双曲线的几何性质(说课稿)
“双曲线的几何性质”说课稿
一、教材分析
1、教材的地位与作用
双曲线的几何性质是在学习完了椭圆基本知识和双曲线的标准方程之后要研究的课题。
它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础;有助于学生理解、体会利用代数方法研究几何问题的解析几何观念，提高学生的数学素质。
2、教学目标的确定及依据
根据教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教学目标。
⑴知识目标：①使学生理解和掌握双曲线的范围，对称性，顶点等性质。
②理解渐近线的证明方法。
③理解离心率和双曲线形状间的变化关系
⑵能力目标：培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。
⑶德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。
重点、难点的确定及依据
重点：方程导出性质及其应用
难点：渐近线的理解。
从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难。
同时渐进线的概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑。
因此，我将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点。
为突破该难点，我从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现。
并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程,完成分析和证明过程。
二、教学方法和手段
采用类比、启发、探索式相结合的教学方法，体现学生的主体作用。
“温故而知新”，关注差生，结合多媒体教学。
三、教学程序
1、创设问题情境导入新课
从研究圆锥曲线的一般流程（定义—标准方程—几何性质及应用）角度提出课题。
首先复习双曲线的定义，标准方程（用课件演示一下），然后要求学生仔细观察双曲线的图形，
问题1：那么双曲线都有哪些几何性质呢？
注意①双曲线标准方程中b 是否也有几何意义？由此介绍实轴、虚轴的概念。
并为矩形框和渐进线的引入做铺垫，
3、设置悬念，突破重点难点
问题2：e 的变化会引起双曲线的形状如何变化？我门先要画出双曲线的草图.
类比椭圆草图的画法，猜想画双曲线的草图是否也能借助“特殊矩形框”？不行,因为利用矩形框无法确定双曲线的走向。
再问：双曲线的走向有何特征呢？及时提示学生，过去可曾学习过的双曲线实例？学生很快想到反比例函数图象.即图象向X 轴，Y 轴逐渐接近，可利用渐进线刻画双曲线的走向和基本形状！于是渐进线的概念自然呈现出来.。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。
引导思考①：那么现在我们正在研究的双曲线是否也应该有这样的特征？即向两条直线逐步接近？
引导思考②：如果有，你能大概地把它画出来吗？（给出正确的画法）
引导思考③：那么这两条直线的方程，该是什么样呢？（给出正确画法，矩形对角线）研究曲线方程，给出猜想。
但事实真的是这样吗？那么如何通过方程来证明我们所观察出的这个性质呢？
启发思考①：哪个量反映了”无限接近但永不相交”----距离(工具是什么：点到直线的距离公式）
启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）
最后给出渐近线的概念，要求学生仔细阅读课本，比较这种证法和课本上的证法的异同。
明确证明过程中寻找的是有相同横坐标的两个点，引导学生思考可以找纵坐标相同的两点吗？可以，并介绍第三种证明方法
总结：①渐近线是双曲线特有的性质，利用它作双曲线很方便且准确。
②回到：为什么e 变大，双曲线的形状越开阔？ 问题3:揭示离心率的几何意义
采取先直观演示，再代数分析的方式。
b/a=12
-e
通过对以上三个问题的解决，深入研究，使学生对双曲线的简单几何性质有了全面完整的认识。
5、典型例题 例1、求双曲线14
82
2=-y x 的实轴长、虚轴长，离心率，焦点坐标、顶点坐标，渐近线方程，(口答) (用课件演示双曲线画法,复习画草图的必要条件---渐进线)
例2、(教材例题1)求双曲线9x 2-16y 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐
近线方程。
(特别归纳总结渐近线方程的简洁求法。
化”1”为”0”)
问题：反过来，已知渐近线方程，能否求出双曲线方程呢？
思考题3:知识拓展
求与双曲线 116
92
2=-y x 有共同的渐近线且过点（-3， 32 ）的双曲线方程。
为下一节课学习双曲线系方程共轭双曲线作铺垫。
（6）学习等轴双曲线的概念，并分析其性质。
四、反馈巩固练习：
五、归纳总结
小结的处理，先由学生对本节课进行小结，然后再由教师归纳总结，以此来培养学生归纳的思想方法。
六、作业
欣赏短文 “情侣”曲线——椭圆与双曲线
并用几何画板演示动点的轨迹，让学生在运动变化中感受数学美。
七、教学结构流程图
复习引入
提出问题 引导回顾
双曲线四个 椭圆四个
几何性质 几何性质
深入观察分析 渐近线
等轴双曲线，
反馈练习
归纳总结。
双曲线的几何性质说课稿省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
本课主要内容是双曲线旳几何性质，所以本课要点是引导学生 探求双曲线旳几何性质， 并利用类比及数形结合旳思 想来处理数 学问题。
双曲线旳实轴、虚轴、渐进线旳概念是双曲线所特有旳，而渐 进线定义是解几中第一次用极限旳思想来进行证明旳， 所以这些 都是本节课旳难点。
3、教学目的
（1）认知目旳 ：根据以上分析及教学纲领旳要求，本节课旳教学 目旳为：
6、布置作业
（1）对焦点在Y轴上旳双曲线性 质进行论述（2）课本 P 102 、 10、12
学生比较 学生简述
