0-1背包问题之动态规划法 -

d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)} d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)} d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)} 这一阶段的决策依赖于d(7, 9)和d(8, 9)的计算，而d(7, 9)和 d(8, 9)可以直接获得（括号中给出了决策产生的状态转移）：
d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}
d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)} d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)} 这一阶段的决策又依赖于d(4, 9)、d(5, 9)和d(6, 9) 的计算结果：
得到最短路径为0→3→5→8→9，长度为16。
1.2 什么是动态规划
在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采取的 决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状 态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变 化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这 种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。
1
4
9
8 6
7 8 4 7
4
6
5
0
2 3
2 3
5 6
8
7
6
7
9 8
5
6
3
图1 一个多段图
设G是一个有向加权图，则G从顶点i到顶点j之间的 最短路径问题满足最优性原理。 证明：设i～ip～iq～j是一条最短路径，但其中子路径 ip～iq～j不是最优的， 假设最优的路径为ip～iq’～j， 则我们重新构造一条路径：i～ip～iq’～j 显然该路径长度小于i～ip～iq～j，与i～ip～iq～j 是顶 点i到顶点j的最短路径相矛盾. 所以，原问题满足最优性原理。
d(7, 9)=c79＝7(7→9)
d(8, 9)=c89＝3(8→9) 再向前推导，有： d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}=min{6+7, 5+3}=8(6→8) d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}=min{8+7, 6+3}=9(5→8)
动态规划是运筹学的一个分支。与其说动态规 划是一种算法，不如说是一种思维方法来得更贴切。 因为动态规划没有固定的框架，即便是应用到同一道 题上，也可以建立多种形式的求解算法。许多隐式图 上的算法，例如求单源最短路径的Dijkstra算法、广 度优先搜索算法，都渗透着动态规划的思想。 因此，动态规划不像深度或广度优先那样可以 提供一套模式，需要的时候，取来就可以使用；它必 须对具体问题进行具体分析处理，需要丰富的想象力 去建立模型，需要创造性的思想去求解。
在0/1背包问题中，物品i或者被装入背包，或者不被 装入背包，设xi表示物品i装入背包的情况，则当xi=0 时，表示物品i没有被装入背包，xi=1时，表示物品i 被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和 目标函数：
n wi xi C i 1 xi {0,1} (1 i n)
d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}=min{5+7, 6+3}=9(4→8)
d(3, 9)=min{c 3 5 +d(5, 9), c 3 6 +d(6, 9)}=min{4+9, 7+8}=13(3→5)
d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}=min{6+9, 7+9, 8+8}=15(2→4) d(1, 9)=min{c 1 4 +d(4, 9), c 1 5 +d(5, 9)}=min{9+9, 8+9}=17(1→5) d ( 0 , 9 ) = min{ c 0 1 +d ( 1 , 9 ) , c 0 2 +d ( 2 , 9 ) , c 0 3 +d ( 3 , 9)}=min{4+17, 2+15, 3+13}=16(0→3)
对多段图的边(u, v)，用cuv表示边上的权值，将从源点s 到终点t的最短路径记为d(s, t)，则从源点0到终点9的最 短路径d(0, 9)由下式确定：
d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}
这是最后一个阶段的决策，它依赖于 d (1, 9)、 d(2, 9)和d(3, 9)的计算结果，而
由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段 图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。根据多段图的定义， 每个子集中的顶点互不邻接。不失一般性，将多段图的顶点按 照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。假 设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1， 并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u的编号小于顶点v的编 号。
i 2
i i
i 2
v1x1 vi yi v1x1 vi xi vi xi
i 2 i 1
n
n
，这说明(x1, y2, …, yn)是所给0/1 背包问题比(x1, x2, …, xn)更优的解，从而导致矛盾。
0/1背包问题可以看作是决策一个序列(x1, x2, …, xn)，对 任一变量xi的决策是决定xi=1还是xi=0。在对xi-1决策后， 已确定了(x1, …, xi-1)，在决策xi时，问题处于下列两种状 态之一：
动态规划
1. 概述
2. 组合问题中的动态规划法
3. 图问题中的动态规划法 4. 查找问题中的动态规划法
1. 概 述
1.1 例题（多段图） 1.2 什么是动态规划 1.3 动态规划适于解决什么样的问题 1.4 最优性原理 1.5 无后效性原则 1.6 动态规划法的设计思想
1.1 多段图的最短路径问题
设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V划分成 k个互不相交的子集Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一 条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称 图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。多段图的最短路 径问题是求从源点到终点的最小代价路径。
例题 余数最少的路径
如图所示，有4个点，分 别是A、B、C、D，相邻两 点用两条连线 C2k，C2k-1(1≤k≤3) 表示两条通行的道路。连线 上的数字表示道路的长度。 定义从A到D的所有路径中， 长度除以4所得余数最小的 路径为最优路径。 求一条最优路径。
【分析】在这个问题中，如果还按照例题1中的方法 去求解就会发生错误。按照例题1的思想，A的最优取值 可以由B的最优取值来确定，而B的最优取值为(1+3) mod 4 = 0，所以A的最优值应为2，而实际上，路径C1 －C3－C5可得最优值为(2+1+1) mod 4 = 0，所以，B 的最优路径并不是A的最优路径的子路径，也就是说， A的最优取值不是由B的最优取值决定的，即其不满足 最优化原理，问题不具有最优子结构的性质。 由此可见，并不是所有的“决策问题”都可以用 “动态规划”来解决，运用“动态规划”来处理问题必 须满足最优化原理。
1.4 最优性原理
作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的 状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而 言，余下的诸决策必须构成最优策略。 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题 的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是 说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，非 最优解对问题的求解没有影响。在 例题1 最短路径 问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径 也必然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化 原理。下面来讨论另外一个问题。
n wi xi C w1 x1 i 2 xi {0,1} (2 i n)
如若不然，设(y2, …, yn)是上述子问题的一个最优解， n n n 则 ，且 w1 x1 wi yi 。因此， C
v y v x
i 2 i i i 2 n
可以用动态规划法求解的问题除了能够分解为相互重叠的 若干子问题外，还要满足最优性原理（也称最优子结构性 质），这类问题具有如下特征：该问题的最优解中也包含 着其子问题的最优解。在分析问题是否满足最优性原理时， 通常先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的， 然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更 好的解，从而导致矛盾。 动态规划法利用问题的最优性原理，以自底向上的方 式从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。应用 动态规划法设计算法一般分成三个阶段： （1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题； （2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划 函数的递推式； （3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。
1.5 无后效性原则
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：
某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不 再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与 过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结， 此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演 变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后， 阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态 转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发 生的状态没有关系，这就是无后效性。
（式1） （式2）
max vi xi
i 1