数字图像处理 图像变换
【精选】数字图像处理第3章
设定加权因子 ai 和 bi 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定
a2 b1 切。
1 ，b2
0.1
，a1
a0
b0
0
，该情况是图像剪切的一种列剪
（a）原始图像
Digital Image Processing
（b）仿射变换后图像
3.1 图像的几何变换
◘透视变换 :
把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视 变换，也称为投影映射，其表达式为:
a2
b2
a1 b1
a0
b0
y
1
平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。
仿射变换具有如下性质：
（1）仿射变换有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后 互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能
保 证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。
1D-DFT的矩阵表示 ：
F (0)
F (1)
WN00 WN10
F (2)
WN20
F (N 1)
W
(N N
1)0
WN01 WN11 WN21
WN(N 1)1
W
0( N
N
1)
WN1(N 1)
第3章 图像变换
◆ 3.1 图像的几何变换 ◆ 3.2 图像的离散傅立叶变换 ◆ 3.3 图像变换的一般表示形式 ◆ 3.4 图像的离散余弦变换 ◆ 3.5 图像的离散沃尔什－哈达玛变换 ◆ 3.6 K-L变换 ◆ 3.7 本章小结
数字图像处理_图像的频域变换处理
图像的频域变换处理1 实验目的 1. 掌握Fourier ，DCT 和Radon 变换与反变换的原理及算法实现，并初步理解Fourier 、Radon和DCT 变换的物理意义。
2、 利用傅里叶变换、离散余弦变换等处理图像，理解图像变换系数的特点。
3、 掌握图像的频谱分析方法。
4、 掌握图像频域压缩的方法。
5、 掌握二维数字滤波器处理图像的方法。
2 实验原理1、傅里叶变换 fft2函数：F=fft2(A);fftshift 函数：F1=fftshift(F);ifft2函数：M=ifft2(F);2、离散余弦变换：dct2函数 ：F=dct2(f2)；idct2函数：M=idct2(F)；3、 小波变换对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT 变换， 将图像信息分解为高频成分H 、V 和D 和低频成分A 。
对低频部分A ，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法， 如Huffman 、 DPCM 等；对H 、V 和D 部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。
（1）dwt2[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,LO_D,HI_D’)()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ψ=dt a b t t Rf a 1b ,a W *()⎪⎭⎫ ⎝⎛-ψ=ψa b t a 1t b ,a 112()00(,)[(,)](,)ux vy M N j M N x y f x y eF f x y F u v π---+====∑∑1100(21)(21)(,)(,)()()cos cos 22M N x y x u y v F u v f x y C u C v M Nππ--==++=∑∑CA 图像分解的近似分量,CH 水平分量,CV 垂直分量,CD 细节分量； dwt2(X,’wname ’) 使用小波基wname 对X 进行小波分解。
数字图像处理中的常用变换
一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。
DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。
传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。
随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。
目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。
由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ式中：1,,1,0u -=N ，式中的)(u C 的满足：⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C在数字图像处理中，通常使用二维DCT 变换，正变换为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ 其逆变换IDCT 为:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ 式中：1,,1,0u -=N ，1,,1,0v -=N 。
图像数字化处理常用方法
图像数字化处理常用方法1）图像变换：由于图像阵列很大，直接在空间域中进行处理，涉及计算量很大。
因此，往往采用各种图像变换的方法，如傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换等间接处理技术，将空间域的处理转换为变换域处理，不仅可减少计算量，而且可获得更有效的处理（如傅立叶变换可在频域中进行数字滤波处理）。
目前新兴研究的小波变换在时域和频域中都具有良好的局部化特性，它在图像处理中也有着广泛而有效的应用。
2 ）图像编码压缩：图像编码压缩技术可减少描述图像的数据量（即比特数），以便节省图像传输、处理时间和减少所占用的存储器容量。
压缩可以在不失真的前提下获得，也可以在允许的失真条件下进行。
编码是压缩技术中最重要的方法，它在图像处理技术中是发展最早且比较成熟的技术。
3 ）图像增强和复原：图像增强和复原的目的是为了提高图像的质量，如去除噪声，提高图像的清晰度等。