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课堂练习
1、双曲线的两条准线把焦点间的距离三等分，则此双曲线的离心率是（）
（3）椭圆旳几何性质是从哪些方面研究旳？ （4）椭圆有哪些几何性质？ （5）离心率旳大小对椭圆旳形状有何影响 （6）双曲线旳离心率旳大小对其形状有何影响？
2.几何性质探求所得结论：
（1）双曲线在X=a、X=-a之间无图象 （2）当X旳绝对值无限增大时，
Y旳值也无限增大。 （3）双曲线与Y轴无交点 （4）离心率影响曲率旳大小
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称性、离心率，为使学生深刻思
索，可继续体问。
3、学习例1（课本例2） 此时学生已具有了双曲线旳有关概念知识，所以采用填空题形式
高二上册《双曲线的简单几何性质》说课设计
高二上册《双曲线的简单几何性质》说课设计一、课程背景双曲线是高中数学中的重要内容，属于解析几何的一部分。
在高中数学中，学生已经学习了直线、圆等曲线的相关知识，对于曲线的性质有一定的了解。
本课程是高二上学期的一节课，旨在引导学生了解双曲线的简单几何性质，并且能够应用这些性质解决实际问题。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1.掌握双曲线的定义与几何性质；2.理解双曲线与直线的关系；3.运用双曲线的性质解决实际问题。
三、教学重点与难点教学重点：1.双曲线的定义与几何性质；2.双曲线与直线的关系。
教学难点：1.运用双曲线的性质解决实际问题。
四、教学过程1. 导入与激发一开始，我会给学生出示一道问题：“有两个相互垂直的直线，这两个直线上分别有一个动点A和B，它们到两个直线的垂足的距离都是常数。
请画出这两个可能的轨迹。
”引导学生思考，并逐步引出双曲线的概念。
2. 概念讲解接下来，我将对双曲线的定义进行详细讲解。
首先，介绍双曲线的定义：“设F1、F2是平面上两个定点，且距离为2a，点M是平面上任意一点，若MF1-MF2=2a，那么点M的轨迹称为双曲线。
”然后，进一步解释轨迹的含义以及距离的关系。
通过示意图和具体的实例，帮助学生理解双曲线的几何性质。
3. 几何性质讲解在学生对双曲线有了初步认识后，我将详细讲解双曲线的几何性质，包括焦点、准线、顶点等。
3.1 焦点双曲线的焦点是距离定点的连线与准线所交的点。
提醒学生注意焦点的位置与双曲线的形状之间的关系。
3.2 准线双曲线的准线是与双曲线的两个极坐标轴对称的直线，且与双曲线的焦点和顶点都有特定的关系。
3.3 顶点双曲线的顶点是离离双曲线的焦点最近的点，并且焦点在顶点所在直线上。
引导学生注意顶点与焦点之间的距离关系。
4. 双曲线与直线的关系在学生对双曲线的几何性质有了基本了解后，我将引导学生探究双曲线与直线的关系。
首先，给出一道问题：“对于双曲线和直线，有哪些可能的位置关系？”，通过学生的思考和讨论，引出双曲线与直线的切线、割线等概念。
【免费下载】双曲线的简单几何性质说课稿
《双曲线的简单几何性质》说课稿一、教材分析1.教材中的地位及作用本节内容是人教A版选修2-1第二章第三节双曲线的第二课时，本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双曲线的定义、方程”后进行的，课程标准要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后续的抛物线比较，本节课的要求相对较低。
但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。
一方面，本节课是利用双曲线的方程研究其几何性质。
这是解析几何研究的两个主要问题之一，通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结合的思想；另一方面，通过类比椭圆学习双曲线的几何性质，有利于培养学生科学的思维方法。
2.教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。
课程标准明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。
根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念；,a,cb③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）情感目标：通过本课时对双曲线几何性质的研究、探讨，让不同层次的学生都能切实体验成功的喜悦，感受数学的美和魅力，激发创造的激情，培养审美的情趣。
3.重点、难点的确定及依据根据本节的教学内容和课程标准以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把对双曲线的几何性质的理解和简单应用作为本节课的重点。
渐近线是双曲线的特有性质，也是教学的难点，但课程标准要求相对较低，不要求严格证明，为了突破难点，通过问题引导学生从已有认知水平出发，来发现双曲线的渐近线，然后充分利用多媒体展示，帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。
《双曲线及其标准方程》说课稿
《双曲线及其标准方程》说课稿《双曲线及其标准方程》说课稿1一、教材分析与处理（一）教材的地位与作用学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
（二）学生状况分析学生在学习本节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。
另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律，我希望学生能达到以下三个教学目标。
