直线与双曲线的位置关系
重难点02直线与双曲线的位置关系(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
综上所述，实数 k 的值为 5
2
消 去 y， 得 5 x 2 6 x 27 0
设
A、
B
两
点
的
坐
标
分
别
为
(
x
，
1
y1
)、(
x
，
2
y2
)
6
27
x1 x2 5 , x1 x2 5
弦 长 | A B | | x1 x 2 | 1 k 2
( x1 x2 )2 4 x1x2 1 k 2
3
x
2
kx y2
1
可 1
得 (3
k
2
)x
2
2kx
2
0
直线与双曲线有两个交点需满足
3 - k 2 0
4k 2
8(3
k
2
)
<
0
解 解得 得 k6 k 6 或6 且k k 6 3
当当k 6 k6或k6且 k 6时 ，3时直，线直y 线 kyxk1x与 1 与双双曲曲线线33xx22-- yy22 11有没两有个交交点点
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2 ＞0 异侧: x1 x2 ＜0
一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
特别注意直线与双曲线的 位置关系中：
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
8(3
k
2
)
0
解 得 6 k 6且 k 3
当 6 k 6且 k 3时 ， 直 线 y kx 1 与 双 曲 线 3 x 2 - y 2 1有 两 个 交 点
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
高考数学专题直线与双曲线的位置关系
直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=， 或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y kk y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（） (A) 4条(B) 3条(C) 2条(D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（）（A ）相交（B ）只有一个交点（C ）相离（D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y 的通径长是(A)49(B)29(C) 9(D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程．三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1．过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有() A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条解：过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B. 2、若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1解：直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近 线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k<－1.3、过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)直线与双曲线的位置关系
第12页
探究1
解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量， 转化成关于 x 或 y 的一元二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线 的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时， 就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交且只有 一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位 置关系.
∴|MN|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2·
＝6（|3k－2＋k21|）＝4.解得 k＝± 515.
∴直线 l 的方程为 y＝± 515(x－2).
－ 3－4kk222＋4（43－k2＋k23）
第15页
题型二 弦长问题
例 2 (1)求直线 y＝x＋1 被双曲线 x2－y42＝1 截得的弦长. 【解析】 由x2－y42＝1，得 4x2－(x＋1)2－4＝0.
y＝x＋1，
即 3x2－2x－5＝0.①
设方程①的解为 x1，x2， ∴x1＋x2＝32，x1x2＝－53.
∴弦长 d＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2×
第7页
知识点二 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k12·|y1－y2| ＝ 1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
第5页
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系的判断 (1)根据图像交点个数来判断 相交：相离: 相切:（特殊情况）相交于一个交点的情况,直线和__________平行时，直线和双曲线相交于一点. 2代数法：根据直线和双曲线方程的公共解个数来判断位置关系 设直)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax联立2222(0)1y kx m m y x ab =+≠⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得 02)(222222222=----ba m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； （2）若0222≠-k a b 即ab k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； 0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； 0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的 条件。
直线l 与双曲线相交于两点时，若相交于同侧（两个交点在一支上）的条件为0x x >⎧⎨>⎩；若相交于异侧（两个交点在不同支上）的条件为120x x >⎧⎨<⎩二、涉及直线与双曲线相交弦的问题： 设直线l :y =kx +n 和圆锥曲线：)0,0(12222>>=-b a by ax 相交于两点，它们的交点为),(),,(2211y x B y x A且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++=例1.已知直线y=kx-1与双曲线x 2-y 2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点; (2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.例2 过双曲线22136yx-=的右焦点作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|.三.中点弦问题例3.以P （1，8）为中点作双曲线为y 2-4x 2=4的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
