非线性物理(单摆杜芬方程)讲义
物理学第七版教学课件9-8 简述非线性系统
其中：
0
1
A2 16
第九章 振动
5
物理学
* 9-8 简述非线性系统
第七版
❖ 非线性系统：
大角度单摆运动是复杂振动，非简谐振动.
不同初始能量下的运动
第九章 振动
6
物理学
* 9-8 简述非线性系统
第七版
❖ 非线性系统：
相图：描述物体的运动状态（ x 、v ）.
P(x, v)：质点在某 一时刻的运动状态.
物理学
* 9-8 简述非线性系统
第七版
❖ 线性系统：
1. 动力学行为可由（一组）线性微分方程 表示，其解满足线性叠加原理；
2. 结合初始条件或边界条件，其解能够精 确反应动力学.
第九章 振动
1
物理学 第七版
❖ 线性系统：
小角度单摆
（ 5）
单摆同时参 与两个振动
* 9-8 简述非线性系统
d2θ dt 2
02
0
d 2θ1 dt 2
021
0
d 2θ2 dt 2
022
0
第九章 振动
2
物理学
* 9-8 简述非线性系统
第七版
❖ 线性系统：
令 θ 1 2 , 则有
d2θ dt 2
02
0
线性叠加原理
方程通解
0 cos0t
第九章 振动
3
物理学
* 9-8 简述非线性系统
第七版
❖ 非线性系统：
大角度单摆
d2θ dt 2
02
sin
0
非线性方程！不满足叠加原理！
将 sin 级数展开并保留前两项，则有
d2θ dt 2
非线性物理
非线性物理基础一、孤立波1. 孤立水波孤立波是一种在水面上传播的具有特殊性质的波动，其形状是一个孤立的波峰，传播过保持形状不变。
孤立波不同于水波，水波在传播过程会弥散开去而不能保持其形状。
2.孤立水波的发现1834年，J S Russell（英国）在爱丁堡格拉斯哥运河旁观看船的行驶，偶然观察到孤立波这一奇特现象。
3.水槽实验重物从水槽的一端掉下，观察水波的激起情况。
Russell 速度公式：v2 = g ( h + a )h表示水深，a 为水波的振幅。
水波越高，传播越快。
4.用不可压缩流体观点导出Russell公式Boussinesg （1871年）和Rayleigh（1876年）假设孤立水波有一个比水深大得多的长度范围，根据非粘滞不可压缩流体的运动方程推导了Russell的公式，同时得到“波包”公式：u（x, t）= a sech2 [β( x －v t ) ]v2 = g ( h + a )β－2 = 4 h2 ( h + a )/3a其中a > 0, 且a << h 才成立。
u(x, t) 是何种微分方程的解？5.水波方程的建立1895年，D J Korteweg 在G de Vrise 的指导下，撰写博士论文，选择了水槽中孤立波的数学描述问题。
u t + αu u x + u xxx = 0u 为波的振幅，α为常数。
这个方程称为KdV方程。
u(x,t) = (12/α)sech2(x – 4 t)在KdV方程中，第二项是非线性的，该项为零时，化为齐次波动方程，其解代表色散解。
只有当非线性项和色散项调配适合时，才会出现孤立波。
二、孤立子1．孤立子的“由来”1834年发现孤立水波（J S Russell）1895年建立水波方程（KdV方程）1955年揭示除水外，其它介质中也可存在非线性孤立波（Fermi, Pasta, and Ulam）（64个质点用非线性弹簧相连，研究能量分布）1965年研究等离子体中非线性孤波的相互碰撞过程，孤波不会改变其形状，Zabusky and Kruskal 首次引入了“孤立子”概念。
第十六章 非线性物理简介
第十六章非线性物理简介引子：英国的海岸线有多长－－浅谈分形理论1967年，美国科学家曼德尔布罗在《科学》杂志上发表了一篇文章，题目是“英国的海岸线有多长？统计自相似和分形维”。
海岸线曲曲弯弯，包含了数不清的小湾和小半岛。
如果一个巨人一步能跨一公里，他可以沿着海岸走，丈量出海岸线的一个长度。
如果他一步只有五百米，他就会丈量出一个长一些的长度。
如果是一个一步只有一米的人来丈量，他可以分辨出更多的细节，得到更长的长度。
随着尺子变小，长度越来越长。
那英国的海岸线到底有多长？这看起来平庸的问题却开创了一门新的学科—分形几何学。
分形一词是由拉丁文“fractus”转化而来，原意为不规则的、支离破碎的物体。
1975年，曼德尔布罗翻阅儿子拉丁语字典时得到启发，用该词创造出一个新英文单词“fractal”，用以描述他一直研究的各种不规则的几何体。
1982年，他在《大自然的断裂状物体几何》中写道：“为什么几何给人的印象那么枯燥乏味？原因之一是它不能描绘出云彩、山峰或树的自然形状。
因为云朵不是球面，山坡不是锥体，海岸不是圆形，树皮不光滑，闪电也不是直线。
