(完整版)一元二次方程讲义——绝对经典实用
一元二次方程
基础知识
1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数,而且未知数的最高次数是2的方程,一般地,这样的方程都整理成为形如
ax bx c a 200++=≠()的一般形式,我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax bx c 2,,分别叫做
一元二次方程的二次项、一次项和常数项,a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如:24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 2
00++=≠(),2412
x x ,,-分别是二次项、一次项和常数项,2,-4分别是二次项和一次项系数。 注:如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时,则需要讨论字母的取值范围。 2. 一元二次方程求根方法 (1)直接开平方法
形如x m m 2
0=≥()的方程都可以用开平方的方法写成x m =±,求出它的解,这种解法称为直
接开平方法。 (2)配方法
通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥2
0()的方程,再用直接开平方法求解。
配方:组成完全平方式的变形过程叫做配方。 配方应注意:当二次项系数为1时,原式两边要加上一次项系数一半的平方,若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数,使之成为1。 (3)公式法
求根公式:方程ax bx c a 2
00++=≠()的求根公式
x b b ac a
b a
c =-±--≥224240()
步骤:
1)把方程整理为一般形式:ax bx c a 2
00++=≠(),确定a 、b 、c 。 2)计算式子b ac 2
4-的值。
3)当b ac 2
40-≥时,把a 、b 和b ac 2
4-的值代入求根公式计算,就可以求出方程的解。
(4)因式分解法
把一元二次方程整理为一般形式后,方程一边为零,另一边是关于未知数的二次三项式,如果这个二次三项式可以作因式分解,就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解,这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一元二次方程根的判别式的定义
运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=,显然只有当2
40b ac -≥时,才能直接开
平方得:
2b x a += 也就是说,一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根.这里2
4b ac -叫做一元二次方程根的判别式.
4、判别式与根的关系
在实数范围内,一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定,它的根的情况(是否有实数根)由2
4b ac ?=-确定.
设一元二次方程为
20(0)ax bx c a ++=≠,其根的判别式为:24b ac ?=-则
①0?>?方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =.
②0?=?方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根
122b
x x a ==-. ③0?
2
0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根. 若a ,b ,c 为有理数,且?为完全平方式,则方程的解为有理根;
若?为完全平方式,同时b -2a 的整数倍,则方程的根为整数根.
说明:
⑴用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用,当方程有 两个不相等的实数根时,0?>;有两个相等的实数根时,0?=;没有实数根时,0?<.
⑵在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式2
4b ac ?=-判定方程的根的情况(有两
个
不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当2
40b ac ?=-=时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根.
①当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;
②当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
5、一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用: ⑴运用判别式,判定方程实数根的个数;
⑵利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围; ⑶通过判别式,证明与方程相关的代数问题;
(4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题.
6、韦达定理
如果2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ,2x ,则12b x x a +=-
,12c
x x a =.(隐含的条件:0?≥)
特别地,当一元二次方程的二次项系数为1时,设1x ,2x 是方程2
0x px q ++=的两个根,则
12x x p +=-,12x x q ?=.
7、韦达定理的逆定理
一般地,如果有两个数1x ,2x 满足12b x x a +=-
,12c
x x a =,那么1x ,2x 必定是2
0(0)ax bx c a ++=≠的
两个根.
8、韦达定理与根的符号关系
在2
4b ac ?=-≥0的条件下,我们有如下结论:
⑴当0c a <时,方程的两根必一正一负.若0b a -≥,则此方程的正根不小于负根的绝对值;若0
b a -<,
则此方程的正根小于负根的绝对值.
⑵当0c a >时,方程的两根同正或同负.若0b a ->,则此方程的两根均为正根;若0
b a -<,则此方程的两根均为负根. 更一般的结论是
:
若1x ,2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥),且m 为实数,当0?≥时,一般地:
① 121()()0x m x m x m -->,2x m <
② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ?>,2x m >
③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ?<,2x m <
特殊地:当0m =时,上述就转化为
20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件.
其他有用结论:
⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ,b 为有理数).
⑵若0ac <,则方程2
0(0)ax bx c a ++=≠必有实数根. ⑶若0ac >,方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根. ⑷若0a b c ++=,则2
0(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =. ⑸若0a b c -+=,则
20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-.
9、韦达定理的应用
⑴已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值; ⑵已知方程,求关于方程的两根的代数式的值; ⑶已知方程的两根,求作方程;
⑷结合根的判别式,讨论根的符号特征;
⑸逆用构造一元二次方程辅助解题:当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理;
⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的?.一些考试中,往往利用这一点设置陷阱
10、整数根问题
对于一元二次方程2
0ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式2
4b ac ?=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.
