背包问题之动态规划法演示课件
Pascal经典算法-背包问题析ppt课件
递归概念
我们可以用choose(I,z)来表示后i个物品在只剩下v个体积的空间中取的最 大价值
所谓的背包问题，可以描画如下： 一个小偷打劫一个保险箱，发现柜子里有N
个不同大小与价值的物品，但小偷只需一 个容积为M的背包来装东西，背包问题就 是要找出一个小偷选择所偷物品的组合， 以使偷走的物品总价值最大。我们标识每 个物品的价为ＶI,大小是ZI
算法描画
对于0/1背包相关的问题我们有多种方法可 以处理
end;
end;
0/1背包问题的分析
该背包问题的目的在于求最优解，所以我们要用 回溯的方法将一切的解求出来，逐一比较求最优 秀的解；
对于每个节点的扩展只需两种类能够要不取，要 不不取，所以该搜索树为一个N层的二叉树。
解空间的长度是<=n。 解空间的组织方式是一棵2叉树，一个可行的解就
是从根节点到叶子节点的一条途径。每个解为一 个长度不超越N的0/1代码序列 控制战略那么是前面的选择没有超越背包的容量。
end;
for i:=算符最小值 to 算符最大值 do
begin
算符i作用于生成stack[k-1]产生子形状stack[k];
if stack[k]满足约束条件 then make(k+1);{假设不满足，那么经过for循环换一个算
算符扩展。注：假设在扩展stack[k].state时运用过全局变量，那么应插入假设干条语句，恢
二、回溯的通用描画算法
program 程序名；
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
第六讲 动态规划背包问题详细
四.混合三种背包问题
伪码： for i=1..N if 第i件物品属于01背包 ZeroOnePack(c[i],w[i]) else if 第i件物品属于完全背包 CompletePack(c[i],w[i]) else if 第i件物品属于多重背包 MultiplePack(c[i],w[i],n[i])
f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}
五.二维费用的背包问题 二维费用的背包问题
注： 可以只使用二维的数组： 可以只使用二维的数组：当每件物品只可以 取一次时变量v和 采用逆序的循环， 采用逆序的循环 取一次时变量 和u采用逆序的循环，当物品有如 完全背包问题时采用顺序的循环 顺序的循环。 完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多 重背包问题时拆分物品 重背包问题时拆分物品 。
f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品 属于组 物品i属于组 物品 属于组k}
六.分组的背包问题 分组的背包问题
伪码： 伪码： 仍然可以对每组中做像 for 所有的组 所有的组k 完全背包那样的优化 for v=V..0 for 所有的 属于组 所有的i属于组 属于组k f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
三.多重背包
题目： 题目： 种物品和一个容量为V的背包 有N种物品和一个容量为 的背包。第i种物品 种物品和一个容量为 的背包。 种物品 最多有n[i]件可用，每件费用是 件可用， 最多有 件可用 每件费用是c[i]，价值是 ，价值是w[i]。 。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总 和不超过背包容量， 和不超过背包容量，且价值总和最大 。
动态规划-0-1背包ppt课件
22
矩阵连乘 ➢ 问题：设有给定n个矩阵{A1,A2,...,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,...,n-1。考察这n个矩
阵的连乘积A1A2...An。 ➢ 假设给定两个矩阵A1,A2, 它们的维数分别是m*n,n*p,则计算A1A2的标准算法怎样设计？
63
01 5
00006666611
54
01 4
4 500006666611 6
0 0 14
00006666666
构造最优解
➢ 结果示例：
w
2
2
6
5 4
m( i , j) 1, 10,15 m(i+1, j)
m( i , j) x1=1
2, 8, 9
m(i+1 , j)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 j
v
价值是6=m(4+1,5),
21
6
22
3
63
5
5 4000066
4
4 500006666666 6
当w4放入时，则要配合其前边的最优值，即w4的放入，使剩余物品(4+1..n)的最大容量变为jw4,此时背包中的最大容量为m(4+1,j-w4)的值0加上v4的值4，然后比较w4放入与否的总价 值，因此m(4,5)选择w4不放入背包，最优值是依然是6。
5
最优值过程分析
➢ 然后，我们在对物品5处理后的基础上，对物品4进行分析。此时我们的任务是要确定 m(4,0..10)11个元素的值。用同样的方法，对物品4的处理有两种情况：w4大于j和w4小 于j。
01背包问题(动态规划法)
0/1背包问题1. 问题描述给定一个载重量为m，n个物品，其重量为w i，价值为v i，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大2. 问题分析在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。
循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中(n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值若w[i]>j，第i个物品不装入背包否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）计算最大价值的动态规划算法如下：//计算for(i=1;i<row;i++){for(j=1;j<col;j++){//w[i]>j,第i个物品不装入背包value[i][j]=value[i-1][j];//w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];if(w[i]<=j && temp>value[i][j])value[i][j]=temp;}}即该段程序完成以下n个阶段：1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值。
n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值3. 问题求解确定装入背包的具体物品，从value[n][m]向前逆推：若value[n][m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w[n]的背包中否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。
