正切函数的图像与性质
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正切函数的性质和图象
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,
2
y tan x
k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2
2
2
o
2
2
x
• 解不等式
1 tan x 0
2
对称轴： 对称中心：(
x k , k Z
2
k , 0) k Z
b tan a
要使得上式有意义，必须 a≠0； 即角α的终边不能落在 y 轴上。
对于正切函数y tan x，只有x k , k Z 2 才能使得y tan x有意义。
正切函数y tan x的定义域是 x | x k , k Z 2
函数
y
1
y=sinx
y
1
y=cosx
图像 定义域 值域
2
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
x 2k 时， ymax 1 2 最值 x 2k 时，ymin 1 2 x[- 2k , 2k ] 增函数 2 2 单调性 x[ 2k , 3 2k ] 减函数 2 2
tan(x+π)=tanx，x∈R，x≠π/2+kπ，k∈Z
正切函数是周期函数，周期T= π
tan(-x)=-tanx，x∈R，x≠π/2+kπ ，k∈Z
(完整版)正切函数的性质与图像.ppt
2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
正切函数的图像和性质 (精致版)
奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
正切函数的图像和性质
4
2
2
44
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
; 家装 装潢
；
角度开拓思路。“一方有难，八方支援”，这是中华民族的优良传统。大灾面前，中华民族空前的团结起来，这让世界再次见识了中华民族的伟大、坚强和不可摧毁。 ? 思路四、从赞颂“万众一心、众志成城的民族精神”的角度开拓思路。中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族， 舟曲特大泥石流灾害再次冲击了中国人的心，但冲不垮中国人的坚强。汶川地震见了这种坚强，玉树地震见了这种坚强，泥石流再一次见了这种坚强。生于忧患，死于安乐。市场经济下因物质利益诱惑冲蚀而缺失的人文素养，被滚滚的泥石流生生地揪扯出来，大大激发了中华民族的斗志， 再一次使万众一心、众志成城的民族精神得到了回归。 ?思路五、从“人与自然关系”的角度开拓思路。舟曲特大泥石流再次让人们见识了人类在自然面前的弱小、无助。虽然人类的科技越来越发达，人类的活动领域越来越得到拓展，然而，当大的自然灾害来临的时候，人类仍然显得那 么的束手无策。印度洋海啸、缅甸风暴、汶川地震、冰岛火山、玉树地震、舟曲泥石流……造成巨大的人员伤亡和财产损失。但这是否就意味着人类就应该就此止步，听天由命呢？答案很显然是否定的。人类需要更好地发展科学研究，更好地研究自然、利用自然，和自然和谐发展。 附： 给作文一个超过50分的理由 ? ? 高中生作文训练一直有这样的怪事：应届生作文写作训练了三年，可作文得分几乎总是在42分—48分之间游移；复读生复习一年快结束了，作文练了不少，可作文得分也总是在42分—48分之间徘徊；那些平时按老师要求按时按量老老实实写作文者，和那 些平时很少写甚至从不写作文者，考试中其作文得分一样都是在42分—48分之间沉浮。 ? 作文训练中的症结何在？高考前短时间内如何让作文超过50分？ 一、明白一个道理：为啥作文得分总在42分—48分之间？ ? 学生作文之所以得分常在42分—48分之间，那是因为就学生群体而言， 必须是这样的赋分。就绝大多数高中生而言，经过多年的母语听说读写训练后，作文达到36分的及格水平自不在话下；相当多的学生在相当多的时候，作文达到良好水平并接近优秀水准，即作文得分在42分—48分之间，自然也在情理之中；但是，一个学生的作文要得分在48分以上，要在
