统计描述、概率分布与参数估计
分布函数与概率密度函数的参数估计方法
分布函数与概率密度函数的参数估计方法在概率统计学中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的性质的重要工具。
而参数估计则是根据给定的样本数据，通过某种方法对分布函数和概率密度函数中的未知参数进行估计的过程。
本文将介绍分布函数与概率密度函数的参数估计方法，包括最大似然估计、矩估计以及贝叶斯估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法。
其核心思想是选择使得给定数据样本出现概率最大的参数值作为估计值。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。
最大似然估计的目标是找到使得样本数据出现概率最大的参数值θ^。
具体来说，最大似然估计通过对似然函数L(θ)=∏(i=1)^n f(xi;θ)（其中f(x;θ)为概率密度函数）取对数，并对参数θ进行求导来求解参数值θ^。
矩估计（Method of Moments，MoM）是另一种常用的参数估计方法。
其基本原理是利用样本矩与理论分布矩的对应关系进行参数估计。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为未知参数。
矩估计的目标是使样本矩与理论矩之间的差异最小化，即找到使得原始矩和样本矩最接近的参数值θ^。
除了最大似然估计和矩估计之外，贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
其核心思想是将未知参数视为一个随机变量，并基于先验分布和样本数据来求得后验分布。
贝叶斯估计不仅考虑了样本数据的信息，还考虑了先验信息的影响，因此对于样本数据较少或者不确定性较高的情况下，贝叶斯估计能够提供更稳健的参数估计结果。
总结起来，分布函数与概率密度函数的参数估计方法主要包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
最大似然估计通过最大化样本数据出现的概率来估计参数，矩估计通过比较样本矩和理论矩之间的差异来估计参数，而贝叶斯估计则综合考虑了先验分布和样本数据来求得后验分布。
概率第7章 参数估计
Gauss
Fisher
基本思想
甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中, 可以认为:甲射击技术优于乙射击技术. 事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了, 可以认为:事件A发生的概率为0.9. 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量 检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在 获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观 察结果出现的可能性最大. 最大似然估计就是通过样本值 x1 , , x n 等数求得总体的 分布参数,使得 X1 ,, X n 取值为 x1 , , x n 的概率最大.
i
L( ) L( x1 , , x n ; ) f ( x i ; ),
i 1
n
的最大值，这里 ( )称为样本的似然函数 L .
ˆ 若 L( x 1 , , x n ; ) max L( x 1 , , x n ; )
ˆ 则称 ( x1 , , xn )为 的极大似然估计值 .
i
xi
在得到观测值 x1 ， x 2 ， ， x n 的前提下，自然 应当选取使得 n
f ( x ; )dx
i i 1
i
达到最大的 值作为未知参数 的估计值．
因为当未知参数 等于这个值时，出现给 定的那个 样本观测值的可能性最 大．
但 dxi 不随 而变，故只需考虑：
3.期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计: (1)无偏性 1 n 选择估计量 X X i n i 1 (2)样本容量越大,估计值 越有效 方差的点估计:
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
概率论参数估计和抽样分布
概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计（MLE）是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。
它的基本原理是根据样本来估计一组参数，使单独参数的极大似然函数最大化，即最大前提下来达到样本可能性的最大化，这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。
这种估计方法的优点是简单易行，它不需要指定模型的具体参数，而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。
