数值分析10 误差分析和解的精度改进共39页文档
数值分析实验误差分析.doc
c[i]=temp;//保存首行信息
}
//消去l=aik/akk
k=j;
while(k<n-1){
i=j;
b[0] =a[k+1][j];//保留第一个系数防止后面破坏
for(;i<n+1;i++)
{
//b[1]=b[0]*c[i]/a[j][j];
a[k+1][i]=b[0]*c[i]/a[j][j]-a[k+1][i];
}
// showarray(a);
for (i=0;i<n;i++)
{
cout<<"x"<<i<<"="<<x[i];
}
cout<<endl;
}
void showarray(float a[n][n+1])
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n+1;j++)
{
cout<<"x2"<<a[i][j]<<" ";
x3=-(b-sqrt(q))/2;
x4=c/xБайду номын сангаас;
printf("%f\n",x1);
printf("%f\n",x2);
printf("%f\n",x3);
printf("%f\n",x4);
}
数据的误差与精度分析
数据的误差与精度分析数据的准确性对于各行各业都是至关重要的。
在科学研究、工程设计、经济分析等领域，我们需要确保所采集和使用的数据具有高度的精确性和可靠性。
然而，由于各种因素的影响，数据往往会存在一定的误差。
因此，对数据的误差和精度进行分析和评估就变得尤为重要。
一、数据的误差来源数据的误差来源主要包括系统误差和随机误差。
系统误差是由于系统的固有缺陷或不完善而引起的，例如仪器的漂移、环境的影响、操作者的技术水平等。
随机误差则是由一系列不可控因素引起的，例如测量仪器的精度限制、测量结果的波动等。
二、误差的分类与描述误差可以根据其产生的原因和性质进行分类。
常见的误差分类包括绝对误差、相对误差和百分比误差。
绝对误差是指测量结果与真实值之间的差别，用来描述测量结果的准确度。
相对误差是指绝对误差与真实值之比，可以反映测量结果的精度。
百分比误差是指相对误差乘以100%得到的值，常用于表示误差的百分比。
三、误差分析方法误差分析是对数据误差和精度进行评估和分析的过程。
常用的误差分析方法包括：1. 误差传递分析：通过分析每个测量步骤中的误差来源和传递关系，确定整个测量过程中的误差产生机制，并计算其累积误差。
这种方法适用于复杂的测量系统和多步骤的测量过程。
2. 统计分析：通过对多次重复测量数据的统计处理，得到数据的平均值、标准差和置信区间等指标，从而评估测量数据的精度和可靠性。
统计分析方法可以有效地抑制随机误差对测量结果的影响。
3. 标准曲线法：通过制备一系列已知浓度的标准溶液，测量其吸光度或其他性质，构建标准曲线，从而通过测量样品的吸光度或其他性质，确定其浓度。
这种方法适用于分析化学和生物化学等领域。
四、提高数据精度的方法为了提高数据的精度，我们可以采取以下措施：1. 使用优质仪器和设备：选择具有较高精度和准确度的仪器设备，减小系统误差的影响。
2. 校正和校准：定期进行仪器的校正和校准，确保其工作状态良好，并减小测量结果的偏差。
数值分析10误差分析和解的精度改进
数值分析
数值分析
（2）（行）比例增减改善
前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出
即正交变换后，没有增加误差。
同样，对 A Rnn 有 A A A， 则 Q A QA Q A，且 || Q A ||2 || A ||2
正交变换后，误差也没有增加。
数值分析
数值分析
三、数值稳定性及解的精度改进
1.数值稳定性. 结论：直接法解 Ax b，用顺序消元是不稳定，而用选
主元（列主元）是稳定的。
数值分析
数值分析
解的稳定性：“小的误差会不会引起解的很大变化”
有两种解的稳定性概念： （1）数值方法的稳定性：与数值方法有关。 （2）数学稳定性：是由数学问题本身故有属性所
决定的，与数值方法无关。即通常所说的 “病态问题”和“良态问题”。
数值分析
数值分析
数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰 动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长， 则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。
sr
s k in i
例4 应用按比例消元法求解 方程组
解：s1 2, s2 4, 对k 1, a11 1 ,
s1 2
s3 10 a21 3 , s2 4
x1 3 x1
2x2 4x2
x3 3 3
E1 E2
2 x1 10x2 4 x3 10 E3
a31 1 , r 2 s3 5
2.矩阵的条件数 定义 : 对非奇异n阶方阵A, 称量 A A1 为矩阵A的
数值分析误差
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例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度 是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm, 765.5 mm].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 e 之间满足： x * e x x * e
通常记为
x x * e
10
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失真.