图像增强不考虑图像降质的原因，突出图像中所感兴趣的部分。
如强化图像高频分量，可使图像中物体轮廓清晰，细节明显；如强化低频分量可减少图像中噪声影响。
图像复原要求对图像降质的原因有一定的了解，一般讲应根据降质过程建立“降质模型”，再采用某种滤波方法，恢复或重建原来的图像。
4 ）图像分割：图像分割是数字图像处理中的关键技术之一。
图像分割是将图像中有意义的特征部分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘、区域等，这是进一步进行图像识别、分析和理解的基础。
虽然目前已研究出不少边缘提取、区域分割的方法，但还没有一种普遍适用于各种图像的有效方法。
因此，对图像分割的研究还在不断深入之中，是目前图像处理中研究的热点之一。
5 ）图像描述：图像描述是图像识别和理解的必要前提。
作为最简单的二值图像可采用其几何特性描述物体的特性，一般图像的描述方法采用二维形状描述，它有边界描述和区域描述两类方法。
对于特殊的纹理图像可采用二维纹理特征描述。
随着图像处理研究的深入发展，已经开始进行三维物体描述的研究，提出了体积描述、表面描述、广义圆柱体描述等方法。
数字图像处理-正交变换
2.1 图像变换的表达式－正交变换
二维变换：N×N的二维函数f(x,y)
F (u , v )
N 1 N 1
f ( x , y ) u , v ( x , y ), 0 u , v N 1
x0 y0
f ( x, y )
N 1 N 1
F ( u , v ) u , v ( x , y ), 0 x , y N 1
1.3 数字图像处理的研究内容
图像重建
由原始图像数据进行不同目的的图像显示。如二维 图像重建三维图像。
图像分割与特征提取
图像分割是指将一幅图像的区域根据分析对象进行 分割。 图像的特征提取包括了形状特征、纹理特征、颜色 特征等等。
图像分析和理解
对图像中的不同对象进行分类、识别和描述、解释。
1.3 数字图像处理的研究内容
1.高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
图 像 分 析 中级
图像处理
图像理解
低级
高级
1.3 数字图像处理的研究内容
数字图像处理是一门交叉学科，研究方法上， 与数学、物理学、生理学、心理学、电子学、 计算机科学相互借鉴；研究范围上，与计算机 图形学、模式识别、计算机视觉相互交叉。
1 -1 -1
j
1 j
3 4
-1
1 j
1 e
j j
1 e
j
4
3 4
0
1 e
j
3 4
-1
-1 -1
w1
-1
1 e
f ( 0 ,0 ) f (1, 0 ) f ( x, y ) f ( N 1, 0 )
数字图像处理 03图像变换(DCT&DWT变换)
3.3.1 一维离散余弦变换
正变换： f (x)为一维离散函数， x = 0，1，"，N −1
∑ F (0) =
1
N −1
f (x) ,
N x=0
u=0
∑ F (u) =
2 N
N −1 x=0
f
(
x)
cos
⎡ ⎢⎣
π
2N
(2x
+
1)u
⎤ ⎥⎦
,
u = 1,2,", N −1
反变换：
∑ f (x) =
+ 1)u
⎤ ⎥⎦
∑ +
2 N
N −1 v=1
F
(0,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y +1)v⎥⎦⎤
∑ ∑ +
2 N
N −1 u =1
N −1 v=1
F
(u,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2x
+ 1)u ⎥⎦⎤
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y
+ 1)v ⎥⎦⎤
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.3离散余弦变换（DCT）
23
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
S
滤波器组
低通
高通
A
D
图3-19 小波分解示意图
24
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信 号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号 的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而 高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频 分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内 容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。
数字图像处理 03图像变换(沃尔什变换)
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.2.2 Walsh函数
WW (0,t) = 1 WW (1, t ) = R (1, t ) WW (2, t ) = R (2, t ) ⋅ R (1, t ) WW (3, t) = R (2, t)
W W ( 0 , t ) +1
-1 W W (1, t ) +1
t 1
WaWlsWh(序7,的t ) W= Ral(s3h,函t ) 数的特点: R(数1(1)的,是t )是完+-11偶备函的数正,交序函号数为,奇序数号1的为t是偶
WW (4,t) WW (5, t)
t 1 1t
R奇( 2函, t )数+1;可用于正交变换。 t
-1
1
WW (6,t)
1t
R(2(3),一t ) 个+1周期内,过零点数与序号
WW (0, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t ) 0 = 1
5 101 111
WW (1, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t )1 = R (1, t )
6 110 101 7 111 100
WW ( 2, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t )1 ⋅ R (1, t )1 = R ( 2, t ) ⋅ R (1, t )
