2017届北京市西城区北师大附属实验高三上学期期中考试数学(理)试题(word版,缺答案)
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将y =cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()21xf x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．[]1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A ．94B ．4C ．92D ．68．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A ．6B ．7C ．9D ．109．设R c ∈，函数(),0,22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．()0,1B ．{}[)01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =．12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．13．在ABC V 中，222a cb +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值是．14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是．15．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()ln ()x a f x x-=．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。
2017西城二模理科word版带答案
西城区高三模拟测试高三数学（理科）2017.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i +（D ）2i -2．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆心的极．坐标．．是 （A ）(1,)2π（B ）(1,0)（C ）1(,)22π（D ）1(,0)24．在平面直角坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A ）1（B ）32（C ）2（D ）525．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±=（D ）80x y ±=6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35⋅=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最小值是 （A ）34（B ）43（C ）45（D ）547．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞8．有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票． 在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是 （A ）7 （B ）6（C ）5（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为____．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等比数列，则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =，1b =，则c =____．12．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．13．大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有____种．（用数字作答）14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设(0,π)β∈，且π()2cos()4f ββ=-，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，AD FC ⊥．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；（Ⅲ）若CD EA ⊥，EF ED =，2CD EF =，平面ADE 平面BCF l =，求二面角A l B --的大小．17．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：B 餐厅分数频数分布表定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．19．（本小题满分13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-⋅，其中a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．20．（本小题满分13分）设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于2n A 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥； （Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．西城区高三模拟测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．A6．C7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．710．2，2n n +11．2 12．2-；113．3614．43注：第10，12题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2cos()44ββ+=-． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++，[ 7分] 整理得ππsin()[2cos()1]044ββ+⋅+-=，[ 8分]所以πsin()04β+=，或π1cos()42β+=． [10分]因为 (0,π)β∈，所以ππ5π(,)444β+∈，[11分]由πsin()04β+=，得ππ4β+=，3π4β=；[12分]由π1cos()42β+=，得ππ43β+=，π12β=．所以π12β=，或3π4β=． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 1分]所以//AD 平面FBC ．[ 3分]又因为平面ADMN 平面FBC MN =， 所以//AD MN ．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．[ 5分]因为AD FC ⊥，[ 6分] 所以AD ⊥平面CDEF ．[ 7分] 所以平面ADMN ⊥平面CDEF ．[ 8分] （Ⅲ）因为EA CD ⊥，AD CD ⊥，所以CD ⊥平面ADE ， 所以CD DE ⊥．由（Ⅱ）得AD ⊥平面CDEF ， 所以AD DE ⊥．所以DA ，DC ，DE 两两互相垂直．[ 9分] 建立空间直角坐标系D xyz -．[10分]不妨设1EF ED ==，则2CD =，设(0)AD a a =>．由题意得，(,0,0)A a ，(,2,0)B a ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,1)E ，(0,1,1)F ． 所以(,0,0)CB a −−→=，(0,1,1)CF −−→=-． 设平面FBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,CB CF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.ax y z =⎧⎨-+=⎩令1z =，则1y =． 所以(0,1,1)=n ．[12分]又平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC −−→=，所以||cos ,|||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n 因为二面角A l B --的平面角是锐角， 所以二面角A l B --的大小45 ．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率分布直方图，得对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’比对B 餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C ．记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B ．所以1(A )(0.020.02)100.4P =+⨯=，2(A )0.4P =，[ 5分]由用频率估计概率得：0235(B )0.1100P ++==，11540(B )0.55100P +==． [ 7分] 因为事件A i 与B j 相互独立，其中1,2i =，0,1j =． 