时间序列分析与动态数据建模
时间序列、动态计量与非平稳性
时间序列、动态计量与非平稳性时间序列分析是一种研究时间上观测到的数据的方法，它通常用来预测未来的数据走势，或者揭示数据背后的规律和模式。
时间序列分析的基本假设是数据是按照时间顺序收集和记录的，因此数据中的观测值之间存在一定的内在关联。
动态计量是时间序列分析的一种方法，它关注变量之间的相互影响和动态调整过程。
动态计量的核心思想是当前时刻的变量取值受到过去时刻的变量取值的影响，而且这种影响是不断调整和改变的。
动态计量模型通常使用回归分析、向量自回归(VAR)模型、脉冲响应分析等方法，来研究变量之间的时序关系和相互作用。
然而，时间序列和动态计量在实际应用中都面临一个重要的问题，那就是非平稳性。
非平稳性是指时间序列数据在整个时间范围内存在明显的长期趋势、季节性变化、周期性波动等，这会导致时间序列的统计性质发生变化，使得传统的时间序列模型无法有效地拟合和预测数据。
非平稳性在金融、经济学、气象学等领域中普遍存在，因此如何处理非平稳性是时间序列分析的重要课题。
为了处理非平稳性，可以使用一系列的技术，如差分、变换、季节调整和模型拟合等。
其中，差分是最常见的一种方法，它通过计算相邻时刻的观测值之间的差异，来消除数据中的趋势和季节性变化。
变换则是将原始数据进行数学变换，如对数变换、平方根变换等，以改变数据的统计性质。
季节调整是将季节性因素从数据中剔除，以便更好地研究数据的长期趋势。
而模型拟合则是利用时间序列模型来拟合和预测非平稳数据，如自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)等。
非平稳性的处理不仅能够改善模型的拟合效果，还能够提高模型的预测准确性和可解释性。
通过去除非平稳性的影响，我们可以更好地理解数据的本质和规律，更准确地进行预测和决策。
对于金融市场而言，处理非平稳性可以帮助投资者更好地判断市场趋势和价值，从而制定更科学和有效的投资策略。
总之，时间序列、动态计量和非平稳性是现代统计学中重要的研究领域。
第五讲传统时间序列分析与动态时间序列模型
第五讲传统时间序列分析与动态时间序列模型传统时间序列分析和动态时间序列模型是时间序列分析中的两个重要领域，本文将分别介绍这两个领域的基本概念和主要方法。
传统时间序列分析是指对时间序列数据进行统计建模和分析的方法。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一连串观测值，常见的时间序列数据包括自然灾害的发生次数、股票价格的变动、销售额的波动等。
传统时间序列分析主要通过观察数据的规律和趋势，构建数学模型，预测未来的发展趋势。
在传统时间序列分析中，常见的方法包括平稳性检验、自相关函数和偏自相关函数分析、移动平均和自回归模型、季节性调整和趋势分析等。
首先，平稳性检验是检验时间序列数据是否具有平稳性的重要步骤。
平稳性是指时间序列数据在任意时刻的统计特性都是稳定的，即均值和方差不随时间变化。
如果时间序列数据不具备平稳性，就需要进行差分变换等处理使其满足平稳性要求。
然后，自相关函数和偏自相关函数分析可以帮助判断时间序列数据是否存在自相关性，即观测值之间的相关性。
移动平均和自回归模型是传统时间序列分析中常用的模型。
移动平均模型是通过对时间序列数据进行滑动平均计算，来得到预测值。
自回归模型则是根据时间序列数据的过去值来预测未来值。
季节性调整和趋势分析可以帮助分析时间序列数据中的季节性和长期趋势。
与传统时间序列分析不同，动态时间序列模型是一类建立在时间序列数据上的动态系统模型。
它基于时间序列数据的动态性质，考虑了时间序列数据的变化趋势和波动性，并能够利用过去的观测值来预测未来的观测值。
动态时间序列模型可以通过参数估计和模型检验来选择最优的模型。
常见的动态时间序列模型包括ARIMA模型、GARCH模型和VAR模型等。
ARIMA模型是自回归移动平均自回归模型的简称，它是一种以时间序列数据的自相关和移动平均为基础的模型。
GARCH模型是广义自回归条件异方差模型，它主要用于对时间序列数据的波动性进行建模。
VAR模型是向量自回归模型，它可以用来同时预测多个相关联的时间序列数据。
第4章统计学动态分析方法