它的缺点是需要多次计算，收敛速度慢，容易受噪声影响，而且模型假设受到限制，可能会有明显的偏离。
二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计（BE）是指在概率论估计中，采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。
该方法将未知状态作为随机变量，根据贝叶斯公式及赋予先验分布，以最大后验概率的原则估计模型参数。
贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布，而不仅仅是估计其期望值，可以将主观经验纳入参数估计过程中，也可以迅速得到模型参数的分布。
数理统计主要知识点
数理统计主要知识点数理统计是统计学的重要分支，旨在通过对概率论和数学方法的研究和应用，解决实际问题上的不确定性和随机性。
本文将介绍数理统计中的主要知识点，包括概率分布、参数估计、假设检验和回归分析。
一、概率分布概率分布是数理统计的基础。
它描述了一个随机变量所有可能的取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括：1. 均匀分布：假设一个随机变量在某一区间内取值的概率是相等的，则该随机变量服从均匀分布。
2. 正态分布：正态分布是最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有均值和标准差两个参数。
3. 泊松分布：泊松分布描述了在一定时间内发生某个事件的次数的概率分布，例如在一天内发生交通事故的次数。
4. 二项分布：二项分布描述了进行一系列独立实验，每次实验成功的概率为p时，实验成功的次数在n次内取特定值的概率。
二、参数估计参数估计是根据样本数据来推断随机变量的参数值。
常见的参数估计方法包括：1. 最大似然估计：假设数据服从某种分布，最大似然估计方法寻找最能“解释”数据的那个分布，计算出分布的参数值。
2. 矩估计：矩估计方法利用样本矩来估计分布的参数值，例如用样本均值估计正态分布的均值，样本方差估计正态分布的方差。
三、假设检验假设检验是为了判断一个统计假设是否成立而进行的一种统计方法。
它包括假设、检验统计量和显著性水平三个重要概念。
1. 假设：假设指的是要进行验证的观察结果，分为零假设和备择假设两种。
2. 检验统计量：检验统计量是为了检验零假设而构造的统计量，其值代表目标样本符合零假设的程度。
3. 显著性水平：显著性水平是用来决定是否拒绝零假设的标准，通常为0.01或0.05。
四、回归分析回归分析是用来研究和描述两个或多个变量之间关系的统计方法。
它可以帮助人们了解因果关系，做出预测和控制因素的效果。
1. 简单线性回归：简单线性回归是一种简单的回归分析方法，它描述一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
2. 多元线性回归：多元线性回归描述多个自变量和一个因变量之间的关系，通过多元回归模型可以找到最佳的回归系数，从而用来预测未来的结果。
概率分布和参数估计详解
在许多种情况下，样本统计量本身往往就是相应的总体参数的最佳估计， 此时就可以直接取相应的样本统计量作为总体参数的点估计。
二、极大似然估计法
该方法的原理是在已知总体的分布，但未知其参数值时，在 待估参数的可能取值范围内进行搜索，使似然函数值最大的 那个数值为极大似然估计值。
三、稳健估计值
稳健估计值的是该统计量具有稳健性，当数据存在异常值时 受影响较小，而且对大部分的分布而言都很好。
b. The weighting constant is 4.685.
c. The weighting constants are 1.700, 3.400, and 8.500
d. The weighting constant is 1.340*pi.
Andrews' Waved 174.75 162.81
（3）单击主对话框中的[OK]按钮，输出结果如下：
Binomial Test
Category
பைடு நூலகம்
Y
Group 1
1.00
Group 2
.00
T o ta l
a. Based on Z Approximation.
N 28 12 40
Observed Prop. .70 .30 1.00
Test Prop. .50
2 P
1
n
。而样本比例经标准化后的随机变量服从标
准正态分布，即
Z
P
1
～N
0，1
n
np 5 n(1 p) 5
p～N P，P1 P
n
Z
p
1
～N
0，1
n
p
P1 P
概率与统计中的随机变量的分布与参数
概率与统计中的随机变量的分布与参数随机变量在概率与统计中扮演着重要的角色。
为了更好地理解随机变量的特征，我们需要研究它的分布与参数。
本文将介绍概率与统计中的随机变量的分布与参数的概念、常见的分布类型以及参数的估计方法。
一、随机变量的分布与参数随机变量是一个随机试验结果的数值化描述。
根据随机变量的取值类型的不同，可以将随机变量分为离散型和连续型。
对于离散型随机变量，我们可以通过概率分布函数（Probability Mass Function, PMF）来描述其取值的概率分布。