所以102021(C)(A B A B A B )P P =++102021(A )(B )(A )(B )(A )(B )P P P P P P =++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=． [10分]所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高 的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A ，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A 餐厅“满意度指数”X 的分布列为：B 餐厅“满意度指数”Y 的分布列为：因为()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=；()00.110.5520.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，所以()()E X E Y <，会选择B 餐厅用餐． [13分]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ， 得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分] （Ⅱ）因为||||PM PN =， 所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补， 所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠， 将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k=-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k--．[11分] 以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k+--．[12分] 所以 222244()1(2)(2)ABk k k k k k k --==--+-． 所以直线AB 的斜率为1-．[14分]19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由21()()e x f x x ax a -=+-⋅，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+⋅-+-⋅21[(2)2]e x x a x a -=-+--⋅ 1()(2)e x x a x -=-+-⋅．[ 2分]令()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有一个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x '有两个相异的零点：2x =，x a =-．[ 4分]（Ⅱ）① 当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以，函数()f x 无极值．[ 5分]② 当2a >-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极小值为1()e a f a a +-=-⋅≤0．[ 7分]又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-⋅>恒成立．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-⋅为()f x 的最小值．[ 9分] 故0a ≥是函数()fx 存在最小值的充分条件．[10分] ③ 当5a =-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+⋅>， 又1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．[13分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=．[ 1分]①对于6A 的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 因为234513+++>，所以5不是集合6A 的“相关数”．[ 2分] ②6A 的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 因为134513+++=，所以6是集合6A 的“相关数”．[ 3分]（Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的子集{1,,1,,2}B n n n n =-+ ．[ 4分]B 中任意4个元素之和一定不小于(1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．所以2n +一定不是集合2n A 的“相关数”．[ 6分]所以当2m n +≤时，m 一定不是集合2n A 的“相关数”．[ 7分] 因此若m 为集合2n A 的“相关数”，必有3m n +≥． 即若m 为集合2n A 的“相关数”，必有30m n --≥．[ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2n A 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有三组123,,i i i C C C 同属于集合P ． [10分]再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有一组4j D 属于集合P ．[11分] 这一组4j D 与上述三组123,,i i i C C C 中至少一组无相同元素， 不妨设4j D 与1i C 无相同元素．此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分] 所以集合2n A 的“相关数”m 的最小值为3n +．[13分]。
2017北京师大附中高三(上)期中数学(理)
2017北京师大附中高三（上）期中数学（理）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设命题，则为（）A. B.C. D.3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则=（）A. 6B. 12C. 15D. 184. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 图象C关于点对称C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数6. 若则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.7. 设D为不等式组表示的平面区域，点B（1，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则b的最大值等于（）A. 1B. 2C. 0D. 38. 已知函数，。
若函数恰有6个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9. 若等比数列满足，则前n项和=______________.10. 若，且，则的最小值是___________.11. 已知向量a，b不共线，若∥，则实数=___________.12. 设向量，向量，向量，若∥且，则与的夹角大小为_______.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________14. 对有限数列，定义集合，集合S中不同的元素个数记为（1）若，则=_________；（2）若有限数列是单调递增数列，则最小值为_____________三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数，其中向量，，，且的图象经过点.（I）求实数m的值；（II）求函数的最小值及此时x值的集合.16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若,△ABC的面积为，D为AB的中点，求sin∠BCD.17. 已知数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18. 已知函数，，且.（1）求b的值；（2）判断对应的曲线的交点个数，并说明理由.19. 设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求a的最小值.20. 现有m个（）实数，它们满足下列条件：①，②记这m个实数的和为，即.（1）若，证明：；（2）若m=5，满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求A中所有正数之和；（3）对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与，证明：.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1.【答案】B【解析】由得，解得：，即，∵，∴，则集合中元素的个数为2，故选B.2.【答案】B【解析】试题分析：根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题，可知命题：，则为.考点：命题的否定.3.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，，则，故选A.4.【答案】C【解析】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.5.【答案】B【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.6.