第4章统计学动态分析方法4.1引言统计学是一门应用数学的学科，它研究如何收集、分析和解释数据。
在实际应用中，我们往往需要对数据的变化进行动态分析，以了解其趋势和规律。
本章介绍了几种常见的统计学动态分析方法，包括时间序列分析、动态因子分析和波动率模型。
4.2时间序列分析时间序列是按时间顺序排列的一系列观察值。
时间序列分析是通过对时间序列数据进行建模和分析，来研究其内在的规律和趋势。
常用的时间序列分析方法包括趋势分析、季节性分析和周期性分析。
趋势分析是通过拟合一条线性或非线性的趋势线，来描述时间序列数据的总体变化趋势。
拟合趋势线的常见方法包括移动平均法、指数平滑法和多项式拟合法。
季节性分析是用来研究时间序列数据在不同季节性因素下的变化规律。
常用的季节性分析方法包括季节指数法和ARIMA模型。
周期性分析是用来研究时间序列数据在长期周期因素下的变化规律。
常用的周期性分析方法包括傅里叶分析和周期图法。
4.3动态因子分析动态因子分析是一种用于研究多个变量之间的相关性和因果关系的统计分析方法。
它建立在因子分析的基础上，通过引入时间维度，将因子模型扩展为动态因子模型。
在动态因子分析中，变量和因子都是时间相关的。
通过对观测变量的因子载荷和因子的权重进行估计，可以得到动态因子模型的参数。
然后，可以利用动态因子模型来预测未来的变量值，从而进行动态的数据分析。
动态因子分析可以应用于各种领域，例如经济学中的宏观经济因子分析、金融学中的股票市场因子分析等。
它可以帮助我们了解变量之间的关系和变化趋势，从而做出更准确的预测和决策。
4.4波动率模型波动率是指价格或收益率在一段时间内的变化幅度。
波动率模型是用来研究和预测金融市场波动率的统计模型。
常用的波动率模型包括ARCH 模型、GARCH模型和EGARCH模型等。
ARCH模型是自回归条件异方差模型，它假设波动率是过去一段时间内的观测值的函数。
GARCH模型是ARCH模型的一种扩展，它引入了过去的波动率数据，以更好地捕捉波动率的动态特性。
多元时间序列的特征分析与建模
汇报人： 2024-01-09
目录
• 引言 • 多元时间序列的基本概念 • 多元时间序列的特征提取 • 多元时间序列的模型构建 • 多元时间序列的预测分析 • 多元时间序列的应用案例 • 总结与展望
01
引言
研究背景与意义
随着大数据时代的到来，多元时间序列数据在各个领域的应用越来越广 泛，如金融、气象、交通等。对多元时间序列进行特征分析和建模，有 助于深入理解数据的内在规律和预测未来的发展趋势。
特征提取是多元时间序列分析的关键步骤，通过对时间序列数据的特征 提取，可以更好地理解数据的本质和规律，为后续的预测和决策提供支
持。
传统的多元时间序列分析方法往往只关注单一特征或简单的时间依赖关 系，难以全面揭示数据的复杂性和动态性。因此，研究多元时间序列的 特征分析和建模具有重要的理论和实践意义。
研究现状与问题
01
近年来，随着机器学习和深度学习技术的发展，多元时间序列分析取得了显著 的进展。各种基于机器学习和深度学习的方法被广泛应用于多元时间序列的特 征提取和预测。
02
然而，现有的方法在处理多元时间序列时仍存在一些问题。例如，如何有效地 提取多元时间序列中的复杂特征和动态依赖关系，如何处理不同特征之间的非 线性关系和时序不一致性等。
效率和预测精度。
04
深度学习等方法虽然取得了较好的效果，但模型的可 解释性较差，难以理解模型内部的运作机制，需要加 强模型的可解释性研究。
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利用汇率时间序列数据，建立模 型预测汇率走势，为国际投资和 贸易提供决策支持。
气象领域的应用
气候变化研究
通过对气温、降水、风速等气象数据的时间 序列分析，研究全球气候变化的趋势和影响 。
数学建模有哪些方法
数学建模有哪些方法
数学建模是指将实际问题用数学的方法进行描述和分析的过程。
常见的数学建模方法有以下几种：
1. 形式化建模：将实际问题抽象成数学模型，通过符号和公式的形式进行描述和求解。
2. 统计建模：利用统计学的方法对数据进行收集、整理和分析，从中提取规律和模式，对未知的情况进行预测和决策。
3. 数值模拟：利用计算机和数值方法对问题进行模拟和求解，通过近似计算得到结果。
