暑假数学升培优班教材
八上数学暑假培优班教材
目录第十六章二次根式 (1)第一讲二次根式 (1)第二讲同类二次根式 (8)第三讲二次根式的加减法 (13)第四讲二次根式的乘除法 (17)第五讲二次根式复习 (24)第六讲二次根式达标测试卷 (29)第十七章一元二次方程 (35)第七讲一元二次方程的概念及解法（1） (35)第八讲一元二次方程解法（2） (39)第九讲一元二次方程的解法（3、4） (45)第十讲一元二次方程的判别式 (50)第十一讲一元二次方程的应用 (55)第十二讲一元二次方程复习 (61)第十九章正比例函数与反比例函数 (69)第十三讲函数的概念及表示法 (69)第十四讲正比例函数及图像 (75)第十五讲反比例函数及图像 (81)第十六讲函数综合复习 (87)第十七讲反比例函数复习 (90)第十八讲函数综合测试 (92)第二十章几何证明 (98)第十九讲命题和证明 (98)第二十讲暑假班复习 (105)第十六章二次根式第一讲二次根式【教学目标】知识与技能：掌握积的算术平方根的性质，理解最简二次根式的概念，并能把一个非最简二次根式化为最简二次根式.过程与方法：在学生原有知识的基础上，经历知识的产生过程，探究积的算术平方根的性质.情感、态度与价值观：培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神和合作精神【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 【教学难点】将一个非最简二次根式化为最简二次根式. 【考点链接】掌握二次根式的化简.1、 代数式a （a 0≥）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数.举例说明：2、32、12+a 、)04(422≥--ac b ac b 等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以像2-，)0(<b b 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.2、二次根式的性质：（1）)0(2≥=a a a ； （2）()2(0)a a a =≥；（3）)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； （4）)0,0(>≥=b a bab a 3、2a 与a 的关系：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a4、最简二次根式：（1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：ab 3、y x +231、)(622b a m +等都是最简二次根式.【例1】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）12-x （2）x -2 （3）2x + （4）21x + （5）x1（6）12x -（7）2(1)x -+ （8）23x x -- （9）232x xx ++--【变式1】求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）34x - （2）183a - （3）24m +（4）1x- （5） x x +- （6） 321xx -+【例2】求下列二次根式的值（1）(144)(169)-⨯- （2）233(945)34⨯-（3）2243ππ-+-（）（） （4）221a a ++,2a =-其中 （5）()2223(23)-++ （6）224323553⎛⎫--- ⎪⎝⎭;（7）2144x x x -+-+,()12x <<【变式2】求下列二次根式的值：（1）2)3(π- （2）122+-x x ，其中3-=x （3）c a-，其中a =2，c =12- （4）21(2)m +，其中m =-5（5）212x x ++，其中2x =-【例3】判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）35a（2）a 42 （3）324x （4）)1()12(32-≥++a a a （5）ab（6）22a b + （7）2961a a ++ （8）a b -【变式3】化简二次根式（1）72 （2）312a （3）)0(182≥x x（4）3a （5）x 25 （6）)0(92>b ab（7）3612y x（8）2329a bc （,,0a b c >）（9）23279(0)x x x -< （10）423- （11）3222aa ab ab a b-+-一、判断 1.()222ab ab-=-………………………………………………………（ ）2. 3－2的倒数是3＋2．…………………………………………………（ ）3. ()21x -＝()21x -．……………………………………………………（ ）4.8x ，13，29x +都不是最简二次根式．……………………………（ ） 二、选择5. 在式子()22234,,1,20,21x y a x x x x +--<-+，,4x 中，是二次根式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 三、简答6. 当x 取什么实数时，下列各式有意义? ⑴x -； ⑵()221x -； ⑶12x x -⋅-； ⑷()()12x x --；7. 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：()()222a a b c a b c -++-++．8. 已知10a -<<，化简221144a a a a ⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9. 已知|1－x |－2816x x -+＝2x －5,求x 的取值范围．10. 设1983-的整数部分是a ,小数部分是b ,求2a-b 的值.11. 已知223,y x x =-+-+求22x xy y -+的值.12. 已知294203x x yx -+-=+，求x y ⋅.13. 在△ABC 中，a 、b 、c 是三角形的三边，化简2()a b c -+－2|c －a －b |14. 已知：22816123610x x x x +++-+=，化简：()228212.x x ++-15. 解下列各式：（1）已知0a a +=,试化简22(1)a a -+.（2）a 、b 、c 分别是三角形三边的长.化简：222()()()a b c b c a c b a --+-++--.16. 在实数范围内分解因式：⑴363x x - ⑵2233x x -+1. 当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）3x + （2）32x - （3）25x -- （4）32x x -- （5）()21x -+ （6）23x x --2. 将下列二次根式化成最简二次根式：（1）0.75 （2）215（3）23125a b c （0,0a b >>）（4）212(0)x x y> （5）322550(0)m m m +> （6）1149-数学黑洞对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了，就像宇宙中的黑洞可以将任何物质（包括运行速度最快的光）牢牢吸住，不使它们逃脱一样.这就对密码的设值破解开辟了一个新的思路.123（即西西弗斯串）数学中的123就跟英语中的ABC 一样平凡和简单.然而，你按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的.黑洞值：设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个.奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个.总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个.新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510.重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134.重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123.结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123.换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞.第二讲 同类二次根式【教学目标】知识与技能：理解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根式；过程与方法：通过与同类项类比，体会类比思想.情感态度与价值观：通过合并同类二次根式，体会类比与迁移的认知方法. 【教学重点】判断几个二次根式是否为同类二次根式. 【教学难点】合并同类二次根式.【考点链接】掌握同类二次根式的概念及同类二次根式的合并.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式.同类二次根式可以合并.