边界层理论
边界层理论
x x 2 x x y x y y 2
y
U y 2 x g ( x)
g ( x)
2 x U
( x, )坐标下流函数
f ( )
f
2U x
2U
x f ( )
( x, y )
坐标下流函数
( x, y)
u y
v
U f f ' 2x
《高等流体力学》
汪志明教授
22/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯解—数值解
用数值的方法直接求解勃拉修斯方程的一些结果
0.0
f
0.0000000
f'
0.000000
f ''
0.469600
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
《高等流体力学》
v x
汪志明教授
20/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯方程
x y 0 x y
y0 y u v 0 u V
x
x x y x x y y 2
2
u
y y
不可压缩粘性流体稳定、二维层流流动N-S方程
2 x 2 x x x 1 p x y gx x 2 y 2 x y x 2 y 2 y y y 1 p x y gy 2 x 2 x y y y
0.423368
0.410565 0.395984 0.379692 0.361804 0.342487 0.321950
1.8
1.9
流体流动的边界层理论与应用
流体流动的边界层理论与应用引言流体流动是自然界中普遍存在的现象，广泛应用于各个领域，如航空航天、机械工程、气象学等。
边界层是流体流动中十分重要的概念，它描述了流动的边缘区域，包括流动的速度梯度和压力变化。
边界层理论和应用研究的目的是为了更好地理解流体流动的本质和优化相关应用。
边界层理论的基本原理边界层理论是描述流体流动的边缘区域的理论框架。
它的基本原理包括以下几个方面：粘性边界层理论中的基本假设之一是流体具有一定的粘性。
粘性导致了流体的内摩擦力和黏滞性。
在流体流动中，粘性扮演着重要的角色，影响了流动的速度分布和边界层的厚度。
动量守恒边界层的形成是由于流体在固体表面附近的动量交换。
边界层理论基于动量守恒原理，描述了流体速度的变化情况。
边界层内的速度梯度决定了局部的动量传输。
能量守恒边界层理论还基于能量守恒原理，描述了流体流动中的热传输现象。
热量可以通过边界层传递，影响流体的温度分布。
边界层理论的应用边界层理论在各个领域都有广泛的应用，以下列举了其中几个典型的应用：空气动力学在航空航天工程中，边界层理论被广泛用于研究飞行器的气动性能。
通过分析边界层的厚度和速度分布，可以评估飞行器的阻力和升力特性，并进行优化设计。
涡街流量计涡街流量计是一种常用的流量测量仪器，利用边界层理论原理实现流量的测量。
通过将流体引导到一个弯曲的管道内，使流体形成旋涡，并通过测量旋涡的频率来计算流体的流量。
边界层控制边界层控制是一种改变流动边界层结构的技术，通过控制或改变边界层内的速度分布和压力变化，可以实现对流体流动的操控。
边界层控制在飞行器设计和汽车空气动力学中有着重要的应用，可以减少阻力、增加升力以及改善气动性能。
污染扩散在大气科学中，边界层理论被用于研究大气中污染物的扩散和传输现象。
通过分析边界层内的流动特性，可以预测污染物的传播范围和浓度分布，为环境管理和污染控制提供科学依据。
结论流体流动的边界层理论是研究流体流动基本原理和应用的重要工具。
第四章 边界层理论
普兰德首先发现，当Re较 大时，边界层的厚度<<x。 可以通过比较数量级简化 方程。
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
u x u x 1 dP 2u x ux uy x y dx y 2 u x u y 0 x y
【例】沿平壁层流边界层的计算
温度为20℃的空气在常压下以5m/s的速度流过一块宽1 m的平板壁 面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层内的质量 流率，并计算这一段平板壁面的曳力系数与承受的摩擦曳力。假设 临界雷诺数Rexc=5×105。 解：
(1)判断边界层流型：20oC空气， 1.81105 Pa.s 1.205kg / m3 Re0.5 1.664 105 5 1050.5处的边界层为层流边界层
4.2曳力系数和范宁摩擦因数
圆柱体在流体中的运动：
Fd ' CD
u0
2
2
D
Fd’－流体对圆柱体所施加的总曳力（drag force） u0－圆柱体的运动速度 CD－曳力系数（drag coefficient） D－圆柱体的直径 球体或其他形状的物体在流体中的运动 u0 2 2 Fd Fd CD A CD 2 u0 2 A A－物体在垂直于它的运动方向的平面上的投影面积 流体在圆管中流动所受到的摩擦阻力，习惯上采用范宁摩擦因数： τs－流体流过管壁的剪应力 2 s f= f－Fanning friction factor ub2 ub－流体的主体流速
递过程和质量传递过程有着密切的关系。
边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。 边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。 边界层的形成： 壁面处流体的“不滑脱”no-slip 流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ U＝00.99 U0
