),n n n u x u x u x u x ∞==++++∑0I x ∈定义区间前n 项部分和函数1()()n n k k S x u x ==∑和函数1()()n n S x u x ∞==∑，x ∈收敛域二、 幂级数及其收敛域0n nn a x ∞=∑收敛域/发散域图：注：条件收敛的点只可能出现在分界点上！概念：R ：幂级数收敛半径收敛区间：),(R R -收敛域：⋃-),(R R 收敛端点如何求收敛半径？定理(Cauchy-Hadamard)若0n nn a x ∞=∑所有系数满足),1,0(,0 =≠n a n，1lim +∞→=n n n a a R ∑∞=0n n nx a 的收敛半径为R ，则∑∞=-00)(n n n x x a 的收敛域为⋃<-R x x ||0收敛端点。
1. 求n n x n n 202)!(!)2(∑∞=收敛半径。
2. 求∑∞=-+112)]13[ln(n n n x 的收敛域。
三、 和函数性质定理幂级数n n nx a ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛域上连续；在收敛区间内可“逐项求导”和“逐项积分”，运算前后收敛半径相同，但收敛域可能改变。
逐项求导——1100)()()(-∞=∞=∞=∑∑∑='='='n n n n n n nn n x a n x a x a x S ，),(R R x -∈ 逐项积分——10000001d d d )(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n x n n x n n n x x n a x x a x x a x x S ，),(R R x -∈● 注意点：n n n x a ∑∞=0，11-∞=∑n n n x a n 和101+∞=∑+n n n x n a 收敛半径相同，但端点处的敛散性可能改变。
逐项求导是特别注意0次项的求导！● 利用几何级数结论做题——xx n n -=∑∞=110，)1,1(-∈x 步骤：先求收敛半径，收敛域；在收敛区间内，利用和函数性质：逐项求导/逐项积分等求和函数。
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36
1
36 1 36 (1 − ) n 100 = 100 = 36 = 4 ， lim S n = lim 100 n →∞ n→∞ 1 1 99 11 1− 1− 100 100
这个无穷级数的和为
∞
• • 4 4 ,即 0.3 6 = . 11 11
性质 1
级数 ∑ un 与级数
n =1
∴
原级数收敛.
（4） ∵ ∑ (−1) n −1
n =1
∞
∞ 1 1 =∑ , n(n + 1) n =1 n(n + 1)
而级数 ∑
1 收敛，故原级数绝对收敛. n =1 n ( n + 1)
sin θ sin 2θ sin 3θ sin nθ + + + ⋅⋅⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ 对任何 θ 都收敛. 2 2 2 1 2 3 n2 sin nθ 1 ≤ 2 , 2 n n
于是对于任意的 n，有
Sn = 1 + 1 1 + + 1! 2! + 1 1 1 <1+1+ + 2 + ( n − 1)! 2 2
∞
即正项级数的部分和数列有界，故级数 ∑ 设 ∑ un 和
n =1 ∞ ∞ ∞
1 收敛. n = 0 n!
n
定理 2
（比较判别法）
∞
∑v
n =1
是两个正项级数，且
u n ≤ vn ，
（1）若级数 ∑ vn 收敛,则级数 ∑ un 也收敛;
n =1 ∞ n =1
（2）若级数 ∑ un 发散，则级数 ∑ vn 也发散.
n =1 n =1
∞
例9
讨论 p − 级数
∑n
n =1
∞
1
p
= 1+
1 1 + + 2 p 3p
+
1 + np
( p > 0)
的敛散性. 解
∞
当 p ≤1 时，
∞ 1 1 1 ≥ ，因为 发散，所以由比较判别法知， p ≤1 时， ∑ p n n n =1 n
k =1
∞
S n 为级数 ∑ u n 的前
n =1
n 项部分和.当 n 依次取1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ 时，得到一个新的数列
S1 = u1 , S 2 = u1 + u 2 ,
,S
n
= u1 + u 2 +
+ un ,
数列 {S n } 称为级数
∑u
n =1
∞
n
的部分和数列.
若此数列的极限存在，即 lim S n = S (常数)，则称
u n+1 n2 2 3n+1 = lim ⋅ 解(1) lim n →∞ n →∞ un (n + 1) 2 2 n+1 3n
2
⎞ ⎛ 3n 2 3⎜ 1 ⎟ 3 ⎟ = > 1, = lim = lim ⎜ n→∞ 2(n + 1) 2 n →∞ 2 ⎜ 1 + 1 ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎝ n⎠
3n 所以级数 ∑ 2 n 发散. n =1 n 2
∑n
n =1
1
p
发散.
