双曲线的定义及标准方程 (1)
双曲线的定义及标准方程
题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论
19252
2
=-+
-k
y
k
x
表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9
，k b -=92
，
162
2
2
=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当259<
，k b -=92
，162
2
2
=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）25 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感． 例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点?? ? ? ? 4153，P ，?? ? ? ?- 5316 ，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2） ，焦点在x 轴上． （3）与双曲线 14 16 2 2 =- y x 有相同焦点，且经过点() 223， 解：（1）设双曲线方程为 12 2 =+ n y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴???????=+=+1 2592561162259 n m n m 解得???=-=916n m ∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6= c ， ∴设所求双曲线方程为： 162 2 =-- λλ y x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴ 16425=-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是 15 2 2 =-y x （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2 <<=+- -λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618 =++ -λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为 18 12 2 2 =- y x 说明：（1）注意到了与双曲线14 16 2 2 =- y x 有公共焦点的双曲线系方程为 14162 2 =+- -λ λ y x 后，便有 了以上巧妙的设法． 例3、求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程． 解：设所求双曲线方程为： ()012 2 ≠=- k k y k x ，则 ()1312 =-- k k ， ∴ 191=- k k ，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为 18 8 2 2 =- x y 说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线 的充要条件，它的证明如下： 设等轴双曲线()02 22>=-m m y x ，则2 2 2 m b a ==，∴2 2 2 2 2m b a c =+= ∴m c 2=，∴22== = m m a c e 反之，如果一个双曲线的离心率2=e ． ∴ 2= a c ，∴a c 2= ，2 2 2a c =，∴2 2 2 2a b a =+，∴2 2 b a =，b a =∴双曲线是等轴双曲线 （2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等． 例4、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点)2,3(-P ，离心率2 5= e ． (2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ． (3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且?=∠6021PF F ，3122 1 =?F PF S ，又离心 率为2． 分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法． 解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下． 如双曲线的实轴在x 轴上，设 12 22 2=-b y a x 为所求． 由2 5=e ，得 4 52 2= a c ． ① 由点)2,3(- P 在双曲线上，得 1292 2 =-b a ． ② 又2 2 2 c b a =+，由①、②得12 =a ，4 12 = b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设 12 22 2=- b y a x 为所求． 同理有 4 52 2= a c ， 1922 2 =- b a ，222c b a =+．解之，得2 172 - =b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ． (2)设双曲线上任意一点),(y x P ，因为双曲线右准线4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，根据 双曲线的第二定义，有24 )10(2 2 =-+-x y x ，化简，得0361232 2=---x y x ，即 148 16 )2(2 2 =- -y x ． ∴所求双曲线方程为 148 16)2(2 2 =- -y x ． (3)设双曲线方程为 12 2 2 2=- b y a x ，因c F F 221=，而2== a c e ，由双曲线的定义，得 c a PF PF ==-221． 由余弦定理，得21212 2 212 cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠??-+= )60cos 1(2)(212 21?-??+-=PF PF PF PF ， ∴212 24PF PF c c ?+=． 又312 60sin 2 1212 1 =??= ?PF PF S F PF ， ∴4821=?PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122 =b ． ∴所求双曲线的方程为 112 4 2 2 =- y x ． 题型二、双曲线的定义及焦点三角形 例5、P 是双曲线 136 64 2 2 =- y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 分析：利用双曲线的定义求解． 解：在双曲线 136 64 2 2 =- y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ． 说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ． （2）方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____ 例6、已知双曲线 116 9 2 2 =- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ， 求21PF F ∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212 22 1=-+PF PF PF PF ∴1002 2 2 1=+PF PF ∵( )100 4412 22 2 2 1=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F 例7、 已知1F 、2F 是双曲线14 2 2 =-y x 的两个焦点， 点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积． 分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积． 解：∵P 为双曲线 14 2 2 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 2 12 221==+F F PF PF ∵() 162212 2 2 1 2 2 1=-+=-PF PF PF PF PF PF ∴1622021=-PF PF ∴221=?PF PF ∴12 1212 1 =?= ?PF PF S PF F 练习、设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=?F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 ； 例8、已知：()11y x M ，是双曲线12 22 2=- b y a x 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离． 分析：利用双曲线的第二定义． 解：如图，设点M 到相应焦点1F 、2F 的准线的距离为1d 、2d ． 当M 点在双曲线的右支上时，a x ≥1，且有 e d MF d MF == 221 1 a ex c a x e ed MF +=+ ==12 111a ex c a x e ed MF -=- ==12 122 当点M 在双曲线的左支上时，a x -≤1，且有 e d MF d MF == 2 21 1 ∴()a ex c a x e ed MF +-=+ ==12 111，()a ex c a x e ed MF --=- ==12 122 说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果． 例9、若椭圆 12 2 =+ n y m x )0(>>n m 和双曲线 12 2 =- t y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这 两条曲线的一个交点，则21PF PF ?的值是( ) ． A ．