边界层理论
1•边界层理论概述 (1)1.1边界层理论的形成与发展 (1)1.1.1边界层理论的提出 (1)1.1 边界层理论存在的问题 (2)1.2边界层理论的发展 (2)2边界层理论的引入 (3)3边界层基础理论 (4)3.1边界层理论的概念 (4)3.2边界层的主要特征 (6)3.3边界层分离 (7)3.4层流边界层和紊流边界层 (9)3.5边界层厚度 (10)3.5.1排挤厚度 (11)3.5.2动量损失厚度 (11)3.5.2能量损失厚度 (12)4边界层理论的应用 (14)4.1边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用 (14)4.2边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用 (14)4.3基于边界层理论的叶轮的仿真 (15)参考文献 (17)1.边界层理论概述1.1边界层理论的形成与发展1.1.1边界层理论的提出经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。
虽然很早人们就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘性直接对阻力的贡献是不大的。
但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“ D'Alembert之谜”。
在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff ，Helmholtz，Rayleigh等人的尝试也都失败了。
经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。
诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。
一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。
粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。
当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。
边界层理论
0
eue dy eue
其中， ue 为边界层外缘速 度。由于粘性的存在，实 际流体通过的质量流量为
0
u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。上述两部 份流量之差是
0
( eu e u)dy
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这就是设想各点皆以外流速度流动时比实际流量多
位流区
边界层
流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流方程
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 2. 平壁面上边界层方程 根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程 组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动 ，连续方程和N-S方程为：
个典型的例子。 那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物
体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学 发展的难题。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 直到1904年流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通
过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在
靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相 差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无 法忽略。 Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄 层称为边界层（Boundary layer）。
第5章下
边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系 的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表 示为: 惯性力:
边界层理论
边界层理论边界层理论始于20世纪50年代，是一种以社会学中的社会心理学为基础的理论。
由于受到社会中的文化差异的影响，社会的边界层不同于一般的社会结构，它是一种身份认同和社会化过程的实质性结构。
其主要内容包括边界层的组成、功能、社会定位和边界层的调整等。