当p 项, ……
> 1时,顺次把 p − 级数的第 1 项,第 2 项到第 3 项,4 到 7 项,8 到 15
括在一起,得
+( 1
1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + ) ( ) ( 8p 4p 5p 6p 7 p 2 p 3p
+
1 )+ 15 p
，
它的各项显然小于级数
∞
2. 证明级数 证明：
∵
而级数
∞ 1 1 1 1 1 = 收敛, + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ∑ 2 2 3 2 2 1 2 3 n n =1 n
故因比较判别法知, 原级数对任何 θ 都绝对收敛. 3. 将循环小数 0.38 化为分数. 解：
0.38 = 0.38 + 10 −2 × 0.38 + 10 −4 × 0.38 + 10 −6 × 0.38 +
p
> 1时,级数 ∑
例 10
1 收敛. p n =1 n
∞
判定级数 1 + 1 +
2⋅5 3⋅6
+
1 + (n + 1)(n + 4)
的敛散性.
解
∞
因为级数的一般项 u n =
1 1 1 满足 0< < 2 ， (n + 1)(n + 4) n ( n + 1)( n + 4)
而级数 ∑
1 是 p = 2 的 p − 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的. 2 n =1 n
n =1 ∞ ∞
（2） ∑
1 , n n =1 3
∞
∞
（3） ∑
n! , n n =1 n
（4） ∑ (−1) n −1
n =1
1 . n( n + 1)
解： （1）∵ 而级数 ∑
n =1 ∞
n +1 − n =
1 n +1 + n
∞
>
1 2 n +1
,
1 发散, n +1
∞
∴ 级数 ∑ ( n + 1 − n ) 发散.
∞
n =1
例8 证 因为
证明正项级数
∑ n! = 1 + 1! + 2! +
n =0
∞
1
1
1
+
1 ＋ 是收敛的. n!
1 1 = n! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅
⋅n
≤
1 1⋅ 2 ⋅ 2 ⋅
⋅2
=
1 (n = 2,3,4, ) 2 n −1
1 1 2 n −1 = 3 − 1 < 3. + n−2 = 1 + 1 2 2 n−2 1− 2 1−
∑ kun (常数 k ≠ 0 )敛散性相同,且若 ∑ un 收
n =1 n =1
∞
∞
敛于 S ,则
∑ ku
n =1
∞
n
收敛于 ks .
性质 2
若级数
∑ un 与
n =1
∞
∑v
n =1
∞
n
分别收敛于
β与 α
,则级数
∑ (u
n =1
∞
n
+ vn ) 收敛于
β +α.
性质 3
添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散性不变.
例 1 解
考察级数 ∑ ln n + 1 的敛散性.
∞ n =1
n
注意到
un = ln
n +1 = ln(n + 1) − ln n n
，
S n = u1 + u 2 +
+ u n = (ln 2 − ln 1) + (ln 3 − ln 2) +
+ (ln(n + 1) − ln n) = ln(n + 1)
所以 lim S n = lim( 2 − 1) = +∞ ，级数是发散的.为避免 例 3 解 考察级数 ∑ ( −1)
n =1 ∞ n −1
的敛散性.
这是公比为-1 的几何级数，即
1 −1 +1 −1 + 1
它的部分和数列是 1,0,1,0,…，显然 lim Sn 不存在,所以级数是发散的.
n→∞
,
所
以
lim u = lim ( S n − S n −1 ) = lim S n − lim S n −1 = S − S = 0 . n →∞ n n →∞ n →∞ n →∞
(−1) n n 例 6 判别级数 ∑ 的敛散性. n =1 2 n + 1
∞
解
由于 lim
(−1) n n 不存在,由性质 5 可知此级数是发散的. n→∞ 2n + 1
• •
例4 把循环小数 0.3 6 化为分数. 解 把 0.3 6 化为无穷级数 0.3 6 = 36 + 36 2 + 36 3 + 100 100 100
• • • •
36 + 100 n
，
) (1 − 1 100 n 的几何级数,由等比数列求和公式 S = 100 这是公比为 n 100 1 1− 100
n =1
S n +1 = S n + u n +1 ≥ S n ，
所以正项级数 ∑ un 收敛的充分必要条件是，它的部分和
n =1 ∞
数列{
S n }有界，显然
lim S n 存在，从而级数
n →∞
∑u
n =1
∞
n
收敛；若{
S n }无界，则
lim S n = +∞ ，从而级数 ∑ un 发散.
n →∞
第七章 级 数 一． 数项级数及其敛散性 二． 幂 级 数 一． 数项级数及其敛散性 （一） 、 数项级数及其性质 （二） 、 正项级数及其敛散性 （三） 、 交错级数及其敛散性 （四） 、 绝对收敛与条件收敛 一 数项级数及其性质 1. 数项级数的概念 定 义 1
∞
设 给 定 一 个 数 列
u1,u2 , …