mathematica实用教程

mathematica实用教程

此文档9.0.1.0版的mathematica为例，侧重函数作图、方程求解、置信区间等方面，仅限学习交流。

以后更新在blog：https://www.360docs.net/doc/7716226674.html,/post/228eea_1507ef1，email：misaraty@https://www.360docs.net/doc/7716226674.html,。

misaraty

2014.8.9

mathematica简介 (1)

特殊字符插入（希腊字母、积分号、运算符号...） . (3)

特殊排版插入（上下标、根号...） (4)

运算的执行和中断 (4)

已完成计算的简单调用 (4)

数的类型及表达 (4)

数型之间的转换 (5)

系统中常见的数学常量 (6)

函数与变量的命名规则 (7)

变量赋值和变量替换 (7)

表的使用方法 (7)

四则运算 (7)

初等函数 (8)

常用函数 (8)

函数的定义与输入格式 (8)

分段函数 (9)

绘制函数图形 (10)

数据组的绘图 (15)

图形的合并与排列 (16)

计算极限 (17)

求函数导数 (17)

求函数的积分 (18)

求解微分方程 (18)

计算行列式 (19)

方程的求解 (19)

曲线拟合及回归分析 (20)

描述统计 (22)

置信区间 (23)

参考文献 (24)

mathematica简介

mathematica界面：

mathematica是美国wolfram research公司于1988年开发的数学计算软件，目前有中文版，人们称之“数学草稿纸”，具有数值计算（计算过程和结果不包含任何未知数/代数，以具体的数值形式进行）、符号计算（运算过程包含代数的运算）及作图功能，每个输入命令需要全名（输入时会有列表提示），还有强大的帮助-参考资料中心等，为数学外学科提供智力支持。

打开mathematica，核心程序加载内存，然后会出现一小块类似记事本的面板，直接输入函数即可，按下组合键shift+enter运算。你也可以从程序菜单栏中“文件”-“新建”-“笔记本”，然后在新建好的笔记本上输入函数。

运算结束会显示

其中蓝色框中的内容只是计算次序编号，与所运算的函数无关，也不需要自己输入。特殊字符插入（希腊字母、积分号、运算符号…）

特殊排版插入（上下标、根号…）

运算的执行和中断

运算的执行，两种方式：

在大键盘上按下shift+enter组合键（先按shift键不放，再按enter键）；

在小键盘上直接按下enter键。

运算的中断，两种方式：

按下alt+,组合键，出现对话框；

alt+.组合键，系统回馈$Aborted信息。

已完成计算的简单调用

% 代表上一个输出结果

%% 代表上面倒数第二个输出结果

%n 代表上面第n个输出结果

数的类型及表达

mathematica的简单数值类型有整数、有理数、实数（浮点数）和复数。

Factorial[n]或n! 计算n的阶乘

Mod[m,n] 计算m/n的余数，其中m、n为整数

Quotient[m,n] 计算m/n的商，其中m、n为整数

FactorInteger[n] 因数分解，即把整数分解成多个质数的乘积

GCD[x1,x2,…]求最大公约数（great common divisor）

LCM[x1,x2,…]求最小公倍数（great common multiple）

Divisors[n] 求所有可以整除n的整数Random[Integer,{m,n}] 随机产生m到n之间的整数，其中m、n为整数

随机产生一个1~20之间的整数

浮点数表达式有三种：

小数形式，如3.14159265353；

科学计数法，如1.234*10^3；

工程计数法，与科学计数法类似，只是指数应为3的倍数。

浮点数的输出，即在数字后面加.即可。

3的浮点数输出

对于40

数型之间的转换

N[数值或表达式，n]

将括号内的数值或表达式的结果按浮点输出，参数n规定了输出的有效数字位数，默认值是16位。为了节省输出空间，如无特殊要求，只显示6位有效数字。

将精确值转化为20位的浮点数

N函数也可以作为后缀，格式为“数值或表达式//N”，作用相同

mathematica中的大多数函数均可以用后缀的形式执行。

N函数可以用于mathematica的内部常数的浮点输出。

分数或整数运算时，若分子或分母及表达式中的任一项改为浮点数，结果中会表达为浮点数。

Rationalize[浮点数]