s m - B ． )(2 1s m - C ．2 2 s m - D ． s m - 分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF 的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以 s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=?，故s m PF PF -=?21．选(A)． 练习、已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满1M F ·2 M F ＝0， |1M F |·|2M F |＝2，则该双曲线的方程是 ( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2 －y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23 ＝1 解析：∵1M F ·2M F ＝0，∴1M F ⊥2M F ，∴MF 1⊥MF 2， ∴|MF 1|2＋|MF 2|2 ＝40， ∴(|MF 1|－|MF 2|)2＝|MF 1|2－2|MF 1|·|MF 2|＋|MF 2|2＝40－2×2＝36， ∴||MF 1|－|MF 2||＝6＝2a ，a ＝3，又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 2 9 －y 2 ＝1. 答案：A 题型三、双曲线的轨迹 例10、求下列动圆圆心M 的轨迹方程： （1）与⊙()222 2 =++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()112 2 1=-+y x C ：和⊙()412 2 2=++y x C ：都外切． （3）与⊙()932 2 1=++y x C ： 外切，且与⊙()132 2 2=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程． 解：设动圆M 的半径为r （1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2- =r MC ，r MA =，2= -MC MA ∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：2 2= a ，2=c ，2 72 22= -=a c b ∴双曲线方程为() 217 222 2 -≤=- x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ， 112=-MC MC ∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有： 2 1=a ，1=c ，4 32 22= -=a c b ∴所求的双曲线的方程为：??? ? ? ≥=- 4313 442 2 y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 （4）∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，52 22=-=a c b ∴所求双曲线方程为： ()215 4 2 2 ≥=- x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，体会，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标． 例11、在周长为48的直角三角形MPN 中，?=∠90MPN ，4 3tan = ∠PMN ，求以M 、N 为焦点， 且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程 为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ?的边长是关键． 解：∵MPN ?的周长为48，且4 3tan = ∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ． 以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为 12 22 2=+ b y a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42 =a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ． 由962 22=-=a c b ，得所求双曲线方程为 196 4 2 2 =- y x ． 例12、在ABC ?中，2=BC ，且A B C sin 2 1sin sin =-，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？ 解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ． 设()y x A ，，由A B C sin 2 1sin sin = -及正弦定理可得： 12 1== -BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为： ()0012 22 2>>=- b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴2 1= a ，1=c ∴4 32 22= -=a c b ∴所求双曲线方程为13 442 2 =- y x ∵01>=-AC AB ∴2 1> x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 §9．6 双曲线 1．双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当________时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是____________； (3)当________时，P点不存在． 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1 (a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a ，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的 半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) [难点正本疑点清源] 1．双曲线中a，b，c的关系 双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2＋b 2 ， 若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1 cos θ ． 2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|． 这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2 a 2＝c 2－a 2a 2 ＝e 2 －1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程 是 _____________________________________________________________________． 2．双曲线mx 2 ＋y 2 ＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝___________________________． 3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 4．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2 9 ＝1有相同的焦点，且 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的 离心率为 ( ) A ． 5 B ．5 C ． 2 D ．2 题型一 双曲线的定义 例1 已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程． 探究提高 双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以 2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件， 双曲线及其标准方程(1) 福建师大附中苏诗圣 教学目标：理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程，并能熟练写出两类标准 方程；培养学生分析问题能力和抽象概括能力。学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美，培养学生学习数学的兴 趣。 教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 教学难点：双曲线的标准方程的推导 (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导 类比．) 教学方法：启发式 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程→新知探索→数学实验→双曲线→展示现实生活中的双曲线→双曲线的定义 →对定义的思考→双曲线标准方程的推导→例与练 →课堂小结→作业→研究性学习 一、复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题1：椭圆的定义是什么？ (板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 1、思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成(请同学参与协助画图) (取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段(长为2a)，两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉 求双曲线标准方程的技巧 在求双曲线标准方程时,如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算,优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。 