【答案】D【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.7.【答案】A【解析】由作出平面区域D如图，联立，解得，联立，解得，联立，解得，由，得，即，即的最大值为1，故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题；作出不等式组所表示的区域，根据当目标函数为线性时，其最值一定在交点处取得列出不等式组，解出即可.8.【答案】D点睛：本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，此题最大的难点在于讨论与1的关系，得到的解析式.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9.【答案】【解析】∵等比数列满足，，∴，解得，，∴前项和，故答案为.10.【答案】64【解析】∵，∴，即，由，，当且仅当时等号成立，即的最小值是64，故答案为64.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．11.【答案】【解析】∵向量，不共线，由，则存在非零实数，使，即，解得：，故答案.12.【答案】【解析】根据题意，向量，，若∥，则有，解可得，若，则有，解可得；则，；设与的的夹角为，，，则有，又∵，∴，即与的夹角大小为，故答案为.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________【答案】214.【答案】 (1). 6 (2).【解析】（1）当时，有限数列为，故，由的意义可知，，故答案为6；（2）由的定义可知，当是等差数列时，最小，∴集合，∴集合中的元素个数，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)的最小值为，x值的集合为.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过函数的图象经过点，求实数的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数的最小值及此时值的集合.试题解析：（I），由已知，得.（II）由（I）得，∴当时，的最小值为，由，得x值的集合为.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.16.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理边化为角，得到，求得 ;（2）由条件可知三角形为等腰三角形，并且顶角为，这样根据面积可求得三角形的边长，在内可根据余弦定理求得 ,最后根据正弦定理求.试题解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以．（2）因为，故为等腰三角形，且顶角，故，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以．【点睛】解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，一般多根据正弦定理把边转化为角 ,或是 ;第三步：求结果.17.【答案】(1)，.(2)【解析】试题分析：（1）利用当时，，验证时也适合，可得数列通项公式；（2）分为为奇数和为偶数两种情形，利用并项求和得数列的前项和.试题解析：（1）由，当时，.当时，，而，所以数列的通项公式，.（2）由（1）可得，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，.综上，点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，并项求和主要用于正负相间的摆动数列，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.【答案】(1)；(2)对应的曲线只有1个交点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由得：函数的对称轴为，故可得的值；（2）令，对函数进行二次求导，先判断先减后增，在处取得最小值0，故可得单调递增，且，由以上可得交点个数.试题解析：（1）由已知可得的对称轴是，因此（2）考虑，列表可知，仅有一个根x=0，先减后增，在处取得最小值0，即.因此单调递增，注意到，可得对应的曲线只有1个交点19.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设切线的斜率为，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程；（2）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，利用函数的导数，通过①当时，利用，说明不满足题意．②当时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可.试题解析：（I）设切线的斜率为，因为，切点为.切线方程为，化简得：.（II）要使：在区间恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立因为①当时，，不满足题意②当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为20.【答案】(1)证明见解析；(2)256；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由为等比数列可得或，当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，经计算的最大值为不满足题意，而当时，同理计算的最小值为，满足题意；（2）结合（1）中结论，而，，共种情形，根据其规律得A中正数之和为；（3）不失一般性设使得，，，，…，计算得结论成立.试题解析：（1）证明：由题意知，，所以或.当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为.不合题意，舍去.当时，.所以，.（2）解：若，由（I）知，.由题意知，.所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16个.在这16个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取8次，求和时正负相抵.从而，A中正数之和为16×16=256.（3）证明：设使得，，，，…，则，所以.。
北京师范大学第二附属中学2017届高三上学期期中考试数学理试卷 Word版含答案
一、选择题：1. 已知集合{}{}2|11,|2,M x x N x x x Z =-<<=<∈，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}0M N =D ．M N N =2.复数z 满足3z i i =-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,c 2a A ===，且bc <，则b =（ ）A ．3B ．．2 D 4.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，下列四命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//n m B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 5.将函数sin 2y x =的图象先向左平移4π个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（ ） A ．sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．22cos y x =C ．22sin y x = D ．cos y x = 6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83 C ．4 D ．437.如果关于x 的方程213ax x +=的正实数解有且仅有一个，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．{}|0a a ≤ B ．{}|02a a a ≤=或 C ．{}|0a a ≥ D ．{}|02a a a ≥=-或 8.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x '=-（()f x '为函数()f x 的导函数），在[],a b 上有且只有一个不同的零点，则称()f x 是()g x 在[],a b 上的“关联函数”，若()323422x x f x x =-+，是()2g x x m =+在[]0,3上的“关联函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[]1,0- C ．(],2-∞- D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题9.设复数z 满足()122i z i -=+，其中i 是虚数单位，则z 的值为___________．10.若3,2a b == ，且a 与b 的夹角为60°，则a b -=____________．11.命题:p “2,10x R x x ∀∈-+>”，则p ⌝为_____________． 12.已知3,,sin 4245x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2x =___________．13.