第21讲_动态规划(背包问题)
投资分配问题
f 2 ( 6 ) 0 y 0 m , 1 , , 6 0g 0 2 a ( y ) x f 1 ( 6 y 0 )
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
投资分配问题
f 2 ( 2 0 ) y m 0 , 1 a 0 x , 2 0 g 2 ( y ) f 1 ( 2 0 y ) 5 0
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f2 ( 1 0 ) y m 0 a , 1 x 0 , g 2 ( y ) f 1 ( 1 0 y ) 2 0
投资分配问题
g3(0) f2(60)
0 120
g3
(10)
f2
(50)
25 105
g3
(20)
maxg3(30)
f2 f2
(40)
(30)
60 max85
90 70
155
g3
(40)
f2 ( 20)
g2 (0) f1(60)
g2
(10)
f1
(50)
0 85 20 85
g2
(20)
maxg2 (30)
f1
(40)
f1 (30)
40 80 max50 65
120
g2
(40)
动态规划解背包问题.ppt
={(2,3),(3,5)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
+(5,4) 3
S1 ={(5,4),(6,6), (7,7)}
S3={(0,0),(1,2), (2,3),(5,4),(6,6), (7,7)}
注：序偶(3,5)被(5,4)“支配”而删除
KNAP(1,n,M)问题的解
2i n
pi zi
2i n
p y
i
2 i n
w z
i i
M w1
i
则序列y1,z2,…,zn将是一个对于KNAP(1,n,M)具有更大 效益值的序列。
故，最优性原理成立
3 从前向后求解的递推关系式
记fj(X)是KNAP(1,j,X)的最优解，则fn(M) 是KNAP(1,n,M)的最优解
解向量的推导 f3(M)=6 f2(M)<>6
ΔP=6-p3=1 ΔM=6-w3=2
x3=1
X=(1,0,1)
f2(ΔM)=1 f1(ΔM)=1
x2=0 x1=1
5. 0/1背包问题图解过程
i:fi-1(x-wi) p1 2 1
f0(x)=0
f3(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
注： ● fi-1(X-wi)+pi曲线的构造：将fi-1(X)的曲线在X轴上右移wi个单 位，然后上移pi个单位而得到； ● fi(X)曲线的构造：由fi-1(X) 和fi-1(X-wi)+pi的曲线按X相同时 取大值的规则归并而成
贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理
动态规划算法--01背包问题
动态规划算法--01背包问题基本思想：动态规划算法通常⽤于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可⾏解。
每⼀个解都对应于⼀个值，我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题，先求解⼦问题，然后从这些⼦问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于⽤动态规划求解的问题，经分解得到⼦问题往往不是互相独⽴的（即下⼀个⼦阶段的求解是建⽴在上⼀个⼦阶段的解的基础上，进⾏进⼀步的求解）。
若⽤分治法来解这类问题，则分解得到的⼦问题数⽬太多，有些⼦问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的⼦问题的答案，⽽在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免⼤量的重复计算，节省时间。
我们可以⽤⼀个表来记录所有已解的⼦问题的答案。
不管该⼦问题以后是否被⽤到，只要它被计算过，就将其结果填⼊表中。
这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
应⽤场景：适⽤动态规划的问题必须满⾜最优化原理、⽆后效性和重叠性。
1、最优化原理（最优⼦结构性质）最优化原理可这样阐述：⼀个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前⾯的决策所形成的状态⽽⾔，余下的诸决策必须构成最优策略。
简⽽⾔之，⼀个最优化策略的⼦策略总是最优的。
⼀个问题满⾜最优化原理⼜称其具有最优⼦结构性质。
2、⽆后效性将各阶段按照⼀定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态⽆法直接影响它未来的决策，⽽只能通过当前的这个状态。
换句话说，每个状态都是过去历史的⼀个完整总结。
这就是⽆后向性，⼜称为⽆后效性。
3、⼦问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。
其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本⽬的。
动态规划实质上是⼀种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产⽣过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要⼤于其它的算法。
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d(1, 9)=min{ c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}
d(2, 9)=min{ c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}
d(3, 9)=min{ c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)} 这一阶段的决策又依赖于 d(4, 9)、d(5, 9)和d(6, 9)
设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V划分成 k个互不相交的子集Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一 条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称 图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。多段图的最短路 径问题是求从源点到终点的最小代价路径。
