离散数学及其应用课件第9章第3节
2，，m）中只有0，1两个符号，则称B为二元前缀码。 例如，{0，10，110，111}，{11，00，010，011}都是二元前 缀码，而{1，01，010，110}不是前缀码。
前缀码和二元树
定理9.4.1 任何一棵二元树的树叶可对应一个前缀码。 证明 对于给定的一棵二元树，每个分支点至少有一个子结点， 至多有两个子结点。若分支点有两个子结点，在分支点和左 子结点连接的边上标0，和右子结点连接的边上标1；若分支 点只有1个子结点，在分支点和它的子结点连接的边上标0或1 都可以。
有序根树
b de hi
左子树
c fg
j
右子树
9.3.2 有序根树的遍历
系统地访问有序根树的每个结点，使得每个结点恰好访 问一次，进行数据存取的过程称为遍历算法。 三种遍历2元有序根树的算法： ①前序遍历算法:树根、前序遍历左子树、前序遍历右子树 ②中序遍历算法:中序遍历左子树、树根、中序遍历右子树 ③ 后序遍历算法:后序遍历左子树、后序遍历右子树、树根
题公式：（pq）（pq）的有序树。
﹁
˅
前序遍历得波兰记法： pqpq 后序遍历得逆波兰记法：pqpq
˄ pq
p﹁ q
9.4 根树的应用
9.4.1 前缀码 9.4.2 最优二元树和Huffman编码 9.4.3 决策树
9.4.1 前缀码
定义9.4.1 设 =a1a2a3an为长度为n的符号串，称a1，a1a2， ，a1a2a3an-1分别为符号串 的长度为1，2，，n-1的前 缀；设B={1，2，，m}为一个字符串集合，若对任意的i， jB，ij，i，j互不为前缀，则称B为前缀码；若i（i=1，
A:B
≠ A:C ≠=
= A:C
≠=
A
BCD
实例
根树的画法:树根放最上方,省去所有有向边上的箭头 右图中
a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
4
有向根树
定义9.3.3 在根树T中，
(1) 若结点vi到结点vj可达，则称vi是vj的祖 先，vj是vi的后代； (2) 若结点vi邻接到结点vj，则称vi是vj的父 亲，vj是vi的儿子； (3) 若两个节点同为一个结点的儿子，则
对应该决策的每种可能结果，称这样的根数为决策树。
如图是排序3个不同数的决策树，用根树表示对3个不同数
排序的比较判断过程。
a:b
a>b
a<b
a:c
b:c
a>c a<c
b>c b<c
b:c
b>c
a:c
c>a>b
b<c
a>c
y c>b>a
a<c
a>b>c a>c>b b>a>c b>c>a
例题
例9.4.5 有4枚外观相同的硬币，其中1枚是伪币，伪币的质量和其
这样，每片树叶将对应一个由0和1组成的序列，该序列 由树根到这片树叶的通路上各边的标记组成。由于每片树叶 对应的标记序列都不是另一片树叶标记序列的前缀，因而由 所有树叶的标记序列构成一个前缀码。
例题
例 前缀码 {00, 11, 011, 0100}
前缀码和二元树
定理9.4.2 任何一个前缀码都对应一个棵二元树。 证明 1. 设给定一个前缀码，h表示前缀码中最长序列的长度。画
它硬币的不等，要在这4枚硬币中找出伪币，需要用天平秤多少次？
解 将4枚硬币分成两组，任取一组2个硬币在天平上称重，结果
可能是：质量相同和质量不同。因此可用二元决策树解决这个问
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题。
设4枚硬币为A,B,C,D，用A：B 表示将A和B放在天平上称重， “=”表示平衡，“≠”表示不平衡。 决策树是有4片树叶的二元树， 用天平秤2次可以找出伪币。
采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳 前缀码), 并求传输100个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需 要多少个二进制数字? 解 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树. 这里w1=5,w2=5,w3=10,w4=10,w5=10,w6=15,w7=20,w8=25.
