初等数论第二章：不定方程
自考初等数论复习
初等数论初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++Λ2211 勾股数 费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念 孙子定理高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。
习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。
第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。
第六章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、 特征函数习题要求123p ：3。
➢ 第一章 整除 一、主要内容筛法、[x]和{x}的性质、n ！的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除 整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。
认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。
初等数论第二章3
初等数论
Number Theory
第二章 不定方程
• 本章所讨论的不定方程，是指整系 本章所讨论的不定方程， 数代数方程，并且限定它的解是整 数代数方程， 数。本章只讨论几类比较简单的不 定方程。 定方程。
第三节 几类特殊的不定方程
不定方程是一个内容丰富的课题， 不定方程是一个内容丰富的课题 ， 许多不 定方程的解法有其特殊性。 定方程的解法有其特殊性 。 本节要介绍几类 这样的方程，以及几个有普遍性的方法。 这样的方程，以及几个有普遍性的方法。
第三节 几类特殊的不定方程
由此及式(8)与式 得到 由此及式 与式(9)得到 与式
x + y = 24 2 x − xy + y 2 = 67
解这两个联立方程组， 解这两个联立方程组，得到所求的解是
x1 = 7 x2 = 9 . 或 y2 = 7 y1 = 9
第三节 几类特殊的不定方程
一、因数分析法
任何非零整数的因数个数是有限的， 因此， 任何非零整数的因数个数是有限的 ， 因此 ， 可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法 确定。 确定。
第三节 几类特殊的不定方程
求方程x 的整数解。 例1 求方程 2y + 2x2 − 3y − 7 = 0的整数解。 的整数解 解 原方程即 (x2 − 3)(y + 2) = 1。 。 因此
第三节 几类特殊的不定方程
综合以上，注意到 式对于x， ， 的 综合以上，注意到(11)式对于 ，y，z的 式对于 对称性，得到方程的 个正整数解 对称性，得到方程的12个正整数解 (x, y, z) = (2, 4, 20)，(2, 5, 10)，(2, 20, 4)， 20)， 10)， 4)， (2, 10, 5)， (4, 2, 20)，(5, 2, 10)， ， ， ， (20, 2, 4)， (10, 2, 5)， (20, 4, 2)， ， ， ， (10, 5, 2)， (4, 20, 2)， (5, 10, 2)。 ， ， 。
初等数论二-夏子厚
如：5x+6y=C无非负整数解的最大整数C=?
第一节 二元一次不定方程
• 思考与练习2.1 • 1、解下列不定方程： （1）15x+25y=100 （2）306x-360y=630 • 2、把100分成两份，使一份可被7整除， • 一份可被11整除。 • 3、设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大
，tZ，于是由x ，但区间的长度是
0，y 0 N ，故此区来自abab
间内的整数个数为[ N ]或[ N ] 1。 ab ab
第一节 二元一次不定方程
例4：证明：二元一次不定方程 ax by =N
(a, b) = 1，a＞1，b＞1,当N＞ab a b
时有非负整数解，但是N= ab a b时则 不然。（不再给予证明）
于ab a b的整数n都可以表示成n = ax by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab a b不能表示成这种形式。
第二节 多元一次不定方程
• 设a1, a2, , an是非零整数，N是整数，称 关于未知数x1, x2, , xn的方程
•
a1x1 a2x2 anxn = N (1)
第一节 二元一次不定方程
•
(3)
写出方程(1)的解
x y
x0 y0
b1t a1t
，t
Z
，
其中(a, b)c1
c，a1
a (a, b)
，b1
b (a, b)
。
• 例1：求7x+4y=100的一切整数解
• 解：因（7，4）=1，从而原方程有解。 其特解为x0 =0，y0 =25。
初等数论不定方程
充分性：用数学归纳法 (n=2）时已证
假设对n-1时条件是充分的，令
d2 (a1, a2 ), (d2 , a3,an ) d | c
则方程 d2t2 a3x3 an xn c 有解，设解为
t2, , x3, xn, 又a1x1 a2 x2 d2t2,有解，
设为x1, , x2, ,这样 x1, , x2, xn, 就是方程的解。
但是自然数无穷递降是不可能的，于是产
生了矛盾，∴ 2 无理数。
几个特殊的不定方程的初等解法
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