方程有整数根的条件:
如果一元二次方程2
0ax bx c ++=(0)a ≠有整数根,那么必然同时满足以下条件:
⑵ 2b ak -=或2b ak -=,其中k 为整数. 以上两个条件必须同时满足,缺一不可.
另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)
11、一元二次方程的应用
1.求代数式的值;
2. 可化为一元二次方程的分式方程。
步骤:
1)去分母,化分式方程为整式方程(一元二次方程)。 2)解一元二次方程。 3)检验
3. 列方程解应用题
步骤:审、设、列、解、验、答
●夯实基础
例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数,一次项系数和常数项。 (1)272
y y =-
(2)21202
+-+=x x
(3)()()x x +-=550
(4)()()512152
y y y +-=-
(5)()m x n mx x 2
2
10++-=(是未知数)
例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程,求a 的取值范围. 板块一 一元二次方程的定义
例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零,则m 的值为_________.
●能力提升
例4 关于x 的方程k x k x 2
2
211--=()是什么方程?它的各项系数分别是什么?
例5已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程,求a 、b 的值.
例6若方程(m-1)x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m≠1 B .m≥0 C .m≥0且m≠1 D .m 为任何实数
●培优训练
例7 m 为何值时,关于x 的方程2
((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程.
例8已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程,求a 、b 的值.
例9关于x 的方程(m+3)x m2-7+(m-3)x+2=0是一元二次方程,则m 的值为
解:∵该方程为一元二次方程, ∴m 2-7=2, 解得m=±3
; 当m=-3时m+3=0,则方程的二次项系数是0,不符合题意;
所以m=3.
例10(2000?兰州)关于x 的方程(m 2-m-2)
x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是( )
A .m≠-1
B .m≠2
C .m≠-1或m≠2
D .m≠-1且m≠2
●课后练习
1、m 为何值时,关于x 的方程2
((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程.
2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程,求a 的取值范围.
3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程,求a 的取值范围.
4、若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程,求a 、b 的值.
5、若一元二次方程
222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零,则m 的值为________
●夯实基础
例1、(2012?鄂尔多斯)若a 是方程2x 2-x-3=0的一个解,则6a 2-3a 的值为( ) A .3 B .-3 C .9 D .-9 解:若a 是方程2x 2-x-3=0的一个根,则
有 2a 2-a-3=0, 变形得,2a 2-a=3,
故6a 2-3a=3×3=9.故选C .
-mx+8=0的一个解.则m 的值是( )
板块二 一元二次方程的解与解法
A .6
B .5
C .2
D .-6
解:把x=2代入方程得:4-2m+8=0, 解得m=6. 故选A
例3用直接开平方法解下列方程 (1)3902x -= (2)()x +-=2302
(3)231182
()x +=
(4)
2
2(31)85x += (5)2269(52)x x x -+=- 21)x -
例4先配方,再开平方解下列方程
(1)x x 2440--= (2)2102
y y --= (3)2372
x x =-
(4) 211
063
x x +-= (5) 231y += (6) 2250x x +-=
例5 用公式法解下列方程
(1)x x 2320-+= (2)2122
x x -=- (3)()x x +=-132
(4)(5)(7)1x x --= (5)1(61)432(2)2
x x x x ++-=+ (6)2
10x x --=
例6 用因式分解法解下列方程
(1)23302x x --= (2)24545002
x x --= (3)t t 2
2220-+=
(4)
2(23)2(31)60x x ----=. (5)223421x a ax a +=-+ (6)229(2)16(1)0x x --+=
●能力提升
例7(2011?乌鲁木齐)关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a 的值为( A ) A .-1 B .0 C .1 D .-1或1
例8关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+ax +a 2-1=0的一个根是0,则a 值为( C ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 例9方程x 2+ax+b =0与x 2+cx+d=0(a≠c )有相同的根α,则α= ______________
例10已知a、β是方程x2-2x-4=0的两个实数根,则a3+8β+6的值为(D)
A.-1 B.2 C.22 D.30
例11关于x的一元二次方程(m-2)x m^-2+2mx-1=0的根是_____ __________
例12解方程:22
-++=
(32)60
mx m x m
例13解方程22(32)60mx m x m -++=
●培优训练
例14(新思维)阅读下面的例题: 解方程:.02||2
=--x x
