人教a版必修4学案：1.3三角函数的诱导公式(1)(含答案)
人教a版必修4学案：1.3三角函数的诱导公式(2)(含答案)
③
13
sin α－cos α＝ 173，
④
③＋④得
sin
α＝1123， ③ －④ 得
cos
α＝
5 13.
课时作业
1． A [ f(cos 10 )＝°f(sin 80 ) ＝°cos 240 °
＝
cos(180
°＋ 60°)＝－
cos
60
°＝－
1 2.]
2． A
[
∵
sin( 3π＋ α) ＝－
sin
θ)(cos2θ－ sin
θcos
2
θ＋sin θ)
＝
7× 2
3 1－8
＝
57 16 .
变式训练 3 解 sin － π2－ α＝－ cos α，
cos － 52π－α ＝cos 2π＋ π2＋ α ＝－ sin α.
∴ sin α·cos α＝16609，即
2sin
α·cos
α＝
120 169.
①
2．诱导公式五～六的记忆 ππ 2－ α， 2＋α的三角函数值，等于 α的 ________三角函数值，前面加上一个把 角时原函数值的 ________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
α看成锐
自主探究 在 α终边上取一点 P(x， y)，在 π2－ α终边上也取一点 P′ (x′， y′ )，且 |OP|＝ |OP′ |＝
∴ x′ ＝ y， y′ ＝ x，
∴ sin
π2－
α＝
y′ ＝
r
x r
＝ cos α；
cos π2－ α＝ x′r ＝ yr ＝ sin α.
对点讲练
例1
解
∵ 23π－ α＝π2＋
浙江省宁波市鄞州区咸祥中学2014高中数学 1.3 三角函数的诱导公式学案(1)新人教A版必修4
浙江省宁波市鄞州区咸祥中学2014高中数学 1.3 三角函数的诱导公式学案（1）新人教A 版必修4学习目标:1.理解三角函数诱导公式的推导方法；2.会应用三角函数的诱导公式进行简单三角式的求值、化简、恒等式的证明.一、复习同角三角函数关系与诱导公式一1.同角三角函数的基本关系 ①.________________ ②. ________________2.诱导公式一3.各三角函数的值在四个象限内的符号4.求解并记忆下列特殊角的三角函数值二、诱导公式二~四的推导1.设角βαβα≠∈,,R ，在直角坐标系中绘制下列情况时βα,终边，写下你的结论. ① απβ+=,β的终边与α的终边关于__________________； ② αβ-=, β的终边与α的终边关于__________________；③ απβ-=,β的终边与α的终边关于__________________；2.分析βα,终边与单位圆的交点，表示出它们的三角函数，探究结论.为了记忆方便，观察诱导公式一~四，你发现了什么特点？总结：________________________________________ 练习1：已知α为锐角,快速判断下列角的象限. 1.πα- ___________ 2.απ-2___________ 3.23πα+____________ 例1.利用公式求下列三角函数值 1.225cos 2.311sin π 3.⎪⎭⎫⎝⎛-π316sin 4.)2040cos( -利用公式一~四转化任意角的三角函数的步骤：练习2. 求下列三角函数值1.）（420-cos 2.67sinπ 3.()1300sin - 4.)679cos(π-例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--⋅--+⋅+思考：将α看作锐角时， 180--α为第___象限角，与)180sin(--α化简结果有何联系？练习3.化简：1.)180sin()cos()180sin(---+ααα 2.)3tan()6cos()sin(πααπα--+-作业（39）三角函数的诱导公式 姓名 班级1. 求解并记忆下列特殊角的三角函数值2. 已知α是任意角，下列等式不成立的是（ ）A. ααπsin )sin(=-B. ααπtan )tan(=+C. ααsin )sin(=-D. ααcos )cos(=- 3.若角A,B,C 是三角形的三个内角，则=+)sin(B A （ ） A.C sin B. C sin - C.C cos D.C tan 4.函数 Z x xx f ∈=,3cos)(π的值域是（ ）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,21,0,21,1 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,21,21,1 C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,23,0,23,1 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,23,23,1 6.已知,33)6cos(=-απ求)6(sin )65cos(2πααπ--+的值.7.化简()()()())23(2cos 12cos 12cos 12cos 1παπαπαππααπ<<---++-++-8.已知α是第三象限角，且()()()()()αππααπαπαπα-+----=3sin tan 6cos sin 2tan )(f1)化简)(αf ； 2)若53sin -=α，求)(αf ； 3）若πα331-=，求)(αf。
高一数学人教A版必修四教案：三角函数的诱导公式(一) Word版含答案
1.3 三角函數的誘導公式一、教材分析（一）教材的地位與作用：1、本節課教學內容“誘導公式（二）、（三）、（四）”是人教版數學4，第一章1、3節內容，是學生已學習過的三角函數定義、同角三角函數基本關係式及誘導公式（一）等知識的延續和拓展，又是推導誘導公式（五）的理論依據。
2、求三角函數值是三角函數中的重要問題之一。
誘導公式是求三角函數值的基本方法。
誘導公式的重要作用是把求任意角的三角函數值問題轉化為求0°～90°角的三角函數值問題。
誘導公式的推導過程，體現了數學的數形結合和歸納轉化思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式。
這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大的意義。
（二）教學重點與難點：1、教學重點：誘導公式的推導及應用。
2、教學難點：相關角邊的幾何對稱關係及誘導公式結構特徵的認識。
二、教學目標1、知識與技能（1）識記誘導公式．（2）理解和掌握公式的內涵及結構特徵，會初步運用誘導公式求三角函數的值，並進行簡單三角函數式的化簡和證明．2、過程與方法（1）通過誘導公式的推導，培養學生的觀察力、分析歸納能力，領會數學的歸納轉化思想方法．（2）通過誘導公式的推導、分析公式的結構特徵，使學生體驗和理解從特殊到一般的數學歸納推理思維方式．（3）通過基礎訓練題組和能力訓練題組的練習，提高學生分析問題和解決問題的實踐能力．3、情感態度和價值觀（1）通過誘導公式的推導，培養學生主動探索、勇於發現的科學精神，培養學生的創新意識和創新精神．（2）通過歸納思維的訓練，培養學生踏實細緻、嚴謹科學的學習習慣，滲透從特殊到一般、把未知轉化為已知的辨證唯物主義思想．三、教學設想三角函數的誘導公式（一）（一）創設問題情景，引導學生觀察、聯想，導入課題I 重現已有相關知識，為學習新知識作鋪墊。
1、提問：試敘述三角函數定義2、提問：試寫出誘導公式（一）3、提問：試說出誘導公式的結構特徵4、板書誘導公式（一）及結構特徵：誘導公式（一）結構特徵：①終邊相同的角的同一三角函數值相等②把求任意角的三角函數值問題轉化為求0°～360°角的三角函數值問題。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《三角函数的诱导公式 一》(含答案解析)