4. 最优化建模：通过建立优化模型，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
5. 离散建模：将连续的问题离散化，转化为离散的数学模型进行分析和求解。
6. 动态建模：对问题进行时间序列的分析和建模，预测未来的变化和趋势。
7. 图论建模：将问题抽象成图的形式，利用图的相关理论和算法进行分析和求解。
8. 概率建模：利用概率论的方法对问题进行建模和分析，从中推断出一些未知的情况。
以上是一些常见的数学建模方法，具体的方法选择要根据实际问题的特点和要求进行判断和决策。
生命科学中的时间序列数据分析方法
生命科学中的时间序列数据分析方法随着生命科学研究的深入，越来越多的实验数据被收集和存储下来。
这些数据通常是在一段时间内进行收集并记录下来的。
由此，时间序列数据成为生命科学领域中数据分析研究的重要内容。
时间序列数据分析方法是科学家们应对这种大量生命科学数据的一个必备工具。
时间序列数据分析方法可以帮助科学家们从大量的数据中分辨出有用的信息。
比如，生命科学领域中的一些实验需要大量的数据来观察细胞、物种、环境等的变化。
这些变化通常是随时间发生的。
例如，在细胞实验中，可以观察到细胞的生长速度、细胞质的变化等等。
所有这些数据都可以被视为时间序列数据。
然后，通过时间序列数据分析方法，科学家们可以发现其中变化的规律性，从而为生物学、生态学、环境科学等研究提供支持。
时间序列数据分析方法已经在各种生命科学领域中应用。
例如，在生态学中，时间序列数据可以被使用来预测种群动态、物种的遗传变异等等。
在医学中，时间序列数据可以被用来分析病人的电生理、生化数据等。
不同的分析方法可以被使用来处理时间序列数据。
第一种方法是采用频谱分析法。
这种方法将时间序列数据转化为频谱数据（幅度和相位），然后分析序列中的频率。
采用这种方法，科学家们可以了解样本中其中的周期性、频率和振幅分布情况。
然而，这种方法只适用于具有规律性和周期性的数据。
另外，采用频谱分析法分析大量数据时，需要较长的计算时间。
第二种方法是使用自回归模型。
这种方法使用时间序列数据中先前时间点的信息来预测未来的值。
在预测时，较早的时间点数据对未来的预测值的贡献相对较小，而较近的时间点数据则贡献较大。
自回归模型适合预测没有规律性但是有自相似性的数据。
不过，这种方法只能处理相对较小数据集，以达到高准确性的预测结果和较短的计算时间。
第三种方法是使用市场模型。
市场模型是用来预测时间序列数据的变化范围和分布情况的。
市场模型可以建模样本间的关系，提供市场呼吸动态中的均值、方差和协方差等。
通常情况下，这种方法用于预测有随机性但是有序的数据。
计算机财务管理财务建模方法与技术
计算机财务管理财务建模方法与技术财务建模方法与技术主要包括数学建模技术、统计分析技术和计算机技术等。
一、数学建模技术（一）线性规划模型：线性规划模型是指在一定的约束条件下，利用线性方程组来表达财务问题的优化目标，并通过计算机技术求解最优解。
线性规划模型可以应用于财务决策中的资金分配、项目投资等问题。
（二）整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型基础上添加整数约束条件，即决策变量必须是整数的一类优化模型。
整数规划模型可以应用于财务决策中的生产计划、库存管理等问题。
（三）动态规划模型：动态规划模型是一种将多阶段决策问题转化为一系列子问题，并通过递归的方式求解的优化模型。
动态规划模型可以应用于财务决策中的投资组合优化、资产负债管理等问题。
二、统计分析技术（一）回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的统计分析方法。
在财务建模中，回归分析可以应用于财务指标与经济变量之间的关系分析和预测。
（二）时间序列分析：时间序列分析是一种通过对时间序列数据进行建模和分析来研究变量随时间变化的规律的统计分析方法。
在财务建模中，时间序列分析可以应用于股票价格预测、汇率变动分析等问题。
（三）假设检验：假设检验是通过对样本数据进行统计分析，来对总体参数进行推断的一种统计方法。
在财务建模中，假设检验可以应用于财务数据的可靠性评估和决策结果的显著性检验。