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且2y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述：①()y f x =是周期函数；②x π=是它的一条对称轴；③(),0π-是它图象的一个对称中心；④当2x π=时，它一定取最大值．其中描述正确的是___________．14.若对任意(),,x A y B A R B R ∈∈⊆⊆有唯一确定的(),f x y 与之对应，则称(),f x y 为关于,x y 的二元函数，现定义满足下列性质的(),f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”： （1）非负性；(),0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：()(),,f x y f y x =；（3）三角形不等式：()()(),,,f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数：①(),f x y x y =-；②()()2,f x y x y =-；③(),f x y =所有可能成为关于,x y 的广义“距离”的序号为____________． 三、解答题15.已知函数()sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的单调递减区间； （2）设α是锐角，且1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． 16.在ABC ∆中，,b,c a 分别是内角,,A B C 的对边，且cos cosC 2B ba c=-+． （1）求角B ；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积．17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60°，1,AP AD ==E ACD -的体积． 18.已知函数32f x ax bx c =-+++图象上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+． （1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式；（2）若函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围． 19.已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数． （1）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程；（2）若对任意,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x xf x =的解的个数，并说明理由． 20.已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，其中()1,1,2,a R i n n l A ∈≤≤>表示和()1i j a a i j n +≤<≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}{}2,4,6,8,2,4,8,16P Q ==，分别求()l P 和()l Q ；（2）若集合{}2,4,8,,2nA = ，求证：()()12n n l A -=；（3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案一、选择题二、填空题：x R ∃∈，使得210x x -+≤成立 12. 2425- 13. ①③ 14. ① 三、解答题 15. （1）()11sin sin sin cos sin 2cos 24444222f x x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()222k x k k Z πππ≤≤+∈得()2k x k k Z πππ≤≤+∈，16.（1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，得2s i n ,2s i n ,2s i n a R Ab R Bc R C ===，所以等式cos cos 2B bC a c=-+可化为 cos 2sin cos 22sin 2sin B R BC R A R C =-+ ， 即cos sin ,2sin cos sin cos cos sin cos 2sin sin B BA B C B C B C A C=-+=-+ ， 故()2sin cos cos sin sin cos sin A B C B C B B C =--=-+， 因为A B C π++=，所以()sin sin A B C =+，故1cos 2B =-， 所以0120B =；（2）由余弦定理，得222132cos120b a c ac ==+-⨯，即2213a c ac ++=， 又4a c +=，解得13a c =⎧⎨=⎩，或31a c =⎧⎨=⎩，所以11sin 1322ABC S ac B ∆==⨯⨯=． 17.（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以EO //PB ，因为EO ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ， ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则()11,,22D E AE ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()(),0,00B m m >，则()(),C m AC m =，设()1,,n x y z = 为平面ACE 的法向量，则1100n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102mx y z ⎧+=+=，可取1n =-⎝ ，又()21,0,0n = 为平面DAE 的法向量，由题设121cos ,2n n =12=，解得32m =， 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 三棱锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=18.（1）()232f x x ax b '=-++，函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，所以()1323f a b '=-++=-，即20a b +=，① 又()112f a b c =-+++=-，得1a b c ++=-，②函数()f x 在2x =-时有极值，所以()21240f a b '-=--+=，③ 由①②③解得2,4,3a b c =-==-， 所以()32243f x x x x =--+-；（2）由（1）知2b a =-，所以()23f x x bx b '=--+，因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()23f x x bx b '=--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()2122000f b b f b '-=-++≥⎧⎪⎨'=≥⎪⎩，得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞． 19.（1）由题意得，()()()0sin ,cos ,0cos01xf x xg x e x g e ====；()()()cos sin ,01x g x e x x g ''=-=；故曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程为1y x =+； （2）对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x xf x m ≥+恒成立可化为 ()()min m g x xf x ≤-⎡⎤⎣⎦，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()()(),,02h x g x xf x x π⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()cos sin sin cos cos 1sin xx x h x e x x x x x e x x e x '=---=--+，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()()cos 0,1sin 0x xe x x e x -≥+≤；故()0h x '≥， 故()h x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故当2x π=-时，()min 22h x h ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 故2m π≤-；（3）设()()()H x g x xf x =-，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 则当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()()cos sin sin cos cos 1sin x x x H x e x x x x x e x x e x '=---=--+，当2x π=，显然有02H π⎛⎫'<⎪⎝⎭； 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由sin 1tan 1,11cos 11x x x x e x x x x e e -+=≥=-<++，即有sin cos 1x x x e x x e ->+， 即有()0H x '<，所以当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，总有()0H x '<， 故()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至多有一个零点；又40424H e πππ⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，022H ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；且()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的， 故函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． 