（三）教学目标1、知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；2、过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3、情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
（四）教学重点、难点依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点为理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。
难点为双曲线标准方程的推导。
（五）教材处理我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。
因为相比之下，几何画板更为形象直观。
通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线的联系和区别。
二、教学方法与教学手段（一）教学方法著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。
”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方式。
重点突出以下两点：1、以类比思维作为教学的主线2、以自主探究作为学生的学习方式（二）教学手段采用多媒体辅助教学，体现在用几何画板画双曲线。
双曲线的简单几何性质说课稿
高二数学双曲线的简单几何性质说课搞说课课题是人教A版选修2—1第二章2.3.1双曲线的简单几何性质（一），下面对本节课进行分析：一、教材分析1、教材的地位与作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义和标准方程后，在此基础上，由标准方程研究其几何性质。
而根据曲线的方程，研究曲线的几何性质并正确作图，是解析几何的基本问题之一，也可以说是解析几何的目的。
因此，本节是非常重要的，它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质，为学生进一步学习数学、物理、化学等打下良好基础。
2、教学目标高考大纲明确要求：学生要知道双曲线的简单几何性质，了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合思想。
根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了以下将要完成的教学目标。
知识与技能：1、知道双曲线的简单几何性质。
2﹑能够根据双曲线方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。
3、能够根据双曲线的性质得出相应的双曲线方程。
4、理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。
过程与方法：培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。
情感、态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念。
3、重点、难点依据教学经验使我认识到，学生对渐近线的接受、理解以及离心率对双曲线的影响有一定的困难。
因此，我把双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系作为本节课的难点。
根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线，离心率这两个性质作为本节课的重点。
二、教材处理1、范围、对称性、顶点的探究，让学生类比椭圆的性质得出双曲线的相关性质，并结合方程加以验证并说出与椭圆的不同。
其中，在顶点中应特别提醒虚轴与短轴不要混淆。
双曲线的几何性质说课稿课件
[设计意图] ：从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，
启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或 图形）特征，培养思维的深刻性。
3、巩固练习：检验教学目标
在新课结束后，教师选取不同类型，难易适当的习题让学 生进行课堂练习。一类为基础题，使学生巩固、加深对所学知 识的理解掌握；二类为提高题，具有灵活性，但难度较低。通 过练习检查本节课的教学质量，及时得到学生的信息反馈，以 便发现和弥补教学中的不足，同时对学生的学法进行指导，使 好的新颖的学习方法、解题技巧得到推广，使学习有困难的学
问题1：椭圆、双曲线的标准方程如何表示？
x2 y2 问题2：椭圆 2 2 1a 0, b 0 有哪些几何性质？ a b
x2
问题3：双曲线 a 生学习的兴趣。
2
y2 b
2
1a 0, b 0
会有哪些几何性质？
[设计意图] ：加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学
2、教学目标
（1）知识与技能 ①使学生理解和掌握双曲线的范围，对称性，顶点等性质。 ②理解渐近线的证明方法。 ③理解离心率和双曲线形状间的变化关系 （2）过程与方法 培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法。
（3）情感态度与价值观 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几 何性质，培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运 用运动的，变化的观点分析理解事物。
5、布置作业：知识再巩固过程 依据大纲，结合学生具体情况，布置 作业：
五、板书设计
§2.2.2 双曲线的简单几何性质
以焦点坐标在轴上的标准方程为例，x 2 y 2 1a 0, b 0 a2 b2 1．范围：x a 与 x a 2. 对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心。 3.顶点： A1 (a,0), A2 a,0