【例1】判断下列二次根式，哪些是同类二次根式： （1）12 ，24，271，b a 4，)0(23>a b a ，)0(3>-a ab（2）227和 2.16 （3）22345+和1149-（4）32a a a +和331bab b + （5）22329124a b a ab b +++和32aa b+【变式1】判断下列各组根式是否是同类根式： （1） 15231753851634-- （2） 02n m n m m n m n m n<<+-【例2】根据题意求值：（1）已知最简二次根式423m +和32m -是同类根式，求m 的值.（2）若最简二次根式2a b a b +-与3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值【变式2】若最简根式21x +与132x -是同类二次根式，求1x x+的值【例3】合并下列各式中的同类二次根式并计算. （1）323132122++-； （2）xy b xy a xy +-3（3）320.0852-+ （4）4051000510-+（5）(4543)2312--+ （6）2293273-+（7）318(182)2x x x -+ （8）3(3)(4)b b a b ab ab b +-+【变式3】计算：（1）1131842332⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪+⎝⎭ （2）111523⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭（3）3325212523162---+-【例3】m 为何值时，最简二次根式22364m m --=与22364m m --=是同类二次根式？【变式3】（1）如果最简二次根式5214x +与34x +时同类二次根式，则x = （2）如果最简二次根式m n -与32n m n ++时同类二次根式，则m = .n =_______ .一、填空题：1. 3-，a b -，21a -+，2(1)a -中是二次根式的有 .2. 当01x ≤≤时，221212x x x x +++-+的值是 .3. 当x ，y 时，()()()()2323x y x y +-=+-4.2233x x y y ++=--成立的条件是 . 5. 计算：1250147⨯⨯= .6. 化简：2248xy y -= （当0y ≥时）322(1)x x x x -+>= .7. 如果21a a=-，那么2(2)1a a ---= . 二、化简求值. 8. 化简：2192334x x xx++9. 已知a ＝12,b ＝14,求b a b-－ba b +的值．三、计算题（1）630.1248++ （2）12462a b a b +-+（3）38218532-+ （4）535452+- （4）12112127333-+ （5）1(40.540.125)2123--+10. 合并同类二次根式：337834(0,0)y x xy x y x y x y x y x ⎛⎫⎛⎫---<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1. 下列说法中，正确的是（ ）A.被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B.m1与m 是同类二次根式C.m 与3m 是同类二次根式D.只有被开方数相同的二次根式才是同类二次根式2. 若最简根式1243+x 与24+x 是同类根式，那么x = . 3. 若最简二次根式5a b a +和8a b +是同类二次根式，则ab 的值为_________.4. 如果最简二次根式2m n n +与3m n +是同类二次根式，那么m ，n 的值为________.5. 合并下列各式中的同类二次根式： （1）5x +x 2x （x ≥0）； （2）3xy -4xy +a xy ；（3）3x 2+5x 8+7x 18； （4）21a +6b -2a +4b ；（5）121126321262366---- （6）332(0,0)b a ab a b ab a b a b-+->>柳卡趣题法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士.他对射影几何与微分几何都作出了重要贡献.如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城市，O 点代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(假设是十五号)，O 点的右侧数代表出发后的日期，O 点的左侧数代表出发前的日期.过点.作一条垂轴OS 垂直于这两条平行线，设OS 与代表纽约的平行线交于A ，A 点就代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(也是十五号).我们将每艘轮船的出发日期与它到达日期之间用线段相连，这些线段都是长度相同的平行线段，表示它们各自的航行路程图线.最后我们将这艘从哈佛出发的轮船的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不难发现这根线段的长度与上面的平行线段是等长的，这与条件“轮船都在同一航线上航行”相吻合.看!奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船的路程图线产生了15个交点，这15个交点的位置就是它们相遇的具体地点，因此“柳卡问题”的解应为15艘轮船.柳卡图第三讲 二次根式的加减法【教学目标】知识与技能:了解同类二次根式的定义.能熟练进行二次根式的加减运算. 过程与方法：探索实际问题引入二次根式的加减法则，再进行归纳与运用. 情感态度价值观：培养学生由特殊到一般的思维能力. 【学习重点】二次根式加减法的运算.【学习难点】快速准确进行二次根式加减法的运算. 【考点链接】掌握二次根式加减法混合运算.【例1】计算：（1）483752+ （2）110.527538⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式1】计算：（1）9818- （2）14813250335+-（3）324020.15-+ （4）4131251520--【例2】化简：（1）m m m 21643932-+（2）x x x x 12463621-+（3）qp q p -+-8)(50（先判断出()q p -大于零）【变式2】（1）3256b a ⨯ （2）223a a b ⨯-（3）23285022a a a a a a+-+【例3】解方程： （1）27582723++=x （2）954452->+x x【变式3】解方程：（1）218798x x +<- （2）454224x x -<+（3）20.75312x x ->+ （4）22623-=-x1. 计算： （1）483752+ （2）110.527538⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）23916234m m m +- （4）11366224x x x x+-（5）850()p q p q-+- （6）11112.5300524.5363--+-（7）3258718x x x -+ （8）2748()a b a b-+-（9）0221(32)44-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（10）0(2009)1232π-++-（11）3116943a a + （12）2196234x x x x+-（13）3234535a x a ax x a ⋅ （14）325x y xy÷2. 解下列方程及不等式：（1）111482752751233--+ （2）x x 53365>+（3）x x 3262>+ （4）()1251455x x -=-（5）155353x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）()1381182x x -<+3. 解方程组：32261x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩232321x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩二次根式与算术平方根之区别一、二次根式是一种代数式，而算术平根是一种运算根据二次根式的定义，形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式．可见，二次根式是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式，判别一个代数式是不是二次根式，需要先看它是否含有根号“”？再看它的被开方数a 是否为非负数？而算术平方根是指一种运算，一种与平方互逆关系的运算．如9的算术平方根是3，即9=3．这里的9作为9的算术平方根时需要进一步计算，结果等于3．而9作为代数式时，它是二次根式，不能说因为9=3，而9是二次根式，所以3也是二次根式；也不能说因为3不是二次根式，所以9也不是二次根式．二、二次根式比算术平方根内涵更丰富二次根式虽然建立在算术平方根上，但它比算术平方根的含义更丰富．对于二次根式a 来说，它表示的意义仍然是非负数a 的算术平方根．用二次根式的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．