一 双曲线的一般方程 例1 求经过点(3,P ,() Q -的双曲线标准方程。 分析 双曲线的标准方程有两种形式:22x a -2 2y b ＝１(a >０,b >０）或22y a -22x b ＝1（a ＞ 0，b >0)，可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。 解 设双曲线方程为2 Ax +2 By =1（AB ＜0）。因为所求双曲线经过点 ( 3,P ,() Q -，所以9281,7249 1. A B A B +=??+=?解得A ＝－175,B ＝125。故所求双曲线 方程为225y －2 75 x ＝1。 说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,一般设双曲线方程为2Ax ＋2 By ＝1(AB <０),这样可以简化运算。 二 等轴双曲线 例２ 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上,与直线x －2y =0交于两点A 、B ， 且AB = 分析 根据等轴双曲线的特点,可以设含有一个参数的方程2 x －2 y =2 a (a >０）,求出 a 即可。 解 设等轴双曲线方程为2 x -2 y =2 a （a ＞０）。由222,20. x y a x y ?-=?-=?解得交点A 、B 的 坐标分别为 、? ? 。因为AB 3=所以a ＝3。故所求双曲线方程为2 x －2 y =9。 说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线,它有一些特殊的性质,比如：离心率e ,渐近线方程为y =x ±且互相垂直等等。 三 共焦点双曲线 例３ 已知过点() 2，且与双曲线216x -2 4 y ＝１有共同焦点的双曲线的标准方程。 课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)． 【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】 由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上， 《双曲线及其标准方程》练习题一 1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方 程是( ) －y 216＝1 －x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) －y 2 16＝1(x ≥3) 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) －y 24＝1 －x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 －y 2 16＝1 4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 5．双曲线x 216－y 2 9＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距 离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 6．圆P 过点 ，且与圆 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（ ）． A ． ； B ． C ． D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) B ．1或－2 C ．1或12 D ．1 8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（ ） 9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。 10．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。 双曲线及其标准方程（一） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提升学生求动点轨迹方程的水平； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的水平 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点： 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭 圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2.椭圆标准方程： （1）2222=+b y a x （2）2222=+b x a y 其中22b c a +=二、讲解新课： 1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于2 1F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即 a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于2 1F F ” 2．双曲线的标准方程： 根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证 明 12 222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222 b a c += 若坐标系的选择不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在 y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到122 22=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b y a x (0>a ,0>b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b x a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,相关系式222 b a c +=成立，且0 ,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。 4.焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2 x 、2 y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即 2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例： 例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 变题1：将条件改为双曲线上一点P 到 1F ,2F 的距离的差等于6,如何? 变题2：将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何? 例2 四、课堂练习： 五、小结 ： 1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(122 22>>=-b a b x a y 焦点 在 y 轴上 c b a ,,相关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系：能够为 a b a b a ><=,, 双曲线的定义及标准方程 题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论 19252 2 =-+ -k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤 导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。 学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。 双曲线的定义和双曲线的标准方程． （ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定 义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识． 双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程 的推导 类比． ） 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7 双曲线 7 展示现实生活中的双曲线 7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习 一、 复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题 1：椭圆的定义是什么？ （板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭 圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？ 若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的 一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉 教学方法： 启发式 福建师大附中 苏诗圣 教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义 7 例与练 1、 § 2.3双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________. (3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________． 