【100所名校】2019届四川省棠湖中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(含答案)

2019届四川省棠湖中学高三上学期第三次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．在复平面内，复数z 满足z(1−i)=2，则z 的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合M ={x ||x −1|<2}，集合N ={x ∈Z |(x +1)(x −3)≤0}，则M ∩N = A ．{0,1,2} B ．{−1,0,1,2} C ．{−1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 3．角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ= −35，则tanθ= A ．−43 B ．43 C ．−34 D ．344．已知数列{a n }的通项公式为a n =n +an ，则“a 2>a 1”是“数列{a n }单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若当x =θ时,函数f(x)=3sinx +4cosx 取得最大值,则cosθ= A ．35B ．45C ．−35D ．−456．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺 7．函数f(x)=e |x|−2|x|−1的图象大致为A ．B ．C ．D ．8．已知向量a ，b 满足a ⋅b =0，|a +b|=m|a|，若a +b 与a −b 的夹角为2π3，则m 的值为 A ．2 B ．√3 C ．1 D ．129．已知函数f (x )=ln(√1+9x 2−3x)+1,则f (lg(lg3))+f (lg(log 310))= A ．-1 B ．0 C ．1 D ．210．若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n的取值范围是A ．(3.5，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(4.5，＋∞)11．已知直线:30l x y m ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支交于,M N 两点，点M 在第一象限，若点Q 满足0OM OQ +=（其中O 为坐标原点），且030MNQ ∠=，则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．2y x =± 12．已知M ={α|f(α)=0}，N ={β|g(β)=0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α−β|<n ，则称函数f(x)与g(x)互为“n 度零点函数”.若f(x)=2x−2−1与g(x)=x 2−a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为A ．(1e 2,4e ] B ．(1e ,4e 2] C ．[4e 2,2e ) D ．[4e 3,2e 2)二、填空题13．x(x −2)5展开式中的x 4项的系数为__________．14．曲线f(x)=x 2+ax 在点(1,f(1))处的切线与直线x +y −2=0垂直,则实数a =____________.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号15．在平面四边形ABCD 中，AB =1，AC =√5，BD ⊥BC ，BD =2BC ，则AD 的最小值为__________．16．函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=ax 2+1，当a ≤0时，对任意x 1、x 2∈[1,e ]，都有f(x 1)>g(x 2)成立，则a 的取值范围是__________．三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=8，a 3+a 8=2a 5+2． （1）求a n ；（2）设数列{1S n}的前n 项和为T n ，求证：T n <34．18．从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位： kg ）数据绘制成频率分布直方图，如图所示.（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）； （2）若要从体重在[)60,70， [)70,80内的两组男生中，用分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机抽取3人，记体重在[)60,70内的人数为ξ，求其分布列和数学期望()E ξ.19．如图,矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直,∠ABE =60∘,G 为BE 的中点.(1)求证：AG ⊥平面ADF ；(2)若AB =√3BC ,求二面角D −CA −G 的余弦值.20．直线l 与椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，已知m ⃑⃑ =(ax 1,by 1)，n ⃑=(ax 2,by 2)，若椭圆的离心率e =√32，又经过点(√32,1)，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)当m ⃑⃑ ⊥n ⃑ 时,试问：ΔAOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 21．已知函数f(x)=e x +ln(x +1)−ax （a ∈R ）． （1）g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的零点个数；（2）当x ≥0时，不等式e x +(x +1)ln(x +1)≥12ax 2+ax +1恒成立，求实数a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1: x +y =1与曲线C 2:{x =2+2cos φy =2sin φ（φ为参数，φ∈[0,2π)）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 1, C 2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知点A 是射线l: θ=α (ρ≥0)与C 1的公共点，点B 是l 与C 2的公共点，当α在区间[0,π2]上变化时，求|OB ||OA |的最大值．23．设函数f (x )=|2x |+|2x +3|+m,m ∈R . （1）当m =−2时，求不等式f (x )≤3的解集；（2）∀x ∈(−∞,0)，都有f (x )≥x +2x 恒成立，求m 的取值范围.2019届四川省棠湖中学高三上学期第三次月考数学（理）试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z（1﹣i）=2，得z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴z=1−i．则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．A【解析】M={x||x−1|<2}=(−1,3),N={x∈Z|(x+1)(x−3)≤0}={-1，0,1,2，3}，所以M∩N={0,1,2}，选A.3．C【解析】【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得y=−3，再根据正切函数的定义即可求得结果．【详解】∵角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35=2，∴y=−3，则tanθ=y4=−34，故选C．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(x,y)（异与原点），则sinα=22，cosα=22，tanα=yx(x≠0).4．C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1>a n，可得a的范围．由“a2>a1”可得：2+a2>1+a，可得a的范围，即可判断出关系.【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1>a n，可得：n+1+an+1>n+an，化为：a<n2+n，∴a<2．由“a2>a1”可得：2+a2>1+a，可得：a<2．∴“a2>a1”是“数列{a n}单调递增”的充要条件，故选C．【点睛】本题考查了数列的单调性、不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，数列是特殊的函数，其特殊之处在于定义域为n>0且n∈N∗，属于中档题；如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”，p与q互为充要条件．5．B【解析】【分析】函数f(x)解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】f(x)=5(35sinx+45cosx)=5sin(x+α)，其中sinα=45,cosα=35,当x+α=2kπ+π2,k∈Z，即x=2kπ+π2−α时，f(x)取得最大值5 ,∴2kπ+π2−α=θ，则cosθ=cos(2kπ+π2−α)=sinα=45，故选B.【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.6．B。