公式()2a a =（a≥0），2||a a =，ab ab =（a ≥0，ab ≥0），a ab b=（0a ≥，0b >）充分体现了这一点． 三、二次根式都可看作是算术平方根，用根号表示的算术平方根也都是二次根式任何一个二次根式都表示某个非负数的算术平方根，而只有用根号表示的算术平方根才是二次根式．如二次根式3x -表示3x -这个非负数的算术平方根，16的算术平方根16是二次根式．第四讲 二次根式的乘除法【教学目标】 知识与技能：掌握二次根式乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式乘法运 算． 会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简过程与方法：体验二次根式乘除法法则的应用过程，培养逆向思维 解决问题 引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．情感态度与价值观：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.【教学重点】掌握二次根式乘除法的运算法则【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用 【考点链接】掌握二次根式的乘除法混合运算.1. 二次根式的乘除法运算法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.2. 分母有理化的方法：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.3. 二次根式比较大小的常见方法 （1）平方法：平方法比较两数a 、b 的大小时，当a >0且b >0时，如果22a b >，那么a>b ；如果22a b <，那么a<b ；当a <0且b <0时，如果22a b >，那么a<b ；如果22a b <，那么a>b. （2）作差法：作差法比较比较两数a 、b 的大小时，如果a-b>0,那么a>b ；如果a-b<0,那么a<b.（3）作商法：作商法比较比较两数a 、b 的大小时，当a >0且b >0时，如果1a b >，那么a>b ；如果1a b <，那么a<b ；当a <0且b <0时，如果1a b >，那么a<b ；如果1ab<，那么a>b.（4）倒数法（分子有理化法）：当a >0且b >0时，如果11a b>，那么a<b ；如果11a b <，那么a>b ；当a <0且b <0时，如果11a b>，那么a<b ；如果11a b <，那么a>b .【例1】计算：（1）3224⨯ （2）4ab b ⨯ （3）22abc abc ⨯（4）b a 32÷ （5）v u u 32106÷（u>0）（6）c b c a b a 22-÷+（a>b>0） （7）122⨯ （8）b a a +÷【变式1】（1）)0(22322>>+÷-b a b a b a（2）()548327⨯- （3）121520⨯⨯（4）226(0)x xy y ⨯>（5）10521-÷ （6）132624523÷ （7）22224652a b a bx bx++-÷【例2】计算、化简： （1）312（2）72ab（3）221a b+ （4）133+（5）23341+ （6）)(n m nm n m ≠--【变式2】化简：（1）nm n m 3294+- （2）22a b a b -+ （3）()()2x xy y x y -+÷-【例3】计算:（1） 2b a b aa b a b ++-- （2）(0,0)xy y xy xy x y x y x xy ⎛⎫--÷>> ⎪ ⎪-+⎝⎭【变式3】（1）()()362185438-÷+ （2）535353--+【例4】比较下列各式的大小：（1）811+与613+ （2） 257+与358+【变式4】计算： （1）()13223-与（2）19151511--与【例5】先化简再求值.4()()()a b a ba b a b ab b a ab ⎡⎤+-+÷⎢⎥+--⎣⎦，其中a =3，b =4【变式5】已知3232,3232x y -+==+-，求代数式22353x xy y -+的值.一、选择 1. 已知x ＝()1752+，y ＝()1752-，则代数式22x xy y -+的值为（ ）A ．13B ．112C ．7D ．5 2.若15m m +=，那么1m m-等于（ ）A ．1B ．－1C ．±1 D．±5 3. 化简x yx y--等于（ ） A ．x y + B ．x y - C ．x y -+ D ．x y -- 4. 已知A ＝1322+，B ＝，则1111A B +-+等于________________. 5. 当a ＜－b ＜1，化简()21a bb ++的结果是______________.二．计算6. ()()236236-++-7. 2x y xy x yx y x y++---+8. 已知11,5353x y ==-+，求下列各式的值 （1）225x xy y -+ （2）x y x yx y x y+---+9. 已知32a b -=+，32b c -=-，求222a b c ab bc ac ++---的值.10. 已知451a =-，求出321212a a a ---的值.11. 已知2222a b =+=-，求代数式：ba ab a b ab bab a a b a b -⎛⎫+÷⋅ ⎪+-++⎝⎭的值.12. 计算： （1）104551-- （2）221111xx x x +-+++（3）()233633⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭ （4）111654246⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭（5）1122323--- （6）63223-13. 化简求值： （1）已知2231+=x ，求211xx ++的值（2）已知21x =-，分别求2221x x x x ---和223111xx x -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值14. 计算： （1）112315353----+ （2）625- 2. 化简（计算）：（1）64332(63)(32)++++（2）222694+4+1025x x x x x x +++--+（5x ≥）15. 已知171a =-，求54321999(2171817)a a a a a +--+-的值16. 化简已知11,11n n n nx y n n n n+-++==+++-（n 为自然数），问n 为何值时，代数式221913619x xy y ++的值为1998.从小立志 科学救国------ 熊庆来的故事熊庆来（1893-1969）是云南弥勒县人，中国现代数学的先驱，为中国数学事业的发展做出了杰出贡献.熊庆来的父亲熊国栋，精通儒学，但更喜欢新学，思想很开明，对熊庆来的影响很大.少年时的熊庆来从他父亲那里常听到有关孙中山民主革命的事情，这在幼年熊庆来的心田播下了爱国的种子.1907年，熊庆来考入昆明的云南方言学堂，不久又升入云南高等学堂.当时满清王朝已日薄西山，各地的反清斗争风起云涌，抗捐、抗税、罢课、罢市、兵变遍及全国，清政府陷入于风雨飘摇之中.熊庆来由于参加了“收回矿山开采权”的抗法反清的示威游行而遭到学校的记过处分.现实的生活与斗争命命名熊庆来认识到：要使国家富强，必须掌握科学，科学能强国富民.1913年，熊庆来赴欧留学.1914年，第一次世界大战爆发，他从比利时经荷兰、英国，辗转到了法国巴黎.8年间先后获得高等数学、力学及天文学等多科证书，并获得理学硕士学位.1921年，28岁的熊庆来学成归国，一心想学以致用，救民于水火.1949年6月，国民党反动政府趁熊庆来去巴黎参加国际会议的机会，解散了熊庆来苦心经营12年的云南大学.年近花甲的熊庆来怀着“壮志难酬，报国无门”的心情，决定滞留在法国继续从事函数论的研究.“……祖国欢迎你，人民欢迎你！欢迎你回来参加社会主义建设的伟大事业……”1957年4月，周总理给熊庆来写信，动员他回国.同年6月，熊庆来在完成了函数论专著稿后，毅然启程，回到了祖国的怀抱.他表示，愿在社会主义的光芒中鞠躬尽瘁于祖国的学术建设事业.在回国后的7年中，他在国内外学术杂志上发表了近20篇具有世界水平的数学论文.还培养了杨乐、张广厚等一批数学人才，为祖国赢得了荣誉，表现了这位七旬老人热爱祖国的赤子之心.第五讲二次根式复习【教学目标】知识与技能：理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由，了解最简二次根式的概念，理解二次根式的性质；掌握二次根式的加、减、乘、除运算性质，会用它们进行有关实数的简单四则运算；了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程发展学生的归纳概括能力.同时学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力.情感态度与价值观：培养学生善于思考，认真细致、一丝不苟的科学精神.二、重难点分析【教学重点】掌握本单元知识体系，理解各知识点之间的关联，会在理解二次根式的概念及性质基础上进行相关计算，解决问题.【教学难点】理解二次根式的性质和运算法则的合理性灵活应用本单元知识解题，会将本单元知识与其他单元知识综合运用.