三角函数的诱导公式（一）学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α).知识点一诱导公式二思考：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？知识点二诱导公式三思考：角-α的终边与角α的终边有什么关系？角-α的终边与单位圆的交点P2(cos(-α)，sin(-α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？知识点三诱导公式四思考：角π-α的终边与角α的终边有什么关系？角π-α的终边与单位圆的交点P3(cos(π-α)，sin(π-α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函之间有什么关系？梳理：公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，-α，π-α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，-α，π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题例1：求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°； (2)sin 11π4； (3)sin(-43π6)； (4)cos(-1 920°).反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1：求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan(-945°).命题角度2 给值求角问题例2：已知sin(π＋θ)=-3cos(2π-θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.- π6B.- π3C.π6D.π3反思与感悟：对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角. 跟踪训练2：已知sin(π-α)=-2sin(π＋β)，3cos(-α)=-2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.类型二 利用诱导公式化简 例3：化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：tan (nπ－α)sin (nπ－α)cos (nπ－α)cos[α－(n ＋1)π]·si n[(n ＋1)π－α](n∈Z)，请化简.反思与感悟 三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1=sin 2α＋cos 2α=tan π4.跟踪训练3 化简下列各式.(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1.sin 585°的值为( )A.-22B.22C.-32D.322.cos(-16π3)＋sin(-16π3)的值为( )A.-1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123.已知cos(π-α)=32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( )A.12B.33C.- 3D.-334.化简：sin 750°= .5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α-2π)·cos(2π-α).1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”课时作业一、选择题1.cos 600°的值为( )A.32B.12C.- 32D.- 122.若cos(π＋α)=-12，32π<α<2π，则sin(α-2π)等于( )A.12 B .±32 C.32 D.-323.记cos(-80°)=k，那么tan 100°等于( )A.1－k 2kB.-1－k 2k C.k 1－k 2 D.-k 1－k 24.已知n 为整数，化简sin (nπ＋α)cos (nπ＋α)所得的结果是( )A.tan nαB.-tan nαC.tan αD.-tan α5.tan(5π＋α)=m，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C.-1D.16.若sin(π-α)=log 8 14，且α∈(-π2，0)，则cos(π＋α)的值为( )A.53 B.- 53 C.±53D.以上都不对二、填空题7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是 .8.已知a=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b=cos 23π4，c=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 .并比较值的大小9.已知cos(π＋α)=-35，π<α<2π，则sin(α-3π)＋cos(α-π)= .10.已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)=3，则f(2 017)的值为 .11.已知sin(π-α)=log 814，且α∈(-π2，0)，则tan(2π-α)的值为 .12.已知cos(508°-α)=1213，则cos(212°＋α)= .三、解答题13.化简下列各式.(1)sin(-193π)cos 76π； (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°).四、探究与拓展14.已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧sin πx，x<0，f (x －1)－1，x>0，则f(- 116)＋f(116)的值为 .15.已知f(α)=sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α-π)=15，求f(α)的值；(3)若α=-31π3，求f(α)的值.答案解析知识点一 诱导公式二 答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P 1与P 也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：知识点二 诱导公式三 答案：角-α的终边与角α的终边关于x 轴对称，P 2与P 也关于x 轴对称，它们的三角函数关系如下：知识点三 诱导公式四 答案：角π-α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下：类型一 利用诱导公式求值 例1：解：(1)cos 210°=cos(180°＋30°)=-cos 30°=-32. (2)sin 11π4=sin(2π＋3π4)=sin 3π4=sin(π-π4)=sin π4=22.