令 25 4 y1 33
x1有 33 x1
4 y1
25
故y1
6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4
y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
y 8 107 t, x 3 37t,t Z
§2 多元一次不定方程
2.1定义：形如 a1x1 a2 x2 an xn c(n 2)
且
(
z
2
y
,
z
2
y
)
1
因为设
(
z
2
y
,
z
2
y
初等数论不定方程的解法
初等数论不定方程的解法初等数论是数论中的一部分，主要研究整数之间的性质和关系。
在初等数论中，不定方程是一个非常重要的研究对象。
不定方程是指一个方程中包含的未知数不确定，需要求解这些未知数的取值以满足方程。
本文将介绍不定方程的一般解法，并通过具体例子进行演示。
首先，我们来介绍一下一元一次不定方程的解法。
一元一次不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。
解决这个方程的关键是找到一组x、y的取值，使得方程成立。
我们可以通过以下步骤来解决一元一次不定方程：1.首先，我们要判断方程是否有解。
我们知道，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程才有整数解。
我们可以使用欧几里得算法来求出a和b的最大公约数gcd(a,b)，然后判断c是否是gcd(a,b)的倍数。
2.如果方程有解，我们需要求出一个特解。
我们可以使用扩展欧几里得算法来求解特解。
扩展欧几里得算法可以找到一组整数x0和y0，使得ax0 + by0 = gcd(a,b)。
我们可以将c除以gcd(a,b)得到c'，然后将特解x0和y0乘以c'得到一个特解x1 = x0 * c'，y1 = y0 * c'。
3.一旦我们找到了一个特解，我们可以通过以下形式来构造方程的通解：x = x1 + k * (b / gcd(a, b))y = y1 - k * (a / gcd(a, b))其中k为整数。
这样，我们就可以通过改变k的值来得到方程的所有整数解。
接下来，我们来介绍一下二次不定方程的解法。
二次不定方程的一般形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知整数，x、y为未知数。
对于二次不定方程，我们可以通过一些特殊的方法来求解。
下面介绍两种常用的方法：1.利用配方法。
如果二次不定方程中的系数是已知整数，且可以对方程进行配方法，那么我们可以通过配方法来求解方程。
初等数论第二章1
(1)
是n元一次不定方程。
若存在整数x10, x20, , xn0满足方程(1)，则称 (x10, x20, , xn0)是方程(1)的解，或说x1 = x10， x2 = x20， ，xn = xn0是方程(1)的解。
第一节一次不定方程
定理1 方程(1)有解的充要条件是
(a1, a2, , an)b。
初等数论
Number Theory
第二章 不定方程
• 本章所讨论的不定方程，是指整系 数代数方程，并且限定它的解是整 数。本章只讨论几类比较简单的不 定方程。
第一节一次不定方程
定义1 设a1, a2, , an是非零整数，b是整数， 称关于未知数x1, x2, , xn的方程
a1x1 a2x2 anxn = b
7。
11
习题一
4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100 支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到 相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量 的铅笔，问应怎样分法？
5. 证明：二元一次不定方程 ax by = n，a > 0， b > 0，(a, b) = 1的非负整数解的个数为
[ n ]或[ n ] 1。 ab ab
因此，若式(2)成立，则
( ) b b
b
d
y1 , d
y2 ,
, d
yn
就是方程(1)的解，充分性得证。证毕。
第一节一次不定方程
定理2 设a，b，c是整数，方程
ax by = c
(3)
若有解(x0, y0)，则它的一切解具有
x x0 b1t
， tZ
(4)
y y0 a1t
的形式，其中
习题一
6. 设a与b是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, , ab a b中恰有 (a 1)(b 1) 个整数可以表示
初等数论不定方程
初等数论不定方程一、知识归纳：所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
初等数论§2不定方程
（1）方程的一般解可以表示为 x x0 bt, y y0 at,t 0,1,2, 在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 t Z ，使得
0 y y0 at a 1
对此t，代入原方程，得 x N b( y0 at)
N b(a 1)
（1）的解为
x
y
t
2v ,v Z.
v
(3)
（2）的解为
t z Biblioteka 1 3u 2u,
u Z. (4) x 1 3u 2v
把(4)代入(3),消去t,得
y
v
,u,v Z .
z 2 u
注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.