三、计算机技术（一）数据挖掘技术：数据挖掘是利用计算机技术从大量的数据中提取有用的模式和信息的一种技术。
在财务建模中，数据挖掘技术可以应用于财务数据的分类、聚类、关联规则挖掘等分析工作。
（二）人工神经网络：人工神经网络是一种模拟脑神经元结构和功能的计算模型，通过训练神经网络来实现对数据的分类和预测。
在财务建模中，人工神经网络可以应用于财务数据的风险评估、信用评级等问题。
（三）决策支持系统：决策支持系统是一种利用计算机技术和模型方法来帮助决策者进行决策的信息系统。
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。
时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。
时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。
这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。
它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。
AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。
SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。
它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。
指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。
常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。
时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。
评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。
时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。
它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。
然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。
因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。
动态系统的建模与分析方法
动态系统的建模与分析方法动态系统是由一组相互作用的元素所组成的，其特点是随时间的推移而变化，常常被用来描述现实世界中复杂的自然现象和社会现象。
例如，经济模型、气候模型、生态模型、交通模型等等。
为了对这些复杂的现象进行理解和预测，需要对动态系统进行建模和分析。
本文将介绍动态系统的建模和分析方法。
一、动态系统的基本概念在开始介绍建模和分析方法之前，首先需要了解一些动态系统的基本概念。
1.状态和状态变量：状态是指动态系统所处的状态，其通常由一组状态变量描述。
例如，气候模型中的状态变量可以包括气温、湿度、风速等。
2.状态空间：状态空间是指所有可能的状态所组成的空间，通常由状态变量的取值范围定义。
3.状态转移：状态转移是指系统从一种状态转移到另一种状态的过程，通常由状态转移函数描述。
例如，气候模型中的状态转移函数可以描述气温、湿度、风速等如何随时间变化。
4.控制变量：控制变量是指可以对系统进行控制的变量，其值可以由外部因素所决定。
例如，气候模型中的控制变量可以包括太阳辐射、海洋表面温度等。
二、建模方法建模是指将现实世界中的动态系统抽象为一个数学模型，以便于对其进行定量分析和预测。
动态系统的建模方法可以分为以下几种。
1.微分方程法微分方程法是最常用的动态系统建模方法之一。
它将动态系统的状态描述为一个或一组关于时间的微分方程，以描述状态随时间的演化规律。
例如，经济学家常常使用微分方程来描述物价的变化，生态学家则使用微分方程来描述生态系统中物种的数量变化。
2.差分方程法差分方程法是一种离散化的建模方法，它将动态系统的状态描述为一个或一组关于时间序列的差分方程，以描述状态随时间的变化规律。
