线性代数B-矩阵的秩
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(优选)线性代数矩阵的秩习题
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
矩阵的秩的定理
矩阵的秩的定理
矩阵的秩的定理，也称为格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)定理或斯皮耳定理(Sylvester's law)，是线性代数中的一个基本定理。
它描述了一个矩阵的秩，也称为矩阵的“行秩”或“列秩”，等于其行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
具体地，设A是一个n\times m矩阵，r是它的秩，则：
1. 存在n\times r矩阵B和r\times m矩阵C，使得A=BC；
2. r等于矩阵A中的行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
这个定理的证明可以通过线性代数的一般理论，包括线性空间的基本概念和线性相关性等进行推导。
矩阵的秩的定理在很多数学和工程应用中都得到了广泛的应用，如矩阵分解、矩阵压缩、图像处理、信号处理和统计学中的因子分析等。
线性代数单元测试卷(含答案)
线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。
正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。
正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。
正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。
正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。
线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。
2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。
行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。
线性代数 矩阵的秩与逆矩阵
BP1 P2
Ps = X
AP1 P2
Ps = E
3. AXC = B, A, C可逆。 解法I : X = A BC
解法II : AX = BC
−1
−1
−1
−1
XC = A B
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 .已知 A, 且 AB = A − B , 求 B .
−1 ⇒ B = ( A + E ) A ⇒ AB + B = A ⇒ ( A + E ) B = A
⎛1 − 1 − 1 ⎜ → ⎜0 −1 − 2 ⎜0 0 −1 ⎝
⎛1 0 0 ⎜ → ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝ 2
1 0 0⎞ ⎟ 3 1 0⎟ 4 2 1⎟ ⎠
1 ⎞ ⎟ 5 3 2⎟ − 4 − 2 − 1⎟ ⎠ 1
∴A
−1
=
1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 3 2⎟ ⎜ 5 ⎜ − 4 − 2 − 1⎟ ⎝ ⎠
⎛2 ⎛1 − 1 ⎞ 3 . C = ⎜ 2.B = ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠
− 2⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎠
⎛2 1 ⎛ 1 1⎞ −1 2. B = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 3 ⎝ − 2 1⎠ ⎝
− 1⎞ −1 1 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ = C 3 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 2 2 − 1⎠ ⎝ ⎠
？？ ⎛ 1 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 的逆怎样求？ ？ A = ⎜− 3 2 1 ⎟
⎜ 2 ⎝ 0 1 ⎟ ⎠
逆阵的性质
1 (i ) A可逆 ⇒ A = ; A (ii ) A可逆 ⇒ A−1可逆, ( A−1 ) −1 = A;
−1
(iii ) AB = E (or BA = E ) ⇒ B = A ;
线性代数 矩阵的秩
小结. 求m × n 矩阵A 的秩r(A), 可用以下方法: 1. 对于比较简单的矩阵, 直接用秩的定义 直接用秩的定义. .
∼
1 0 0 0
0 1 0 4
0 1 0 −1 0 0 5 0
2. 用有限次初等变换, 用有限次初等变换, 将矩阵A变为它的等价 标准形 , 则 r = r( A ) . O O 3. 用有限次行初等变换, 用有限次行初等变换,将矩阵A变为梯矩阵, 则 r(A)等于该梯矩阵的非零行的行数 等于该梯矩阵的非零行的行数. （方法2 与方法3 相比, 方法3 较为简单.）
例1 求下列矩阵的秩: 求下列矩阵的秩:
(1) A = 2 2
1 1
2 4 8 (2) B = 1 2 1
(3) C = 2
1 2 4 1 4 8 2 3 6 2 0
.
解 (1)因为
1 1 a = 1 ≠ 0 而 det A = 1 1 = 0 A= 11 , 2 2 2 2 故 r ( A) = 1
又B 并无3阶子式, 阶子式,故 r (B) =2.
8 2 2 0
故, 矩阵C 的秩不小于2.