再令u x 11z， 则方程可化为 7u 4z 1 又令 t 2u z， 则方程可化为 4t u 1 u 4t 1.
逐步往回代入，可得 z t 2u 2 7t;
x 23 81t; y 25 88t;t Z
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§2.2 多元一次不定方程 一、多元一次不定方程有解的判定
定理1 方程 a1 x1 a2 x2 an xn N , a1, ,an , N Z (1) 有整数解 (a1,a2 , ,an ) N . 证明：( )，记(a1,a2 , ,an ) d . 〔1〕有解 d a1 , ,d an d N .
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定理1 方程
a1 x1 a2 x2 an xn N , a1, ,an , N Z (1)
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( y0 y ) 是整数, 令这个整数为t1 , 代入上式,得 a x x0 bt1 , 即x x0 bt1 . 同时由 ( y0 y ) t1 , 得y y0 at1 . a
1、辗转相除法 对于ax+by=c,先利用辗转相除法得到 ax+by=1的一个解;再两边乘于c,得到ax+by=c的一个解; 最后运用定理(2.2)写出一切整数解.
§2.2 解二元一次不定方程
• 对于二元一次不定方程(2.1)整数解的研 究,最理想的结果是能像一元二次方程那 样,找出表示方程(2.1)所有整数解的公式. • 这个公式是能够找到的,但它是建立在方 程(2.1)的一个整数解(即所谓的特解)的 基础上的.因些如何找到方程(2.1)的一个 整数解就成为求出它一切整数解的关键.
)
（6）的解为：y 2 33t , x y x 3 37t (t 0, 1, 2,
)
从而原方程的解为：x 3 37t , y 2 x y 8 107t (t 0, 1, 2, )
或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。
在（2）式两端同乘以c1得 asc1 btc1 (a, b)c1 c 令x0 =sc1 , y0 =tc1，即得 ax0 by0 c， 故（2. 1）式有一组整数解x0，y0 .
注：定理的证明过程实际给出求解方程（2.1）的方法：
(i )由辗转相除法等可求得 (1) n 1 Qn a (1) n Pnb rn (a, b)， 取s (1) n 1 Qn , t (1) n Pn；
下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有 解，及其求出其解的直接算法——整数分离法,用这个 方法求不定方程(2.1)的一个整数解的一般步骤是:
(1)变形:令系数绝对值较大的未知数为k(k表示整数)通过 对方程变形,用k表示的代数式来表示另一个未知数; (2)分离:把(1)中的k的代数式所包含的关于k整系数的 整式分离出来,使它成为关于k的一个一次式与一个分工 之和;
c (ii )再取sc1 s x0 , ( a, b)
c tc1 t y0； ( a, b)
c (iii )则x0 s , ( a, b)
c y0 t ( a, b)
就为方程组（）的一组整数解。 1
推论1 如果(a,b)=1,那么 方程(2.1)有整数解.
推论2 如果c不能被a,b的最大公约数整除,那 么方程(2.1)无整数解. 例2.1 判断下列方程有无整数解. (1) 16x-37y=7 (2)3x+6y-12=0 (3)2x+6y-1=4
Hale Waihona Puke 对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。 另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、 在有限群论 代数几何、组合数学等有着紧密的联系， 在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题， 这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数
学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
第一部分 二元一次不定方程
证：（必要条件）设x0 , y0 为（2. 1）的一组整数解，则 ax0 by0 c (a, b) a, (a, b) b, (a, b) ax0 by0 c,
(a, b) a,
(a, b) b,
(a, b) ax0 by0 c.
（充分条件）若(a, b) c, 设c c1 (a, b), c1 Z , 而对a, b Z , 且a 0，b 0，则存在s, t Z , 使得 as bt (a, b) (2)
例3、求111x 321y 75的一切整数解.