正切函数的图象及性质
11 6
●
2
●
2
0
6
3
2
2 3
5 6
● ● ● ● ●
x
3 2
-1
现在利用正切线画出函 数y tan x, x (
y
, )的图象 2 2
1
o1
2
4
0
1
4
2
x
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象 , 并把它 叫做正切曲线. 2 y
（2） y tan x 性质: 定义域
值 周 奇 域 期 偶 性 奇 R 函 数
单调增区间
对 称 中心
渐近线 方程
x x k ，k Z 2
k， x k 0 k ，k 2 2 2 k Z k Z k Z
2
正切函数的主要性质如下:
定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性
xx
2 k , k Z
实数集
T
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在（
k， k），k Z内为增函数 2 2
例1.求函数 y tan x ）的定义域 , 周期和单调区间。 （ 4
解：令 z x
y
解：
3 2
2
0
2
3 2
x
(1). x (k
2
, k ), (k Z )
正切函数图像与性质
2
温故知新
回顾1：我们在学习正弦、余弦函数的图象时学习 过哪些作图方法？ 几何描点作图法： 作正弦函数y=sinx的图象 作余弦函数y=cosx的图象 平移变换作图法： 作正弦、余弦函数的简图 五点作图法： 问题1：我们选择哪种方法作正切函数的图象？ 几何描点作图法
正切函数的图象和性质 一、引入 如何几何描点法作正弦函数图象呢？
栏目 导引
知识回顾：任意角的正切线
y
T
y
x
o
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
第一章
三角函数
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3 8 4 8
11 tan( ) tan , 4 4 2
2 4
13 2 tan( ) tan 5 5
又y tan x在(
2 tan tan 4 5
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
5
2 2 ,
2
)是增函数
k , k , k z 2 2
2
k x
4
2ຫໍສະໝຸດ k , k z 函数y tan(x )的单调递增区间是： k , k , k z 4 4 4
温故知新
回顾1：我们在学习正弦、余弦函数的图象时学习 过哪些作图方法？ 几何描点作图法： 作正弦函数y=sinx的图象 作余弦函数y=cosx的图象 平移变换作图法： 作正弦、余弦函数的简图 五点作图法： 问题1：我们选择哪种方法作正切函数的图象？ 几何描点作图法
正切函数的图象和性质 一、引入 如何几何描点法作正弦函数图象呢？
栏目 导引
知识回顾：任意角的正切线
y
T
y
x
o
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
第一章
三角函数
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3 8 4 8
11 tan( ) tan , 4 4 2
2 4
13 2 tan( ) tan 5 5
又y tan x在(
2 tan tan 4 5
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
5
2 2 ,
2
)是增函数
k , k , k z 2 2
2
k x
4
2ຫໍສະໝຸດ k , k z 函数y tan(x )的单调递增区间是： k , k , k z 4 4 4
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
正切函数的图像和性质
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
C．充要条件
4.10 正切函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程