将括号内的浮点数有理化，转化为整数或分数。

已经成为精确值的数值不能转化为有理数。对于不能转化为精确相等的有理数的浮点数，若指明转化的误差，便可以转换达到规定精度的有理数。

ScientificForm[表达式]

将表达式以科学计数法输出。

EngineeringForm[表达式]

将表达式按工程计数法输出。

系统中常见的数学常量

Pi或ππ≈3.14

E e≈2.71828

Degree 1度=π/180

GoldenRatio 黄金分割比0.618

Infinity 无穷大∞

I 虚数单位i（i2=-1）

函数与变量的命名规则

变量名和函数名可以是任意长度的字符或数字串，其中不得使用空格及其他运算符号，变量名和函数名不得以数字开头；

为便于记忆，变量名和函数名通常采用完整的英文单词；

系统区分大小写，在变量名中字母大小写的意义不同，规定系统变量名和系统函数名以大写字母开头，符合单词（如ArcSin[x]）的每个字头都大写；

为与系统函数相区别，建议自定义的变量和函数以小写字母开头；

函数的形式应写成f[x]，必须使用方括号，注意区分各种括号的用途。

变量赋值和变量替换

mathematica用=或：=给变量赋值，前者赋值的同时还输出变量的值，后者仅给变量赋值，而不输出。=称为立即定义运算符，而：=称为延时定义运算符，这样定义的函数不立即输出函数的表达式，只有在调用函数时，表达式中的自变量x才会被[]内的x_所取代。

x=5 给变量x赋值5，如不取消，x始终为5

x=. 取消x的赋值

/.x->3 变量替换，3暂时替换x值，只在该语句有效

Clear[x] 消除x定义及赋值

表的使用方法

表也称为数组，表是储存多个数、变量或算式等对象的一种数据结构，一个表用一对花括号表示，它的成员（元素）在括号内用逗号隔开，同一表的成员可以有不同的数据类型，表的成员还可以是一个表（子表）。表的数据类型为List（表）。

{1.1,1.2,1.3} 数据表

{Sin[x],Cos[x],Exp[x]} 函数表

{x,a,b} 变量x的变化范围

{x->1,y->2} 变量的替换规则

{{a1,a2,a3},{b1,b2,b3}} 2×3矩阵

{a,b,c} 集合

四则运算

运算运算符举例

加+ a+b

减- a-b

乘* a*b或空格

除/ a/b

乘方^ a^b

优先级：乘方＞乘除＞加减；

同级运算从左至右；

乘方运算从右至左。

初等函数

对数函数Log[x] lnx

Log[a,x] log a x 指数函数Exp[x] e x

开平方Sqrt[x]

三角函数Sin[x]，Cos[x]，Tan[x]，Cot[x]

反三角函数ArcSin[x]，ArcCos[x]

数学上常把（sinx）2写作sin2x，而在mathematica中，只能把它表示成Sin[x]^2或Sin[x]2。

常用函数

N[x,n] 取x的n位有效数字的近似值

Abs[x] x的绝对值，x为复数时求模

Round[x] 取最接近x的整数，可能比x大，也可能比x小

Floor[x] 取不大于x的最大正整数

Ceiling[x] 取不小于x的最小正整数

IntegerPart[x] 取x的整数部分

Max[x1,x2,…]取变量x1，x2，…的最大值

Min[x1,x2,…]取变量x1，x2，…的最小值

Re[x] 取复数z的实部

Im[x] 取复数z 的虚部

Comjugate[z] 取复数z的共轭

Arg[z] z的辐角

Mod[m,n] 取余函数，求m被n整除的余数

Quotient[m,n] 取商函数，求m被n除的整数部分

n!或Factorial[n] n的阶乘，n（n-1）（n-2） (1)

n!! n的双阶乘，n（n-2）（n-4） (1)

Sign[x] 判断x的正负x＞0、x=0和x＜0，分别为1、0、-1 Binomial[n,m] 求二项式系数Cnm

函数的定义与输入格式

单变量函数

一元函数定义的格式为：f[x_]=表达式

f为函数名（也可为其他字母）；x为自变量（也可为其他字母），等号右边的表达式中的自变量为x；x_为自变量的形式，可以是数值、符号，甚至表达式等。在运行过程中mathematica 会首先根据x的值计算表达式的值，然后赋值给函数f。

等号左边括号内无_时，h[x]仅是一个变量，当找不到它的定义时，按原式输出。

欲清除该函数，可以使用如下命令：Clear[f]或f=.