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直线与双曲线的位置关系
一、知识要点:
1．直线:l y kx m =+与双曲线2222:1x y C a b
-=的位置关系 ①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。
②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。
③相离：直线与双曲线无公共点。
2. 直线:l y kx m =+与双曲线22
22:1x y C a b
-=的位置关系判断方法。
联立方程组2222=+=1y kx m x y a
b ⎧⎪⎨-⎪⎩ 消去y 得到 ()
2222222222=0b a k x kma x a m a b ---- 当2220,0b a k -≠∆>时，直线l 与双曲线C 有两个不同交点； 当2220,0b a k -≠∆=或222
0b a k -=时，直线l 与双曲线C 有一个交点； 当2220,0b a k -≠∆<时，直线l 与双曲线C 无公共点。
3. 直线被双曲线截得弦长公式()()[]21221241x x x x k PQ -++=A
k ∆+=2
1 4 .中点弦问题:点差法—设端点坐标—代入双曲线方程作差—得斜率—写方程。
二．典例分析
例1. 判断下列直线与双曲线的位置关系
（1）2221001205
x y x y --=-=与 （2）22103x y x y -+=-=与
例2．（1）过定点P(0,-1)的直线与双曲线224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（2）过定点P(1,1)的直线与双曲线 224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（3）过点()2,1P 的直线与双曲线132
2
=-y x 有且只有一个公共点，这样的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
例3．经过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点2F 作倾斜角为30°的直线交该双曲线于A ，B 两点，求1F AB ∆ 的周长。
（1F 为双曲线的左焦点）
例4.（1）以P （1，8）为中点作双曲线为224=4y x -的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
（2）过定点A(1,1)作直线l 与双曲线2
2
12y x -=交与P ，Q 两点，若点A 是线段PQ 的中点，这样的直线l 存在吗？
例5．如果直线1y kx =-双曲线224x y -=仅有一个公共点，求k 的值。
如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=右支有两个公共点 求k 的取值范围。
例6.若直线2:+=kx y l 与双曲线2
2=13
x y -恒有两个不同的交点A 和B ，且>2OA OB ⋅ (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
例7.已知双曲线C ：122=-y x 及直线l ：1-=kx y
（1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围：
（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 值。
三、课后练习
1．过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l ，并交双曲线于A 、B 两点，若||AB =4，则这样的直线存在（ ）
A ．0条 B.1条 C.2条 D. 3条
2．直线=1y kx -与双曲线22
149
x y -=有且只有一个交点，则k 的取值范围是 （A ）k=±21
10 （B ）k=±23 （C ）k=±2110或k=±2
3 （D ）k ∈∅ 3．过双曲线22=4x y -的焦点且平行于虚轴的弦长是
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4．直线17=()32y x -与双曲线2
219
x y -=的交点 个数是 （A ）0个 （B ）1个 C ）2个 （D ）4个
5．斜率为2的直线l 被双曲线22
154
x y -=截得的弦长为25，则直线l 的方程是
（A ）=2y x （B ）=2y x （C ）=2y x ±（D ）=2y x 6．若直线=y m 与双曲线22
1925
x y -=的两交点为P, Q ，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），则m 的值为 （A ）±45 （B ）±54 （C ）±154 （D ）±415
7．已知双曲线122
22=-b
y a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,+∞]
D.(2,+∞)
8. 已知双曲线22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）
( B ( C [ D [ 9．直线=+2y kx 与双曲线22
=6x y -的右支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是
（A ）(（B ）（C ）(, 0) （D ）(―1) 10．过双曲线22
145
x y -=的一个焦点且与实轴垂直的直线交渐近线于A ，B 两点，则AB =
11．直线1y x =+与双曲线22
193
x y -=相交，弦中点为
12．直线2x y =与双曲线222x y -=相交，弦长为
13．过点P(3,2)与双曲线22
194
x y -=有且只有一个公共点的直线有 条
14 .过原点与双曲线22
136
x y -=交于两点的直线斜率的取值范围是 。
15．过点A(3, ―1)且被A 点平分的双曲线2
214
x y -=的弦所在的直线方程是 .
16．过双曲线22169=144x y -的右焦点作倾斜角为
3π的弦AB ，则|AB|等于 .
17．过点(0, 1)作直线l 与双曲线224=1x ay -相交于P, Q 两点，且∠POQ=
2
π（O 为坐标原点），则a 的取值范围是 .
18．过双曲线22
1916
x y -=的右焦点F 作倾斜角为4π的弦AB ，求弦长AB 及弦中点C 到F 的距离
19. 直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 不同两点，直线l 过点()0,2-和AB 的中点，求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围。