直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系
3、已知双曲线x2－y2=4，直线 ：y=k(x－1)试 、已知双曲线 ，直线l： － 试 讨论实数k的取值范围． 讨论实数 的取值范围． 的取值范围 (1)直线 与双曲线有两个公共点． 直线l与双曲线有两个公共点 直线 与双曲线有两个公共点． (2)直线 与双曲线有且只有一个公共点． 直线l与双曲线有且只有一个公共点 直线 与双曲线有且只有一个公共点． (3)直线 与双曲线没有公共点． 直线l与双曲线没有公共点 直线 与双曲线没有公共点．
直线与 双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类 直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离 相切 相交(两个交点 一个交点) 种类 相离;相切 相交 两个交点 一个交点 相离 相切;相交 两个交点,一个交点
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点 相交 两个交点
O X
相切:一个交点 相切 一个交点 相离: 0个交点 相离 个交点
>0 <0 =0
两个交点 0 个交点 一个交点
相交 相离 相切
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点） 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
例题讲解
与双曲线x 没有公共点， 没有公共点 的取值范围 例1：如果直线 ：如果直线y=kx-1与双曲线 2-y2=4没有公共点，求k的取值范围 与双曲线
-1<k<1
2 <0
直线与双曲线的位置关系 课件
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在．
『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二) 可以用点差法和中点坐标公式求解．
已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双 曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的 长.
3，或
2 k>
3
3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲
线无公共点．
综上所述，当－2 3 3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3 3时，直线与双曲线有
两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3
3，或
2 k>
3
3时，直线与双曲线没有公共点．
『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)．
已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实 数 k 的取值范围.
(1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方 程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
直线与双曲线的位置关系
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。 重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点） Δ=0 直线与双曲线相切 Δ<0 直线与双曲线相离
注：相交两点: 同侧： x1x2＞0 异侧: x1x 2＜0 一点: 直线与渐进线平行
0 , 60
(120 ,180 )
直线与双曲线的位置关系
二、直线与双曲线的位置关系 复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
位置关系种类及交点的个数
Y
O
X
种类: 相离; 相切; 相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
特别注意直线与双曲线的位置关系中： 一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5 或k＞ 5 ； (2)有两个公共点;
(2) 5 ＜k＜ 5 ； 且k 1
x2 y2 1 交于两点的直线斜率的 3.过原点与双曲线 4 3 取值范围是
3 3 ， ， 2 2
练习:
x2 y2 1 的两条渐近线的夹角的正切 3. 双曲线 16 25 40 值是________. 2 9 y 2 1 的右焦点 F2 作直线与双 4. 若过双曲线 x 3 曲线的两支都相交,求直线 l 的倾斜角的范围 ________.
把直线方程代入双曲线方程
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
双曲线与直线的位置关系PPT教学课件
0 个交点
相离
=0
? 一个交点
相切
相交
天哪 !
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意
味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相
交?
实践是检验真理的唯一标准 !
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
唉 ! 白担心一场 !
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
>0
两个交点
相交
<0
0 个交点
=0
一个交点
相离 相切
好也 !
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
判断下列直线与双曲线的位置关系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1 相离
4
25 16
欧阳修
• 中国北宋政治家，文学家。 唐宋古文八大家之一。字 永叔，号醉翁，晚号六一 居士。吉州永丰（今属江 西）人。欧阳修自称庐陵 人，因为吉州原属庐陵郡。
一代宗师－－欧阳修
北宋诗文革新，是中国文学史上 继唐代古文运动以后的又一次文 风改革，欧阳修就是这场革新运
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
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直线与双曲线的位置关系及判定直线与双曲线是在平面几何中经常遇到的图形，它们的位置关系和判定在数学学科中是一个重要的概念。
在本文中，我们将详细讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的定义。
直线是平面上的一条无限延伸的线段，其特点是任意两点可以确定一条直线。
双曲线是平面上的一种二次曲线，其数学表示为一个方程为x^2/a^2 -
y^2/b^2 = 1的曲线。
双曲线有两个分支，并且是无限延伸的。
现在我们开始讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
一、直线与双曲线的位置关系
在平面几何中，直线与双曲线可以有以下几种位置关系：
1.直线与双曲线相交：当直线与双曲线有交点时，它们的位置关系为相交。
这时可以有以下几种情况：直线与双曲线相交于两个点，此时直线穿过双曲线的两个分支；直线与双曲线相交于一个点，此时直线穿过双曲线的一个分支；直线与双曲线相切，此时直线与双曲线相切于某一点；
2.直线与双曲线相离：当直线与双曲线没有交点时，它们的位置关系为相离。
在这种情况下，直线与双曲线之间没有交集，它们分别存在于平面上的不同位置；
3.直线包含在双曲线内部：当直线包含在双曲线的两个分支之间时，它们的位置关系为包含。
此时可以看作直线被双曲线所包围，直线完全位于双曲线的内部；
4.直线与双曲线重合：当直线和双曲线完全重合时，它们的位置关系为重合。
此时直线与双曲线完全相同，即它们的方程相同，所以是同一条曲线。
二、直线与双曲线的判定
在平面几何中，我们常常需要判定给定的直线和双曲线的位置关系，这是一个重要的数学问题。
下面讨论一下如何判定给定直线和双曲线的位置关系：
1.直线与双曲线相交的判定：给定一条直线L和一个双曲线H，要判定直线L是否与双曲线H相交，可以通过解直线方程和双曲线方程得到交点的坐标，然后判断交点是否在双曲线上即可。
如果交点在双
曲线上，那么说明直线与双曲线相交；如果交点不在双曲线上，那么
说明直线与双曲线相离。
2.直线与双曲线相切的判定：给定一条直线L和一个双曲线H，要判定直线L是否与双曲线H相切，可以通过解直线方程和双曲线方程
得到交点的坐标，然后判断交点是否在双曲线上，并且直线的斜率和
双曲线的切线斜率是否相等即可。
如果交点在双曲线上，且直线的斜
率和双曲线的切线斜率相等，那么说明直线与双曲线相切；如果交点
不在双曲线上，或者直线的斜率和双曲线的切线斜率不相等，那么说
明直线与双曲线相离或相交，但不相切。
3.直线包含在双曲线内部的判定：给定一条直线L和一个双曲线H，要判定直线L是否包含在双曲线H的内部，可以通过解直线方程和双
曲线方程得到交点的坐标，然后判断交点是否全部在双曲线内部即可。
如果交点全部在双曲线内部，那么说明直线包含在双曲线内部；如果
交点存在在双曲线外部，那么说明直线与双曲线相离。
通过以上的讨论，我们可以看到直线与双曲线的位置关系及判定
是一个复杂而有趣的数学问题。
在实际应用中，这些知识可以帮助我
们理解和分析平面几何中的各种问题，对于工程、地理、物理和数学
等领域都有广泛的应用。
希望本文对大家理解直线与双曲线的位置关系及判定有所帮助。