WW (0,t) =1 WW (1,t) = R(1,t) WW (2,t) = R(2,t)⋅ R(1,t) WW (3,t) = R(2,t) WW (4,t) = R(3,t)⋅ R(2,t) WW (5,t) = R(3,t)⋅ R(2,t)⋅ R(1,t) WW (6,t) = R(3,t)⋅ R(1,t) WW (7,t) = R(3,t)
遥感数字图像处理第三章图像变换
u=2时, u=3时, 在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为 F(u)= =Af(x)
2.二维离散函数的傅立叶变换 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)= (3.2—20) 式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。 f(x，y)= (3.2—21) 式中 x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。 一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。 一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它变换
从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
2傅立叶变换
在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数 其复数形式为 其中 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。
第三章 图像变换
1
2
图像变换的目的、要求和应用 傅立叶级数、 频谱分析概念及其意义 一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、 性质及其应用
讲解内容
熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用； 掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法
目的
从感性理解傅立叶变换，一幅数字图像里面包含有各种信号，有变化缓慢的背景，有变换激烈的边缘和噪声部分，而傅立叶变换就像光学中的三棱镜，在三棱镜的作用下，一束自然光光信号可以分为无数的单色光信号，单色光信号从频谱中心开心频率逐渐增加，那么一幅图像经过一个类似三棱镜的系统（傅里叶变换）就把源图像中的信号给分开了，这样我们就可以做各种处理就更为方便。
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figure（2）;
imshow(log(abs(J)),[8,10]) 其结果如图4.2所示
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
（a）原始图像
（b）离散傅里叶频谱
图4.2 二维图像及其离散傅里叶频谱的显示
4.3 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)
再对 F x, v 每1行求傅里叶变换
Fu ,v1N 1 Fx ,ve j2 π u x/N u ,v 0 ,1 , ,N 1
N x 0
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
可分离性（Divisibility）
F(x, v)
能量
E u F u 2 R 2 u I2 u （4.6）
相位
uarctR Iau un
（4.7）
傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。
设函数 fx,y是连续可积的，且 fu,v可积，则存
在如下的傅里叶变换对：
4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of
Continuous Fourier Transform)
图4.5 由2步1-D变换计算2-D变换
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
f(x,y)1N1N1F(u,v)ej2(uxvy)/N
Nu0v0
fx,y1N 1 ej2 u/x N N 1Fu ,vej2 v/y N
N u 0
4.1 连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform）
1、一维傅立叶变换及其反变换
: F (u)f(x)ej2 uxdx
1: f(x)F (u)ej2 u xdu
4.1.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition
of Continuous Fourier Transform)
F(u,v)1N 1N 1f(x,y)ej2(uxvy)/N
Nx0y0
Fu,v1N 1ej2u/x NN 1f x,yej2v/yN
Nx0
y0
每1列求变换再乘以 N
F (x ,v ) N N 1N y 0 1f
x ,ye j2 v y/N
v 0 ,1 , ,N 1
图4.1（a）
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier
Transform）
此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以1x，y 从
而可以使频率谱关于中心对称，如图4.1（b）所示。在图
4.1（b）中，u方向谱的零点分割恰好是 v方向零点分隔的
两倍。
（a）
（b）
图4.1（a）在大小为 51251黑2色背景上叠加一个尺寸为2040的白
能量谱： P u ,v F u ,v 2 R 2 u ,v I 2 u ,v
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
例4.1一个简单二维函数的中心谱。 图4.1（a）显示了在 51251像2 素尺寸的黑色
背 景 上 叠 加 一 个 2040 像 素 尺 寸 的 白 色 矩 形 。
f x, y 与一个指数相乘等于将变换后的频率域中心移到新的位置。
