第5课：三角函数及其应用
三角函数的应用ppt课件
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
三角函数的应用课件
三角函数的应用课件三角函数是数学中常见的一类函数，广泛应用于各个领域。
本篇课件将介绍三角函数的应用，帮助学生更好地理解和掌握三角函数的概念与应用。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，表示角度和对应的正弦值之间的关系。
正弦函数的定义域是实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数余弦函数也是三角函数中的一种，表示角度和对应的余弦值之间的关系。
余弦函数的定义域是实数集，值域也在[-1, 1]之间。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示角度和对应的正切值之间的关系。
正切函数的定义域是实数集，但是存在着一些特殊点，需注意避免除零错误。
二、三角函数的应用领域1. 几何学中的应用三角函数在几何学中有着广泛的应用。
例如，通过正弦函数和余弦函数的关系，可以求解三角形的边长和角度。
在平面和立体几何的计算中，通过利用三角函数，可以解决各种问题，如定向、长度和角度的计算。
2. 物理学中的应用三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如，在物体的运动学中，角度和位移之间的关系可以通过三角函数来描述。
此外，电路中交流电压的频率和振幅也可利用三角函数来进行计算和分析。
3. 工程学中的应用工程学中的许多问题也涉及到三角函数的应用。
在建筑、土木、机械和电气等工程领域，常常需要计算角度和距离，以及物体的运动轨迹等问题。
利用三角函数的性质，可以方便地解决这些问题。
三、常用的三角函数公式1. 三角函数的周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在一个周期内，函数的值会重复出现。
而正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的值也会重复出现。
2. 三角函数的标识通过三角函数的标识，可以将任意一个三角函数表达为其他两个三角函数的形式。
常见的三角函数标识有正弦函数的标识、余弦函数的标识和正切函数的标识等。
四、总结本课件主要介绍了三角函数的应用，包括三角函数的基本概念、应用领域、常用公式等内容。
教案三角函数的计算与应用
教案三角函数的计算与应用一、引言三角函数是数学中一门重要的学科，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本教案旨在介绍三角函数的计算方法和应用，帮助学生掌握相关知识并学会运用。
二、三角函数基本概念1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基础的一种，表示了一个角的对边与斜边之比。
常用符号为sin，计算公式为：sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数余弦函数也是一种常见的三角函数，表示了一个角的邻边与斜边之比。
常用符号为cos，计算公式为：cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的另一种常用函数，表示了一个角的对边与邻边之比。
常用符号为tan，计算公式为：tanθ = 对边/邻边。
三、三角函数的计算方法1. 使用三角表三角表是一种常用的工具，可以帮助我们快速计算三角函数的值。
通过查询对应的角度，可以得到其正弦、余弦和正切函数的数值。
2. 使用计算器现代科技的发展使得计算器成为了计算三角函数的主要工具。
可以使用计算器输入角度值，然后直接获得相应的正弦、余弦和正切函数值。
3. 利用特殊角的性质特殊角（如30°、45°、60°）的三角函数值是可以直接计算得到的，可以通过记忆这些特殊角的三角函数值，从而快速计算其他角度的三角函数。
四、三角函数的应用1. 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用。
例如，通过使用正弦函数可以计算三角形的高度、边长比例等问题，而余弦函数可以用来计算角度之间的关系。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在力学中，正弦函数可以帮助我们分析弹簧振动的运动规律，余弦函数可以用来计算物体的匀速圆周运动等。
3. 工程应用工程领域常常需要利用三角函数进行测量和计算。
例如，土木工程中，利用三角函数可以计算斜坡的高度和角度，以确保工程的安全性。
五、总结三角函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用。
通过本教案的学习，学生可以掌握三角函数的计算方法，并了解其在几何、物理和工程等领域的应用。
高中数学人教A版必修第一册 5.7三角函数的应用 ppt
+60
3
2
C.y＝50sin
2
t +60
2
3
D.y＝50sin
2
t +10
2
3
如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件，
利用三角函数知识建立数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的数学
模型——三角函数模型.
（2）由题意可知ω＝ 3 2 ＝ ，由（1）知∠MOP0＝ ，
60
10
6
∴ 所求函数的解析式为h＝ 4 sin
10
答案：（1）
（ 2 3 +2）m
t
+2.
6
（2）h＝ 4 sin
10
t
+2
6
2. ［2020·黑龙江哈三中高三期末］如图，某摩天轮上一点P在t时刻距离地面高
2
2
2
∴ h＝4.8sin(θ- )+4.8+0.8＝-4.8cos θ+5.6；
2
当0<θ≤ 时，上述解析式也成立.
2
故h与θ之间的函数解析式为h＝5.6-4.8cos θ.
（2）由题意知观览车逆时针运动的角速度是 rad/s，
30
∴ t秒转过的弧度数为 t，∴ h＝5.6-4.8cos
这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可.
（2）对于函数y＝Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0），最大值为A+b，最
小值为b-A.
部编北师大版九年级数学下册优质课件 5 三角函数的应用
AC
Rt△BDCta中n6,0 = DC
BC
∴AB=AC－taBnxC30=
x tan 60
∴x= 1 ≈43(m) tan 30
50 －
1 tan 60
25
3
某商场准备改善原有楼梯的 安全性能,把倾角由原来的40°减 至35°,已知原楼梯的长度为4m,调 整后的楼梯会加长多少?楼梯多 占多长一段地面?(结果精确到 0.01m).
