高中数学第2章函数2.2.1.1函数的单调性课件苏教版必修1
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
高中数学第2章函数2.2.1函数的单调性第1课时函数的单调性讲义苏教版必修1
第1课时函数的单调性1．单调增(减)函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1<x2时，都有(1)f(x1)<f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调增函数．②I称为y＝f(x)的单调增区间．(2)f(x1)>f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调减函数．②I称为y＝f(x)的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]不能．如图所示，虽是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是单调的．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．( )(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．( )[答案](1)×(2)×(3)√[提示](1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．2.函数f (x )的图象如图所示，则函数的单调递增区间是_____．[－1,2] [在区间[－1,2]上，函数f (x )的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f (x )随着x 的增大而增大，∴在[－1,2]上，f (x )为增函数．]3．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (a )＞f (b )，则a 与b 的大小关系是__________．a ＜b [由减函数的定义知a ＜b .](1)y ＝x 2－4；(2)y ＝－2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2，x ≥0，x ＋4，x <0.思路点拨：在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减． [解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1) (2) (3)(1)y ＝x 2－4的单调递减区间为(－∞，0]，递增区间为[0，＋∞)． (2)y ＝－2x的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．(3)f (x )的单调增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，递减区间为[0,2]．1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．1．函数f (x )＝－x 2＋|x |(x ∈R )的单调递增区间为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [(1)f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，－x 2－x ，x ≤0，图象如图所示：∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]【例2】 用定义证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 思路点拨：解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．[证明] 设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1). ∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．用定义证明(判断)函数单调性的步骤2．证明函数f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上单调递增．[证明] 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2.∵x 1，x 2>1，∴x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0. 又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？[提示] 先判断函数f (x )在区间D 上的单调性，如果函数f (x )在D 上是增函数，当x 1<x 2时，则f (x 1)<f (x 2)，如果f (x )在D 上是减函数，结论则相反．2．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？[提示] 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f 符号，转化为自变量的大小关系．【例3】 已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围为________．思路点拨：根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 [∵f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，∴x <32.又f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2≤2，－2≤1－x ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－1≤x ≤3，∴0≤x ≤3，综上，0≤x <32.]1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；另一方面是逆向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)<f (x 2)时，x 1<x 2，当f (x 1)>f (x 2)时，x 1>x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．3．已知f (x )在R 上为减函数且f (2m )≥f (9－m )，则m 的取值范围是________．m ≤3 [由题意可得2m ≤9－m ，∴m ≤3.]1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1、x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性．2．单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断．(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”.1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．f (x )＝－1x ＋1B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝－|x |A [函数f (x )＝－1x ＋1的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f (x )＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增；函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数；函数f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数，故B 、C 、D 错误．]2.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的单调减区间为____．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 [由题图知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上图象呈下降趋势，∴单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.]3．若函数f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为________．k ＜2 [∵f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，∴k －2＜0，∴k ＜2.]4．已知函数f (x )＝x ＋12x ＋2，x ∈[1，＋∞)．(1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008)．[解] (1)设1≤x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.由1≤x 1＜x 2得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008)⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥1，2x －12＜x ＋1 008，解得34≤x ＜2 0172，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 0172.。
2016_2017学年高中数学第2章函数2.2.1.1函数的单调性课件苏教版必修1
1.增函数与减函数的定义 (1)一般地,设函数y=f(x)的定义域是A,区间I⊆A.如果对于区间I内 的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区 间I上是单调增函数. (2)设函数f(x)的定义域是A,区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两 个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间I上是 单调减函数.
(������2 -������1 ) ������1 ������2 (������1 - ������2 )(������1 ������2 -1) ������1 ������2 1 ������1
− ������2 +
1 ������1 ������2
1 ������2
=(x1-x2) 1-
2 1 2 1 2
1
所以 f(x)=
2������-1,������ > , -2������ + 1,������ ≤ ,
1 2
画出函数的图象如图所示 ,
所以原函数的单调递增区间为
1 2
, + ∞ ,递减区间为 -∞, .