(3)sin(-43π6)=-sin(6π＋7π6)=-sin 7π6=-sin(π＋π6)=sin π6=12. (4)cos(-1 920°)=cos 1 920°=cos(5×360°＋120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-12.跟踪训练1：解： (1)方法一:sin 1 320°=sin(3×360°＋240°)=sin 240°=sin(180°＋60°)=-sin 60°=-32. 方法二：sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-32. (2)方法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6=cos 31π6=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6=cos(π＋π6)=-cos π6=-32.方法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6=-cos π6=-32.(3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°＋2×360°) =-tan 225°=-tan(180°＋45°)=-tan 45°=-1.命题角度2 给值求角问题 例2：答案为：D ；解析：由sin(π＋θ)=-3cos(2π-θ)，|θ|<π2，可得-sin θ=-3cos θ，|θ|<π2，即tan θ=3，|θ|<π2，∴θ=π3.跟踪训练2：解：由题意，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α=2，即sin 2α＋3(1-sin 2α)=2，∴sin 2α=12，∴sin α=±22.∵0<α<π，∴sin α=22，∴α=π4或α=34π. 把α=π4，α=34π分别代入②，得cos β=32或cos β=-32.又∵0<β<π，∴β=π6或β=56π.∴α=π4，β=π6或α=34π，β=56π.类型二 利用诱导公式化简 例3：解：(1)原式=sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)=－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α=-sin αcos α=-tan α.(2)原式=1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)=1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°=|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°=sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°=-1. 引申探究解：当n=2k 时，原式=－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α=-tan α；当n=2k ＋1时，原式=－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)=-tan α.跟踪训练3 化简下列各式.解：(1)原式=－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)=cos α·sin αsin α·cos α=1.(2)原式=cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]=－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]=－sin 30°－tan 45°=12.1.答案为：A ；解析：sin 585°=sin(360°＋225°)=sin(180°＋45°)=-sin 45°=-22. 2.答案为：C ；解析：原式=cos 16π3-sin 16π3=cos 4π3-sin 4π3=-cos π3＋sin π3=3－12.3.答案为：D ；解析：方法一：cos(π-α)=-cos α=32，∴cos α=-32.∵π2<α<π，∴sin α>0.∴sin α=1－cos 2α= 1－34=12，∴tan(π＋α)=tan α=sin αcos α=-33.方法二：由cos α=-32，π2<α<π，得α=56π， ∴tan α=-33，∴tan(π＋α)=tan α=-33. 4.答案为：12；解析：∵sin θ=sin(k·360°＋θ)，k∈Z，∴sin 750°=sin(2×360°＋30°)=sin 30°=12.5.解：原式=cos (π－α)sin (π＋α)·[-sin(2π-α)]·cos(2π-α)=－cos α－sin α·sin α·cos α=cos 2α. 课时作业1.答案为：D ；解析：cos 600°=cos(360°＋240°)=cos 240°=cos(180°＋60°)=-cos 60°=-12.2.答案为：D ；解析：由cos(π＋α)=-12，得cos α=12，故sin(α-2π)=sin α=-1－cos 2α=-1－(12)2=-32(α为第四象限角).3.答案为：B ；解析：∵cos(-80°)=k，∴cos 80°=k，∴sin 80°=1－k 2，则tan 80°=1－k 2k .∴tan 100°=-tan 80°=-1－k 2k.4.答案为：C ；解析：当n=2k ，k∈Z 时，sin (nπ＋α)cos (nπ＋α)=sin (2kπ＋α)cos (2kπ＋α)=sin αcos α=tan α；当n=2k ＋1，k∈Z 时，sin (nπ＋α)cos (nπ＋α)=sin (2kπ＋π＋α)cos (2kπ＋π＋α)=sin (π＋α)cos (π＋α)=－sin α－cos α=tan α.故选C. 5.答案为：A ；解析：∵tan(5π＋α)=tan α=m，∴原式=sin α＋cos αsin α－cos α=tan α＋1tan α－1=m ＋1m －1.6.答案为：B ；解析： ∵sin(π-α)=sin α=log 32 2-2=-23，∴cos(π＋α)=-cos α=-1－sin 2α=-53.7.答案为：2-2；解析 原式=cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)=cos 225°sin 135°－sin 210°=cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)=－cos 45°sin 45°＋sin 30°=－2222＋12=2-2.8.答案为：b ＞a ＞c ；解析：∵a=-tan 7π6=-tan π6=-33，b=cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4=cos π4=22，c=-sin 33π4=-sin π4=-22， ∴b＞a ＞c.9.答案为：15；解析：∵cos(π＋α)=-cos α=-35，∴cos α=35，又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α=-45.∴sin(α-3π)＋cos(α-π)=-sin(3π-α)＋co s(π-α) =-sin(π-α)＋(-cos α)=-sin α-cos α=-(sin α＋cos α)=-⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35=15.10.