则∠FDC=135°－ 9∴0°A=E4=5D°F=FC=CDsi4n2 4∴5°B=E=BC－FC－EF=BC－FC－4 2 A∴Dta=n2∠4－ABACE= 4 2
BE 24 4 2
∴∠ABC≈17°8′21″
AD
B EF C 解:(2)S梯形ABCD=(6+4320)× 72 2÷2= (m2)V=100×S梯形ABCD=712020×
∴sin∠AB=C 1
AB 2
∴∠A=30 °
2. 水库大坝的截面是梯形ABCD,其中
AD∥BC,坝顶AD=6m,
坡长CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需
多少土石料?
AD
(结果精确到0.01m3).
B
C
AD
B EF C 解:(1)如图,作AE⊥BC,DF⊥BC
A
BC
D
解:如图∠ACD=40°,∠ABD=35°,
ACR=4t△m.ACDsi中n4,0 = AD
AC
∴AD=4sin40°
Rt△ABDsi中n 35, ∴AB－
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（2） 电压值重复出现一次的时间间隔；
（3） 电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
探究二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟， 其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮， 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻 开始计时，请回答下列问题：
（1） 作出函数的图象； [答案] 函数的图象如图所示.
（3） 当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?
（4） 单摆来回摆动一次需要多长时间?
解题感悟 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单 摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置 等物理概念的意义和表示方法.
5.7三角函数的应用
学习目标
1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问
题．
2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
要点梳理
1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中
周期现象 的一种数学
模型，可以用来研究很多问题，在刻画
周期变化 规ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、预
测未来等方面发挥重要作用．
[激趣诱思] 江心屿,位于浙江省温州市区北面瓯江中游,属于中国四大 名屿.该屿风景秀丽,东西双塔凌空,映衬江心寺,历来被称 为“瓯江蓬莱”. 江心寺为全国32所观音道场之一,分前、中、后三殿,殿内槛联匾额,琳琅 满目.寺院大门两边有一著名的叠字联: “云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;潮长长,长长长,长长长消 (念‘yúnzhāocháo,zhāozhāocháo,zhāocháozhāosàn;cháochángzhǎng, chángchángzhǎng,chángzhǎngchángxiāo’).”该对联巧妙地运用了叠字 诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.
《三角函数的应用》三角函数PPT优秀教学课件
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
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探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( )A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定解析:相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.答案:C
探究一
探究二
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
延伸探究 本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全检查,且检查工作必须在海浪高度低于 米时进行,试问:海滨浴场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),由图知,可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12辨析
随堂演练
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,即12k-3<t<12k+3(k∈Z).①∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.
随堂演练
数据拟合三角函数模型问题例3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?分析:作出散点图→判断形状构建模型→求参数
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2、特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角
sinα
cosα3 3ຫໍສະໝຸດ 2 2tanα300 450 600
1 2
2 2 3 2
3 2
1
3
1 2
巩固练习： 巩固练习：
一、广东真题(P74)：5 广东真题 ： 解：在Rt△BCD中， △ 中 CD ∵ sin ∠CBD = BC 0 3 ∴ CD = 30×sin 60 = 30× = 15 3 2 ∴ CE = CD + DE = 15 3 +1.5 ≈ 27.（米） 5 答：略. 备考演练： 二、备考演练：1---6、8 、 1-3：CCC ：
初中数学基础过关
第四章 图形与几何
第5、6课：三角函数及其应用
锐角三角函数： 锐角三角函数：
1、锐角三角函数： 、锐角三角函数：
∠A的对边 斜边 余弦： 余弦： cos A = ∠A的邻边 斜边 正切： tan A = ∠A的对边 正切： ∠A的邻边
正弦： 正弦： sin A =
注意： 注意：要能够熟练地对关系式 进行变形： 进行变形： 1、求角：先求比值，再确定角 、求角：先求比值， 的度数，通常是特殊角。 的度数，通常是特殊角。 2、求边：求分子，用乘法； 2、求边：求分子，用乘法；求 分母，用除法。 分母，用除法。
如下图，知道AB 如何求CD AB， CD？ 基本图形： 如下图，知道AB，如何求CD？
C ? A 450 D C ? A 450 D C ? 600 B D 300 A A 300 B 600 600 B ? 600 450 D B A C ? D 300 B C ? 450 D C B 300 A
巩固练习： 巩固练习：
P80 备考演练： 备考演练：第1---7题 题
1—3：CBC 3 4、1/2 5、12 6、100 7、有触礁危险。 有触礁危险。
3 3 提示：过点P PC⊥AB，垂足为C 求得PC= 提示：过点P作PC⊥AB，垂足为C，求得PC= 2
≈2.6 ＜3
锐角三角函数的应用： 锐角三角函数的应用：
一、几个概念： 几个概念： 1、铅直高度与水平宽度 、 铅直高度 2、坡角与坡度： 、坡角与坡度：
铅直高度 i = tan a = 水平宽度
α
水平宽度
3、仰角与俯角 、
仰角 俯角
【考点1】从实际问题中抽象出一个直角三角 考点 】 形的情形 如P74 第5题 题 【考点2】从实际问题中抽象出两个直角三角 考点 】 形的情形 例题2 如P77 例题
5 4、 、 5
5、600 6、300 、 、
8、答案：3/4 、答案： 提示：易证∠ 提示：易证∠BCD=∠A，所以 ∠ ， tan∠BCD=tan∠A=BC/AC ∠ ∠ 当然，本题也可以利用三角形相似求出CD和 当然，本题也可以利用三角形相似求出 和 BD的长，直接求 的长， 的值. 的长 直接求tan∠BCD的值 ∠ 的值