14
例题
例
中序遍历: b a ((f d g) c e) 前序遍历: a b (c (d f g) e) 后序遍历: b ((f g d) e c) a 带下划线的是(子)树根, 一对括号内是一棵子树
15
2元有序根树
用2元有序根树表示算术运算算式如下: 将运算符放在分支 点上, 数放在树叶上, 每个运算符对它所在分支点的2棵子 树进行运算, 并规定左子树是被除数或被减数. 例2 右图表示算式 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij)) 前序遍历 b + c d a e f + g h i j 后序遍历 b c d + + a e f g h + i j
需要注意的是，结点的中序遍历结果可存在二义性为了让这样的表达式无歧义， 遇到运算时，按中序遍历算法得到的表达式要包含括号，括号中是子树的表达式16 。
波兰符号法与逆波兰符号法(续)
波兰符号法(前缀符号法): 按前序遍历访问, 不加括号. 从右到左进行, 每个运算符对其后面紧邻两个数进行运算. 逆波兰符号法(后缀符号法): 按后序遍历访问, 不加括号. 从左到右进行, 每个运算符对前面紧邻两数运算.
片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1）/(m−1)
个分支点。
定理9.3.2
证明 (1) 若T有n个结点，利用定理9.3.1，n=mi+1，则分支点i= （n−1）/m，树叶数l = n−i ,将i的表达式代入l = n−i , 得l= [(m−1)n+1]/m。 (2) 若T有i个分支点，利用定理9.3.1，有n=mi+1个结点；树 叶数l = n−i，将n的表达式代入得l=(m−1)i+1； (3) 若T有l片树叶，i = n− l ,代入n=mi+1，则有n=m (n− l) +1, 整理得n=(ml−1)/(m−1)，而分支点数i = n−l=(ml−1)/(m−1) − l=（l−1）/(m−1)。
三元树
三元正则树
完全二元正则树
定理9.3.1
定理9.3.1 有i个分支点的 m元正则树有n=mi+1个结点。 证明 除根之外的每个结点都是分支点的儿子。因为每个分 支点都有m个儿子，所以，在树中除根之外还有mi个结点。 因此，这棵树共有mi+1个结点。
定理9.3.2
定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和l=[(m−1)n+1]/m
定理9.3.3
定理9.3.3在高度为h的m元树里至多有mh片树叶。 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子结 点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至多有 m1=m片树叶。 假设高度h=k-1时结论成立，即高度为k-1的m元树里至多有m k-1 片树叶。 高度h=k时，在高度为k-1的m元树中给每片树叶添加至多m个子 结点，就是高度为k的m元树，最多需要添加m(m k-1)= m k片树 叶。因此，高度h=k时，至多有mk片树叶，结论成立。
例如
45 1 63
W(T1)=47
3
4
6 35
5 1 6 W(T2)=54
14 W(T3)=43
25
求最优2元树的算法
哈夫曼(Huffman)算法 给定t个实数按从小到大顺序排列，即w1w2 … wt ， ① 连接以w1，w2 为权的两片树叶，得一分支点，其权为 w1+w2 ； ② 在w1+w2 ,w3 ，… wt中选出两个最小的权，连接它们对应 的结点(不一定都是树叶)，得分支点及其所带的权； ③ 重复(2)，直到形成一棵有t−1个分支点，t片树叶的树为止。
例2(续) 波兰符号法 b+cdaef+ghij 逆波兰符号法 bcd++aefgh+ij
17
例题
例 用2元有序树表示命题公式：（pq）（pq），写出它
的波兰记法和逆波兰记法。
解 由底向上构造二元有序树。首先构造pq，p和q的子树，
然后构造（pq），pq的子树，最后用这两个子树分别作为
左子树和右子树，以为根结点的二元有序树就是所求的表示命
26
例题
例9.4.3求以1,3,4,5,6为权的最优2元树, 并计算它的权 解
4
13 (a)
8
4 4
13 (b)
8 11
4 45 6
13 (c)
19
8
11
4 45 6
13 (d)
W(T)=4+8+11+19=42