【考点链接】对重点类型及综合性比较强的题型作重点分析，养成独立的思维方式，达到举一反三的目的.1.二次根式的概念：代数式()0a a≥叫做二次根式. a有意义的条件是0a ≥.2. 二次根式的性质性质1()20a a a =≥；※2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩性质2()2()0a a a =≥;性质 3 ab a b =⋅ ()0,0a b ≥≥ ※(0,0)ab a b a b =-⋅-≤≤ 性质 4a ab b=（0,a b ≥>0）一般地,我们有22ab a b b a =⋅=. 3. 最简二次根式化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如()0m a a ≥的式子叫做最简二次根式.4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式.5. 二次根式的混合运算6. 分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术. 分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.上述的适当代数式即是指有理化因式.【例1】求下列各式有意义的所有x 的取值范围.（1）32x - （2）31x + （3）12x x +-（4）311x x++- （5）21x x -- （6）245x x --【变式1】若02=+m m ，则m ；若()111--+x 有意义，则x 的取值范围是 . 【例2】最简二次根式：根式225,4,17,,26,123ma a x x +中最简二次根式为__________________. 同类二次根式根式为_________________________.【变式2】二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0最简二次根式是A.①②B.③④⑤C.②③D.只有④若最简二次根式1522+x 与－172-x 是同类二次根式，则x =__________； 【例3】将下列二次根式分母有理化 （1）242a a ++ （2）22a a -+（3）512x（4）222p q p q --（p>q ）【变式3】分母有理化： （1）yx y y x x -- （2）21aa a ++ （3）53212-+【例4】化简： （1）()4442a ba ab b a b-÷++-（2）2224422222a a a a a a++++++-【变式4】运算与化简： （1）125-51125+14165； （2）ab ab b ab a b a ab -⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭；（3）642642+-； （4）5322-+；【例5】化简求值：已知：3232,22a b +-==，求: 33ab a b +的值.【变式5】已知实数x 满足118,x x x x +=>,求1x x-的值.一、填空题：1. 若a 是a 的算术平方根，则a 的最小值为__________.2. 下列根式中是同类二次根式的个数是__________.（1）23a b 、（2）24ab 、（3）239a b 、（4）25123ab 、（5）52a b3. 2332+的有理化因式是____________________.4. 当a ≥0时，化简：23a =______________.5. 比较1413-________1312-的大小.6. 若三角形的两条边长分别为32+和132+，则第三边x 的取值范围是___ ____.7. 已知：2a a =-1，则2(1)a --∣1-2a ∣=________.8. 使21aa--有意义的条件是___ _________.9. 若5>a>4,则22(4)(5)a a ---＝___________________. 10. 不等式()231x -≤的解集为__________.11. 设21的整数部分为x ，小数部分为y ，则25()x y y-+=______________. 12. 已知21,a =+121b =-，则a 与b 的关系是（ ）.A ． a ＝b ；B ab ＝1；C a ＝-b ；D ab ＝-1.13. 如果等式()011x +=和2(32)23x x -=-同时成立，则需要条件（ ）. Ａ．1x ≠-；Ｂ．23x <且1x ≠-；Ｃ．23x ≤或1x ≠-；Ｄ．23x ≤且1x ≠-二、计算：14. 化简3244a a a --+15. 已知： 112323x y ==+-，求：225x xy y -+.16. 若5的整数部分为a ，小数部分是b ，求：1a b-的值.17. 点P （）是第二象限的点,则2445a a a -++-=_________.18. 已知2218102x xx x ++=,则x 的值是____________. 19. 已知3,2a b ab +=-=,计算b aa b+的值.20. 若,a b 分别是613-的整数和小数部分,则求()()11a b +-的值.21. 已知a,b 分别为等腰三角形的两条边长,且a,b 满足43632b a a =+-+-,求此三角形的周长？22. 阅读理解题： 化简352-时，甲的解法是：352- =3(52)(52)(52)+-+=52+，乙 的解法是：352-=(52)(52)52+--=52+；（1）甲和乙的解法是否都正确？（2）对正确的解法请说明使用的方法或技巧，对错误的解法请加以改正.第六讲 二次根式达标测试卷21.1 二次根式：1. 使式子4x -有意义的条件是 .2. 当__________时，212x x ++-有意义.3. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 . 4. 当__________x 时，()21x -是二次根式.5. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=.6. 若242x x =，则x 的取值范围是 .7. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 . 8. 化简：()2211x x x -+<的结果是 . 9. 当15x ≤<时，()215_____________x x -+-=.10. 把1a a-的根号外的因式移到根号内等于 . 11. 使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 . 12. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=.13. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2xx y y x x x x y >+=--<++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D.a b15. 若23a <<，则()()2223a a ---等于（ ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()424A a =+，则A =（ ）A. 24a +B. 22a +C. ()222a + D. ()224a + 17. 若1a ≤，则()31a -化简后为（ ）A. ()11a a --B. ()11a a --C. ()11a a --D. ()11a a --18. 能使等式22x xx x =--成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥19. 计算：()()222112a a -+-的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）()()()()()222323121232312223233224=⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=-⨯=∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421. 若2440x y y y -+-+=，求xy 的值.22. 当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值.23. 去掉下列各根式内的分母：()()21303y x x> ()()()51211x x x x ->+24. 已知2310x x -+=，求2212x x+-的值.25. 已知,a b 为实数，且()1110a b b +---=，求20052006a b -的值.21.2 二次根式的乘除26. 当0a ≤，0b <时，3__________ab =. 27. 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==.28. 计算：23________;369__________⨯=⨯=. 29. 计算：()483273_____________-÷=.30. 长方形的宽为3，面积为26，则长方形的长约为 （精确到0.0（1）.6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. 