7
d(3, 9)=min{ c35 +d(5, 9), c36+ d(6, 9)}=min{4+9, 7+8}=13(3 →5)
d(2, 9)=min{ c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}=min{6+9, 7+9, 8+8}=15(2 →4)
d(1, 9)=min{ c14 +d(4, 9), c15+ d(5, 9)}=min{9+9, 8+9}=17(1 →5)
动态规划
1. 概述 2. 组合问题中的动态规划法 3. 图问题中的动态规划法 4. 查找问题中的动态规划法
1
1. 概 述
1.1 例题（多段图） 1.2 什么是动态规划 1.3 动态规划适于解决什么样的问题 1.4 最优性原理 1.5 无后效性原则 1.6 动态规划法的设计思想
2
1.1 多段图的最短路径问题
d(7, 9)=c79＝7(7→9) d(8, 9)=c89＝3(8→9)
再向前推导，有：
d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}=min{6+7, 5+3}=8(6→8) d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}=min{8+7, 6+3}=9(5→8) d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}=min{5+7, 6+3}=9(4→8)
5
对多段图的边 (u, v)，用cuv表示边上的权值，将从源点 s 到终点t的最短路径记为 d(s, t)，则从源点 0到终点9的最 短路径d(0, 9)由下式确定：
d(0, 9)=min{ c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)} 这是最后一个阶段的决策，它依赖于 d(1, 9) 、
的计算#43;d(7, 9), c48+d(8, 9)} d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)} d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}
这一阶段的决策依赖于d(7, 9)和d(8, 9)的计算，而d(7, 9)和 d(8, 9)可以直接获得（括号中给出了决策产生的状态转移）：
10
1.3 动态规划适于解决什么样的问题
准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决 一定条件的最优策略问题。 或许，大家听到这个结 论会很失望：其实，这个结论并没有削减动态规划的光 辉，因为属于上面范围内的问题极多，还有许多看似不 是这个范围中的问题都可以转化成这类问题。
上面所说的“满足一定条件”主要指下面两点： (1)状态必须满足最优化原理； (2)状态必须满足无后效性。 这条特征说明什么呢 ?它说明动态规划适于解决当前 决策和过去状态无关的问题。状态，出现在策略的任何 一个位置，它的地位都是相同的，都可以实施同样的决 策。这就是无后效性的内涵。
由于多段图将顶点划分为 k个互不相交的子集，所以，多段 图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。根据多段图的定义， 每个子集中的顶点互不邻接。不失一般性，将多段图的顶点按 照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。假 设图中的顶点个数为 n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1， 并且，对图中的任何一条边 (u, v)，顶点u的编号小于顶点v的编 号。
d(0, 9)=min{ c 0 1 + d(1, 9), c 0 2 + d(2, 9), c 0 3 + d(3, 9)}=min{4+17, 2+15, 3+13}=16(0 →3) 得到最短路径为 0→3→5→8→9，长度为16。
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1.2 什么是动态规划
在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采取的 决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状 态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变 化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这 种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。
11
1.4 最优性原理
作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的 状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而 言，余下的诸决策必须构成最优策略。
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动态规划是运筹学的一个分支。与其说动态规 划是一种算法，不如说是一种思维方法来得更贴切。 因为动态规划没有固定的框架，即便是应用到同一道 题上，也可以建立多种形式的求解算法。许多隐式图 上的算法，例如求单源最短路径的 Dijkstra算法、广 度优先搜索算法，都渗透着动态规划的思想。
因此，动态规划不像深度或广度优先那样可以 提供一套模式，需要的时候，取来就可以使用；它必 须对具体问题进行具体分析处理，需要丰富的想象力 去建立模型，需要创造性的思想去求解。
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4
02
3
9
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6
2
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6
8
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6
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图1 一个多段图
4
设G是一个有向加权图，则 G从顶点i到顶点j之间的 最短路径问题满足最优性原理。
证明：设 i～ip～iq～j是一条最短路径，但其中子路径 ip～iq～j不是最优的， 假设最优的路径为 ip～iq' ～j， 则我们重新构造一条路径： i～ip～iq' ～j 显然该路径长度小于 i～ip～iq～j，与i～ip～iq～j 是顶 点i到顶点j的最短路径相矛盾 . 所以，原问题满足最优性原理。