27
例题
例9.4.4 在通信中,设八进制数字出现的频率(%)如下: 0: 25, 1: 20, 2: 15, 3: 10, 4: 10, 5: 10, 6: 5, 7: 5
定义9.3.6 如果将根树每一层上的结点都规定次序，这样的 根树称为有序根树。
在有序根树中，每一层上的结点按从左到右的次序排序。 如二元有序树的一个分支点有两个子结点，则从左到右称 这两个子结点为左儿子和右儿子。以这两个子结点为根所 产生的根子树分别称为左子树和右子树。
前缀码和二元树
定理9.4.1 任何一棵二元树的树叶可对应一个前缀码。 证明 对于给定的一棵二元树，每个分支点至少有一个子结点， 至多有两个子结点。若分支点有两个子结点，在分支点和左 子结点连接的边上标0，和右子结点连接的边上标1；若分支 点只有1个子结点，在分支点和它的子结点连接的边上标0或1 都可以。
有序根树
b de hi
左子树
c fg
j
右子树
9.3.2 有序根树的遍历
系统地访问有序根树的每个结点，使得每个结点恰好访 问一次，进行数据存取的过程称为遍历算法。 三种遍历2元有序根树的算法： ①前序遍历算法:树根、前序遍历左子树、前序遍历右子树 ②中序遍历算法:中序遍历左子树、树根、中序遍历右子树 ③ 后序遍历算法:后序遍历左子树、后序遍历右子树、树根
题公式：（pq）（pq）的有序树。
﹁
˅
前序遍历得波兰记法： pqpq 后序遍历得逆波兰记法：pqpq
˄ pq
p﹁ q
9.4 根树的应用
9.4.1 前缀码 9.4.2 最优二元树和Huffman编码 9.4.3 决策树
9.4.1 前缀码
定义9.4.1 设 =a1a2a3an为长度为n的符号串，称a1，a1a2， ，a1a2a3an-1分别为符号串 的长度为1，2，，n-1的前 缀；设B={1，2，，m}为一个字符串集合，若对任意的i， jB，ij，i，j互不为前缀，则称B为前缀码；若i（i=1，
A:B
≠ A:C ≠=
= A:C
≠=
A
BCD
实例
根树的画法:树根放最上方,省去所有有向边上的箭头 右图中
a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
4
有向根树
定义9.3.3 在根树T中，
(1) 若结点vi到结点vj可达，则称vi是vj的祖 先，vj是vi的后代； (2) 若结点vi邻接到结点vj，则称vi是vj的父 亲，vj是vi的儿子； (3) 若两个节点同为一个结点的儿子，则
对应该决策的每种可能结果，称这样的根数为决策树。
如图是排序3个不同数的决策树，用根树表示对3个不同数
排序的比较判断过程。
a:b
a>b
a<b
a:c
b:c
a>c a<c
b>c b<c
b:c
b>c
a:c
c>a>b
b<c
a>c
y c>b>a
a<c
a>b>c a>c>b b>a>c b>c>a
例题
例9.4.5 有4枚外观相同的硬币，其中1枚是伪币，伪币的质量和其
这样，每片树叶将对应一个由0和1组成的序列，该序列 由树根到这片树叶的通路上各边的标记组成。由于每片树叶 对应的标记序列都不是另一片树叶标记序列的前缀，因而由 所有树叶的标记序列构成一个前缀码。
例题
例 前缀码 {00, 11, 011, 0100}
前缀码和二元树
定理9.4.2 任何一个前缀码都对应一个棵二元树。 证明 1. 设给定一个前缀码，h表示前缀码中最长序列的长度。画
它硬币的不等，要在这4枚硬币中找出伪币，需要用天平秤多少次？
解 将4枚硬币分成两组，任取一组2个硬币在天平上称重，结果
可能是：质量相同和质量不同。因此可用二元决策树解决这个问
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题。
设4枚硬币为A,B,C,D，用A：B 表示将A和B放在天平上称重， “=”表示平衡，“≠”表示不平衡。 决策树是有4片树叶的二元树， 用天平秤2次可以找出伪币。
采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳 前缀码), 并求传输100个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需 要多少个二进制数字? 解 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树. 这里w1=5,w2=5,w3=10,w4=10,w5=10,w6=15,w7=20,w8=25.
