坐标系和一次函数知识点
一次函数与平面直角坐标系的关系
一次函数与平面直角坐标系的关系好吧，今天咱们聊聊一次函数和那个平面直角坐标系的关系。
哎呀，听起来有点儿枯燥对吧？其实一点儿都不！咱们把这事儿说得简单点，让你听得明明白白，乐得不行。
什么是一条一次函数的直线呢？其实它就像生活中的很多事情，有个开始，然后一路往前走。
就像你和朋友约好去吃饭，从家里出发，一步一步走到餐厅。
这里的起点，就是你家。
然后，你走的每一步，代表着你离目标的距离。
简单吧？一次函数就是这样一种关系，表示着一种线性变化。
它的标准形式是 (y = mx + b)，听起来有点儿学术，但别担心，咱们只要记住这几个字母就行了。
在这公式里，(m) 是斜率，咱们可以想象成你上坡的陡峭程度。
坡度越大，走起来就越累，就像你爬山的时候，越是陡的地方，越让人喘不过气来。
反过来，(b) 就是 y轴上的截距，简单说就是你在 y 轴上的起点。
如果把这条直线画出来，哇塞，就像一条划过纸上的闪电，真的很帅气。
现在，想象一下，你在坐标系上画一条线。
横着的是 x 轴，竖着的是 y 轴。
你在这两条轴上，随便选个点。
那就是你的出发点，接着根据一次函数的公式，画出这条线。
它就是你在生活中的各种选择，或者说是梦想的道路。
每一步，都是向着目标迈进。
再看看这条线，它可能很平滑，也可能有点儿波折，这就像人生，有高兴也有低谷。
直线的方向告诉你很多事儿。
比如说，它向上走，那就是事业顺风顺水，生活红红火火。
如果线条向下走，那可能就是最近有点不顺，心情也跟着低落。
看吧，这些看似简单的线条，背后藏着的可是大智慧呢！而且啊，不同的直线代表了不同的关系。
你和朋友的关系、家庭的关系，甚至工作上的合作，都是通过这条线的斜率和截距在反映。
不过呢，这些公式和线条可不是死板的东西。
它们是活生生的，跟我们的生活息息相关。
比如说，想象你要开一家小店，售卖你最爱的零食。
你投入的资金就是 y 轴，销售额就是 x 轴。
你可以通过一次函数来预测你可能的收入，这可比盲目猜测靠谱多了。
平面直角坐标系.一次函数知识概念
平面直角坐标系.一次函数知识概念平面直角坐标系一.知识概念1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y 轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。
另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。
掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。
教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
一次函数一.知识概念1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。
2.(0,0)的一条直线。
3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y 随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。
4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。
在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。
培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。
一次函数与坐标系
一次函数与坐标系一次函数，也称为线性函数，是数学中的基本函数之一。
它的定义域是实数集，其函数表达式可以写成 y = kx + b 的形式，其中 k 和 b 是实数常数，k 称为斜率，b 称为截距。
一次函数在坐标系中的图像为一条直线，通过研究一次函数与坐标系的关系，我们可以深入理解直线与坐标系的相互作用，进而应用于实际的问题中。
一次函数与坐标系有着密切的联系。
在一个二维直角坐标系中，x轴和 y 轴上的数值表示数轴上的点的位置。
x 轴上的数值称为横坐标，y 轴上的数值称为纵坐标。
一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 决定了直线的倾斜程度，正值表示向右上倾斜，负值表示向左下倾斜；截距 b 决定了直线与 y 轴相交的位置，当 b 为正值时与 y 轴正向相交，当 b 为负值时与 y 轴负向相交。
在研究一次函数与坐标系的关系时，我们可以通过绘制函数图像来直观地理解其特点。
首先，我们需要确定直线的斜率和截距。
斜率 k的值越大，直线越陡峭，斜率 k 的值越小，直线越平缓。
而截距 b 的值则决定了直线与 y 轴的相对位置。
在绘制图像时，我们选取适当的坐标轴范围，根据一次函数的定义域和值域来确定横纵坐标轴的刻度，以便更清晰地展示直线的特征。
对于一次函数的图像，我们还可以通过斜率和截距来判断其方程和性质。
斜率 k 的正负值决定了直线的走向，当 k 为正值时，直线是向右上倾斜的，当 k 为负值时，直线是向左下倾斜的。
同时，斜率的绝对值大小表示直线的陡峭程度，绝对值越大，直线越陡峭。
截距 b 的正负值决定了直线与 y 轴的相对位置，当 b 为正值时，直线与 y 轴正向相交，当 b 为负值时，直线与 y 轴负向相交。
一次函数与坐标系的研究不仅可以帮助我们理解直线的特性，还可以应用于实际问题中。
例如，在物理学中，速度和时间之间的关系可以用一次函数来描述；在经济学中，成本和产量之间的关系也可以用一次函数来表示。
通过建立数学模型，我们可以利用一次函数的特性，预测未知变量的值，辅助决策和解决问题。
一次函数知识点总结
一次函数知识点总结一、概述一次函数是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的表达式形式为y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
一次函数具有线性关系，其图象为直线。
本文将对一次函数的相关概念、性质以及应用进行总结。
二、定义和性质1. 定义：一次函数是指其表达式为 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。
2. 斜率和截距：在一次函数的表达式中，a 表示直线的斜率，b 表示直线与纵轴的交点，即 y 轴上的截距。
3. 直线的方向：当 a > 0 时，直线呈现上升趋势；当 a < 0 时，直线呈现下降趋势。
4. 直线的平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于 -1。
5. 零点和方程：一次函数的零点是指满足 y = 0 的 x 值，可以通过解一次方程 ax + b = 0 求得。
三、图像与性质1. 图像的特征：一次函数的图像为一条直线，在直角坐标系中呈现线性关系。
根据斜率和截距的不同取值，直线的方向、位置和倾斜程度会有所变化。
2. x 轴和 y 轴的交点：当 x = -b/a 时，直线与 x 轴的交点为横坐标为 -b/a 的点；当 y = 0 时，直线与 y 轴的交点为纵坐标为 b 的点。