而对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数（Probability Density Function, PDF）来描述取值的概率分布。
每个分布都有其特定的参数。
这些参数可以用来刻画分布的位置、形状和尺度等特征。
对于一些常见的分布，比如正态分布、泊松分布等，它们的参数具有特定的含义，如均值、方差等。
二、常见的分布类型1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的分布之一，也是许多自然现象和统计推断的基础。
它的形状呈钟形曲线，具有均值μ和方差σ²两个参数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述固定时间或空间间隔内事件发生的次数。
其概率质量函数由唯一参数λ决定，λ表示单位时间（或单位空间间隔）内事件出现的平均次数。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。
它由两个参数n和p决定，其中n表示重复实验的次数，p表示每次实验成功的概率。
4. 负二项分布（Negative Binomial Distribution）：负二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。
与二项分布不同的是，负二项分布关注的是实验的成功次数，直到达到了指定的失败次数。
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x
n
i
变异性的度量
（1）极差 R R = 最大值 – 最小值
（2）四分位数差距= P75 - P25 = QU -
QL
（3）标准差——反映一组对称分布的观察值在数值上的 变异程度。 n
总体方差: 总体标准差: 样本方差: S 2 样本标准差: S
2
S
2 ( X X ) i i 1
统计描述、概率分 布与参数估计
统计描述
一、 数据类型 (i) 离散型变量 只能取整数值。 例如，手术病人数; 新生儿数 (ii) 连续型变量 可以取实数轴上的任何数值 由测量而得到的大多属于连续型变量 例如，血压、身高、体重等 “连续”: 指该变量可以在实数轴上连续变动
（1）算术均数——适用于呈对称分布的资料，描述其平均
总体均数区间估计的方法： 当n足够大（如100）时, X的平均数 X 接近标准正 态分布 总体均数95%可信区间：X ± 1.96 ·sχ 总体均数99%可信区间：X ± 2.58 ·sχ
当样本含量n较小时, X的平均数 X 接近t-分布 总体均数95%可信区间：X ±t0.05, · sχ 总体均数99%可信区间：X ±t0.01, · sχ
水平。 算术均数记为
（2）几何均数 对数值的直方图接近对称时用，主要用于抗体滴度资 料。 （3）中位数 直方图单蜂而不对称时用 当 n 为奇数, 中位数= 第 (n+1)/2 个数值 当 n 为偶数,中位数= 第n/2个数值+ 第 (1 +n/2)个数值2
x1 x2 ... xn i 1 x n n
（2）粗死亡率之间不可比较 两种标准化方法 1. 直接标准化：
期望死亡数 直接法标准化死亡率 “标准人口”的总人数
2. 间接标准化
实际死亡人数 标准化死亡比（SMR） 期望死亡人数
间接标准化死亡率＝标准死亡率× SMR
概率分布
正态分布 二项分布 Possion分布
正态分布的特征
(1) 正态分布是单峰、对称（对称轴为） (2) 概率密度函数在处达到最大 (3) 左、右两侧，曲线下面积逐渐减少 (4) : 总体均数，位置参数； 2 : 总体方差, 形状参数 记为 2
N ( , )
增大，曲线右移；反之，左移； 当 固定时， 当 固定时， 2 愈大，表示X的取值越分散，曲线愈“矮胖”，反 之则愈“瘦高”。
n 1
S (4)变异系数： CV X
自由度: (n-1)
离散型变量的描述性统计
（1）相对数 比: 任何两个量之比 频率：特殊类型的“比”:分子、分母都是个数; 分子是分母的一部分;数值介于 0 和 1 之间， 例如治愈率。 强度：分母是一定时段内总的观察人年数;分子 是该时段内发生某事件的人数；数值不一定介 于 0 和1 之间
2
二项分布
一般地, 若一次试验中某事件出现的概率为 , n 次独立、重复试验后，该事件出现的总次数 X 是一 个随机变量，则 X=x 的 1 概率可以这样计算：
n x n x P( X x) ( 1 ) x
我们称变量 X 服从二项分布, 记为
X ~ B ( , n)
Poisson 分布
(1) (2)
(3)
总体均数 = 总体方差 =λ 可加性
Poisson 分布的正态近似
参数估计（总体均数及总体率的估计）
概念：用样本指标（称为统计量）估计总体指 标（称为参数） 参数估计包括点估计和区间估计 —— 总体均数的估计 点估计(point estimation) 用样本均数作为总体均数的估计值 区间估计(interval estimation) 按一定的概率(可信度，1 -α)估计总 体均数 所在范围，亦称总体均数的可信区间