= −3 ≠ 0
另外, 因为矩阵 C 不存在高于3阶的子式, 可知r (C) ≤ 3. 又因矩阵C 的第1, 2行元是对应成比例的, 行元是对应成比例的, 故C 的任一 3阶 子式皆等于零. 子式皆等于零.因此
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 B= 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 (2) 每个台阶只有一行， 每个台阶只有一行，台阶 A = 0 数即是非零行的行数， ，阶梯 数即是非零行的行数 0 线的竖线后面的第一个元素
线性代数B-2.5矩阵的秩+习题s
线性代数B-2.5 矩阵的秩+习
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
求矩阵的秩的步骤
矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。
在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。
矩阵秩的性质；
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。
2.初等变换不改变矩阵的秩。
3.矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。
4.如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5.当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。
6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1
阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
0
0
0 1 0 0
3 7
5, 1
3 2
2 5
4 3
00
矩阵，容易看出它的4阶子式
全为零，而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
这里的两个行列
式分别是A 和B 的
0 3 2 24 0
最高阶非零子式
00 4
因此 R(B) 3.
4
说明
✓根据行列式的展开法则知，在 A中当所有r 1
第三节 矩阵的秩
主要内容
❖矩阵的秩的概念； ❖初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵
的秩的求法； ❖矩阵的秩的基本性质.
基本要求
❖理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变 矩阵的秩的原理；
❖掌握用初等变换求矩阵的秩的方法； ❖知道矩阵的标准形与秩的联系； ❖知道矩阵的秩的基本性质.
1
一、k 阶子式
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
行阶梯形矩阵.
3
A
3 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1
r1 r2
r4 r4
1 0
3 4
r3 r4
2r1 3r1
0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4
1
1121
8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0
12 16
说明
➢分块矩阵只是形式上的矩阵；
➢分块法的优越之处是：
•把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. •矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化.
•可为某些命题的证明提供方法.
0
0 1 0 0
3 7
5, 1
3 2
2 5
4 3
00
矩阵，容易看出它的4阶子式
全为零，而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
这里的两个行列
式分别是A 和B 的
0 3 2 24 0
最高阶非零子式
00 4
因此 R(B) 3.
4
说明
✓根据行列式的展开法则知，在 A中当所有r 1
第三节 矩阵的秩
主要内容
❖矩阵的秩的概念； ❖初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵
的秩的求法； ❖矩阵的秩的基本性质.
基本要求
❖理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变 矩阵的秩的原理；
❖掌握用初等变换求矩阵的秩的方法； ❖知道矩阵的标准形与秩的联系； ❖知道矩阵的秩的基本性质.
1
一、k 阶子式
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
行阶梯形矩阵.
3
A
3 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1
r1 r2
r4 r4
1 0
3 4
r3 r4
2r1 3r1
0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4
1
1121
8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0
12 16
说明
➢分块矩阵只是形式上的矩阵；
➢分块法的优越之处是：
•把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. •矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化.
•可为某些命题的证明提供方法.
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
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解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
0 0 1
000
r(A)3.
000
0 0
0 0
是等于0的2阶子式
1 0 0 是等于0的3阶子式. 010
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ ❖定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B).
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n 当|A|0时 r(A)n.
A
a21 L
a22 L
L L
a2n
L
可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am2 L amn
不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵.
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
2阶子式
行阶梯形矩阵 其所有4阶子
1 2
2 3
1 0
式全为零. 以3个非零行的首 非零元为对角元的3阶子式
A的3阶子式只有一个|A| 经计 算可知|A|0 因此r(A)2.
2 1 3 0 3 2
提示 对于行阶梯形矩阵 它的
秩就等于非零行的行数.
00 4 是一个上三角行列式 它显然 =24不等于0 因此r(B)3.
解 因为
A
3 3
21
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
01 43
~ 行变换
1 0
6 4
行阶梯形矩00 阵00
4 3 0 0
1 1 4 0
0481
考虑由A的 1、2、4 列构成的
矩阵
3
A0
3 2 1
2 2
0 6
65 51
.~
1 0 0 0
6 4 0 0
1
1
4
0
可见r(A0 )＝3,
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
又因A0的子式
3 25 3 2 6 0
2 05
所以这个子式是A的最高阶非 零子式.
例5 即AB与B等价
例6
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法
(1)定义法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数;
(2)初等变换法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
F Er O O O mn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1
1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
1 1 x
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
2 0 2 5
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
矩阵的秩
➢ 秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念． ➢ 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在
1879年首先提出的． ➢ 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存
在性、向量组的线性相关性等问题 的重要工具．
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
(形式唯一)
c ~ 标准形
F Er O O O mn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1 k m,1 k n)
位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所 处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= 1 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s
若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t.
(2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}.
r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。
(3) r(A)r(AT)，
a11 a12 L a1n
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
即初等变换不改变矩阵的秩 .
根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3.
的一个最高阶非零子式 其中
为求A的最高阶非零子式
A 2331
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
4031 .