答案为：-3；解析：∵f(4)=asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)=asin α＋bcos β=3， ∴f(2 017)=asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) =asin(π＋α)＋bcos(π＋β) =-asin α-bcos β =-3.11.答案为：255；12.答案为：1213；13.解：(1)sin(-193π)cos 76π=-sin(6π＋π3)cos(π＋π6)=sin π3cos π6=34.(2)sin(-960°)cos 1 470°-cos 240°sin(-210°)=-sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=1.14.答案为：-2；解析：因为f(-116)=sin(-11π6)=sin(-2π＋π6)=sin π6=12； f(116)=f(56)-1=f(-16)-2=sin(-π6)-2=-12-2=-52，所以f(-116)＋f(116)=-2. 15.解：(1)f(α)=－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α=-cos α. (2)∵sin(α-π)=-sin α=15，∴sin α=-15.又α是第三象限角， ∴cos α=-265.∴f(α)=265. (3)∵-31π3=-6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3=-cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3=-cos 5π3=-cos π3=-12.。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
1.3三角函数的诱导公式(一) 课件(人教A版必修4)
知识点 2 化简三角函数式或证明三角恒等式 tan2π－αsin－2π－αcos6π－α 【例 2】 求证： ＝－tan α. cosα－πsin5π－α 思路点拨： 运用诱导公式把各三角函数都转化为 α 的三角函数值．
自学导引 1．公式一是说，2kπ＋α(k∈Z)与 α 的三角函数值______ 相等 ，即 终边相同的角的三角函数值相等， 应用公式一可以将任意角的三角 函数化为______ [0,2π) 的三角函数．
sin α；cos(π＋α)＝ － cos α ； 2．公式二：sin(π＋α)＝－ ______ ______ tan α tan(π＋α)＝______. 公式三：sin(－α)＝________ －sin α ；cos(－α)＝________ cos α ； －tan α tan(－α)＝________. sin α ；cos(π－α)＝－cos α； 公式四：sin(π－α)＝______ tan(π－α)＝ ______. － tan α
π π 解：存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．理由如下：
π sin3π－α＝ 2cos －β， sin α＝ 2sin β， 2 由 得 3cos α＝ 2cos β， 3cos－α＝－ 2cosπ＋β， 1 2 2 2 两式平方相加得 sin α＋3cos α＝2，得到 sin α＝2，即 sin α＝ π π 2 π π π ± 2 .因为 α∈ －2，2 ，所以 α＝4或 α＝－4.将 α＝4代入 3cos α＝ 3 π π 2cos β，得 cos β＝ 2 ，由于 β∈(0，π)，所以 β＝6.将 α＝－4代入 1 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－2，由于 β∈(0，π)，这样的角 β 不存 π π 在．综上可知，存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
三角函数诱导公式(人教A版)(含答案)1
三角函数诱导公式（人教A版）一、单选题(共15道，每道6分)1.已知，，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式2.，，则的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式3.若，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式4.已知，且为第四象限角，则为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式5.诱导公式=( )（其中）A. B.C. D.与的值为奇偶数有关答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式6.已知，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式7.若，那么( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式8.已知，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式9.若，则( )A. B.C.0D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式10.若，则的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式11.已知，则( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式12.已知，为锐角，则=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式13.的值是( )A.1B.-1C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式14.的值是( )A. B.45C.44D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式15.在△中，已知，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的诱导公式。
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1.3三角函数的诱导公式(一)自主学习知识梳理1．设α.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________.自主探究你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？对点讲练知识点一给角求值问题例1求下列各三角函数值．(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6；(3)tan 945°.回顾归纳此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．变式训练1求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值．知识点二 给值求值问题例2 已知sin (3π－α)cos (3π－α)＝2，求sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值．