21a + B. 21x + C.24bD. 0.1y 31. 已知0xy >，化简二次根式2yx x-的正确结果为（ ）A. yB. y -C. y -D. y --32. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. ()2a b a b +=+ B. 22a b a b +=+ C.()22222a b a b +=+ D.()2a b a b +=+33. 23-和32-的大小关系是（ ）A. 2332->-B. 2332-<-C. 2332-=-D. 不能确定 34. 对于二次根式29x +，以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 35. 计算：（1）232⨯ （2）353x x ⨯（3）()()3540,0ab a b a b ⋅-≥≥ （4）212121335÷⨯（5）532332b ab a b b a ⎛⎫⋅-÷ ⎪⎝⎭36. 化简：()()351.0,0a b a b ≥≥ ()2.x y x y-+ ()3213.a a a ---37. 把根号外的因式移到根号内：()11.55- ()()12.11x x --21.3 二次根式的加减38. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A. 24 B. 12 C.32D. 18 39. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 8与80是同类二次根式C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式40. 与3a b 不是同类二次根式的是（ ）A.2ab B. b a C. 1abD. 3b a 41. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. 0.2bB. 1212a b -C. 22x y -D. 25ab 42. 若12x <<，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3 43. 若2182102x x x x++=，则x 的值等于（ ）A. 4B. 2±C. 2D. 4±44. 若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x y -的值是（ ） A. 333- B. 3 C. 1 D. 345. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是 .46. 若最简二次根式125a a ++与34b a +是同类二次根式，则____,____a b ==. 47. 一个三角形的三边长分别为8,12,18cm cm cm ，则它的周长是 cm.48. 若最简二次根式23412a +与22613a -是同类二次根式，则______a =. 49. 已知32,32x y =+=-，则33_________x y xy +=.50. 已知33x =，则21________x x -+=.51.()()200020013232______________-⋅+=.52. 计算： ⑴. 11221231548333+-- ⑵. ()1485423313⎛⎫-÷+-+ ⎪⎝⎭⑶.()()()2743743351+--- ⑷.()()()()222212131213++--53. 计算及化简：⑴. 2211a a a a ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑵.2a b a b aba b a b-+----⑶.x y y x y x x y x y y xy x x y-+-+- ⑷.2a ab b a b aa b a ab b ab b ab ⎛⎫++--÷ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭54. 已知：3232,3232x y +-==-+，求32432232x xy x y x y x y -++的值.55. 已知：1110a a+=+，求221a a +的值.56. 已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+.第十七章 一元二次方程第七讲 一元二次方程的概念及解法（1）【教学目标】 知识与技能：1. 掌握一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否是一元二次方程.2.记住一元二次方程的一般形式，能准确求出各项的系数.3.能根据实际问题的需要，通过设未知数列出一元二次方程2. 掌握一元二次方程的解法一：开平方法.过程与方法：通过观察，归纳一元二次方程概念的教学 ；使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式.情感态度与价值观 ：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】一元二次方程系数含“-”号时不容忽视，常数中含字母时要一起带上.【教学难点】运用直接开平方法时注意通常有两个根.【考点梳理】掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的解法一1. 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2. 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成20ax bx c ++= （a 、b 、c 是已知数，0a ≠）的形式，这种形式简称一元二次方程的一般式.其中2ax 叫做二次项， a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项．3. 一元二次方程的解法 解法1：直接开平方法如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一方是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合()()20x h k k +=≥的形式.其解为x h k =-+.说明：对于一般形式下的一元二次方程不能直接用开平方法求解. 解法2：因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，这种解法，叫做因式分解法.一般步骤： 将方程右边化为0将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程. 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程.分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.【例1】判断下列方程是否为一元二次方程.（1）2235x =+ （2）250x x -= （3）2230x xy --= （4）5x x +=【变式1】判断下列方程是否为一元二次方程. （1）22(3)21x x x -=+ （2）133x x x+=-（3）2()10abx a b x +++= （4）23340x x -+=【例2】当m 取何值时，方程()11320m m x x +-+-=是一元二次方程.【变式2】（1）关于x 的方程()23120k x x k --+=，当k ，方程为一元二次方程.（2）关于x 的方程()()211320m x m x m -++++=，当m 时为一 元一次方程；当m 时为一元二次方程.【例3】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数. （1）2435x x -=； （2）()()22831x x x ++=-（3）3(1)2(1)8x x x -=++ （4）2(3)3y y -=-（5）234x x =+ （6）26y y =【变式3】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数. （1）2()2a b x a b a -++= （a 、b 是常数，且a b ≠） （2）2(3)5726m x mx m mx --+=-（3）22(21)(1)(3)(2)y y y y --+=+- 【例4】用开平方法解下列方程：（1）()()224319310x x --+= （2）()2226x -=（3）()222312x -= （4）()()22212x +=+【变式4】用开平方法解下列方程：（1）()232x += （2）()23120x +-=（3）()23210x --= （4）()242510x ++=（5）()23127y -= （6）()()111x x -+=一、填空题 1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 3．若（k ＋4）x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______． 4．把（x ＋3）（2x ＋5）－x （3x －1）=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______．