14
例题
例
中序遍历: b a ((f d g) c e) 前序遍历: a b (c (d f g) e) 后序遍历: b ((f g d) e c) a 带下划线的是(子)树根, 一对括号内是一棵子树
15
2元有序根树
用2元有序根树表示算术运算算式如下: 将运算符放在分支 点上, 数放在树叶上, 每个运算符对它所在分支点的2棵子 树进行运算, 并规定左子树是被除数或被减数. 例2 右图表示算式 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij)) 前序遍历 b + c d a e f + g h i j 后序遍历 b c d + + a e f g h + i j
需要注意的是，结点的中序遍历结果可存在二义性为了让这样的表达式无歧义， 遇到运算时，按中序遍历算法得到的表达式要包含括号，括号中是子树的表达式16 。
波兰符号法与逆波兰符号法(续)
波兰符号法(前缀符号法): 按前序遍历访问, 不加括号. 从右到左进行, 每个运算符对其后面紧邻两个数进行运算. 逆波兰符号法(后缀符号法): 按后序遍历访问, 不加括号. 从左到右进行, 每个运算符对前面紧邻两数运算.
片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1）/(m−1)
个分支点。
定理9.3.2
证明 (1) 若T有n个结点，利用定理9.3.1，n=mi+1，则分支点i= （n−1）/m，树叶数l = n−i ,将i的表达式代入l = n−i , 得l= [(m−1)n+1]/m。 (2) 若T有i个分支点，利用定理9.3.1，有n=mi+1个结点；树 叶数l = n−i，将n的表达式代入得l=(m−1)i+1； (3) 若T有l片树叶，i = n− l ,代入n=mi+1，则有n=m (n− l) +1, 整理得n=(ml−1)/(m−1)，而分支点数i = n−l=(ml−1)/(m−1) − l=（l−1）/(m−1)。
三元树
三元正则树
完全二元正则树
定理9.3.1
定理9.3.1 有i个分支点的 m元正则树有n=mi+1个结点。 证明 除根之外的每个结点都是分支点的儿子。因为每个分 支点都有m个儿子，所以，在树中除根之外还有mi个结点。 因此，这棵树共有mi+1个结点。
定理9.3.2
定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和l=[(m−1)n+1]/m
定理9.3.3
定理9.3.3在高度为h的m元树里至多有mh片树叶。 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子结 点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至多有 m1=m片树叶。 假设高度h=k-1时结论成立，即高度为k-1的m元树里至多有m k-1 片树叶。 高度h=k时，在高度为k-1的m元树中给每片树叶添加至多m个子 结点，就是高度为k的m元树，最多需要添加m(m k-1)= m k片树 叶。因此，高度h=k时，至多有mk片树叶，结论成立。
例如
45 1 63
W(T1)=47
3
4
6 35
5 1 6 W(T2)=54
14 W(T3)=43
25
求最优2元树的算法
哈夫曼(Huffman)算法 给定t个实数按从小到大顺序排列，即w1w2 … wt ， ① 连接以w1，w2 为权的两片树叶，得一分支点，其权为 w1+w2 ； ② 在w1+w2 ,w3 ，… wt中选出两个最小的权，连接它们对应 的结点(不一定都是树叶)，得分支点及其所带的权； ③ 重复(2)，直到形成一棵有t−1个分支点，t片树叶的树为止。
例2(续) 波兰符号法 b+cdaef+ghij 逆波兰符号法 bcd++aefgh+ij
17
例题
例 用2元有序树表示命题公式：（pq）（pq），写出它
的波兰记法和逆波兰记法。
解 由底向上构造二元有序树。首先构造pq，p和q的子树，
然后构造（pq），pq的子树，最后用这两个子树分别作为
左子树和右子树，以为根结点的二元有序树就是所求的表示命
26
例题
例9.4.3求以1,3,4,5,6为权的最优2元树, 并计算它的权 解
4
13 (a)
8
4 4
13 (b)
8 11
4 45 6
13 (c)
19
8
11
4 45 6
13 (d)
W(T)=4+8+11+19=42
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例题
例9.4.4 在通信中,设八进制数字出现的频率(%)如下: 0: 25, 1: 20, 2: 15, 3: 10, 4: 10, 5: 10, 6: 5, 7: 5
定义9.3.6 如果将根树每一层上的结点都规定次序，这样的 根树称为有序根树。
在有序根树中，每一层上的结点按从左到右的次序排序。 如二元有序树的一个分支点有两个子结点，则从左到右称 这两个子结点为左儿子和右儿子。以这两个子结点为根所 产生的根子树分别称为左子树和右子树。
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离散数学第五版第九章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
7 2021/3/10
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
1. 幺元的定义（定义9.6）
设为S上的二元运算,如果存在 e l (或 e r )S使得对于任何
xS都有
e l x = x(或 x e r =x) 则称 e l (或e r )是S中关于运算的一个左幺元(或右幺
元)。若eS关于运算既是左幺元又是右幺元，则称e 为S上关于运算的幺元。
15 2021/3/10
9.2 代数系统
一、代数系统的定义(定义9.8)
非空集合S和S上k个运算f1,f2……fk(其中fi为ni元 运算，i=1，2,…，k)组成的系统称为一个代数系 统，简称代数，记作<S, f1,f2……fk >。
判断代数系统的方法： 判断该系统中的每个运算是否为n元运算。
27 2021/3/10
9.2 代数系统
（3）当n=3时，则函数f:S×S×SS为S上的三元运算。
2021/3/10
(x，y，z)=t
6
9.1二元运算及其性质