20.（1）由246,2682810,4610.4812,6814+=+=+=+=+=+=，得()5l P =， 由246,281021618,4812.41620,81624+=+=+=+=+=+=得()6l Q =； （2）因为()1i j a a i j n +≤<≤共有()212n n n C -=项，所以()()12n n l A -≤， 对于集合{}2,4,8,,2nA = ，任取i j a a +和k l a a +，其中1,1i j n k l n ≤<≤≤<≤，当j l ≠时，不妨设j l <，则122j i j j l k l a a a a a a ++<=≤<+，即i j k l a a a a +≠+；当j l =时，若()1i j a a i j n +≤<≤的值两两不同， 因此，()()12n n l A -=；（3）不妨设123n a a a a <<<< ，则可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<<+<+<<+ ，从而()1i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n ≥-，取{}1,2,3,,n A = ，则{}3,4,5,,21i j a a n +∈- ，即i j a a +的不同值共有23n -个， 因此，()l A 的最小值为23n -．。
北京师大实验中学高三(上)期中数学试卷含答案
=
푓(푥) 푥
+
푎，转化为ℎ(푥)在
[1, + ∞)单调递增即可．
本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数
的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较
大．
【解答】 解： ∵ 对于任意的푥1，푥2 ∈ [1, + ∞)，且푥1 < 푥2，都有푥2 ⋅ 푓(푥1)−푥1 ⋅ 푓(푥2) < 푎(푥1−푥2)
10. 等比数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛，已知푆1，2푆2，3푆3成等差数列，则{푎푛}的公比为 ______．
11. 设훥퐴퐵퐶的内角퐴,퐵,퐶所对边的长分别为푎,푏,푐.若푏 + 푐 = 2푎，3sin퐴 = 5sin퐵,则角 퐶 = _____．
{ 12. 已知函数푓(푥) = 푥42푥−+푥42푥,푥,푥<≥00若푓(2−푎2) > 푓(푎)，则实数 a 的取值范围为
푦
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0 ，一定得到
0
= 1.再由充分必要条件的概念得答案．
本题考查函数的概念，考查充分必要条件的判断，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：푦 = log2(2푥 + 4) = log22(푥 + 2) = log22 + log2(푥 + 2) = 1 + log2 (푥 + 2)， 故只需将函数푦 = log2(푥 + 2)
푆5 > 푆6 > 푆4，可得푎 > 0 푎 < 0 푎 + 푎 > 0 푑 < 0
，
，
，
，再利用等差数列的通项公式、
2017北师大二附中高三(上)期中数 学(理)
2017北师大二附中高三（上）期中数学（理）一、选择题：1．（3分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N2．（3分）复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（3分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2 C．2 D．4．（3分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．（3分）将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx6．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．7．（3分）如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0} B．{a|a≤0或a=2} C．{a|a≥0} D．{a|a≥0或a=﹣2}8．（3分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．二、填空题9．（3分）设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．10．（3分）若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=11．（3分）命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．（3分）已知，则cos2x= ．13．（3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．14．（3分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y 的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？数学试题答案一、选择题：1．【解答】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．【解答】由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．【解答】a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．4．【解答】A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．5．【解答】函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y=cosx的图象所以函数的解析式为y=cosx．故选：D．6．【解答】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则该几何体的体积是=故选D．7．【解答】由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，构造函数f（x）=ax3﹣3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．又∵f'（x）=3x（ax﹣2）①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解满足要求；②当a＞0时，则得f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0，x=入原方程得到正数解a=2，满足要求；③当a＜0时，同理f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（，0）上单调递增f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意综上：a≤0或a=2．故答案为：{a|a≤0或a=2}8．【解答】f′（x）=x2﹣3x+4，∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题9．【解答】∵（1﹣i）z=2+2i，∴z====2i，∴|z|=2故答案为：210．【解答】∵||=3，||=2，且与的夹角为60，∴||====，故答案为：．11．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．【解答】∵sin（﹣x）=（cosx﹣sinx）=﹣，解得：cosx﹣sinx=﹣，∴两边平方可得：1﹣sin2x=，可得：sin2x=，∵x∈（，），2x∈（，π），∴cos2x=﹣=．故答案为：．13．【解答】∵为偶函数∴f（﹣x+）=f（x+），对称轴为而y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x+）=﹣f（x﹣）=f（x+）即f（x+）=﹣f（x﹣），f（x+π）=﹣f（x），f（x+2π）=f（x）∴y=f（x）是周期函数，故①正确x=（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确（﹣π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确当时，它取最大值或最小值，故④不正确故答案为：①③14．