收敛的充分条件
11-2正项级数及其审敛法
(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时
柯西收敛原理证明
柯西收敛原理证明柯西收敛原理是数学分析中非常重要的一个定理，它是用来判断一个数列是否收敛的方法之一。
在实际的数学问题中，柯西收敛原理有着广泛的应用，特别是在实数系和函数空间中的收敛性判断上。
那么，什么是柯西收敛原理呢？它是如何证明的呢？本文将对柯西收敛原理进行详细的介绍和证明。
首先，我们来看一下柯西收敛原理的表述，对于一个实数列{an}，它收敛的充分必要条件是，对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n，m>N时，|an am|<ε成立。
这个表述的意思是，如果一个数列收敛，那么它的后项和前项的差值会越来越小，最终趋于0。
这就是柯西收敛原理的核心思想。
接下来，我们来证明柯西收敛原理。
首先，我们假设数列{an}收敛，即存在实数A，使得当n趋于无穷大时，an趋于A。
那么对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，|an A|<ε/2成立。
同样地，对于同一个ε>0，存在自然数M，使得当m>M时，|am A|<ε/2成立。
现在我们取K=max{N, M}，那么当n，m>K时，|an am|<=|an A| + |A am|<ε/2 + ε/2=ε，这就证明了柯西收敛原理的充分性。
然后，我们来证明柯西收敛原理的必要性。
假设数列{an}满足柯西收敛原理的条件，即对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n，m>N时，|an am|<ε成立。
我们需要证明{an}收敛。
由于{an}满足柯西收敛原理的条件，对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，|an am|<ε/2成立。
这说明{an}是柯西数列，而柯西数列必定收敛，所以{an}收敛。
综上所述，柯西收敛原理的充分性和必要性均得到了证明。
这个定理在实际中有着广泛的应用，特别是在实数系和函数空间中的收敛性判断上。
通过对柯西收敛原理的理解和掌握，我们可以更好地解决实际问题，提高数学分析能力。
正项级数收敛乘收敛
正项级数收敛乘收敛摘要：一、正项级数收敛与乘积收敛的概念1.正项级数收敛2.乘积收敛二、正项级数收敛与乘积收敛的关系1.两个正项级数收敛的充分必要条件2.正项级数乘积收敛的充分必要条件三、正项级数收敛与乘积收敛的性质1.乘积收敛级数的性质2.收敛级数乘积的性质四、正项级数收敛与乘积收敛的例子与证明方法1.例子2.证明方法正文：一、正项级数收敛与乘积收敛的概念正项级数收敛，是指正项级数{a_n}的各项非负，且满足lim (n→∞) a_n = 0，即当n 趋向于无穷大时，级数{a_n}的各项逐渐减小，并最终趋于零。
而乘积收敛，是指正项级数{a_n}的各项非负，且满足lim (n→∞) a_n^2 = 0，即当n 趋向于无穷大时，级数{a_n}的各项的平方逐渐减小，并最终趋于零。
二、正项级数收敛与乘积收敛的关系1.两个正项级数收敛的充分必要条件如果两个正项级数{a_n}和{b_n}都收敛，那么它们的乘积{c_n}，即{c_n = a_n * b_n}也收敛。
而如果它们的乘积{c_n}收敛，那么这两个正项级数{a_n}和{b_n}也都收敛。
2.正项级数乘积收敛的充分必要条件如果一个正项级数的乘积收敛，那么这个正项级数本身也收敛。
而如果一个正项级数收敛，那么它的乘积也收敛。
三、正项级数收敛与乘积收敛的性质1.乘积收敛级数的性质如果一个正项级数的乘积收敛，那么这个级数中的每一项都必须是非负的。
此外，如果一个正项级数的乘积收敛，那么这个级数收敛的充要条件是它的每一项都小于等于1。
2.收敛级数乘积的性质如果一个正项级数收敛，那么它的乘积也收敛。
此外，如果两个正项级数都收敛，那么它们的乘积也收敛。
四、正项级数收敛与乘积收敛的例子与证明方法1.例子例如，级数1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，这是一个正项级数，也是乘积收敛的。
2.证明方法对于正项级数收敛的证明，我们可以使用比较判别法、根判别法和积分判别法等。
正项级数收敛的充分必要条件
正项级数收敛的充分必要条件
正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。
即，如果正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，那么它的部分和数列
$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$是有界的，反之亦然。
证明：
假设正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则依据级数收敛的定义，其部分和数列$S_n$满足：
$$\lim_{n\rightarrow \infty}
S_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$$。
即$S_n$是有界的。
反之，如果$S_n$是有界的，则存在正常数$M$，使得对于任意的
$n$都有$S_n\leq M$。
考虑级数的部分和与其后一项之间的关系：$$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\geq 0$$。
因为级数是正项级数，所以$a_{n+1}\geq 0$。
结合上面的不等式，得到：
$$S_{n+1}\geq S_n$$。
由此可知，$S_n$是单调不降的序列，而且由于它有界，所以它必定收敛。
这说明正项级数收敛。
综上所述，正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。
高数 第十一章 无穷级数12.2
n
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n 1 n
1 2
(
n
)2
1 2
2
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
lim
n
nun
l
0(或
lim
n
nun
)
,
则级数un n1
发散
(2)如果 p1,
而
lim
n
n
pun
l
(0 l
)
,
则级数un n1
收敛.