3. 斜率的意义：斜率表示了直线上的两个点之间的变化率。
斜率越大，直线越陡峭；斜率为正值时，直线上升；斜率为负值时，直线下降。
4. 点斜式方程：一次函数的点斜式方程为 y - y1 = a(x - x1)，其中(x1, y1) 是直线上的任意一点坐标。
5. 一般式方程：一次函数的一般式方程为 ax - y + b = 0，在其中 a,b 均为整数，且 a, b 不同时为 0。
四、应用1. 实际问题建模和解答：一次函数可以用来模拟许多实际问题，如物体的运动轨迹、收入与支出的关系等。
通过确定函数表达式中的参数，可以对问题进行数学建模和求解。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
平面直角坐标系与一次函数(一轮复习)
一、平面直角坐标系 １. 有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出一个位置．２. 平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，但两轴上的单位长度不一定相同.注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度.我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向.知识点睛中考要求平面直角坐标系与一次函数３. 象限和轴：横轴（x 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0x =；第一象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩；第二象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩；第三象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩；４. 点的坐标：已知点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别是A 、B ，这两点在x 轴、y 轴的坐标分别是a 、b ，则点P 的坐标为（a ，b ）.点的坐标是一对有序数，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来.５. 特殊直线：与横轴平行的直线：点表示法（x ，m ），x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）；与纵轴平行的直线：点表示法（n ，y ），y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）； 一、三象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =； 二、四象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =-；６. 点到线的距离点（a ，b ）到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -，当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的 距离为b ；点（a ，b ）到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -，当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ；这个知识点在已知三点的坐标求三角形面积时会用到.７. 对称：①点（x ，y ）关于横轴（x 轴）的对称点为（x ，y -）； ②点（x ，y ）关于纵轴（y 轴）的对称点为（x -，y ）；③点（x ，y ）关于原点（0，0）的对称点为（x -，y -）； ④点（x ，y ）关于点（a ，b ）的对称点为（2a x -，2b y -）；８. 平移：⑴点平移：①将点（x ，y ）向右（或向左）平移a 个单位可得对应点（x a +，y ）或（x a -，y ）. ②将点（x ，y ）向上（或下）平移b 个单位，可得对应点（x ，y b +）或（x ，y b -）. ⑵图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或 向左）平移a 个单位.②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或 向下）平移a 个单位.二、函数与变量 常量与变量的概念：我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系：2πS r =，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量；◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同． 例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．◆ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．数学上表示函数关系的方法通常有三种：⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑵列表法：通过列表表示函数的方法．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．关于函数的关系式(即解析式)的理解：● 函数关系式是等式． 例如4y x =就是一个函数关系式． ● 函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． ● 函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数． ● 求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =中，自变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑵分母中含有自变量：分母不为0．⑶实际问题：符合实际意义．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．函数解析式与函数图象的关系：⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； ⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．三、一次函数及其性质● 知识点一 一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．● 知识点二 一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．