所以函数 y tan x 的定义域是 x x k，k Z 4 4
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
13 11 tan 与 tan ． tan 167 与 tan 173 ；（2） （ 1） 5 4 3 11 解：（ 1 ）∵ tan 90 173 180 167 （2）∵ tan 4 4 13 90 3 x ， 上是增函数 又 ∵ y tan ，在 270 tan tan 5 5 tan 167 tan 173 3 3 3 ∴ 3 y tan x 又∵ ，函数 ，x ， 2 4 5 2 2 2
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（2）教师布置任务：请大家尝试作出正切函数的图像。（学生可类比正弦函数，用几何法作出其一个周期内图像，也有的学生用描点法作出部分图像）
（3）教师巡视指导。
用最直观的形式展现知识，易于理解。尝试作图的过程可锻炼分析能力，提高想象力。
2探究新知
（1）用投影仪展示学生作图，教师点评。（表扬为主，同时指出不足之处）
点评：通过此例可了解图像平移后函数的哪些性质不变，哪些性质变化了。
例2比较tan135°与tan138°的大小。
解：∵90°＜135°＜138°＜270°，且 在此范围内是增函数，∴tan135°＜tan138°。
点拨：比较三角函数值大小要在同一单调区间内。
例题帮助学生巩固新知，学会利用函数性质解决相关问题。
教学目标
知识目标：能画出正切函数的图像；能够由函数图像及解析式分析掌握正切函数的定义域，值域，单调性，周期性，奇偶性。
能力目标：掌握系统研究函数性质的基本方法；其中体现的数形结合思想锻炼学生作图看图能力，将图形语言转化为数学表达式的能力。
情感目标：培养严谨的思维习惯；提高分析问题的能力，归纳能力，独立或合作解决问题的能力；体会数学的形之美，抽象之美，培养对数学的兴趣。
（2）应用平移相应的正切线作出函数y=tanx在一个周期内的图像,并通过不断地左、右平移形成其定义域内的全图。（几何画板中展示）
（3）布置任务： 图像有何特征？ 观察正切曲线，分组讨论函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。 正切函数在其定义域内是单调函数吗？
（4）点拨引导，师生共同概括。
注：理解正切曲线是由被相互平行直线 隔开的无穷多支曲线组成的。正切曲线向上或向下延伸时，越来越靠近这些平行线，这时正切值无限增大或减小。
教学重点和难点
重点：正切函数的图像及性质
难点：作图
教学方法
学生在教师的引导下，类比正弦函数、余弦函数的学习方法，自主探究学习正切函数的基本性质。
教学过程
教学
环节
教师行为及预设学生行为
设计意图
1新课引入
（1）我们上节课学习了正切函数的定义及正切线，请学生回顾。教师在几何画板中动态演示不同范围角的正切线的变化。（学生可通过这一过程了解正切值在不同范围的变化规律）
作业：教材第39页练习第4题，第40页B组第2题。
归纳概括，心中有数。
板书设计
一正切函数的图像二正切函函数的基本性质三例题
学生学习活动评价设计
1课内评价：同桌之间看解决老师布置的思考题练习题情况，互相给分。
2课外评价：教师批改课外作业。
教学反思
1重难点突出。
2本课让学生从不同角度研究函数，从而体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其它函数的研究中去。
3不足之处，教学语言还可再简练些，提问能力还需再锻炼。
通过分组讨论培养学生合作精神，探索的过程可熟悉学习函数的方法，提高分析问题能力，将图形语言转化为数学语言的能分析：将正切函数图像向左平移 个单位长度可得其图像，根据图像讨论性质。
解：定义域：｛ ｝
值域：R
奇偶性：非奇非偶函数
周期性：周期是 ，最小正周期是
单调性：在 上是增函数
4练习
1比较tan1 ,tan2 ,tan3 ,tan4的大小。
2求函数 的定义域。
3观察正切曲线，写出满足下列条件的 的取值范围。
（1）tan ＞0 ; (2) tan ＜0 ;
(3) tan = 0.