f( x x 0 ,y y 0 ) F ( u ,v ) e j2 u x 0 v y 0 /N f x, y 的平移将不改变频谱的幅值（amplitude）。
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
Nu0
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
傅里叶频谱：
F uR 2uI2u
相位:
u arI c u /tR a u n
能量谱
P u F u 2 R 2 u I2 u
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
上式表明傅里叶变换和反变换对加法满足分配律， 但需注意对乘法则不满足，一般有：
4.4.3 周期性和共轭对称性（Periodicity and Conjugate Symmetry）
傅里叶变换和反变换均以N为周期，即
F u , v F u N , v F u , v N F u N , v N
（4.29） 上式可通过将右边几项分别代入式（4.16）来
成整个变换需要N 2次乘法和 NN1次加法运算。
当序列较长时，必然要花费大量的时间。 观察上述系数矩阵，发现 W Nux是以 N为周期
的，即
W N u LN xKN W N ux （4.21）
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
4.4.1 可分离性（Separability）
4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)
傅里叶频谱：
1
F u ,vR 2u ,vI2u ,v2 （4.10）
相位：
u,varcR Itu a u,,vvn
（4.11）
能量谱：
E u ,v R 2 u ,v I 2 u ,v （4.12）
同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的 傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散 傅里叶变换定义为：
1N1N1
Fu,v
f
xej2(u xv)y/N （4.16）
Nx0y0
式中 u0,1,..N . ,1，v0,1,..N . ,1。二维离 散傅里叶反变换定义为
fx,y1N 1N 1Fu ,vej2(u x v)y /N （4.17） Nu0v0
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
例4.2图象的二维离散傅立叶频谱。 ％读入原始图象
I = imread(‘i_peppers_gray.bmp’);
imshow(I) %求离散傅立叶频谱
J = fftshift(fft2(I)); %对原始图象进行二维傅立叶变换，并将其坐标原
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
4.4.5 分配律（Distribution Law）
分配律(Distribution Law) 根据傅里叶变换对的定义可得到：
f 1 x , y f 2 x , y f 1 x , y f 2 x , y （4.33）
F f( x ,y ) F ( u ,v ) f( x ,y ) e j2 u x v y d x d y
（4.8）
F 1 F ( u ,v ) f( x ,y ) F ( u ,v ) e j2 u x v y d u d v （4.9） 式中 u、v是频率变量。与一维的情况一样， 二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:
验证。它表明，尽管Fu,v有无穷多个 u和 v的值
重复出现，但只需根据在任一个周期里的 N个值就
可以从 Fu,v得到 fx,y。
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
如果 fx,y是实函数，则它的傅里叶变换具有
共轭对成性
F u ,v F u , v （4.30）
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
例4.4二维离散傅立叶变换的旋转性（具体程序参见 书）。
（a）原始图像
（b）原图像的傅 （c）旋转后的图像 （d）旋转后图像的
里叶频谱
傅里叶频谱
上应于
0
将其傅里叶变换Fu,v也旋转相同的角度 0 。
v 0
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
4.4.2 平移性质（Translation）
f( x ,y ) e j2 u x 0 v 0 y /N F ( u u 0 ,v v 0 )
1 e j ( 1 ) x y e j( x y )
这里 f x是实函数，它的傅里叶变换 Fu通 常是复函数。Fu的实部、虚部、振幅、能量和
相位分别表示如下：
实部 虚部 振幅
Ru ftco2sud t t （4.3）
Iu ftsi2 n ud t t 1
FuR2uI2u2
（4.4） （4.5）
4.1.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)
色矩形的图像，
（b）应用了对数变换后显示的中心傅里叶谱
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
符合图像中1: 2的矩形尺寸比例（遵照傅里叶变 换4.4.6节的尺度变换性质）。在显示之前频率 谱用式（对数处理见前章3.2.2）中的对数变换 处理以增强灰度级细节。变换中使用 c0.5的值 可以降低整体强度。在本章显示的多数傅里叶频 率谱都用对数变换进行了相似的处理。
F u ,vF u , v （4.31）
4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)
4.4.4 旋转性质（Rotation）
f(x,y) Fu,v
xrcos y rsin
u wcos v wsin
f(r, 0) F (w , 0)
上式表明，对 f ( x , y ) 旋转一个角度 0 F (u , v ) 对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度 0
对于一个有限长序列 fx 0 x N 1 ，它