例如，交通规划师可以使用差分方程来描述道路网络中车辆数量和速度的变化规律。
3.系统动力学法系统动力学法是一种基于不同元素之间的相互作用和反馈机制来描述系统行为的建模方法，通常涉及到决策制定和政策评估等问题。
使用系统动力学法建立的模型可以用来预测政策改变或新政策的影响。
数学建模常见方法
数学建模是将实际问题抽象成数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
以下是一些常见的数学建模方法：
1.数理统计：利用概率论和统计学方法来分析数据，建立统计模型并进行参数估计、假设
检验等，从而对问题进行量化和预测。
2.最优化方法：使用最优化理论和方法，在给定约束条件下寻找最优解，如线性规划、非
线性规划、整数规划等。
3.微分方程模型：通过建立微分方程或偏微分方程描述系统的动态行为，包括常微分方程
和偏微分方程模型。
4.离散事件模拟：通过离散事件模拟方法模拟系统的运作过程，包括随机过程、排队论等。
5.图论与网络流模型：使用图论和网络流算法对复杂的关系和网络结构进行建模和分析，
如最短路径、最小生成树等。
6.时间序列分析：对时间序列数据进行建模和预测，涉及自相关函数、谱分析、回归分析
等方法。
7.近似方法：如插值、拟合、逼近等方法，通过寻找适当的函数形式来近似真实问题。
8.随机过程：通过建立随机过程来描述系统的不确定性和随机性，包括马尔可夫链、布朗
运动等。
9.图像处理与模式识别：利用数学方法和算法对图像和模式进行处理和识别，如图像滤波、
边缘检测、模式匹配等。
10.数据挖掘与机器学习：利用统计学和机器学习算法对大规模数据进行分析和挖掘，发现
隐藏的模式和关联规律。
这些方法只是数学建模中的一部分，实际应用还需根据具体问题进行选择和组合。
在数学建模过程中，常常需要结合领域知识和实际情况，并使用计算机软件和工具进行模型求解和结果分析。
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第六章目录第六章时间序列的预报 (1)6.1 平稳线性最小方差预报 (1)1．定义和几何直观解释 (1)2．最小方差预报的性质 (4)6.2 AR及MA序列的预报方法 (6)6.3 ARMA序列的预报方法 (8)6.4 时间序列的新息实时预报 (11)第六章 时间序列的预报在气象、水文、地理、天文等许多实际问题中，我们观察数据进行分析的目的，就是要确定出相应模型及参数，然后对未来可能出现的结果进行预报。
这就是说，要根据现在与过去观察序列的样本值，对该序列未来时刻的取值进行估计。
既然是进行估计，就要确立衡量估计效果优劣的标准，本章采用的标准是使线性预报的方差达到最小，即是讨论在线性最小方差意义下平稳预报的性质及具体方法。
对AR,MA,ARMA 各类序列预报方法的阐述，着重于它们在计算机上的实现，此外，在本章最后一节将对新息预报方法做简要的介绍。
6.1 平稳线性最小方差预报1．定义和几何直观解释设{}t x 是零均值平衡序列，符号 ()t xl 表示用t 时刻及其之前的全部历史观察数据，对未来t l +时刻的值t l x +所做的l 步平稳线性最小方差预报。
由定义 ()t xl 可表示成如下形式： 01112()t t t t x l c x c x c x ===++ （6-1-1） 被选定的系数序列{}j c 应使预报方差()()t t t l e l x xl +=- 的均方值22[()][()]min t t t E e l E x xl +=-= 达到最小。
运用线性空间的观点可以清楚地解释最小方差预报的几何意义。
我们先来回顾一下线性空间和投影的几何意义。
假设有两个向量12x x 和，我们要用它们的线性组合来近似表达第三个向量3x 。
换句话说，就是说要求出系数12a 和a 使得向量1122a x a x +和向量3x 最接近，或者说使它们之间的距离最短。
如图6-1所示，这个解可以从向量3x 作垂线到12x x ,所张成的平面而得，即3x 的正交投影所给出的向量31122x a x a x =+是最接近于3x 的解。
现在的预报问题是已知'''12012,,,,,,t t t x x x c c c == ,求使得式（6-1-1）所构成的1()t t x l x +和的距离最近。