解:(1)当0≥x 时,原方程化为220x x --=, 解得122,1x x ==-(不合题意,舍去), (2)当0 请参照2 330x x ---=,则方程的根是_____________. 例15解方程:2 x 2x 240++-= 例16(新思维)设x 1、x 2是方程240x x +-=的两个实数根,求代数式3212510x x -+的值. 例17(新思维)先请阅读材料: 为解方程()()2 2215140x x ---+=,我们可以将21x -视为一个整体,然后设21x y -=,则()2 221x y -=, 原方程化为2540y y -+=,解得11y =,24y =. 当1y =时,211x -=,得x =4y =时,214x -=,得x =; 故原方程的解为1x =2x =3x =4x = 在解方程的过程中,我们将21x -用y 替换,先解出关于y 的方程,达到了降低方程次数的目的,这种方法叫做“换元法”,体现了转化的数学思想. 请你根据以上的阅读,解下列方程: (1)0624=--x x ; (2)01)12 1()12 1(2 =----x x . 例18已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1 =-+x x 的解相同. (1)求k 的值; (2)求方程022=-+kx x 的另一个解. 例19(新思维)若x 、y 是实数,且y x y xy x m 44642 2--+-=确定m 的最小值. 例20(新思维)已知x 、y 、z 为实数,且满足???=+-=-+3262x y x z y x ,则222z y x ++的最小值为______________. 课后练习 一、填空: 1. 一元二次方程的一般形式是______________________。 2. 一元二次方程3562 x x =+的一般形式是_________________________________,a=___________,b=___________,c=___________。 3. 关于x 的方程()m x mx ++-=12302 是一元二次方程,则m 的取值范围是___________。 4. 关于x 的方程()()m x m x m 2 2420-+-+=是一元二次方程时,m 的取值范围是___________,是一元一次方程时,m 的取值范围是___________。 二、下列方程中,是一元二次方程的为( ) A .x 2+3x=0 B .2x+y=3 C D .x (x 2+2)=0 三、用两种方法解下列方程: 1. 051402.x -= 2. 3 5 1502x -=. 3. 3112()-=x 4. x x 2 560-+= 5. x x 2 72=-+ 6. 3242 x x -= 7. x x 2 222-= 8. x x 237 4 0--= 9. 32102--=()x 10. ()x x -+-=15302 ;01||)11(2 = x x ;02)2()2)(2(2 22=--+-x x x x 四、解关于x 的方程:2(1)(21)30m x m x m -+-+-=. 五、解关于x 的方程:2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=- 六、(新思维)△ABC 中,三边,2 1,,,22224 4 4c b c a c b a c AB b AC a BC +=++===且满足试判 定△ABC 的形状 七、(新思维)设x 、y 为实数,求代数式 4284522++-+x xy y x 的最小值. ●夯实基础 例1不解方程,判断下列方程是否有实根,若有,指出相等还是不等。 (1)82525y y ()-=- (2) 2 261x x -= (3)()()a x ax a 2 2 2 1240+-++=(x 是未知数) 板块二 一元二次方程根的判别式 例2如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( ) A . 1k < B . 0k ≠ C .10k k <≠且 D . 1k > 例3已知a ,b ,c 为正数,若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是( ) A .有两个不相等的正实数根 B .有两个异号的实数根 C .有两个不相等的负实数根 D .不一定有实数根 例4若关于x 的方程kx x 2 690-+=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围。 例5求证:当a 和c 的符号相反时,一元二次方程ax bx c 2 0++=一定有两个不等实根。 例6已知a 、b 、c 是ABC ?的三边的长,且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根,试判断这个三角形的形状. ●能力提高 例7关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根,则整数a 的最大值是 . 例8m 为给定的有理数,k 为何值时,方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数? 例9k 为何值时,方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根. 例10已知关于x 的方程()()m x m x m ---++=221102 在下列情况下,分别求m 的非负整数值。 (1)方程只有一个实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有两个不相等的实数根 例11(新思维) 已知一元二次方程04)24(2 2 =+--k x k x 有两个不相等的实数根.则k 的最大整数值为____________. 例12 (新思维)如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ,∠B =90°,那么,关于x 的方程 0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是( ). A .有两个相等的实数根 B .有两个不相等的实数根 C .没有实数根 D .无法确定 ●培优训练 例13(新思维)已知关于x 的方程02)2(2 =++-k x k x (1)求证:无论k 取任何实数值,方程总有实数根; (2)若等腰三角形ABC 的一边长a =1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长. 例14(新思维) 已知函数)0(12 =/+== k kx y x y 和 (1)若这两个函数的图象都经过点(1,a ),求a 和k 的值; (2)当k 取何值时,这两个函数的图象总有公共点? 例15(新思维)若x 0是一元二次方程)0(02 =/=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=?与平方式 20)2(b ax M +=的大小关系是( ) . A .M >? B .M =? C .M D .不能确定 解:把 x 0 代 入方程ax 2+bx+c=0 中得ax 02+bx 0=-c , ∵( 2ax 0+b ) 2 =4a 2x 02+4abx 0+b 2, ∴(2ax 0+b )2 =4a ( ax 02+bx 0 )+b 2=-4ac+b 2=△ , ∴M=△. 故选B 例16(新思维)关于x 的方程a x x =-|1