31
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例
计算积分
In
1 xne x1dx
0
In 1 nIn1, n 1,2,
算法2的计算公式为
I n1
1 (1 n
In),
n k,k 1,,2,1
类似地可得
In
I
* n
( 1)k n
n! k!(Ik
Ik* ),
n k,k 1,,1,0
|
I0
I0*
|
1 9!
并将计算公式改写为
I n1
1 (1 n
In),
n 9,8,,2,1
由此计算 I8, I7, …, I0. 28 第29页/共44页
In
算法1
算法2
真值
I0
0.6321 0.6321 0.6321
I1
0.3679 0.3679 0.3679
I2
0.2642 0.2642 0.2642
I3
0.2074 0.2073 0.2073
0
1 e1 0.6321 I0 *
由
In 1 nIn1
和
I
* n
1
nI
* n1
,
n 1,2,
可得
In
I
* n
数值分析误差及分析
f
( x1*,
x2*, xi
, xn*)e( xi*)
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e( y*) e[ f ( x1*, x2*, , xn*)] df ( x1, x2, , xn )
n f ( x1, x2,
i1
xi
,
xn )e( xi*)
n i1
f
( x1*,
x2*, xi
, xn*)e( xi*)
记
用递推算法:
u0 an, uk uk1x ank , k 1, 2, , n.
最终
Pn (x)=un
共需n 次乘法和n次加法运算。
一般地要注意:能在循环外计算, 就不要放在循环 内计算。
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二、 注意避免两个相近数的相减
两个相近的数相减,有效数字会大大损失。
例2
170 13 0.0384048
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x*)
x*
r ( x*)
上页 下页
综合例题1
上页 下页
三、有效数字 定义：如果近似值x*的误差限不超过某一位的半个 单位，该位到 x* 的第一位非零数字共有n 位,我们 称 x* 有n 位有效数字。它可表为
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) )
其中 a1, a2 , , an 为0-9 中的一个数字a, 1 0, m 为整数，
er ( x*)
x*x | x* |
0.5 10mn1 a1 10m
1 10n1 2a1
此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。
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定理 2 设近似值 x* a1.a2 an 10m 的相对误差
不大于
1 2(a1
数值分析实验 误差分析
数值分析实验误差分析一、引言数值分析是研究用数值方法处理数学问题的学科。
在数值计算中，由于测量误差、近似误差、截断误差和舍入误差等因素的影响，计算的结果与实际值可能存在一定程度的误差。
因此，在进行数值分析实验时，正确评估误差是非常重要的。
本文将从误差类型、误差分析方法等方面进行详细介绍。
二、误差类型1.测量误差。
由于测量仪器的制造、使用环境等因素的影响，测量结果与实际值之间存在偏差，这就是测量误差。
常见的测量误差有系统误差和随机误差。
其中，系统误差是由测量仪器本身的固有误差造成的偏差，随机误差则是由于测量仪器使用条件的不同而产生的偏差。
2.近似误差。
由于迫于计算机存储空间和运算精度的限制，数值计算中通常采用有限的、近似的算法来求解问题。
因此，近似误差是计算方法本身的误差所引起的。
3.截断误差。
因为在有限步数之内求解无限级数或积分等问题是不可能的，所以在实际计算中只能取一定的计算级数或增量来作为代替。
这样，在运算的过程中，我们总是保留最后一位是四舍五入到一定的位数。
这样，由于省略了无限级数的其余项，计算结果与实际值之间产生的误差就是截断误差。
4.舍入误差。
计算机表示数字的位数是有限的，当我们将一个实数舍入到有限的位数时，就会导致计算结果与实际值之间的差距，这就是舍入误差。
三、误差分析方法误差分析是数值分析实验中最基本的计算过程之一，而误差分析所依据的便是数学中的数值分析的基本原理。
对于数值分析实验中所产生的误差而言，目前主要有以下几种误差分析方法：维恩积分估计法、泰勒展开法、拉格朗日插值法等。
1.维恩积分估计法。