【解答】对于①，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1），f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于②不满足（3）对于③不满足（2）故答案为①三、解答题15．【解答】（Ⅰ）= cos2x﹣sin2x=cos2x．由 2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得 kπ≤x≤kπ+，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）∵α是锐角，且，∴=，α=．∴f（α）=cos2x= cos==﹣．16．【解答】（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．17．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．18．【解答】f′（x）=﹣3x2+2ax+b，（2分）因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，（3分）又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．（4分）（1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，（5分）解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，（7分）所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（8分）（2）因为函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，（10分）则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）（14分）19．【解答】（1）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=e x sinx，∴g（0）=e0sin0=0；g'（x）=e x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x；（2）设H（x）=g（x）﹣xf（x），；则当时，H'（x）=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx=（e x﹣x）cosx﹣（e x﹣1）sinx，当，显然有；当时，由，即有，即有H'（x）＜0，所以当时，总有H'（x）＜0，故H（x）在上单调递减，故函数H（x）在上至多有一个零点；又，；且H（x）在上是连续不断的，故函数H（x）在上有且只有一个零点．20．【解答】（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（5分）（Ⅱ）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．又集合A=2，4，8，，2n，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则a i+a j＜2a j=2j+1≤a l＜a k+a l，即a i+a j≠a k+a l．当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l．因此，当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（9分）（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．事实上，设a1，a2，a3，，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j=a1+a i+j﹣1；当i+j＞n时，a i+a j=a i+j﹣n+a n；因此每个和a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个．所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．（13分）。
北京市西城区北师大实验2017届高三上学期12月月考数学(文)试题 Word版含解析
北京师大附中2016—2017学年度第一学期月考试卷高三数学（文）一、选择题：1. 已知全集，集合，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，故选点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 设，，，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.3. 设命题，，则为（）．A.， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】∵命题∴为：故选：C4. “数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】数列既是等差数列又是等比数列，则可知是常数列，所以充分性成立；若是常数列，则不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的充分不必要条件，故选A。
5. 若实数、满足，则的最大值为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】所以过时，，故选D。
6. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）．A. B. C. D.【答案】D考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．7. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，，；，；，；，；，；此时满足判定条件，故输出的值，故选。
8. 定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递增，设，，，则、、大小关系是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由，知是周期为2的周期函数，因为是偶函数，所以在单调递减，，，，因为，所以，即，故选D。
点睛：本题考察抽象函数的性质，由知是周期为2的周期函数，又因为是偶函数，所以在单调递减，由此我们可以得到的草图，再将题目中的利用函数性质转化到内，利用单调性判断大小。
2017届北京市西城区北师大附属实验高三上学期期中考试数学(理)试题(word版,缺答案)
北京师范大学附属实验中学2016-2017学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．集合2{|4}Mx x ≤，1|01Nx x 则M N（）．A ．(1,2)B ．1,2C ．1,2D ．[1,2]2．在等差数列{}n a 中，21a ，45a ，则{}n a 的前5项和5S （）．A ．7B ．15C ．20D ．253．已知向量(1,)am ，(3,2)b且()a b b ⊥，则m （）．A ．8B ．6C ．6D ．84．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）．A ．1yx B ．2yxC ．1yxD ．||yx x 5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q ”是“{}n a 为递增数列”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0x 是函数11()2xf x x的一个零点，10(,)x x ，20(,0)x x ，则（）．A ．1()0f x ，2()0f xB ．1()0f x ，2()0f xC ．1()0f x ，2()f x D ．1()0f x ，2()f x 7．已知函数π()sin()0,||2f x x ≤，π4x为()f x 的零点，π4x 为()y f x 图象的对称轴，且()f x 在π5π,1836单调，则的最大值为（）．A ．11B ．9C ．7D ．58．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.821.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳（单位：次）7563a6063721a70b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）．A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．3号学生进入30秒跳绳决赛C ．7号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z 满足(1i)1z ，则z__________．10．已知向量a ，b 满足||1a ，||2b ，a 与b 的夹角为60，则||a b __________．11．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 在同侧河岸边选定一点C ，测出AC 距离为50m ，45ACB∠，105CAB∠，则A 、B 两点的距离为__________m ．