例4：在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上，一 个数的相反数、倒数是否为这些集合上的一元运 算？
例5：在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的 绝对补运算～是否为P(S)上的一元运算？
1 2
* 0 1
串的连接运算：, *,a 1 a 2a 3 a m ,b 1 b 2 b n
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
1. 幺元的定义（定义9.6）
设为S上的二元运算,如果存在 e l (或 e r )S使得对于任何
xS都有
e l x = x(或 x e r =x) 则称 e l (或e r )是S中关于运算的一个左幺元(或右幺
元)。若eS关于运算既是左幺元又是右幺元，则称e 为S上关于运算的幺元。
15 2021/3/10
9.2 代数系统
一、代数系统的定义(定义9.8)
非空集合S和S上k个运算f1,f2……fk(其中fi为ni元 运算，i=1，2,…，k)组成的系统称为一个代数系 统，简称代数，记作<S, f1,f2……fk >。
判断代数系统的方法： 判断该系统中的每个运算是否为n元运算。
27 2021/3/10
9.2 代数系统
（3）当n=3时，则函数f:S×S×SS为S上的三元运算。
2021/3/10
(x，y，z)=t
6
9.1二元运算及其性质
例4：在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上，一 个数的相反数、倒数是否为这些集合上的一元运 算？
例5：在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的 绝对补运算～是否为P(S)上的一元运算？
1 2
* 0 1
串的连接运算：, *,a 1 a 2a 3 a m ,b 1 b 2 b n
离散数学及其应用课件第7-9章
定义7.1.13 当给环图Cn-1（n4）添加一个结点，并把这个
结点和Cn-1里的每个结点逐个连接后得到的图成为轮图，记作
Wn。下图是轮图W4，W5，W6，W7。
方体图
定义7.1.14 如果图G =（V，E）有2n个结点，每个结点表示 一个长度为n的位串，任何两个相邻的结点表示的位串只有一位 不同，则称G称为n方体图，记作Qn。
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
e1 v1 e2 v2
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
v4
9
有向图
定义7.1.2 一个有向图可以表示为D=（V，E），其中V是非空有 限结点集，称V中的元素为结点或顶点；E是有向边集，E中的元素 是由V中的元素组成的有序对，称E中的元素为有向边。
（3）是简单图的结点序列。下图的两个无向简单图都是（3,3,2,2,1,1）为结点度 数序列。
（4）中的最大值d1>n, 根据定理7.1.3，不是简单图的结点序列。
正则图
定义7.1.11 设G为n阶无向简单图，若vV（G），均有 d(v)=k,则称G为k-正则图。
2正则图
3正则图 彼得松图
4正则图
悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
e1 v1 e2 v2
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
v4
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
(4，2，2，1，1)能作为图的结点的度数序列，下图中的 两个图都是以（4,2,2,1,1）为结点度数序列。
结点和Cn-1里的每个结点逐个连接后得到的图成为轮图，记作
Wn。下图是轮图W4，W5，W6，W7。
方体图
定义7.1.14 如果图G =（V，E）有2n个结点，每个结点表示 一个长度为n的位串，任何两个相邻的结点表示的位串只有一位 不同，则称G称为n方体图，记作Qn。
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
e1 v1 e2 v2
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
v4
9
有向图
定义7.1.2 一个有向图可以表示为D=（V，E），其中V是非空有 限结点集，称V中的元素为结点或顶点；E是有向边集，E中的元素 是由V中的元素组成的有序对，称E中的元素为有向边。
（3）是简单图的结点序列。下图的两个无向简单图都是（3,3,2,2,1,1）为结点度 数序列。
（4）中的最大值d1>n, 根据定理7.1.3，不是简单图的结点序列。
正则图
定义7.1.11 设G为n阶无向简单图，若vV（G），均有 d(v)=k,则称G为k-正则图。
2正则图
3正则图 彼得松图
4正则图
悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
e1 v1 e2 v2
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
v4
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
(4，2，2，1，1)能作为图的结点的度数序列，下图中的 两个图都是以（4,2,2,1,1）为结点度数序列。
计算机科学与技术 离散数学 第9章 图的应用
3
欧拉图
欧拉通路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的通路
欧拉回路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的回路
欧拉图：有欧拉回路的图 半欧拉图：有欧拉通路，但无欧拉回路的图
几点说明： ①上述定义对无向图和有向图都适用。 ②规定，平凡图为欧拉图。 ③欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路。 ④环不影响图的欧拉性。
定理 树T 的每一个分支节点都是T 的割点
27
练习①判断下列各图是否是树
v1
v4
v1
v4 v1
v4
v2 v3 v5
v2 v3 v5