5．若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______． 6．方程y 2－12=0的根是______．7．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）是__________，一次项系数是______．8．把关于x 的一元二次方程（2－n ）x 2－n （3－x ）＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 9．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______． 二、选择题10．下列方程：（x ＋1）（x －2）=3，x 2＋y ＋4=0，（x －1）2－x （x ＋1）=x ，,01=+xx ,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是（ ）． A ．a 是任意实数 B ．与b ，c 的值有关 C ．与a 的值有关 D ．与a 的符号有关12．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是（ ）． A ．5± B ．±1 C ．±2 D ．2±13．关于x 的一元二次方程（x －k ）2＋k =0，当k ＞0时的解为（ ）．。
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初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。
初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是分化，简单概括为好的更好，差的更差。
那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。
初二时，每门主科都要做到出现问题立刻解决掉，因为到了初三，未解决的知识漏洞不但会影响新知识的学习，更重要的是没时间来补回前面出现的问题（初三的新知识集中在上学期学完，下学期进入复习，学习任务很繁重）。
二升三暑期奥数培优(学生教材)
目录第一章找规律第二章加减法巧算第三章加减法竖式数字谜第四章巧算周长第五章乘除法初步认识第六章平均数第七章归一问题第八章长方形与正方形第九章奇数与偶数【课前导入】找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，目的是让同学们发现、经历、探究图形和数字简单的排列规律，通过比较，从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。
【知识要点】这一课我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如：(1) 1，2，3，4，5，6，…(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，…(4) 1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。
如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。
一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。
许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。
数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。
数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a 3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a 6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
例如数列(1)(2)。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。
第一章找规律（一）【典型例】例1找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)4，7，10，13，( )，…(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，…(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，…(6)2，6，12，20，( )，( )，…例2找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
最新人教版七年级数学培优班暑期讲义教学文案
3. 有理数 a,b,c 大小关系如图 , 则下列式子中一定成立的是 A. a+b+c>0 B. c>|a+b| C. |a-c|=|a|+c D. |b-c|>|c-a
4. 如果 a+b+c=0,且 |a|>|b|>|c|, 则下列说法中可能成立的是
A. a,b 是正数 ,c<0 B. a,c
是正数 ,b<0
9. 若 a 与 b 互为相反数 , c 到原点的距离为 3, 求 2 a c b 的值 .
10. 已知 | x 4 | | y 7 | | z 3| 0 , 求 x y z 的值 .
§ 2. 有理数的运算
－、知识提要
1. 整数和分数统称为有理数 . 2. 有理数还可以这样定义： 形如 p ( 其中 m, p 均为整数 , 且 m 0 ) 的数是有理数 .
C. a ( 1 )2 为正数 D. 2007
a2
1 为正数
2007
7. 若 a<b<0<c<d,则以下四个结论中 , 正确的是 ( )
A. a+b+c+d 一定是正数．
B. d+c-a-b
可能是负数．
C. d-c-b-a 一定是正数．
D. c-d-b-a
一定是正数．
8. 已知 2m 3和 7 互为相反数 , 求 m 的值 .
a 0, a b 0 .and a+6>O,then the points in real number b
axis,given by a and b,can be represented as( )
( 英汉词典 point ：点． real number axis ：实数轴． represent ：表示． )
暑假初二升初三数学衔接班精品教材(完整)【范本模板】
第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.注意： 满足是一元二次方程的条件有:(1）必须是一个整式方程;(2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.(三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式:一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。
其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 （x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解. (2） 配方法：配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是: ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数;② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项; ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方; ④ 化原方程为（x+m)2=n 的形式;⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x ＋4）2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1:1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 。
A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1)x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________。
七升八暑期数学培优教程(二)
2019年初一升初二暑期培优教材（数学）2019年07月第一讲 平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94 （6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5）2544369++ （6）416925-⨯例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根.（1）16 （2）225121 （3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ）（5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算 （1）- 16964 （2）2243+【记一记 】100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第二讲 立方根【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