由于两个随机向量间的距离是用它们差值的均方根表示，因此满足这个条件的解就使2[()]t E e l 为最小。
在维数有限（例如三维）的情况下，从图形上可以直观地看出几何意义。
如图6-1中所示，其中12x x ,并不一定是垂直的，因此也不相互正交，所以寻求 3x （或''12,c c ）并不方便。
如果用一组正交的坐标系，图6-2，其中12,e e 为正交单位向量，则可将3x 的正交投影表示成''31122x a e a e =+。
对于预报问题，通过引入线性空间及投影的概念，我们可以对预报的实质有形象而直观 的了解。
为途述方便，我们引入下面线性空间。
设随机序列所适合的ARMA 模型是1111t n t n t t m t m xt a x a x b b εεε=====++=+++定义线性空间{}200200:,:,:t j t j j j j tj t j j j j j d j d d x x c x c c x x εεεε∞∞==∞∞-==⎧⎫===<+∞⎨⎬⎩⎭⎧⎫==<+∞⎨⎬⎩⎭=∑∑∑∑为实数，为实数，是方差有穷随机变量XX由定义可知t 是X X 的子空间，即=tXX由ARMA 模型具有等价的传递形式和逆转形式，可知实际上t ε=tX也就是说，对任何t y ε∈,必然存在实数j u ,2jj u ∞=<+∞∑，有0j t jj y u ε∞===∑，利用ARMA 的逆转形式，每个t j ε=可表成t x ，0t ≤<+∞的线性组合，因此必有t y X ∈;反之，对任何图6-1 图6-2t y ∈X 利用传递形式可以导出t y ε∈，这就表明两个线性空间相等。
对于0l >，显然1t x +不能用1,,t t x x = 的线性组合表示，因此1t x +不属于t X 而由定义1t x =∈X ，这就是说1t x +属于空间X ，但不属于其子空间t X 。
在空间X 中，两个元u 和v 之间的距离用它们差值的均方根表示122(,)([])d u v E u v ≡-线性最小方差预报，就是要选择0t x ∈X ，取0ˆ()t xl x =，在线性空间t X 中0x 与1t x +的距离较之t X 中其它任何点都短。
很自然地 ()t x l 应取做1t x +在空间tx 上的正交投影。
用 E 表示正交投影，则1()[]t t x l E x +=tX 由投影的性质有()t t e l ⊥X符号⊥“”表示垂直（或正交）。
因此t ε是相互无关或正交的，因而0,1,2,t j j ε-= ，是空间t X 中的一组互相正交的座标系。
我们可以将 ()t x l 表示成0,1,2,t jj ε-= ，的线性组合 0110()t t j t j t j x l d d d εεε∞--='''+++∑ ＝()t x l 要能作为1t x +对1t t εε- ，，所张成空间t X 上的正交投影，必须且只须预报误差()t e l 对每个0,1,2,t jj ε-= （）正交，即满足下面条件： 1[()][(())]00,1,2,t t t j t t jE e l E x x l j εε-+-=-==将1t x +表示成传递形式，得到1111111011[(()())]00,1,2,t t j t t t t t j E G G G d d j εεεεεεε-+-+---+++++-''++==由0j =可得j d G '= 类似地，1j =时2211111[()]()0j t j E G d G d εεσ+-+''-=-=故 11j d G +'= 因此实现最小线性方差预报的解可表为0,1,2,j j ld G j +'==预报误差为1111()()t t t j t jt j j t e l x x l G G εεε+++--+=-=+++ （6-1-2） 预报误差均方为22211[()](1)t j Var e l G G εσ-=+++ （6-1-3）（6-1-3）式表明，l 步线性最小方差预报的预报误差方差仅与预报步长l 有关，而与预报的起点t 无关，这一点体现了预报的平稳性质。
由式（6-1-3）还可以看出，预报步长l 越大，预报误差方差也越大，即预报准确性越差。