以上命令仅能删除函数f的值，但保留了该名称f。若要从系统中删除自定义函数f，可以用Remove[f]命令完成。使用？f命令可查询f的定义情况。

多变量函数

多变量函数，格式：f[x_,y_,…]=表达式

分段函数

定义y=

（＜）（）

使用if语句定义分段函数

If[条件，t，f] 条件满足执行t，否则f

If[条件，t，f，u] 条件满足执行t，否则f，无法判别执行u

绘制函数图形

使用mathematica可绘制的二维图形包括函数图、参数图、极坐标图、等高线图、等密度图等。

mathematica最基本的绘图命令是Plot[]命令，其格式：

Plot[f,{x,xmin,xmax}]:从xmin至xmax绘制函数f的图形，一条曲线；

Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax},选项]：在xmin至xmax的横坐标区间上，按选项的要求绘制函数f1,f2,…的函数图形，多条曲线。

虽然仅使用上述默认选项就可以画出图形，但可能希望对坐标、颜色、线型等作出修改，这些可以通过选择选项中的参数做到。

选项的一般格式如下：

选项名->选项值：一个选项；

{选项名1->选项值1，选项名2->选项值2，…}：多个选项。

选项名默认值说明

PlotRange Automatic 指定作图的纵坐标范围，默认值为切除无穷值点和尖峰。

PlotRange->{下限值，上限值}

Axes True 是否显示坐标轴和原点。默认True为显示，设None为不显示AxesOrigin Automatic 若设AxesOrigin->{x0,y0}，则坐标原点为（x0,y0）

AxesLabel None 设置坐标轴上的标记，默认值为不标记，用{“字符串1”，“字符串2”}的形式定义横轴和纵轴的标记

AxesStyle Automatic 设置坐标轴颜色和线宽，默认值是黑色实线

Frame False 图形周围是否加边框。默认不加，选True时加边框GridLines None 默认值不加网格线，加上网格线，GridLines->Automatic BackGround Automatic 指定背景颜色

Ticks Automatic 设置坐标轴上刻度的位置，默认值表示由系统自动定位，None

表示不标刻度

PlotLabel None 标记图形名称。默认值为不标记，需标记时，用字符串标记PlotStyle Automatic 规定函数曲线的线型与颜色，默认值是黑色实线PlotSize Automatic 规定点的颜色和大小

数据组的绘图

如果需要将一组数据绘制成图，可用集合的绘图来完成。

格式：ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}]

其中，如果x1，x2，…为自然数，则可以不输入。

该集合还可以定义为数组，则绘图命令的格式为：ListPlot[数组]

数组的点之间还可以连线，格式为：ListPlot[数组，PlotJointed->True]

x k 1.36 1.49 1.73 1.81 1.95 2.16 2.28 2.48 y k14.094 15.069 16.844 17.378 18.435 19.949 20.963 22.495

图形的合并与排列

如果已绘制好了若干个图形，而想把其中两个或多个图形合并成一个图，可以用show命令完成，其格式如下：

Show[图形]：重新显示图形。

Show[图形，选项名->选项值]：按选项值重新绘制图形。

Show[图形1，图形2，…图形n]：将图形1，图形2，…，图形n放在一起显示。

计算极限

Limit[f[x],x->a] 求lim ()x a

f x →

Limit[f[x],x->-Infinity] 求lim ()x f x →∞

Limit[f[x],x->Infinity] 求lim ()x f x →-∞

Limit[f[x],x->a,Direction->-1] 求右极限lim ()x a

f x +

→ Limit[f[x],x->a,Direction->1]

求右极限lim ()x a

f x -

→ 239

lim 3

x x x →--+

求函数导数

D[f,x] 计算

df dx

D[f,{x,k}]

计算k k

d f dx

D[f,x,NonConstants->{v1,v2,…}]

在求导数时，用选项

NonConstants->{ v1,v2,…}指定vi 隐含地依

赖于x ，使得它们对x 的导数不为0，如果不给出这个选项，则认为其他标识符与x 无关，

对x 的导数为