例 11
判定级数 n1
n 1(1 c
os
n
)
的收敛性.
3
3
解:
因为
lim
n
n
2
un
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n1 1 ( )2
n 2n
3
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❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un n1
为正项级数,
如果 lim n n
un
,
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
a
例9 用根值审敛法判定级数 均为正数 的收敛性.
n 1
(
b an
)
n
其中ana(n),
an,
1 n
发散,
n
所以级数 sin 1 也发散.
n n铁1 岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
马尔可夫过程收敛性充要条件判定
马尔可夫过程收敛性充要条件判定马尔可夫过程收敛性的充要条件判定马尔可夫过程是概率论和随机过程的重要研究对象，具有广泛的应用背景和理论意义。
对于一个马尔可夫过程，我们关心的一个关键问题就是其收敛性，即在时间的推移下，过程是否会趋向于某个稳定的状态。
本文将讨论马尔可夫过程收敛性的充要条件判定。
一、马尔可夫过程的定义在开始讨论收敛性之前，我们首先回顾一下马尔可夫链的定义。
一个离散时间的马尔可夫链是一个随机过程，即一个状态序列，其中状态之间的转移概率只依赖于当前状态，而与过去的状态序列无关。
具体而言，对于一个具有N个状态的马尔可夫链，其转移概率由一个N*N的转移矩阵P来描述，其中P(i, j)代表从状态i转移到状态j的概率。
二、马尔可夫过程的收敛性马尔可夫过程的收敛性指的是在时间t趋于无穷时，过程的状态分布是否趋于稳定。
如果一个马尔可夫过程在时间的推移下趋向于某个稳定的状态分布，那么我们称这个过程是收敛的。
三、马尔可夫过程收敛性的充要条件现在我们讨论马尔可夫过程收敛性的充要条件。
充分条件：马尔可夫过程的转移概率矩阵P是一个正定的矩阵，并且存在一个稳定分布π，满足以下条件：1. π是一个非负向量，且其元素之和为1，即π满足π(i)>=0，且∑π(i)=1；2. π满足πP=π，即π乘以转移概率矩阵P的结果等于π本身。
充分条件意味着如果一个马尔可夫过程的转移概率矩阵满足以上条件，那么该过程一定是收敛的，并且其稳定分布就是π。
这种情况下，当时间趋于无穷时，过程的状态分布将趋于稳定，即收敛到π所描述的分布。
必要条件：马尔可夫过程的转移概率矩阵P是一个严格正定的矩阵。
一个矩阵被称为严格正定，如果其元素均为正数，并且对于任意的非零向量x，都满足x乘以矩阵P的结果大于0。
当马尔可夫过程的转移概率矩阵是严格正定的时，该过程一定是收敛的。
需要注意的是，充要条件和必要条件是有区别的。
充要条件是指如果一个过程满足条件，则一定是收敛的；必要条件则是指如果一个过程收敛，则其转移概率矩阵必定满足条件。
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。
无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。
收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。
无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。
无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。
绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。
比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。
无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。
7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。
无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。
正项级数的审敛法
k 1
即 un收敛. n1
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铃
(2)若 1,取正数 0,使 1, N 0,当n N时有
un1 1,
un
也即un1 un , 从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
2
N,
当n>N时, 有不等式
l 1 l un l 1 l , 2 vn 2
即
1 2
lvn
un
3 2
lvn
,
再根据比较审敛法, 即得所要证的结论.
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铃
❖定理4(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 ,
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
例
1
讨论
p级
数
n 1
1 np
( p 0) 的 收 敛 性 .
而级
数
n 1
1 n 1
发散
,
故级数 n 1
1 也发散. n(n 1)
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收敛的充分条件
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。
柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：
（1）数列
（2）数项级数
（3）函数
（4）反常积分
（5）函数列和函数项级数
每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。
数列的柯西收敛准则
收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当
时，且
，有
我们把满足该条件的{x}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{x}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
该准则的几何意义表示，数列{x}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。