巩固新知，学会应用。
5复习小结
1类比正弦函数图像的画法作出正切函数图像。
2本节课我们探讨了正切函数的图像和性质，请同学们一起回顾。
基本信息
课题
北师大版必修4第一章第七节正切函数的图像与性质（第1课时）
作者及工作单位
教材分析
正切函数是高中阶段的基本函数之一也是本章重要知识，三角函数知识是高中数学的一块重要知识，在高考中所占比重较大，这节内容与前面正弦函数余弦函数相衔接，也为后面学习三角形式的复合函数积累经验，方法。
教学背景
（1）面向普通中学高一年级学生。（2）通过前几节的学习，学生已掌握研究三角函数的一般过程和方法，学习中不会有太多障碍。知识生成过程以学生思考得出结论为主，教师引导为辅。（3）学习了正切函数的定义和正切线。
（3）教师巡视指导。
用最直观的形式展现知识，易于理解。尝试作图的过程可锻炼分析能力，提高想象力。
2探究新知
（1）用投影仪展示学生作图，教师点评。（表扬为主，同时指出不足之处）
点评：通过此例可了解图像平移后函数的哪些性质不变，哪些性质变化了。
例2比较tan135°与tan138°的大小。
解：∵90°＜135°＜138°＜270°，且 在此范围内是增函数，∴tan135°＜tan138°。
点拨：比较三角函数值大小要在同一单调区间内。
例题帮助学生巩固新知，学会利用函数性质解决相关问题。
教学目标
知识目标：能画出正切函数的图像；能够由函数图像及解析式分析掌握正切函数的定义域，值域，单调性，周期性，奇偶性。
能力目标：掌握系统研究函数性质的基本方法；其中体现的数形结合思想锻炼学生作图看图能力，将图形语言转化为数学表达式的能力。
情感目标：培养严谨的思维习惯；提高分析问题的能力，归纳能力，独立或合作解决问题的能力；体会数学的形之美，抽象之美，培养对数学的兴趣。
（2）应用平移相应的正切线作出函数y=tanx在一个周期内的图像,并通过不断地左、右平移形成其定义域内的全图。（几何画板中展示）
（3）布置任务： 图像有何特征？ 观察正切曲线，分组讨论函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。 正切函数在其定义域内是单调函数吗？
（4）点拨引导，师生共同概括。
注：理解正切曲线是由被相互平行直线 隔开的无穷多支曲线组成的。正切曲线向上或向下延伸时，越来越靠近这些平行线，这时正切值无限增大或减小。
教学重点和难点
重点：正切函数的图像及性质
难点：作图
教学方法
学生在教师的引导下，类比正弦函数、余弦函数的学习方法，自主探究学习正切函数的基本性质。
教学过程
教学
环节
教师行为及预设学生行为
设计意图
1新课引入
（1）我们上节课学习了正切函数的定义及正切线，请学生回顾。教师在几何画板中动态演示不同范围角的正切线的变化。（学生可通过这一过程了解正切值在不同范围的变化规律）
作业：教材第39页练习第4题，第40页B组第2题。
归纳概括，心中有数。
板书设计
一正切函数的图像二正切函函数的基本性质三例题
学生学习活动评价设计
1课内评价：同桌之间看解决老师布置的思考题练习题情况，互相给分。
2课外评价：教师批改课外作业。
教学反思
1重难点突出。
2本课让学生从不同角度研究函数，从而体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其它函数的研究中去。
3不足之处，教学语言还可再简练些，提问能力还需再锻炼。
通过分组讨论培养学生合作精神，探索的过程可熟悉学习函数的方法，提高分析问题能力，将图形语言转化为数学语言的能分析：将正切函数图像向左平移 个单位长度可得其图像，根据图像讨论性质。
解：定义域：｛ ｝
值域：R
奇偶性：非奇非偶函数
周期性：周期是 ，最小正周期是
单调性：在 上是增函数
4练习
1比较tan1 ,tan2 ,tan3 ,tan4的大小。
2求函数 的定义域。
3观察正切曲线，写出满足下列条件的 的取值范围。
（1）tan ＞0 ; (2) tan ＜0 ;
(3) tan = 0.
巩固新知，学会应用。
5复习小结
1类比正弦函数图像的画法作出正切函数图像。
2本节课我们探讨了正切函数的图像和性质，请同学们一起回顾。
基本信息
课题
北师大版必修4第一章第七节正切函数的图像与性质（第1课时）
作者及工作单位
教材分析
正切函数是高中阶段的基本函数之一也是本章重要知识，三角函数知识是高中数学的一块重要知识，在高考中所占比重较大，这节内容与前面正弦函数余弦函数相衔接，也为后面学习三角形式的复合函数积累经验，方法。
教学背景
（1）面向普通中学高一年级学生。（2）通过前几节的学习，学生已掌握研究三角函数的一般过程和方法，学习中不会有太多障碍。知识生成过程以学生思考得出结论为主，教师引导为辅。（3）学习了正切函数的定义和正切线。