2
1
典例导学
即时检测
一
二
三
作出函数 y=x|x|+1 的图象,并写出其单调区间. (导学号 51790044) ������ 2 + 1,������ ≥ 0, 解 由题可知 y= 2 作出函数的图象如图所示, -������ + 1,������ < 0,
2.2 函数的简单性质
2.2.1
函数的单调性
第1课时
函数的单调性
学习目标 1.能利用学过的函数特别是二 次函数,解决函数的单调性和 最值问题. 2.能运用函数的图象分析函数 的单调性和最值. 3.学会用函数的图象研究函数 的性质.
高中数学第二章函数2.2.1第1课时函数的单调性课件苏教版必修108012150
[基础·初探] 教材整理 1 单调性的定义 阅读教材 P37，完成下列问题． 1．定义 一般地，设函数 y＝f (x)的定义域为 A，区间 I⊆A.
第三页，共33页。
如果对于区间 I 内的 任意(rè两ny个ì) 值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f (x1) < f (x2)，那 么就说 y＝f (x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f (x)的单调增区间．
第十一页，共33页。
[小组合作型]
利用(lìyòng)函数图象求单调区间
作出下列函数的图象，并写出单调区间． (1)y＝x2－4；(2)y＝－2x；(3)f (x)＝xx＋－42，2，x<x0≥. 0， 【精彩点拨】 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部 分即递减．
第十二页，共33页。
第七页，共33页。
【解析】 ①②都是用部分 x1 和 x2 对应的函数值的大小来判断单调性， 忽略 了“任意”．③可举反例排除，如 y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递增，但在 定义域上不具有单调性．
【答案】 ④
第八页，共33页。
教材整理 2 单调性的判断 阅读教材 P38 例 1、例 2，完成下列问题． 判断单调性的常用方法是 图象(tú、xiàn定ɡ)义法(dìngy．ì)法
第五页，共33页。
【解析】 (1)y＝2 在定义域上无单调性；(2)只根据 f (1)<f (2)，无法确定 f (x) 的单调性；(3)由 f (x)在 R 上递增，可以得出 f (1)<f (4)；(4)一个函数的增区间也是 单调区间．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
第六页，共33页。
高考数学 2.2.1 第1课时 函数的单调性课件 苏教版必修1
3.各递增或递减区间具有独立性，只能用“，”分开 或者用“和”来连接，不能写成并集形式.即如果函数 在两个区间A和B上都是增 减 函数，一般不能认为函数
探究1：定义 第2.1.1节开头的第三个问题中，气温是关于时间的函数， 观察图象，回答问题．
θ/℃
10 8
6
4 2
O -2
2
4
6
8
10 12 14
16
18 20
22
24
t/h
问题1：说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间 的推移气温逐渐升高”这一特征？
2 已知函数f x , 利用函数单调性的定义判断函数f x 在区 x -1 间 2, 6 上的单调性；
提升总结：
1.函数单调性的定义中，实际上有两层意思：
1 对于任意的x1 , x2 M , 若x1 x2 , 有f x1 f x2 , 则f x 在
区间M 上为增函数；
2 若f x 在区间M 上为增函数，则当x1 x2时，必有f x1 f x2 .
证明：设x1，x2为区间（-∞ ，0
1 1 1 x x 1) 1 2 x1 x2 x2 x2 x1
）内的任意两个值，
1 1) x1
且x1<x2，则x1-x2<0 ，x1x2>0.因为 f ( x1 ) f ( x2 ) （
（
所以
f(x1)-f(x2）<0 即 f(x1)<f(x2） 1 故 f ( x) 1 在区间（-∞ ，0 ）上是单调增函数. x
高中数学苏教版必修一《2.2.1函数的单调性》教学课件
2024/11/14
17
单击此处编辑母版标题样式 证明：在区间 ,上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
• 单击此处编辑则 母f (版x1)文 本f (x样2) 式2x1 1 (2x2 1)
• 二级
2x1 1 2x2 1
• 三级
• 四级
2(x2 x1)
x1, x• 2五级, ，且 x1 x2 x2 x1 0
单击此处编辑母版文本样式
1 x1
1 x2
• 二级
• 三级
• 四级
x2 x1 x1 x2
x1,•x五2 级 , 0 ，且 x1 x2 x1x2 0, x2 x1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y 1 在区间上 , 0是减函数.