CBA12．设等比数列{}n a 满足1310a a ，245a a ，则12n a a a 的最大值为__________．13．设函数21,2()1log ,2xa xf x x x ≥的最小值为1，则实数a 的取值范围是__________．14．对于函数()yf x ，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x 成立，则称函数()f x 具有性质T ．（1）下列函数中具有性质T 的有__________．①()222f x x ②()sin ([0,2π])f x x x ③1()f x xx ，((0,))x④()ln(1)f x x （2）若函数()ln f x a x 具有性质T ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin3sin sin (0)2f x x x x的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求函数()f x 的区间2π0,3上的取值范围．16．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，13a ，其前n 项和n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b ，公比为q ，且2212b S ，22S qb ．（Ⅰ）求n a 与n b ．（Ⅱ）设数列{}n c 满足1nnc S ，求{}n c 的前n 项和n T ．17．（本小题满分13分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c ．（Ⅰ）求角C ．（Ⅱ）若7c，ABC △的面积为332，求ABC △的周长．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x ，2()eexx g x ．（Ⅰ）求函数()f x 的区间[1,3]上的最小值．（Ⅱ）证明：对任意m ，(0,)n ，都有()()f m g n ≥成立．19．（本小题满分14分）已知函数322()()f x xaxbx a xR ，a ，b 为常数．（Ⅰ）若函数()f x 在1x 处有极值10，求实数a ，b 的值．（Ⅱ）若函数()f x 是奇函数．（1）方程()2f x 在[2,4]x 上恰有3个不相等的实数解，求实数b 的取值范围．（2）不等式()20f x b ≥对[1,4]x恒成立，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数集1212{,,,}(1,2)n n Aa aa a aa n ≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，i ，(1)j i j n ≤≤≤，使得k i j a a a 成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由．（Ⅱ）求证：1212(2)n n a a a a n ≤≥．（Ⅲ）若72na ，求数集A 中所有元素的和的最小值．。
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北京师范大学附属实验中学
2016-2017学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．集合2{|4}M x x =≤，1|01N x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭则M N =（ ）．
A ．(1,2)
B ．[)1,2
C ．(]1,2
D ．[1,2] 2．在等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则{}n a 的前5项和5S =（ ）．
A ．7
B ．15
C ．20
D ．25
3．已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-且()a b b +⊥，则m =（ ）．
A ．8
B ．6
C ．6-
D ．8-
4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）．
A ．1y x =+
B ．2y x =-
C ．1y x =
D ．||y x x =-
5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知0x 是函数11()2x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点，10(,)x x ∈-∞，20(,0)x x ∈，则（ ）． A ．1()0f x <，2()0f x <
B ．1()0f x >，2()0f x >
C ．1()0f x >，2()0f x <
D ．1()0f x <，2()0f x >
7．已知函数π()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭≤，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调，则ω的最大值为（ ）． A ．11 B ．9 C ．7 D ．5
8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
在这 ）．
A ．2号学生进入30秒跳绳决赛
B ．3号学生进入30秒跳绳决赛
C ．7号学生进入30秒跳绳决赛
D ．9号学生进入30秒跳绳决赛
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =__________．
10．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则||a b -=__________．
11．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 在同侧河岸边选定一点C ，测出AC 距离为50m ，45ACB =︒∠，105CAB =︒∠，则A 、B 两点的距离为__________m ．
12．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12
n a a a 的最大值为__________．
13．设函数21,2()1log ,2
x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥的最小值为1-，则实数a 的取值范围是__________．
14．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质T ． （1）下列函数中具有性质T 的有__________．
①()2f x x =-+ ②()sin ([0,2π])f x x x =∈ ③1()f x x x
=+，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质T ，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数2π()sin sin (0)2f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）求函数()f x 的区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围．
16．（本小题满分13分）
在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22
S q b =． （Ⅰ）求n a 与n b ．
（Ⅱ）设数列{}n c 满足1
n n
c S =，求{}n c 的前n 项和n T ．
17．（本小题满分13分）
ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （Ⅰ）求角C ．
（Ⅱ）若c ABC △，求ABC △的周长．
18．（本小题满分13分）
已知函数()ln f x x x =，2()e e x x
g x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的区间[1,3]上的最小值．
（Ⅱ）证明：对任意m ，(0,)n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．
19．（本小题满分14分）
已知函数322()()f x x ax bx a x =--+∈R ，a ，b 为常数． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值10，求实数a ，b 的值． （Ⅱ）若函数()f x 是奇函数．
（1）方程()2f x =在[2,4]x ∈-上恰有3个不相等的实数解，求实数b 的取值范围． （2）不等式()20f x b +≥对[1,4]x ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知数集1212{,,,}(1,2)n n A a a a a a a n ==<<≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，i ∃，(1)j i j n ≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由． （Ⅱ）求证：1212(2)n n a a a a n -++≤≥．
（Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．。