利用维恩积分估计法，可以粗略地估计出误差大小的上下限。
该方法的基本思想是：先根据计算结果求出解析解，然后在得到的解析解处求出其导数或高阶导数，再根据误差项的表达式，得到误差估计表达式，从而计算误差的上下界。
2.泰勒展开法。
利用泰勒展开法，可以把计算值的误差展开成某一阶导数之差的形式。
通过泰勒展开公式对计算结果做二阶近似展开，然后把相应的二阶导数用实际值代替即可。
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
质量控制中的误差分析与改进
质量控制中的误差分析与改进质量控制是一个组织机构在生产过程中实施的一系列策略和方法，旨在确保产品或服务的一致性和满足客户的需求。
然而，在实践中，由于各种因素的干扰，质量控制过程中可能会产生误差。
本文将探讨质量控制中的误差分析与改进，以指导企业优化质量控制措施，提高产品或服务的质量水平。
1. 误差分析误差是指实际值与期望值之间的偏差，可能来源于供应链、人为操作、环境因素等多个方面。
为了准确分析误差，我们可以采用以下几个步骤：1.1 数据收集与整理首先，需要收集与质量控制相关的数据，并进行整理。
这些数据可以包括产品或服务的关键指标（如尺寸、重量、效率等），生产过程中的环境参数，以及质检过程中的记录等。
1.2 数据可视化将数据进行可视化处理可以更直观地了解误差的分布和趋势。
通过图表、图像等形式，可以快速判断误差是否存在系统性偏差，以及不同因素对误差的影响程度。
1.3 数据分析在收集和整理完数据并进行可视化之后，可以对数据进行进一步的分析。
常用的方法包括统计分析、回归分析、因果关系分析等。
通过这些方法，可以找出与误差相关的关键因素，以及它们对误差的影响程度。
1.4 误差源定位通过以上的分析，可以初步确定误差产生的主要原因。
这些误差源可能涉及到材料质量、生产设备、操作流程、人员技能等方面。
进一步的调查和测试可以帮助确认具体的误差源。
2. 改进措施在确定了误差源之后，接下来就是制定改进措施，并实施这些措施。
以下是一些常用的改进方法：2.1 完善供应链管理若误差源来自供应链环节，可以加强对供应商的质量管理，建立合理的供应商评估体系，并进行有效的监督和沟通，以确保原材料和零部件的质量。
2.2 优化操作流程对于误差源涉及到操作流程的情况，可以通过优化流程、简化操作步骤、制定详细的工作指导书等方式，降低人为因素对误差的影响。
2.3 提高员工技能通过提供培训和学习机会，提高员工的技能水平和质量意识，减少人为因素导致的误差。
误差和分析数据的处理.pptx
δ ±0.01 ±0.0001
Er ±8% ±1% 保留二位有效数字
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有效数字的修约规则
1．四舍六入五成双（或尾留双）
但若5后还有非零数，说明被修约数大于5，宜进位
例：4.135 ， 4.105 均修约至三位有效数字
4.14
4.10
例：4.1251， 4.1250 均修约至三位有效数字
绝对误差(Ea) x 60.52% 60.66%
0.14%
相对误差(Er)% Ea 100% 0.14% 1000 ‰
60.66%
＝－2.3‰
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续前 用分析天平称量两个样品，一个是0.0021g，另一个是0.5432g
解：▪ 绝对误差(Ea)
▪ 相对误差(Er)
0.0001g
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3.真值与标准参考物质
自学
➢理论真值 如三角形的内角和为180°等。
➢约定真值 原子量表 物理常数 通用计量单位 国际单位制的基本单位：长度、质量、时间、
电流强度、热力学温度、发光强度及物质的量单位
➢相对真值 常用标准参考物质的证书上所给出的含量 作为相对真值。
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返回
样量？
RE% 2 0.0001 100% 0.1% w
w 0第.21080页0/共g 59页
续前 2）滴定
例：滴定管一次的读数误差为0.01mL，两次的读数误差 为
RE0%.022mL0，.01RE%10<0%0.10%.1%，计算最少滴定剂体积？ V
V 20mL
3．增加平行测定次数，一般3～4次以减小偶然误 差
差，提高可信度
例：s = 0.213 → 两位有效数字修约至0.22，可信度 ↑ → 一位有效数字修约至0.3，可信度↑
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为