”那么隐藏在这些不规则形状之后的是什么呢？曼德尔布罗发现：“如果你仔细观察一棵树，就会发现它的每一部分都形似它的整体。
”这样的例子在自然界里比比皆是：花菜、雪花、闪电、云彩、山峰、肺、血管…曼德尔布罗认为这种部分与整体的自相似性就是自然结构的基本特性，他在1986给出定义“一分形乃以其某种方式使部分相似于整体的形状”。
分形概念一经提出很快就越出数学的范畴。
在物理学里，分形结构就有很多：一维准晶体，枝晶生长图样，聚合物生长，介电击穿形成的放电图样，逾渗模型里的集团结构，相变过程的临界行为，布朗运动，混沌系统里的奇异吸引子等等。
20世纪90年代，美国宇宙学家林德甚至提出，真空场的起伏波，由于时空膨胀而冻结，成为新的时空膨胀点，从而使整个宇宙生长为一个分形时空树。
现在分形的研究已成为非线性科学研究中的一个重要内容，并扩展到生态、生命、经济、人文等许多领域，在一些电子艺术中甚至出现奇异绚丽的分形视觉艺术作品，在计算机上也可以生成美丽如画的自然风光。
非线性单摆的研究
摘要单摆是日常生活中常见的一种物理现象，用一根细绳的一端拴着一个重物，把另一端固定，当重物来回摆动时，就形成了一个单摆模型。
本文讨论理想单摆和非线性单摆的分析方法，着重讨论非线性单摆的角度和角速度的关系及用摄动法求解一类特殊非线性单摆（duffing振子）。
并介绍几种常用的数学求解单摆方程的方法。
关键字：无阻尼；周期强迫；任意角度；阻尼振子；非线性；摄动法；平均法AbstractSingle pendulum is a common physic phenomenon in our life. Tie an object with a line, fasten the other side. When the object rock around, we can get a single pendulum.The main content of this paper is to discuss the method of analysis the ideal single pendulum and the nonlinear single pendulum. We put our eye on the relationship between the angle speed and the angle acceleration. Then we will use perturbation method to solve one special angle pendulum equation. At last we will introduce some common ways to solve the problem.Keywords:no damp, period forced, any angle, damp flap, nonlinear,perturbation method, average method.II目录一、无阻尼振荡的分析 (1)二、周期强迫振动的分析 (4)三、摆角为任意角度的分析 (5)四、阻尼振子的分析 (8)五、有摩擦强迫振动的分析 (10)六、非线性振子的分析 (12)七、摄动法求解duffing振子方程（perturbation method） (15)1、正规摄动法（regular perturbation method） (16)2、Poicarè法： (17)八、用平均法求解单摆方程 (19)参考文献 (21)附件 (22)III一、无阻尼振荡的分析1一、无阻尼振荡的分析如图所示，忽略细绳重量，也不计小球受到的空气阻力，则上诉单摆可看成理想单摆，对其进行受力分由牛顿第二定律得：θsin mg ma -=（1）因为2222dtd l dt s d a θ== )(θl s= （2）把（2）代入（1）式可得 0sin 22=+θθmg dtd ml （3）将（3）两端同除以ml 可得 0sin 22=+θθlgdtd （4）令lg=0ω，其中0ω为自然频率.则（4）可变为 0sin 2022=+θωθdtd （5） 当θ很小时,θθ=sin 故有,02022=+θωθdt d （6）解此方程得:ti ti eC e C t 0021)(ωωθ-+= （7）若θ为实数,则有θθ=*,即t i t i ti t i e C e C e C e C 000021*2*1ωωωω--+=+ （8）所以, *21C C =, *12C C = （9）令ϕi e A C 21=,ϕi e AC -=22.