暑假数学升培优班教材
前言本书在结构紧扣教学大纲所囊括的知识要点，信息丰富，覆盖面广；以重点初中招生选拔考题为目标，选择相关问题进行讲解和训练，以达到对课本知识的深入掌握，适量选取奥数的考点问题，由浅入深，循序渐进，强化训练，实现数学能力的全面形成；在题型内容上，搜集全国各地小升初原题，配备小升初考点的相关训练题型，有的放矢、灵活使用、巩固提高，引导即将参加小升初的学生使用正确的学习方法，有效的学习，为未来的小升初打好坚实的学习基础。
小升初数学教程分六个阶段进行设计编辑。
第一阶段：磨砺以须，清理基础知识第二阶段：十面埋伏，扫清知识障碍第三阶段：士兵突击，形成初步能力第四阶段：超越自我，初考小试牛刀第五阶段：凤凰涅盘汇考展现拳脚第六阶段：乘胜追击分班测试备战为达到更好的学习效果，特提出以下要求：◆无特殊事情不得缺课，因故不能上课需自行完成相关自学与作业任务；◆务必准备精美笔记本、纠错本各一本，红笔一支；◆认真听讲，吸收消化当天所学，并随时进行复习；真实汇报学校各类考试成绩，并作细致的分析和反省。
任何成功都只属于那些有准备的人，任何成功也都只属于那些勤奋而明智的人，不要觉得成功与你遥不可及，只要你努力付出，就一定有回报！相信自己，相信我们，不断进步！预祝同学们在明年的小升初中取得最满意的成绩！目录第一讲小数、分数与百分数互换 (3)第二讲分数乘法 (5)第三讲分数除法 (8)第四讲分数四则运算 (11)第五讲分数的简便计算 (13)第六讲分数乘法应用题 (17)第七讲分数除法应用题 (21)第八讲比 (24)第九讲比的应用 (26)第十讲稍复杂的分数应用题（一） (29)第十一讲稍复杂的分数应用题（二） (32)第十二讲百分数的应用（一） (36)第十三讲百分数的应用（二） (41)第十四讲圆的认识 (46)第十五讲圆的周长 (49)第十六讲圆的面积 (52)第一讲小数、分数与百分数的互换◆专题简析经典例题例1、23% 读作：百分之二十三 45% 读作：百分之四十五 像23% 45% 19% 31%这样的分数叫做 百分数百分之九十二 写作：92% 百分之一百零八 写作：108% 例2把下列小数转化成百分数： 0.45 0.8 0.007 42.09例3、把下列分数转化成百分数：3418 13 1 25217例4、先求商，再把求得的商化成百分数：4÷5 30÷8 4.2÷6 5.7÷1.9 例5、将下列百分数转化成分数36% 50% 160% 4.5% 例6、将下列百分数转化成小数或整数。
2020年新初三暑期衔接数学课程精品(培优班)
（2）设MN与AB之间的距离为 米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
第二讲轴对称核心考点解析及中考核心题型精讲
题型一：角平分线及其中垂线的应用
⑴求线段AD所在直线的函数表达式．
⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？
例3 （)如图，点P是双曲线 上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
新初三衔接
数 学
（培优班）
初二升初三暑期衔接课程（培优班）
课程名称
给力初三早行动 帮你学好初三数学
面向学生的层次
中、上等水平学生理念和
设计思 路
使即将升入初三的学生既夯实知识基础、又及早触及初三重点难点，抢先一步，占领初三制高点，赢在初三起跑线。本课程共分一十三讲、26-34课时，具体设置如下：
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1=(用含k1、k2的式子表示)；（3分）
（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）
②记 ，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
三 转化思想的运用----等量代换
例1(10重庆潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
初一升初二数学培优教材(培训学校专用资料)
2013年初一升初二暑期培优教材（数学）2013年07月第一讲 平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a " ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根,也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；(3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫二次方根）.注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a " ，另外一个是“-a ",读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3)负数没有平方根。
3、开平方:求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根(1)25 (2）100 (3）1（4）0 （5）94（6)7例2、 计算（1）81 （2）41(3)-169例3、计算 (1)()264 (2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （3）()22.7（4）()22-(5+（6） 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3)12（4）0.01 （5)()25- （6）(—101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ (2）()25.0-（4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ) （2)正数的平方根有两个,它们是互为相反数 ( ） （3）0和负数没有平方根 （ ) （4）4是2的算术平方根 （ ) （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41，所以161=±41（ )4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a （a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是( ） A.－（－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于( ) A.aB.－a C 。
三升四数学暑假培优班讲义
三升四暑假班讲义现在开始，不管遇到什么样的题目，有不懂的一定要问，千万别模糊不清地让它溜走。
讲义上的每道题都要认真思考，题题过关。
良好的生活习惯，有益于身体健康；良好的学习习惯，有利于取得好的学习成绩，有利于今后的独立学习和工作。
下面谈谈该养成怎样良好的数学学习习惯：1、主动预习每天主动地把第二天要学的内容先看一看、想一想，对不理解的地方先思考一番，并作上记号。
这样带着问题进课堂，有利于培养学习的兴趣和自学探索能力。
2、认真听讲课堂上不仅要专心听老师的讲解和提问，还要专心听同学的回答。
边听边思考，并对同学的回答进行评价和补充。
3、阅读课本阅读数学课本要逐字逐句地读，包括课本中的插图，示意图及文字说明，都要边读边想，抓住重点注重理解。
阅读数学课本可以进一步加深理解数学知识，提高阅读能力。
4、独立作业按时独立完成每天的作业，是最基本的学习习惯。
作业要独立完成，做题要认真审题。
弄清条件和问题，做完后要验算，发现错误立即纠正。
5、手脑并用俗话说：百闻不如一见，百见不如一干。
学数学要学会演示实验，自己操作，手脑并用，养成画一画，摆一摆，剪一剪，拼一拼等习惯，这样，不但可以更好地理解数学知识，还有利于提高数学技能技巧。
6、质疑问难要想获得数学知识，在学习过程中，必须开动脑筋，独立思考，敢于发表自己的独立见解，也要敢于质疑问难。
7、及时总结每一次考试，每一次作业，针对自己的错误，用红笔圈出，认真思考当时自己错误的思路是什么，为什么犯错，做到“考后100分”。
8、保存好讲义知识是需要回顾的，曾经学得很好的章节也会遗忘，所以请保存好讲义，便于查看。
下学期每上一个章节，请拿出讲义看一看，尤其是概念和自己曾经做错的题。
具体内容重点知识面积和面积单位1、面积的意义：物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。
2、常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米。
边长1厘米的正方形，面积就是1平方厘米；边长1分米的正方形，面积就是1平方分米；边长1米的正方形，面积就是1平方米。