说课——双曲线几何性质
解析几何的教育价值
《课程标准》要求“坐标法”应贯穿 平面解析几何教学的始终，帮助学生 不断地体会解析几何的思想方法。 在教学中应自始至终强化这一思 想方法，这是解析几何的特点
几何问题 代数问题
解析几何主要有两大任务：
几何结论 代数结论
（1）根据曲线的几何条件，把它的代数形式 表示出来； （2）通过曲线的方程来讨论它的几何性质.
存在渐近线， 而且部分同学给出了合理解释， 还有少部分同
|x| | y| 1 的外侧区域。 学分析获得了椭圆应在四线段 a b
教学效果
• 有个别学生发现了：
2n 2n
12
x y 曲线 2 n 2 n 1 随着 n 增大时，越来越接近 a b
10 8 6
一个长为 2 a ，宽为 2b 的长方形。
直角坐标系
点P
适 合 某 条 件
有序数对（x，y）
Xy 满 足 某 关 系
代数化
曲线C 几何特性
方程F（x，y)=0
对 应 代数特性
函数图象性质
函数解析式 的代数特征
f ( x1 ) f ( x2 ) 0( 0) x1 x2 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
学情分析（学习能力）
• 我校是一所北京市首批高中示范校，授课 班级又是理科实验班，思维也比较活跃， 具有一定的研究、学习能力。 • 学生对双曲线的渐近线的发现与认识仍会 存在一定的困难。 • 部分学生在学习中仍过于关注结论，而忽 视结论获得的过程，重视吸收教师所讲的 知识，而缺乏主动质疑、发现、提出问题 的能力比较弱。
类 似 结 构 就 有 此 结 论 吗 ？ 比 如 ： y x x 1
1 x3
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
高一数学《双曲线简单几何性质》说课稿
高一数学《双曲线简单几何性质》说课稿高一数学《双曲线简单几何性质》说课稿在教学工作者开展教学活动前，常常需要准备说课稿，写说课稿能有效帮助我们总结和提升讲课技巧。
那么优秀的说课稿是什么样的呢？下面是小编帮大家整理的高一数学《双曲线简单几何性质》说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。
一、教材分析1.教材中的地位及作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
2.教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。
教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。
根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。
3.重点、难点的确定及依据对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。
因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。
《双曲线的几何性质》教案(公开课)
(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才干解决双曲线中的弦、最值等问题．1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明． ) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心， 2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． )3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解． )提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质 1~3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启示、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质 4)在学习椭圆时，以原点为中心， 2a、2b 为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心， 2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那末双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当 a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部份可写成：当 x 逐渐增大时， |MN|逐渐减小， x 无限增大， |MN|接近于零， |MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部份从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程，将x、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x、y 字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质 5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长 a=4，虚半轴长 b=3．焦点坐标是(0，-5)， (0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=叫做双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上；(2)焦距是 10，虚轴长是 8，焦点在 y 轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为 7六、板书设计。