● 知识点三 一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．板块一、平面直角坐标系【例1】 ⑴在平面直角坐标系中，点()12A x x --，在第一象限，则x 的取值范围是 ；⑵ 点12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限的角平分线上，则a = ；⑶如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．210<<m B ．021<<-m C ．0<m D ．21>m ⑷对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】 ⑴点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--，B ．()53，C ．()35-，D ．()35， ⑵点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ．()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ． ⑷已知点P (1a +，21a -)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【例3】 ⑴ 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：①由图观察易知A （2，0）关于直线l 的对称点'A 的坐标为（0，2），请在图中分别标明B （5，3），C （2-，5）关于直线l 的对称点'B 、'C 的位置，并写出他们的坐标: 'B ,'C ； 归纳与发现：②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点'P 的坐标为 （不必证明）； ③点A （a ，b ）在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ． ⑵ 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．例题精讲y xl665454332121-1-2-3-1-2-3CPBDOAxy【巩固】 如图，把图①中的A 经过平移得到O (如图②)，如果图①中A 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图②中的对应点P '的坐标为 ．【例4】 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--，B ．()25--，C ．()25-，D ．()25-，【例5】 在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()41A --，，()11B ，，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ） A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--，板块二、函数及其图像【例6】 ⑴下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）.DCBAyxOyxO yx OyxO⑵小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．请写出小张的存款y 与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．【例7】 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例8】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴0点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水，⑶4点到6点不进水也不出水.其中正确的是( )A ．⑴B ．⑶C ．⑴⑶D ．⑴⑵⑶甲 乙 丙(小时)))【例9】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟DC P B AB ．C ．D ．【例10】 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答以下问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛的全程是多少？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？板块三、一次函数图像【例11】 一次函数的图象过点()1,0，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．【巩固】 已知一次函数的图象过点()0,3与()2,1，则这个一次函数y 随x 的增大而 ．【例12】 下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠)的图像是下图中的()AB C D【例13】 如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是.ll【例14】 已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）ABCD板块四、一次函数解析式的确定【例15】 已知一次函数y ax b=+的图象经过点(02A，，(14B ，，()4C c c +，．⑴ 求c ；⑵ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【例16】如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．板块五、一次函数与几何综合【例17】已知：如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y=相交于点P．（1）求点P的坐标．（2）请判断OPA∆的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E 与点O、A重合），过点E分别作EF x⊥轴于F，EB y⊥轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与OPA∆重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．【例18】 在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，⑴ 直接写出B 、C 两点的坐标；⑵ 直线y x =与直线162y x =-+交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP t =）过点P 作PQ x ∥轴交直线BC 于点Q ，①若点P 在线段OA 上运动时（如图），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.【例19】 如图，平面直角坐标系xOy 中，一条直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点(0,2)B ,与正比例函数(0)y mx m =≠的图像交于点(1,1)P （1）求直线l 的解析式；（2）求AOP ∆的面积MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学．中考复习．第04讲．学生版 Page 13 of 15【例20】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点。