一、无阻尼振荡的分析2则有())cos(2)(0)()(00ϕωθϕωϕω+=+=+-+t A e e A t t i t i （10） )cos()(0ϕωθ+=t A t （11）从能量守恒方面考虑:0022=+θωθdt d 可变形为 020=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛θωθθθdtd d dt d d （12） 令dtd θθ='，则有 0''20=+θωθθθd d （13） 两边同时乘以θd ，得到 0''20=+θθωθθd d （14）在对两边求积分， ⎰⎰⎰=+θθθωθθd d d 0''20 （15）积分结果为 E =+220221'21θωθ （16）令2'21θ=T (动能),22021θω=V (势能).则有E V T =+,机械能守恒.E =+220221'21θωθ为椭圆方程：00.20.40.60.811.2 1.4 1.6 1.82tt h e t a /d t h e t a图1 a一、无阻尼振荡的分析3-1.5-1-0.500.51 1.5xy图 1 b 图1 a 的图像为摆动角度θ及角度θ的导数随时间变化的曲线，其中实线表示角度θ随时间的变化，点线表示θ的导数（即角速度）随时间的变化。
Duffing方程介绍与仿真应用
非线性电路理论及应用报告• Duffing方程介绍与仿真应用姓名：马博学号：25班级：硕3022班完成时间：在非线性振动理论研究中，Duffing方程是一种具有代表性的微分方程式。
本文首先对Duffing方程进行了简单介绍，包括其类型以及根据电路的推导等；其次，本文对硬特性的Duffing方程进行了不同参数下的Mat lab仿真；最后，本文介绍了Duffing方程的微弱信号频率检测，以Holmes型Duffing方程为例进行了分析说明。
关镀词：Duffing方程；非线性；Mat la b仿真；混沌；弱信号检测1Duffing方程简介非线性振动问题的研究通常包括定性研究与定量研究。
定性研究的主要内容包括方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性的研究等。
著名的Duffing方程在非线性动力学系统的研究中占有重要地位。
其特点之一是在Duffing方程等号右边加上了外加强迫项，进而形成了非自治非线性系统。
正是由于系统的本征频率与外加周期强迫项的频率的相互作用，才使得该方程中蕴含着极其丰富的内容：倍周期分叉、混沌、清晰大周期等现象⑴。
(Duffing方程的准形式为：d2x ^dx /、、+ / +g(x) = /(x,t)dt~ dt其中5>0为阻尼系数，g(x)是含有三次方项的非线性函数，/(x,t)为一周期函数。
Duffing方程通常作如下分类⑵：1.假设g(x)满足超线性条件lim型十L T—OO x则称Duffing方程是超线性的；2.假设g(x)满足次线性条件lim 型=0L T—oc 牙则称Duffing方程是次线性的；3.假设g(x)满足半线性条件0 < lim inf < lim sup ^―— < -+<olxlT8 牙Ldoc x则称Duffing方程是半线性的。
若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型⑶:d2x f dx八彳八”-—T + ^ —+ X(t) + X (t) = j cos(t) (1-1)d2x . dx八彳八彳八,+x(t)x(t)=/cos(t)+(1-2)dxd2x+ k — + x3(t) = f cos(t) (1-3)crx f dx、勺八 c眉 + 匚- x(t) + F (t) = f cos(t) (1一4)其中k大于零，是阻尼系数，/cos（t）是系统外力。
高二物理选修课件单摆
阻尼振动产生原因和分类
阻尼振动产生原因
阻尼振动是由于振动系统受到摩擦、空气阻力等阻尼力的作用，使得振动幅度逐渐减小，最终趋于静 止的振动。
阻尼振动分类
根据阻尼力的性质，阻尼振动可分为线性阻尼振动和非线性阻尼振动。线性阻尼振动中，阻尼力与振 动速度成正比；非线性阻尼振动中，阻尼力与振动速度的关系则更为复杂。
挑战性问题提出，激发学生探究欲望
如何精确描述复摆、双摆等 复杂摆动系统的运动规律？
在复杂摆动系统中，哪些因 素会影响摆动周期和角度？ 如何定量分析这些因素的影
响？
如何利用复杂摆动系统的研 究成果，设计更精确的计时
器或传感器？
对于更复杂的摆动系统（如 多摆、耦合摆等），其运动 特性和行为模式又是怎样的 ？如何进行有效的研究和分
实例分析：乐器中音叉、钢琴等
音叉
敲击音叉后，音叉开始自由振动，发出声音。当另一音叉靠近时，由于共振作用 ，靠近的音叉也会发出声音。
钢琴
当弹奏钢琴时，琴弦受到周期性变化的力作用而产生受迫振动，经过共鸣箱放大 声音。同时，钢琴的共鸣箱也起到防止共振的作用，避免琴弦振幅过大导致损坏 。