一、选择题 1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12 B ．1或3 C .1＋22 D .2－12 5．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 双曲线定义、标准方程 一. 教学内容： 双曲线定义、标准方程 （一）双曲线的定义 1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支） 3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。 （1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2| （2）定义重点： ①绝对值 ②小于|F1F2| 若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。 （二）双曲线的标准方程 （1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简 图象特征： ［注意］ 1. 位于标准位置，才能有标准方程； 3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。 4. 记住a、b、c的关系： 一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。 理解： ①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。 ③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。（几何意义） 2. 焦半径及焦半径公式 定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。 （4）等轴双曲线： 渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线） 【典型例题】 例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0） 么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。 解：6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。 双曲线及其标准方程练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 2. 2 双曲线 2. 2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2 ?会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【核心扫描】 1?用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程. (重点) 2 ?与双曲线定义有关的应用问题. (难点) 01二课前探翌学 挑醪盘落实 自学导引 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数 (小于IF 1F 2I)的点的轨迹叫做 双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 试一试：在双曲线的定义中，必须要求 “常数小于IF 1F 2I”，那么“常数等于IF 1F 2I” , “常数大于IF 1F 2I”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1) 若“常数等于IF 1F 2I”时，此时动点的轨迹是以 F 1， F 2为端点的两条射线 F 1A ，F 2B(包括端点)，如图所示. ~A~~P__B~ 想一想:如何判断方程 予—泊=1(a>0，b>0)和* —詁=1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上，如果y 2 项的系数是正的，那么焦点 在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上. 名师点睛 1.对双曲线定义的理解 (1) 把定常数记为 2a ，当2a<|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当 2a = IF 1F 2I 时，其轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F 1F 2|时，其轨迹不存在. (2) 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.若 F 1、F 2表示双曲线的左、右焦 点，且点P 满足|PF 1|— |PF 2|= 2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|—|PF 1|= 2a ，则点P 在 左支上. (3) 双曲线定义的表达式是 ||PF 1|— |PF 2|| = 2a(0<2a<|F 1F 2|). (4) 理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距 离.” (2)若“常数大于IF 1F 2I”，此时动点轨迹不存在. ⑶若“常数为0”，此时动点轨迹为线段 F 1F 2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 双曲线的定义及其基本性质 一、双曲线的定义： （1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜ 2 1F F ）的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。 a PF PF 221=-＜2 1F F （2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式： ① 12 222=-b y a x ，2 2b a c +=，焦点是 F 1(-c,0),F 2(c,0) 12222=-b x a y , 22b a c +=， 焦点是F 1(0, -c),F 2(0, c) 三、双曲线的性质： （1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长2b,且a 2+b 2=c 2 （2）双曲线的离心率为e=a c ，e>1恒成立。 （3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ，通径长EF ＝ a b 2 2 （4）有两条准线，c a x l 21:-=c a x l 2 2:= 四、双曲线的渐近线： （1）若双曲线为12222=-b y a x ?渐近线方程为x a b y ±=， （2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22 22b y a x ， （3）特别地当a=b 时?2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线 五、共轭双曲线： 双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11 122=+B A e e 。 O F 1 F 2 x y 双曲线标准方程的推导 把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点， 两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集 P ={}122M MF MF a -= 分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上) 当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上) 设动点M 的坐标为（x,y ） 双曲线标准方程的推导： 当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有： (x +c )2+y 2- (x ?c )2+y 2=2a (移项) ? (x +c )2+y 2=2a+ (x ?c )2+y 2（两边平方） ?(x+c)2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+(x?c)2+y2(展开) ?x2+2cx+c2+y2=4a2+4a(x?c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项) ?x2?x2+2cx+2cx +c2?c2+y2-y2=4a2+4a(x?c)2+y2（合并同类项） ?4cx=4a2+4a(x?c)2+y2（两边除以4） ?cx=a2+a(x?c)2+y2（移项） ?cx-a2=a(x?c)2+y2（两边平方） ?c2x2-2a2cx+a4=a2[(x?c)2+y2](展开) ?c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开) ?c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项） ?-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项） ?c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式） ?（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替） ?