河南省郑州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案

2015—2016学年郑州市上期末考试高一数学试题说明： 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，时间120分钟.2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中.第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{1,0,1}M =-，2{|}N x x x =≤，则M N = （ ） A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 2.下列函数中，在()1,∞-内是增函数的是（ ） A ．31x y -= B.x x y +=2 C.xx y -=1 D.x y -=13.已知0.6122log 5,log 3,1,3a b c d -====，那么（ ）A ．a c b d <<<B ．a d c b <<<C ．a b c d <<<D ．a c d b <<<4.若函数12)(2--=x ax x f 在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,(--∞B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．)1,0[5.下列命题中正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C ．由五个面围成的多面体一定是是四棱锥D ．棱台各侧棱的延长线交于一点6.四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小是 （ ）A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°8.矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是（ ）A .B .C .D . 9.函数()l o g (2)a f x a x =-在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,2) C.2(0,)3D ．(2,)+∞10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(2,0),(0,A B ，AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）A ．230x y -+=B ．230x y ++=C ． 230x y ++=D ．230x y -+=11.(1)2k x =-+有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ） A ．3(,)4+∞ B ．1(,1]3C ．3(0,)4D ．3(,1]412.设集合{}22(,)|||||,,A x y x y x y x y R =+≤+∈，则集合A 所表示图形的ABCD 4,3,AB BC ==AC ABCD B AC D --ABCD π12125π9125π6125π3125面积为（ ）A. 1π+B. 2C. 2π+D. π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 一个几何体的三视图如右图所示，且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为________． 14.3342log 220.25log 3log 41(--++=______．15.当(1,3)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是________．16.圆C 的方程为22680x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合，集合{}2120A x x x =--<，集合22{|430}(0)C x x ax a a =-+<>. （Ⅰ）求；（Ⅱ）若，试确定正实数的取值范围.18.（本小题满分12分）分别求出适合下列条件的直线方程： （Ⅰ）经过点(3,2)P -且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； （Ⅱ）经过直线2x +7y －4=0与7x －21y －1=0的交点，且和A (－3，1)，B (5，7)等距离.19.（本小题满分12分）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （III ）今后最多还能砍伐多少年？{}0822>-+=x x x B ()R A C B )(B A C ⊇a 14220.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆ 折起，使A 移到1A点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC ．（Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（III ）求点C 到平面1A BD 的距离． 21．（本小题满分12分）如图，已知圆心坐标为的圆M 与x 轴及直线y =分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y =分别相切于C 、D 两点． （Ⅰ）求圆M 和圆N 的方程；（Ⅱ）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．22.（本小题满分12分）已知函数1()()2x f x =, 其反函数为().y g x =（Ⅰ） 若)12(2++x mx g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围；DCAB OA 1（Ⅱ） 当[]1,1x ∈-时，求函数[]2()2()3y f x af x =-+的最小值)(a h ； （III ） 是否存在实数2m n >>，使得函数)(x h y =的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在，求出m 、n 的值；若不存在，则说明理由．郑州市2015—2016学年上学期期末考试高一数学试题 参考答案一、选择题：1-5 BCBBD 6-10 ABCDA 11-12 DC 二、填空题 13.14．5415． 5m ≤- 16． 125三、解答题：17.解:（Ⅰ）依题意得，或，.……5分（Ⅱ）(2,4)A B = ，由于0a >则，由得2,34,a a ≤⎧⎨≥⎩所以42.3a ≤≤ (10)18. （Ⅰ）解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－3,2)代入所设方程，解得a ＝12，此时，直线方程为x ＋2y －1＝0.{}{34,4A x x B x x =-<<=<-}2x >()(3,2]RA CB =- {}3C x a x a =<<()C A B ⊇当直线过原点时，斜率k ＝－23，直线方程为y ＝－23x ，即2x ＋3y ＝0，综上可知，所求直线方程为x ＋2y －1＝0或2x ＋3y ＝0. ……6分 （Ⅱ） 解：有274072110x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得交点坐标为(1，72)，当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程是y －72=k (x －1)，即7kx －7y +(2－7k )=0，由A 、B 两点到直线l=解得k =43，当斜率k 不存在时，即直线平行于y 轴，方程为x =1时也满足条件.所以直线l 的方程是21x －28y －13=0或x =1. ……12分19.解：（Ⅰ）设每年降低的百分比为(01)x x <<． 则，即，解得. ……4分（Ⅱ）设经过年剩余面积为原来的，则， 即，，解得，故到今年为止，已砍伐了5年． ……8分（III ）设从今年开始，以后砍了年，则年后剩余面积为, a x a 21)1(10=-21)1(10=-x 101)21(1-=xm 2a x a m 22)1(=-2110)21()21(=m2110=m 5=m n n n x a )1(22-令≥，即≥，≥，≤，解得≤故今后最多还能砍伐15年． ……12分 20.解：（Ⅰ）∵ 1A O ⊥平面DBC ，∴ 1A O ⊥BC ，又 ∵ BC DC ⊥，1AO DC O = ，∴ BC ⊥平面1A DC ，∴ 1BC A D ⊥． ……4分（Ⅱ）∵ 1BC A D ⊥，11A D A B ⊥，1BC A B B = ，∴ 1A D ⊥平面1A BC ， 又 ∵ 1A D ⊂平面1A BD ， ∴平面1A B C⊥平面1A B D ． ……8分（III ）设C 到平面1A BD 的距离为h ，则∵ 11C A BD A DBC V V --=， ∴ 111133A BD DBC S h S AO ∆∆⋅=⋅， 又 ∵ 1A BDDBC S S ∆∆=，16824105AO ⨯==，∴ 245h =． ……12分21.解：（Ⅰ）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、NC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33， n x a )1(22-a 41n x )1(-4210)21(n 23)21(10n 23n 15故⊙N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9. ……6分（Ⅱ）由对称性可知，所求的弦长等于点过A 的直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦长，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32，则弦长为2r 2－d 2＝33. ……12分 22.解 ：（Ⅰ）12()log g x x =，2212(21)log (21)g mx x mx x ++=++定义域为R ，2210mx x ++>恒成立，所以0,440,m m >⎧⎨∆=-<⎩(1,)m ∈+∞. ……4分（Ⅱ）令11(),[,2]22x t t =∈，22223()3y t at t a a =-+=-+-， 当2,2a t >=时，min 74.y a =-当2,2a t >=时，min 74.y a =- 当2,2a t >=时，min 74.y a =-274,21()3,22131,42a a h a a a a a ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩. ……8分（III ）()74,(2,)h x x x =-∈+∞，且()h x 在(2,)x ∈+∞上单调递增.所以22()74,()74,h n n m h m m n ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩两式相减得，4m n +=，与2m n >>矛盾，所以不存在,m n满足条件. ……12分。