利用ARMA 模型的传递形式，并参照（6-1-2）可知111111()()tt t j t t j j t t e l x l x G G G εεεε+++--+=++++其中前l 项是l 步预报误差，后面其余各项是l 步线性最小方差预报值：()t jt j j xl Gε∞+-==∑ （6-1-4）格林函数1G 可由ARMA 模型的参数递推计算出。
式（6-1-4）给出了计算l 步预报值 ()t xl 的格林函数方法。
综合上述我们已经阐明，线性最小方差预报 ()x l 就是1t x +在线性空间tX 上的投影。
对于过程{}t x 为正态的情形，还可以证明[4] ()x t 恰恰就是在给定t X 时1t x +的条件期望。
也就是在正态条件下，线性最小方差预报、正交投影、条件期望这三者是完全等价的。
2．最小方差预报的性质根据线性最小方差预报的定义及正交投影、条件期望的基本特性，我们对平稳最小方差预报做进一步的讨论，可得出一系列简单性质。
（1） 00[][]j t j t jt jt j j E C x CE x ∞∞++=∑∑＝＝X X （6-1-5） 该式由正交投影的线性运算直接可得，说明最小方差预报具有线性性质。
（2） 111()[][]t t t t t t x l E x E x x ε+++⎧⎪==⎨⎪⎩X 00l l >≤ （6-1-6）这里利用了 6.1.1中说明过的t t ε=X ，注意当0l ≤时，1t tx +∈X，故11()[]t t t t x l E x x ++==X 。
该性质表明对现在和过去观察值的预报就是它们自身；对未来观察值的预报可通过正交投影得到。
（3） 1110[][]t t t t t E E εεεε+++⎧==⎨⎩X 00l l >≤ （6-1-7） 当0l >时1t t εε+⊥，这可由[]0i j E εε= ()i j ≠得到。
该式表明对现在和过去白噪声“冲击”的预报，就是其自身，对未来冲量的预报，就是冲量的平均值——零。
从以上三个基本性质出发，不难得出下列性质；（4）对ARMA （n ，m ）模型，可证明m 步以后的预报12()(1)(2)()t t t tn x l a x l a x l a x l n l m =-------> （6-1-8）该式表明，若m 步以内的预报值 (1)(1)()t t t x x xm ，，，已经得到，超过m 步的预报值可由式（6-1-8）逆推得出。
特别，当{}t x 是MA （m ）序列，式（6-1-8）成为()0xl = l m > 这意味着对于m 阶滑动平均序列，超过m 步的预报值恒等于零。
（5）由（1）—（3）及逆转形式1t jt j t j x Ix ε∞-=+∑＝可推得1111()l t j jl j j j xl I x l j Ix -∞+-==-+∑∑＝（）（6-1-9）由于 t x l j -（），1,2,,1j l =- 也是(1,2,)t j x j -= 的线性组合，所以可令 ()()11()()l l j t j t j xl I x IB x ∞+-=≡=∑（6-1-10）式中()()()()1()619l l j jj IB IB∞-=≡--∑将6-1-10代入，比较两边系数便可得到1()()11(1)11l l l i j j l iji jj I I I Il I Il --+-=⎧=+>⎪⎨⎪==⎩∑ （6-1-11）由逆函数的递推公式（2，3节式2-3-79）及（6-1-10），（6-1-11），可直接从书籍的观察数据出发，对ARMA(n,m)序列的未来值实现线性平稳最小方差预报，我们称之为平稳预报的逆函数方法。
（6）一步预报误差方差就是2εσ。
该性质由式（6-1-2）令1l =得：11(1)(1)t t t t e x x ε++=-= （6-1-12）可见一步预报误差就是残差，因此2[()]t V ar e l εσ=（7） 1()(1)(1)t t t l l t x l x l G x G x +=+-+ （6-1-13） 其证明如下：由式（6-1-4）可以写出110()t j t j j x l G ε∞++-==∑和1110()t t j j j x l G ε∞+-++==∑两式相减得 111()(1)t t t x l x l G ε++=++再利用式（6-1-12）便得式（6-1-13）。