x
• 单击此证处明：编设辑V1母,V2是版定文义本域 样0,式 上任取两个实数,且 V1 V2
•
二级
• 三则级
• 四级
p(V1)
p(V2
)
k V1
k V2
作差
• 五级
k V2 V1 V1V2
变形
V1,V2 0, ，且V1 V2 V2 V1 0,V1V2 0
又 k 0 ,于是 p(V1) p(V2 ) 0, p(V1) p(V2 )
取值 定号
所以函数 p k ,V 0, 在区间 0, 上是减函数.
V
结论
2024/11/14
12
单击此处编证辑明函母数版单标调题性的样一式般步骤:
取值
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级
• 四级
作差变形
• 五级
定号
结论
高中数学教师用书第一部分第2章2.2.1第一课时函数的单调性课件苏教版必修.pptx
1．函数单调性的理解 (1)函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意 性，即“任意两数x1，x2∈A”，“任意”两个字绝不能去掉； 二是有大小关系，即“x1<x2(或x1>x2)”；三是同属一个单 调区间，三者缺一不可． (2)函数的单调性反映在图象上，若函数y＝f(x)在区 间A上是单调增(减)函数，则函数在区间A上的图象从左 向右是上升(下降)的．
第
2
2.2
章 2.2.1
理解教 材新知
第 一 课 时
知识点一 知识点二
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创 新演练
2．2
函数的简单性质
2．2.1 函数的单调性
考察函数y1＝x，y2＝－x和y3＝x2. 问题1：你能作出它们的图象吗？ 提示：图象如下：
问题2：从图象的左边向右边看，图象是什么变化趋势？ 提示：图象(1)从左向右看，一直呈上升的趋势； 图象(2)从左向右看，一直呈下降的趋势； 图象(3)从左向右看，呈先下降后一直上升的趋势．
1．单调增函数与单调增区间 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A. 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函 数，I称为y＝f(x)的单调增区间．
2．单调减函数与单调减区间 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为 y＝f(x)的单调减区间． 3．单调性 如果函数y＝f(x)在区间I上是 单调增函数 或单调减函数 ， 那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．
高中数学 第2章 函数2.2.1函数的单调性(一)配套课件 苏教版必修1
第四页，共28页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
[问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果 了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规 律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们 有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯 教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就 是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．
变量的大小关系吗？ 答 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量 的大小关系，即脱去 f 符号，转化为自变量的大小关系．
第二十页，共28页。
研一研•问题(wèntí)探究、课堂更高效
例3 已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，且对任意的正数 d，都有 f(x＋d) <f(x)，求满足 f(1－a)<f(2a－1)的 a 的取值范围．
第九页，共28页。
研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高效
例 1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： (1)y＝－x2＋2；(2)y＝1x(x≠0)． 解 (1)函数图象如图(1)，从图中看出函数 y＝－x2＋2 的增 区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)． (2)函数图象如图(2)，从图中看出函数 y＝1x的单调减区间为 (－∞，0)和(0，＋∞)．
第二十六页，共28页。
1．若 f(x)的定义域为 D，A⊆D，B⊆D，f(x)在 A 和 B 上都单 调递减，未必有 f(x)在 A∪B 上单调递减．
第十六页，共28页。
研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高效 跟踪训练 2 试讨论函数 f(x)＝x2＋x 1的单调性．