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2） ?x 2 a2-y 2 b2 =1(a>0,b>0) 双曲线及其标准方程（第一课时） 教学目标： 1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义； 2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标 准方程； 3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。 教学重点：双曲线的定义和标准方程。 教学难点：双曲线标准方程的推导过程。 教学过程： 一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点)0,1(1-F 和)0,1(2F ，定圆1C 的圆心为1F ，且半径为r ，动圆2C 过定点2F ，且与定圆相切。 （1）若4=r ，试求动圆圆心的轨迹；（2）若1=r ，试求动圆圆心的轨迹。 （教师结合几何画板演示分析）： 师：当4=r 时，我们得到的轨迹是什么？ 生：是椭圆。 是：为什么？ 生：因为当4=r 时动圆2C 内切于定圆1C ，所以两个圆的圆心距1MF 满足 214MF MF -=，移项后可以得到：421=+MF MF 满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个 以1F 、2F 为定点，4为定长的椭圆。 师：很好。那么，当1=r 呢，此时动圆2C 与定圆1C 相切有几种情况？ 生：有两种情况：内切和外切。 师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 211MF MF +=，移项后可以得到：121=-MF MF 。(教师演示轨迹) 师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 121-=MF MF ，移项后可以得到：121-=-MF MF 。(教师演示轨迹) 师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足 121±=-MF MF 即121=-MF MF ，圆心的轨迹我们称之为双曲线。 二、新课讲解： 1、定义给出 师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫 做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a 。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？ 生：当a MF MF 221=-时，表示的是双曲线的右支，当a MF MF 221-=-时，表示的是双曲线的左支。 2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a 有没有限制条件？ 生：有。这个常数2a 要比焦距21F F 小。 双曲线标准方程的推导Prepared on 21 November 2021 双曲线标准方程的推导 把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦 点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -= 分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上) 当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上) 设动点M 的坐标为（x,y ） 双曲线标准方程的推导： 当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有： √(x +c)2+y 2-√(x ?c)2+y 2=2a (移项) √(x +c)2+y 2=2a+√(x ?c)2+y 2 （两边平方） (x +c)2+y 2=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2+(x ?c)2+y 2 (展开) x 2+2cx+c 2+y 2=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2+x 2-2cx+c 2+y 2(移项) x 2?x 2+2cx+2cx +c 2?c 2+y 2-y 2=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2（合并同类项） 4cx=4a 2+4a √(x ?c)2+y 2（两边除以4） cx=a 2+a √(x ?c)2+y 2（移项） cx-a 2=a√(x ?c)2+y 2（两边平方） c 2x 2-2a 2cx +a 4=a 2[(x ?c)2+y 2](展开) 课 题：8．3双曲线及其标准方程（一） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的能力 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： “双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握 本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法 双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育 双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段）两定 圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程． 2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力． 3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a 与c 的关系的理解是难点． 教学过程 师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ （学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．） 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数2a，|F 1F2|=2c ，它们之间的变化对椭圆有什么影响？ 生：当a=c时，相应的轨迹是线段FF.当a v c时，轨迹不存在.这是因 为a、c 的关系违背了三角形中边与边之间的关系． 师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F i、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F i、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？ （师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验.教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F i、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明. ） 师：做法是：适当选取两定点F i、F2,将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F i 处，在另一边上截取一段AF（v F i F2），作为动点M到两定点F i和F?距离之 差.而后把它固定在F2处.这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支?如图2-36 . 【课题】7.7.1双曲线的定义与标准方程 【教学目标】 知识目标： ⑴使学生从发现、发展的角度理解和掌握双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念； ⑵了解双曲线的标准方程的两种形式及其推导过程； ⑶能根据条件确定双曲线的标准方程． 能力目标： ⑴在概念形成的过程中,培养学生发现能力及分析、归纳的逻辑思维能力； ⑵了解借助《几何画板》探究动点轨迹的操作方法． 【教学重点】 ⑴掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程； ⑵能根据条件，用待定系数法和定义法确定双曲线的标准方程． 【教学难点】 ⑴双曲线的标准方程的推导． ⑵用待定系数法求解双曲线的标准方程． 【教学设计】 ⑴通过生活中的实物引入课题，并通过动手实验让学生亲自体验并总结出双曲线的定义，让学生带着兴趣学习，提高教学效果． ⑵引导学生根据双曲线定义恰当的选择坐标系，推导双曲线的标准方程，感知数学的数形结合思想，提高学生的推理论证能力； ⑶通过合作练习，发挥学生的主体作用，并根据学生的年龄特点和学生对知识的掌握程度，力求做到因材施教，在问题的思考、交流、解决过程中培养和发展学生的思维能力．【教学备品】 教学课件、实验用品（图钉、无弹性的细线、素描纸、侧面带孔的空心圆管） 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 过程行为行为意图间 观察图片：观察花瓶和发电厂冷却塔的图片． 提出问题：它们的剖切面的轮廓近似什么曲线? 动手实验： 首先将两根细绳（长度为22cm和16cm）一端固定在一起，另一端按同一方向穿过空心小圆管侧面的小孔，用图钉将绳子两端分别固定在素描纸上的两个定点F1、F2处．将笔插在空心小圆管上，拉紧绳子，移动笔尖，画出一只曲线．再将绳子两端交换固定，重复作图，画出另一支曲线．我们将这种曲线称为双曲线． 思考 （1）如果把笔尖看成点M，那么|MF1|与|MF2|的差的绝对值是常数吗？ （2）||MF1|－|MF2||与|F1F2|的大小关系？ 归纳 双曲线上的点M满足０＜||MF1|－|MF2||＜|F1F2|播放 课件 说明 解释 引导 分析 归纳 观看 课件 思考 作图 分析 求解 思考 学生 自然 的走 向知 识点 引导 学生 动手 作图 通过 分析 让学 生体 会双 曲线 上的 点M 满足 的条 件， 引出 定义10 *动脑思考探索新知带领双曲线及其标准方程
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