平面直角坐标系知识点
十、平面直角坐标系与一次函数；10.1平面直角坐标系；1.有序实数对；有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作；2、平面直角坐标系的含义及有关概念；（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组；3、平面直角坐标系的意义；（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可；（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐；4.点的坐标的概念；如图2，十、平面直角坐标系与一次函数10.1平面直角坐标系1.有序实数对有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）.注意（a,b）中的a, b的顺序不能改变。
2、平面直角坐标系的含义及有关概念（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，平面直角坐标系也简称直角坐标系。
通常，两条数轴分别位于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫X轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，X轴和y轴统称坐标轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点。
（2）如图1，对于平面内任意一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系的意义（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可以用一对有序实数对（即坐标）来表示，且任一有序实数对都表示平面内唯一确定的点，所以点的坐标是属性结合的桥梁，为解决几何、代数问题提供了便利，且直角坐标内的点与有序实数对是一一对应的关系。
（2）建立直角坐标系后，可以由点的坐标确定点的位置，也可由点的位置写出点的坐标，由已知点的位置求出未知点的位置。
（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和坐标变化后的变化。
4.点的坐标的概念如图2，点A是平面直角坐标系内的一点，由点A向x轴做垂线，垂足在x轴上的坐标是2，在Y轴上的坐标是-4，合起来A的坐标记作（2，-4）。
平面直角坐标系和一次函数的复习课件
一次函数的应用
解方程
线性方程可以使用一次函数的 相关知识进行求解。
统计学
在统计学中，一次函数常用来 探索变量之间的线性关系。
实际应用
一次函数在各种现实生活问题 中都有着广泛的应用。
一次函数和平面直角坐标系的联系
平面直角坐标系的定义
是一个平面上的几何工具，可以用于描述点 和图形的位置。
平面直角坐标系的坐标轴
一次函数的定义和特点
1 定义
2 特点
定义: $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
图像是直线，斜率为直线的倾斜程度，截 距表示图像与$y$轴交点的高度。
平面直角坐标系中一次函数的图像
图像
一次函数的图像是一条直线， 可以通过特殊点如截距点,斜率 等来讨论。
斜率截距式
斜率截距式为$y=kx+b$，$k$ 是斜率，$b$是截距。
联系
平面直角坐标系的坐标轴和一次函数的图像 都可以用于定位和描述位置。
坐标轴将平面分为四个象限，用于定位点的 位置。
一次函数的定义
是代数工具，用于描述变量之间的线性关系。
一次函数的图像
一次函数的斜率和截距唯一地决定了图像的 位置。Βιβλιοθήκη 复习和总结平面直角坐标系
可以用于描述平面上的点和图形的位置。
应用
可以解方程，处理统计学中的数据和应对现 实生活中的问题。
一次函数的定义
是代数工具，用于描述变量之间的线性关系， 包括斜率和截距。
截距
截距是线段与$y$轴相交点离 原点的距离，$x$轴也有相应 的截距。
一次函数的斜率和截距
1
斜率
表示直线的倾斜程度，计算公式为: $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$。
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位置的确定
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。
它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x
点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x （2）、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数
点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征
点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点为P ’（x ，-y ）
点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ’（-x ，y ） 点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数，即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P ’（-x ，-y ） (6)、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x
（3）点P(x,y)到原点的距离等于2
2y x +
三、坐标变化与图形变化的规律：
第一章 一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函
数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
4
一般地，正比例函数kx y =有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值．。