反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则

定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)

(1

)(00y x f ϕ'=

'。 证明：0

0000)()(1

lim

)()(lim )()(lim

000

y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ )(1

)()(lim 100

00y y y y y y y ϕϕϕ'=--=

→

所以 )

(1

)(00y x f ϕ'='。

注1：00

y y x x →⇔

→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；

2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'=

'或)(1

dy

dx dx dy =，其中dy

dx dx dy ,

均为整体记号，各代表不同的意义；

3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】

求x y arcsin =的导数，

解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2

,2[,sin π

π-

∈=y y x 的反函数，由定理1

得：

2211

sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x

y y y x -=

-=='='。

注1：同理可证：2

22

11

)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+=

'--

='；

2：2

tan arctan arccos arcsin π

=+=+x arcc x x x 。

【例2】

求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

解：利用指数函数的导数，自己做。

三、初等函数的求导公式

1、常数和基本初等函数的求导公式：

（1）0)(='c （2）1)(-='μμμx x （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）x x 2sec )(tan =' （6）x x 2csc )(cot -=' （7）x x x tan sec )(sec ⋅=' （8）x x x cot csc )(csc ⋅-=' （9）a a a x x ln )(=' （10）x x e e =')( （11）a x x a ln 1)(log =

' （12）x

x 1

)(ln =' （13）2

11)(arcsin x

x -=' （14）2

11)(arccos x

x --

='

（15）211)(arctan x x +=

' （16）2

11

)cot (x

x arc +-=' （17）chx shx =')( （18）shx chx =')( （19）x

ch thx 2

1)(=

' （20）11))1(ln()(2

2+=

'++='x x x arcshx

（21）1

1))1(ln()(22-=

'-+='x x x arcchx

（22）2

11

)11ln 21()(x

x x arcthx -='-+='

四、复合函数的求导法则

复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：

1.是否可导？

2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在

)(00x u u ϕ== 点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函

数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且

)()(000

x u f dx

dy

x x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=

证明： 000000)

()()()(lim ))(())((lim

00

x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ =0

000)

()(lim )()(lim

00

x x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅' 所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。

注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：

)())(())

((x x f dx

x df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dx du

du dy dx dy ⋅

=。 2：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。

3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。

【例3】

求x

y 1

arctan =的导数。

解：x y 1arctan =可看成u arctan 与x u 1

=复合而成，

211)(arctan u u +=

'，2

1

)1(x x -='， 22211)1()1(11)1(arctan x x x

x y +-=-⋅+='='⇒。 【例4】

求μx y =（μ为常数）的导数。