回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．变式训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， 求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．知识点三 化简三角函数式例3 化简：sin (－2π－θ)cos (6π－θ)tan (2π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k (k 为整数)一般需按k 的奇、偶性分类讨论．变式训练3 化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)(其中k ∈Z )．1．2.这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.课时作业一、选择题1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A ．tan nα B ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α3．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k 1－k 24．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－5π)cos (π＋α)的值为( ) A ．m B ．－m C ．－1 D ．15．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53 C ．±53D ．以上都不对二、填空题6．sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋2sin 5π3＋3sin 2π3＝______. 7．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是________． 8．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 009)＝1，则f (2 010)＝________.三、解答题9．若cos(α－π)＝－23， 求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.§1.3 三角函数的诱导公式(一)答案知识梳理1.2.(1)sin α cos α (2)－sin α －cos α tan α(3)－sin α cos α －tan α(4)sin α －cos α －tan α自主探究解 设P (x ，y )为角α终边上任一点，∵角α与π＋α终边关于原点对称．∴P (x ，y )关于原点的对称点P ′(－x ，－y )位于角π＋α的终边上．∴|OP ′|＝|OP |＝x 2＋y 2＝r .由任意角三角函数的定义知：sin(π＋α)＝－y r＝－sin α， cos (π＋α)＝－x r＝－cos α， tan(π＋α)＝－y －x ＝y x＝tan α. 借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四．对点讲练例1 解 (1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32；(2)cos47π6＝cos(11π6＋6π)＝cos 11π6＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32； (3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.变式训练1 解 原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°) ＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝－32×32＋12×12＋1 ＝12. 例2 解 ∵sin (3π－α)cos (3π－α)＝2， ∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2.∵sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝1－2－2－1＝13. 变式训练2 解 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－33－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫332 ＝－33－23＝－2＋33. 例3 解 原式＝－sin (2π＋θ)·cos θ·(－tan θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝sin θ·cos θ·tan θ(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θ·cos θ·tan θsin θ·cos θ＝tan θ变式训练3 解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1.∴上式的值为－1.课时作业1．A [sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－22.] 2．C [若n 为偶数，则原式＝sin αcos α＝tan α； 若n 为奇数，则原式＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝tan α.] 3．B [∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.] 4．A [∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴tan α＝m .原式＝－sin α－cos α＝tan α＝m .] 5．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53.] 6．0解析 原式＝－sin π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＋3sin 2π3＝－32－2×32＋3×32＝0. 7．－1解析 原式 ＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (2×360°＋70°)＝1－2sin 110°cos 70°cos 70°－sin 70° ＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝－1.8．3解析 f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1.∴a sin α＋b cos β＝1.f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3.9．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，则原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，则原式＝52. 10．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．。