v2 v3 v5
连通，有回路， 连通，无回路， 不连通，
n=5,m=5
n=5,m=4
n=5,m=3
不是树
ห้องสมุดไป่ตู้
是树
不是树
②在保持连通性的条件下，从K5中删去( 6 )条边， 得到一棵树
之间的道路，边的权表示对应道路的长度。沿道路 架设通讯线路，将这些城市联系起来，要求架设线路 最短(费用最省)，此问题就是求一棵最小生成树的问题。
31
克鲁斯卡尔 (Kruskal)算法 （P156） ——求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G， (1)按权从小到大排列边(环除外)，
设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em)； (2) 令T，i1，k0； (3) 若ei与T中的边不构成回路，
注：有向树是弱连通的； 反之，无回路的弱连通有向图不一定是有向树 如，
34
在根树中，从根到其余每个结点都有唯一的一条 初级有向通路。 ①从根到某一顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数 ②从根到树叶的最大层数称为有根树的树高 注：树根位于根树的第0层
35
欧拉图
欧拉通路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的通路
欧拉回路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的回路
欧拉图：有欧拉回路的图 半欧拉图：有欧拉通路，但无欧拉回路的图
几点说明： ①上述定义对无向图和有向图都适用。 ②规定，平凡图为欧拉图。 ③欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路。 ④环不影响图的欧拉性。
定理 树T 的每一个分支节点都是T 的割点
27
练习①判断下列各图是否是树
v1
v4
v1
v4 v1
v4
v2 v3 v5
v2 v3 v5
v2 v3 v5
连通，有回路， 连通，无回路， 不连通，
n=5,m=5
n=5,m=4
n=5,m=3
不是树
ห้องสมุดไป่ตู้
是树
不是树
②在保持连通性的条件下，从K5中删去( 6 )条边， 得到一棵树
之间的道路，边的权表示对应道路的长度。沿道路 架设通讯线路，将这些城市联系起来，要求架设线路 最短(费用最省)，此问题就是求一棵最小生成树的问题。
31
克鲁斯卡尔 (Kruskal)算法 （P156） ——求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G， (1)按权从小到大排列边(环除外)，
设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em)； (2) 令T，i1，k0； (3) 若ei与T中的边不构成回路，
注：有向树是弱连通的； 反之，无回路的弱连通有向图不一定是有向树 如，
34
在根树中，从根到其余每个结点都有唯一的一条 初级有向通路。 ①从根到某一顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数 ②从根到树叶的最大层数称为有根树的树高 注：树根位于根树的第0层
35
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学-第9章 图
2023/11/27
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
2023/11/27
例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
2023/11/27
例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
2023/11/27
例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
2023/11/27
例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
2023/11/27
例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
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例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学及应用PPT课件
作业每星期一交，作为平时成绩。
28.04.2020
引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量：表示确定命题的命题标识符。 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。 原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子） 命题、复合命题四个概念。
作业：P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
28.04.2020
引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量：表示确定命题的命题标识符。 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。 原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子） 命题、复合命题四个概念。
作业：P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
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1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
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1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。