04
阻尼振动与非线性效应探 讨
01
单摆定义
02
组成要素
由一根固定在一端的轻杆或细线，另一端悬挂一个质点组成的简单摆 动系统。
包括固定点、摆线、摆球和摆动平面。其中，固定点是摆线的上端点 ，摆线是可伸长的细线或轻杆，摆球是具有一定质量的质点，摆动平 面是摆球运动的平面。
摆动过程描述与周期性质
摆动过程描述
在重力作用下，单摆从一侧最大位移 处开始运动，经过平衡位置后到达另 一侧最大位移处，再返回平衡位置， 如此往复摆动。
VS
03第二章 单摆
在程序里，我们对初位 置相同但初速度不同的 两个摆球求出了它们摆 角的数值解，分别存储 在变量as和bs里，解算 时间都是20s，经过替换 ，这两个解的插值函数 分别用θ 1和θ 2来表示
当我们运行上面的程序，就会看到一个动画如下，两个不同颜色 的圆点带便两个摆球，它们沿着水平轴往复振荡。上不得指示条 代表着时间进度，摆球振荡的速度可以通过中间的两个按钮控制 ，很容易看出两个摆球的“失步”过程
2.2.4 周期拟合公式所揭示的秘密
得到周期拟合公式是一个重要的成果 ，我们用拟合公式来计算更多角度下 的周期值，排列起来，并与数值计算 得出的周期值进行比较，观察规律 函数Table[ ]的功能是组织一个表 ，格式： Table[exper,I,i1,i2,di}]] Partiton[θ T,4] //TableForm将 新的θ T按4个一组拆分，作为新元 素，组成一个三维的表
2.3 阻尼摆
2.3.1 运动方程、数值解与相图 摆球在摆动中收到一些空气或者液体的“粘滞力”，在低 速情况下，流体力学告诉我们：阻力大小近似地正比于摆 球的速度大小，阻力的方向与速度方向相反
所以引入一个阻力系数η 来表示方程中与阻力有关的参数 ，单摆在切向的运动方程就变成了
没有阻力时，我们看到的是一个等幅、周期性震荡的单摆； 现在有了阻力，单摆的机械能要被消耗，振幅肯定要随时间 变小，但是以何种方式变小呢？减小的速度有多快呢？现在 有了数值解，这些问题都可以得到比较满意的解答
PlotStyle→Thickness[0.004],AxesS tyle→Thickness[0.003]分别表示曲 线的粗细和坐标轴的粗细 θ →InterpolatingFunction[{{0.,10 .}},<>] 函数θ （t）的数值解是一个插值函数 给出的，将个分立点连接起来 摆角随时间是周期性震荡的，像正弦 函数，单摆是在作周期性运动
《非线性物理》课件
非线性物理中的数学工具
分形几何
分形几何是用分形的概念和方法来研究各种几何对象，具有广泛的应用前景。
随机过程
随机过程广泛应用于自然科学和技术领域，如物理、化学、生物学、经济学、社会学等。
神经网络模型
神经网络模型被应用于物理学、化学、生物学、环境科学、神经科学等领域。
复杂网络在非线性物理中的研究
复杂网络的定义
化工
非线性动力学方法在化工领域 可用于研究热力学平衡、化工 反应中的振荡现象等。
自然灾害
飓风、火山喷发、地震等天灾 预测和监测需应用非线性物理 理论和方法。
节能环保
非线性物理理论可用于压缩和 放松过程中制冷剂的温度、密 度的变化以及涡量特性的研究。
解决非线性问题的数值方法
数值方法是针对非线性问题的各种特定性质精心设计的、用于在计算机上模拟动力学现象的方法。
自相似性与尺度不变性
1
常见的复杂现象
2
自相似性和尺度不变性在非线性物理中
是极为重要的概念，与还原现象、分形
体系等密切相关。
3
定义与形式
物体本身在不同比例下有着相同的性质 和形状，是自相似性的一种体现。
实际应用
自相似性和尺度不变性不仅用于探索复 杂系统的本质，还可以帮助人们解决各 种实际应用问题。
混沌现象的定义和特征
脑图像重建
非线性动力学方法在脑图像重建、功能分析以及计 算机模拟等领域的应用也越来越广泛。
神经元模型
非线性物理与现代技术的结合
非线性物理的研究已产生非常广泛的社会应用，如飞行器、新能源、材料科学、医疗设备、通信技术等等。
1 集成电路
非线性动力学的相关理论 和分析方法可用于研究电 路噪声、误码率等关键应 用指标。
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面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期 周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加 而增加 2. 随摆角增加波形 趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两 个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过 程是一个代表点沿圆周转动。