注：利用辗转相除法求（a,b)时，前提为a,b为正整数，
且a大于b， 因此求解此方程时可以考虑用变量替换。
解：令x y, y x, 原方程化为321x 111y 25 (321,111) 3 75, 方程（5）有解，且同解于方程 107x 37 y 25 （5）
建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系 统研究。 秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联 系起来。 百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一， 值钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、 雏各几何？”。 这是一个三元不定方程组问题。 1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 近年来，这个领域更有重要进展。 但从整体上来说，
第二章
不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有
一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。 是数论中 最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就 开始研究不定方程， 因此常称不定方程为丢番图方程。 中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共 井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘
例7、求方程5x+3y=52的全部正整数解
例 1、求7 x 4 y 100的一切整数解。
利用观察法求出7 x 4 y 1的一组特解（ 1, 2); 再写出 方程的一切整数解
例2、求321x 111y 75的一切整数解.
解： (321,111) 3 75, 方程有解，且同解于方程 107x 37 y 25
其次还应证明，设x ，y 是（2. 1 ）的任一解，则 一定可以找到一个整数t1 , 使得 x' =x0 +bt1，y' y0 at1成立.
因为x, y 与x0 , y0 都是(2.1)的解，代入（2.1）式得 ax by c ，ax0 by0 c 上面两式相减得 a ( x x0 ) b( y y0 ) 0, 由此得 x x0 b ( y0 y ) . 由于x x0 是整数, ( a , b ) 1 , 因此 a
例3、求107 x 37 y 25的一切整数解
解：
37 y 25 107 x
25 107 x 25 33x y 2 x 37 37
25 33x 令 y ，则33x+37 y 25 37
(6)
25 37 y 25 4 y 同理 x y 33 33
证：首先证明(2.3)是方程(2.1)的解.因为x0，y0 , a, b, t都是整数, 所以x0 bt , y0 at也是整数.把x x0 bt , y y0 at 代入(2.1)左边, 得到ax by a x0 bt b y0 at ax0 by0 c 从而x0 bt , y0 at是方程(2.1)的解.
研究不定方程一般需要要解决以下三个问题： ①判断何时有解。 ②有解时决定解的个数。 ③求出所有的解。 本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及 有解时求出其全部解的最简单的不定方程——— 二元一次不定方程。
定理2.1
设二元一次不定方程 ax by c ( a, b) c (2.1)
(a, b Z , a, b不全为零)有整数解的充要条件是：
x 4 y 1
可以直接解出。 再依次反推上去，就得到原方程的通解。 为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小 余数。 下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时， 它的非负解和正解问题。 由通解公式知这可归结为去确 定参数t的值，使x,y均为非负或正。
我们可以根据题目要求, x x0 bt (1)求出通解 y y0 at
(2)解不等式组 x x0 bt 0 x x0 bt 0 或 y y0 at 0 y y0 at 0
(3)根据t的取值范围,求出t的相应整数值,得到 方程的非负整数(或正整数)解.
例2.6求不定方程3x+4y=23的非负整数解..
（6）
25 4 y 令 x ， 33 1 x 则y=6 8 x 4
(7)
(8)
1 x 再令 y ，最后得到x 4 y 1 4 则x 1 4t , y t (t 0, 1, 2, )
则（7）的解为：x 1 4t , y 2 33t (t 0, 1, 2,
而方程107x 37 y 1的一解是： x (1) 2 9 9, y (1)3 26 26, 故原方程的一组整数解为：x 9 25, y 26 25,
则原方程的一切整数解为： x 9 25 37t , y 26 25 107t (t 0, 1, 2, )
(变形)
例2.5
求不定方程6x-17y=18的整数解.
先用整数分离法求出一个解 k 令y k , 则x 3 3k 6 取k 6得到x 20,因此方程的一个
整数解为x0 20, y0 6.
因此它的一切整数解为 x 20 17t (t为任意整数) y 6 6t
(8)的一个特解为x 1, y 0; 从而（7）的一个特解为x 1, y 2； 由此得到（6）的一个特解为x 3, y 2； 最后得到原方程的一个特解为x 3, y 8
注：这种解不定方程的算法实际上是对整个不定方程 用辗转相除法，依次化为等价的不定方程， 直至得到 这样的不定方程 一个变量的系数为正负1的方程为止。
通过观察得到x=1,y=5是原方程的一个整数 解.从而得到它的通解为
x 1 4t t为任意整数 y 5 3t
解不等式组
x 1 4t 0 得到 y 5 3t 0 1 5 t 因此t 可取0和1. 4 3 当t 0时, x 1, y 5 当t 1时, x 5, y 2