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前言本书在结构紧扣教学大纲所囊括的知识要点，信息丰富，覆盖面广；以重点初中招生选拔考题为目标，选择相关问题进行讲解和训练，以达到对课本知识的深入掌握，适量选取奥数的考点问题，由浅入深，循序渐进，强化训练，实现数学能力的全面形成；在题型内容上，搜集全国各地小升初原题，配备小升初考点的相关训练题型，有的放矢、灵活使用、巩固提高，引导即将参加小升初的学生使用正确的学习方法，有效的学习，为未来的小升初打好坚实的学习基础。
小升初数学教程分六个阶段进行设计编辑。
第一阶段：磨砺以须，清理基础知识第二阶段：十面埋伏，扫清知识障碍第三阶段：士兵突击，形成初步能力第四阶段：超越自我，初考小试牛刀第五阶段：凤凰涅槃汇考展现拳脚第六阶段：乘胜追击分班测试备战为达到更好的学习效果，特提出以下要求：◆无特殊事情不得缺课，因故不能上课需自行完成相关自学与作业任务；◆务必准备精美笔记本、纠错本各一本，红笔一支；◆认真听讲，吸收消化当天所学，并随时进行复习；◆真实汇报学校各类考试成绩，并作细致的分析和反省。
任何成功都只属于那些有准备的人，任何成功也都只属于那些勤奋而明智的人，不要觉得成功与你遥不可及，只要你努力付出，就一定有回报！相信自己，相信我们，不断进步！预祝同学们在明年的小升初中取得最满意的成绩！目录第一讲小数、分数与百分数互换 (3)第二讲分数乘法 (5)第三讲分数除法 (8)第四讲分数四则运算 (11)第五讲分数的简便计算 (13)第六讲分数乘法应用题 (17)第七讲分数除法应用题 (21)第八讲比 (24)第九讲比的应用 (26)第十讲稍复杂的分数应用题（一） (29)第十一讲稍复杂的分数应用题（二） (32)第十二讲百分数的应用（一） (36)第十三讲百分数的应用（二） (41)第十四讲圆的认识 (46)第十五讲圆的周长 (49)第十六讲圆的面积 (52)第一讲 小数、分数与百分数的互换◆专题简析经典例题 例1、23% 读作：百分之二十三 45% 读作：百分之四十五像23% 45% 19% 31%这样的分数叫做 百分数百分之九十二 写作：92% 百分之一百零八 写作：108%例2把下列小数转化成百分数：0.45 0.8 0.007 4 2.09 例3、把下列分数转化成百分数： 34 18 13 1 25 217例4、先求商，再把求得的商化成百分数：4÷5 30÷8 4.2÷6 5.7÷1.9例5、将下列百分数转化成分数36% 50% 160% 4.5%例6、将下列百分数转化成小数或整数。
70% 110% 200% 17.7%例7、( ) 2 0=20÷（ ）=8：（ ）=0.8=（ ）%【巩固练习】：1、小数与百分数互化。
2.5= 0.25= 0.003= 4= 1= 0.25%= 2.5%= 25%= 480%= 700%=2、分数与小数互化。
13 4 = 14 5 = 57 8 = 254 9 = 152 15= 0.8 = 0.64 = 1.25 = 2.5 = 4.75 = 1.375 =3、分数与百分数互化。
3 5 = 5 8 = 314 = 1 7 = 65 6≈ 1 1 2 = 24 5 = 34 9 ≈ 106 11 ≈ 72 3≈ 4、 15=2÷（ ）=（ ）成=（ ）%=（ ）折5.、0.62 =（ ）%=（ ）折=（ ）成（ ）。
6、七六折=（ ）%=38( )第二讲 分数乘法◆ 专题简析经典例题例1、 514×9表示 ； 310 +310 +310 =( )×( )=( ) 411 +411 +411=( )×( )=( ) 例2、42×928 944 ×11 65×15 1．分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
2．分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
（为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。
）注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
3．一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。
4．分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
（为了计算简便，可以先约分再乘。
）注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
5．一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。
6．一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。
7．一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。
例3、313 ×2637 1821 ×79 2324 ×869例4、1810 ×89 267 ×3128×234 例5、1516 ×2021 ×15 910 ×23 ×56533 ×22×12 例6、下面各题，怎样简便就怎样算。
16 + 23 ×37 421 ×92 — 45 ×56 (56 — 512 )×36 例7、解答下列应用题。
①一瓶果汁重35 千克，20瓶果汁重多少千克？②一只水箱可以容水500千克，45 箱水重多少千克？【巩固练习】：1、计算下列各题12×38 = 35 ×14 = 57 ×415= 13 ×0= 14 × 225 = 56 ×12= 712 × 314 = 45× 35 = 9×718= 123 × 910 = 425 ×100= 18×16= 411 × 114 = 56 ×4= 9×23= 1516 ×2021 ×15 910 ×23 ×56 54 × 18×16 2、能简算的要简算。
17× 916 （ 34 ＋58 ）×32 59 × 34 ＋59 × 1454 × 18 ×16 15 ＋ 29 × 310 44－72×5123、列式计算。
18 的12 是多少？ 8个712是多少？ 37 与23 的积的21倍是多少？ 一个数是32 的19 ，这个数的45是多少？ 4、计算。
316 ×34 ×827 12 ×23 ×34 ……×99100 ×100101第三讲 分数除法◆专题简析经典例题例1、43 ×（ ）=（ ）×73 =（ ）×（ ）=1 乘积为1的两个数互为 倒数例2、2125 ÷14= 57 ÷5= 215 ÷2 15÷3= 例3、12÷45 = 11÷14 = 16 ÷58 14÷79= 例4、58 ÷512 =58 ×（ ） （ ） = 25 ÷34 =（ ） （ ） ×（ ） （ ）= 914 ÷1528 = 1325 ÷2615 = 349 ÷914= 例5、123 ÷45 = 3151 ÷2314 = 249 ÷1711= 1．分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2．分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
整数除以分数等于整数乘以这个分数的倒数。
3．一个数除以另一个数，就等于这个数乘另一个数的倒数。
4．一个数除以分数的计算法则：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
5．分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
6．真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
1的倒数是1。
0没有倒数。
例6、34 ÷2÷38 =（ ） （ ） ×（ ） （ ） ×（ ） （ ）= 521 ÷47 ÷310 =（ ） （ ） ×（ ） （ ） ×（ ） （ ）= 例7、35 ÷6÷115 95 ÷23 ÷1835 15÷925 ÷45 例8、计算下面各题，能简便的用简便方法计算。
3—25 ÷35 110 ÷（ 12 + 15 ）115 ÷ 25 + 14 ( 35 + 57 )÷5 37 ÷ 78 + 47 ÷7879 ÷ 19 — 29 ÷19 【巩固练习】：1、计算下列各题619 ÷9= 2425 ÷15= 1431 ÷2857 ÷15= 25÷4561 = 17÷3435 = 18 ÷910 20÷45 =47 ÷621 = 1216 ÷8 21 = 13 ÷34 = 4 11 ÷24 20= 145 ÷913 = 1217 ÷218 = 256 ÷379 = 1015 ÷127= 2425 ÷8÷910 1518 ÷56 ÷23 36÷411 ÷1233 = = = = = =2、能简算的要简算。
( 2 4+ 1237 )÷6 1423 ÷ 2331 + 1723 ÷2331 117 ÷ 514 — 37 ÷5143—421 ÷1235 29 ÷（ 56 — 410 ） 713 ÷ 1439 + 34314 ÷ 914 — 13 ÷4 56 ÷（ 78 - 23 ） 10—47 ÷37( 11 + 35 )÷2 34 ÷ 512 -38 ÷916 711 ÷ 322 + 512第四讲 分数四则运算◆ 专题简析四则运算法则：同级运算，从左往右依次计算；两级混合，先乘除后加减； 有括号时，先括号里，后括号外，先算小括号，后算中括号。