忽略高次项，可得
(13)
1 2 0 T T0 1 sin 2 4
(14)
任意角度无阻尼摆轨线的数学表达式
由机械能守恒定律可知单摆的能量满足关系式
E
1 2
2 m gl1 cos m l2
常量
(15)
对上式进行无量纲化处理(即把 0t
2
K V E
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的 总能量。运动过程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量 E 保持不变。
0 ，这时摆处于静止状态， 当K =V =0时，E=0，有 为静止平衡。
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周 期描述。不同能量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个 平面的同心圆(或椭圆)。 同一圆周 (或椭圆 ) 上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标 原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的 静止平衡点为‘椭圆点’。
C 202 cos0
因此由(7)式得
d dt 0 2cos cos 0
12
(8)
对(8)式积分，得
0t
d
2cos cos0
12
(9)
0 设t=0时 ，并设周期为 T，则在 t = T/4时应有 再利用三角函数公式 0
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
任意摆角单摆周期与摆角的关系可采用如下方法求得 将方程(3)乘以
d dt
，并对 t 积分，得
2
(7)
d 2 C 2 0 cos dt
d 0 ，可求得积分常数 0 处， 在最大角位移 dt
T0
2
sin
2
2
cosd
2
0
cos sin sin 2 2 2
T0 2
0
12
2
T0
2
d 2 0 2 sin 1 sin 2
12
(12)
0
式中
0
最后，可计算出
1 2 2 1 3 2 4 0 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
，
cos 1 2 sin
可得
1 4
2
2
d
0T
0
0
2 0 2 sin sin 2 2
12
(10)
引入代换
sin
2
sin
0
2
sin
(11)
则有
1 cos d sin 0 cosd 2 2 2
进而可把(10)式变为 0
T 2
忽略3次以上的高次项
3
5
7
sin x x
d 2 2 0 0 2 dt
(4)
得线性方程
d 2 dt 2
0 ห้องสมุดไป่ตู้ 0
2
(t ) P cos(0t )
(5)
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动 波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关， 与摆锤质量无关，称为固有角频率。
相图 相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱 (Poincare) 于十九 世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一 个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状 态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。
能量方程
1 d 1 2 E 2 dt 2
在分界线内的轨线是闭合回线
单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线 相图横坐标θ 是以2为周期的， 摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱
第一章 非线性振动初步
非线性振动初步
第一节 第二节 无阻尼单摆的自由振荡 阻尼振子
第三节 受迫振荡
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 2 任意角度无阻尼单摆振动 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2 ml 2 F m gsin dt