直线与双曲线的位置关系

第3课时 直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系1、一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离 2．弦长公式斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|1x －2x |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 题型一、直线与双曲线的位置关系例1、已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，在下列条件下，求实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．[解析] ⎩⎨⎧x 2－y 2＝4y ＝k (x －1)，消去y 得，(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0(*)(1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧4－3k 2>01－k 2≠0，即－233<k <233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧4－3k 2＝01－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点． ③⎩⎨⎧4－3k 2<01－k 2≠0，即k <－233，或k >233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－233<k <－1，或－1<k <1，或1<k <233时，直线与双曲线有两个公共点；当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k <－233，或k >233时，直线与双曲线没有公共点． 例2、过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线l 与双曲线的交点为A 、B ，则|AB |＝__________________. [答案] 3题型二、中点弦问题例3、已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1.试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．解法二：设存在被点B 平分的弦MN ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1， ①x 22－y 222＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线MN ：y －1＝2(x －1)．由⎩⎨⎧y －1＝2(x －1)x 2－y 22＝1，消去y 得，2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝－8<0.这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在．例4、过点P (4,1)的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，求l 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减得： 14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. ∴y 2－y 1x 2－x 1＝1，即所求直线l 的斜率为1，∴l 方程为y －1＝x －4，即x －y －3＝0. 题型三、综合应用问题例5、直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后整理得，(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0－2k k 2－2>02k 2－2>0，解得k 的取值范围为－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2－k2x 1·x 2＝2k 2－2，假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (62，0)，则F A ⊥FB ， ∴(x 1－62)(x 2－62)＋y 1y 2＝0，即(x 1－62)(x 2－62)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. (1＋k 2)x 1x 2＋(k －62)(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋(k －62)·2k 2－k 2＋52＝0，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65，或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， 即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2.由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B >2.x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1.于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1，∴13<k 2<1，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． 例7、已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k 的值．[正解] 可分两种情况：(1)直线l 斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意；(2)直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0，当4－k 2＝0时，k ＝±2，即l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，所以k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．课后作业一、选择题1．已知实数4、m 、9构成一个等比数列，m 为等比中项，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( ) A.306 B.7 C.306或7 D.56或7 [答案] C[解析] ∵4、m 、9成等比数列，∴m 2＝36，∴m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7，故选C.2．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1[答案] D[解析] 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.3．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )[答案] C[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致．应选C.4．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等[答案] D[解析] ∵0<θ<π4，∴双曲线C 1的离心率e 1＝c a ＝cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1cos θ，而双曲线C 2的离心率e 2＝c a ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1＋sin 2θcos 2θ＝1cos 2θ＝1cos θ， ∴e 1＝e 2，故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，其离心率e 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(1，3]D ．(1，5][答案] D[解析] 依题意(a,0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ， ∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤5，又e >1，∴1<e ≤5，故选D.6．F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右．．两支．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.3 C. 5 D.7 [答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e >1，∴e ＝ca ＝7，故选D.二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________________．[答案]3[解析] 由余弦定理(4a )2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2，等式两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0， ∴e ＝ 3.8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 、B 为椭圆的顶点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于__________________．[答案]5＋12[解析] 设中心在坐标原点的双曲线左焦点F ，实轴右端点A ，虚轴端点B ，FB ⊥AB ，则|AF |2＝|AB |2＋|BF |2，∵|AF |2＝(a ＋c )2，|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |2＝b 2＋c 2， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∵e ＝ca ，∴e 2－e －1＝0，∵e >1，∴e ＝5＋12.三、解答题9．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2③x 1x 2＝－23－a 2④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 由③④知，∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0. 解得a ＝±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上．即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．10．过双曲线x 29－y 216＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦AB .求：(1)弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离；(2)弦AB 的长．[解析] (1)因为双曲线的右焦点为F 2(5,0)，直线AB 的方程为y ＝x －5.由⎩⎪⎨⎪⎧16x 2－9y 2－144＝0y ＝x －5， 消去y ，并整理得7x 2＋90x －369＝0.如图，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－907，x 1·x 2＝－3697.设AB 的中点C 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22＝－457，∴y ＝－807.∴|CF 2|＝(5＋457)2＋(807)2＝8027.(2)|AB |＝2·|x 1－x 2|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(810049＋14767)＝1927. 11．已知曲线C ：x 2－y 2＝1和直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠04k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2，且k ≠±1，∴k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)结合(1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB＝12|AB |d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0.∴k ＝0或k ＝±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、－62.。