导数与优化问题

5．已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax +1. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性； (Ⅱ)设 a≤-2，证明：对任意 x2,x2(0,+∞)， |f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
2
T5选作。答案见后
(1)函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2
§1.4 生活中的优化问题举例
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题
通常称为优化问题 .
2.利用导数解决优化问题的实质是 求函数最值 .
3.解决优化问题的基本思路是：
2
令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，
即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；
当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0， 即y在(8，v0]上为减函数，
1 ∴当 v＝v0 时，ymin＝ (元). v0－8
综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，为32 000元；
解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)， 则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k· 122，得k＝5. 设全程燃料费为y，由题意，得
2 000vv－8－1 000v 1 000v －16 000v ∴y′＝ ＝ . 2 2 v－8 v－8
2 2
200 1 000v y＝y1· ＝ ， v－8 v－8
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解 包装盒容积 V＝2x · 2(30－x)
2
＝－2 2x ＋60 2x (0<x<30)，
3 2
所以 V′＝－6 2x ＋120 2x＝－6 2x(x－20).
2
令V′>0，得0<x<20；令V′<0，得20<x<30.
都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 ( A
A.20 B.18 C.1 D.0
解析 由f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1.
f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(－3)＝－19，f(2)＝1. ∴f(x)在[－3,2]上的f(x)max＝1，f(x)min＝－19.
)
则|f(x1)－f(x2)|≤20，
(2)当绿化面积S最大时， 试确定点A的位置，并求最大面积.
解 S′＝5 000(2cos2 θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1).
1 π 令 S′＝0，得 cos θ＝2或 cos θ＝－1(舍去)，此时 θ＝3.
π 当 θ＝3时，S 取得最大值， 2
Smax＝3 750 3 m ，此时 AB＝150 m，即点 A 到北京路一边 l 的距离 为 150 m.
S(单位：m2)，
∠AON＝θ(单位：弧度).
(1)将S表示为θ的函数；
解 由题干图知 BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋
1 1 100cos θ，则 S＝2MB· AB＝2×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋ sin θcos θ)，θ∈(0，π).
x 解 当 0<x≤10 时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－30－10
3
1 000 当 x>10 时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－ －2.7x， 3x
x 8.1x－ －10，0<x≤10， 30 所以 W＝ 1 000 98－ 3x －2.7x，x>10.
k 位：cm)满足关系：C(x) ＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层， 3x＋5
的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
解 设隔热层厚度为x cm，
k 由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝ ， 3x＋5
40 再由 C(0)＝8， 得 k＝40， 因此 C(x)＝ ， 3x＋5
(2)若该商品的成本为 3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每
日销售该商品所获得的利润最大.
a 解 因为 x＝5 时，y＝11，所以2＋10＝11，
所以a＝2.
解
由(1)可知，该商品每日的销售量
2 2 y＝ ＋10(x－6) ， x－3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
2 2 2 f(x)＝(x－3)[ ＋10(x－6) ]＝2＋10(x－3)(x－6) ，3<x<6. x－3
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
类型一 面积、容积的最值问题 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸 片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点， 设AE＝FB＝x cm. (1) 若广告商要求包装盒侧面
积 S(cm2) 最大，则 x 应取何值？
解 由题意知包装盒的底面边长为 2x cm，高为 2(30－x) cm
所以包装盒侧面积为 S＝4 2x× 2(30－x)
x＋30－x 2 ＝8x(30－x)≤8×( ) ＝8×225， 2
当且仅当x＝30－xS(cm2)最大，则x＝15.
使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不 与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.
跟踪训练3
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，
房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 . 某幢建筑物要建造可使 用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建 筑物每年的能源消耗费用 C( 单位：万元 ) 与隔热层厚度 x( 单 每年能源消耗费用为 8 万元 . 设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年
2. 这类问题中，函数的定义域一般是保证各边 ( 或线段 ) 为正，建
立x的不等式(组)求定义域.
跟踪训练1
某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如
图，圆形广场的圆心为 O，半径为100 m，并与北京路一边所在
直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足
为点 B. 市园林局计划在△ABM 内进行绿化 . 设△ABM 的面积为
所以当 x＝20 时，包装盒容积 V 取得最大值，此时包装盒底面边长为 1 20 2 cm，高为 10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为2.
1.这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应 选取合理的边长 x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表 示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了.
∴t≥20，tmin＝20.
解析答案
2.（2015 全国新课标Ⅱ卷 21） 设函数
f ( x) e
mx
x mx 。
2
（1）证明： f ( x) 在 (, 0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增； （ 2 ） 若 对 于 任 意 x1 , x2 [1,1] ， 都 有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | e 1 ，求 m 的取值范围。
2 400 令 f′(x)＝0，即 2＝6. 3x＋5
25 解得 x＝5，x＝－ 3 (舍去)，
当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，
800 故 x＝5 时，为 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
3
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生 产中所获得的年利润最大，并求出最大值. 解 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产 中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y( 单 a 位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其 x－3 中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. 跟踪训练 2 (1)求a的值；
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
40 800 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10). 3x＋5 3x＋5
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
2 400 解 f′(x)＝6－ 2， 3x＋5
2 000v0
2 000v0
1 当 v0<16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为 元. v0－8
1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类 问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正
确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点
类型二
利润最大问题
例2
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10万元，
每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x
千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元， 10.8－ 1 x2，0<x≤10， 30 且R(x)＝ 108 1 000 － 2 ，x>10. x 3 x (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6).