边界层理论主要聚焦于社会层次之间的关系，侧重考察如何管控不同社会层次之间的实证关系，揭示边界层的特征和机理，也为不同社会层次的社会活动提供了一种新的研究框架。
边界层理论告诉我们，每一个社会都由不同的社会层次组成，而每一个社会层次都有它自己的特点，例如在国家层次，就存在不同国家之间的文化差异和经济利益分配差异；在社会机构层次，就存在社会经济地位差异等。
边界层是社会层次之间连接的桥梁，在不同层次上，边界层有着不同的功能。
首先，边界层能够承载社会分类信息，从而使每个社会层次的身份认同更加清晰，例如在民族层次上，边界层有着民族特征，即民族分类的功能，而在宗教层次上，边界层有着宗教的认同，也就是运用边界层的宗教特征来区分每一个宗教信仰。
其次，当边界层作用于不同社会层次之间时，它还具有一种吸引力，它能够将不同社会层次之间的交流促进，以此来实现平等和融合。
这种吸引力可以表现为模仿或认可他人的行为，获得他人的认可和关注，以此来拓展自身的社会地位，最终可以实现融合或社会化。
最后，边界层理论还提供了一些有效的措施来加强边界层的建设，首先，政策立法应该重视社会层次之间的不平等问题，加强社会层次之间的调整，如政府可以以财政补贴的形式来实现资源分配的公平，减少社会层次之间的不公平。
其次，政府需要加强文化教育，确保建立一种同理心的文化氛围，减少不同社会层次之间的文化冲突，从而让边界层的建设更加有效。
社会的发展和进步，不仅需要不同社会层次之间的动力，而且也需要有效的边界层，只有社会的边界层得到加强和完善，才能有效地联系不同的社会层次，推动社会的发展。
边界层理论给我们提出了一种新的观点，用于解读不同社会层次之间的联系，进而让边界层更加有效地联结不同的社会层次，从而为社会发展提供了全新的基础。
《水力学》课件——第九章 边界层理论基础
位移厚度 1
因为有了边界层，使通
y
过断面的流量比理想流体
流动时减少了
(U ux ) d y
0
δ
0.99U ux
把这些流量折合成理想
流体流动通过一个厚度 1
δ
的流量，这个厚度就叫做
1
位移厚度。
根据定义
u
1 = (1
0
x )d y U
y
0.99U
边界层使来流的流线
向外排挤了位移厚度的
δ
ux
距离，所以位移厚度也
u x (U
0
根据定义
u
2=
x (1 0U
ux) d y u x)d y U
显然, 2< 1
§9—4 平板边界层动量积分方程
对平板绕流的如图区域应用动量方程，进口断面选在平板前缘 处，出口断面离前缘距离为x，出口断面厚度为当地边界层厚度 δ(x)，进口断面厚度取为出口断面的δ(x)-δ1(x)，这样通过进 口断面和出口断面的流量是相等的，必有一条流线可以连接两 个断面的厚度，用它作为区域的上边界。
一侧摩擦力
Cf =
摩阻系数
1
D
= 1.328 el
U 2 (bl)
R 1/2
2
二.平板紊流边界层
平板紊流边界层兼有 壁面紊流和自由紊流的
① 粘性底层 0 < y+ < 5 ② 过渡区 5 < y+ < 70
性质，在边界层的外 区，流动特性与圆管紊 流有所不同。
③ 紊流区
+>
<
④ 不稳定区
y 0.4
由于平板首部转捩点前必有一段层流边界层，所以不存在全 程为紊流的边界层，只能是混合边界层。按全程为紊流边界层 的摩擦阻力计算应作修正。
边界层理论
6.95 5 10 1.965 4 0.15 10 3
3
从表12-1中，用内插法，查得
vx ' f ( ) 0.619 U
所以 Vx ＝0.619Ｕ＝4.3ｍ/ｓ
（2）按上例条件，求ｘ＝３ｍ处的边界层厚度δ
解:
按定义边界层外边界上速度 Vx=99％Ｕ
查表12-1，找出 由
v y ~
v 2v 1 y x ~ 1， ~ , 2 x y v y ~ , x 2v y ~ 2 x
v 1 x ~ y
2v 1 x ~ 2 2 y
化简后为
vx vx 2 vx 1 p vx vy x y x y 2 p 0 y v y vx 0 x y
由于f和η 均为无量纲量，且在方程及边界 条件中不显含ν 及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸 地应用。 表12-1给出问题的数值解，其中
vx f ( ) U
'
就
是边界层内无量纲的速度分布。
例7.1
本例说明上表12-1的用法。
(1)
欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）
U 可将ｘ及ｙ的值代入 y x 中得出η 值，由
LU 2
Re L
b
总摩擦阻力系数Ｃｆ由下式确定：
1.328 Cf 1 2 Re L 2 U bL
L
Rf
（12-21)
为按平板板长计算的雷诺数。算出 式中 Re Re
UL
摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况 下的摩擦阻力为：
1 2 R f C f U bL 2
(12-22)
1 p p p ( p dx)d ( p dx)( d ) 0 dx 2 x x p dx 0 dx x
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1.介绍边界层的基本概念及特点； 2.平面层流边界层微分方程及其求解； 3.平面层流边界层积分方程及其求解； 4.平板绕流摩擦阻力的计算
材料加工冶金传输原理
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边界层理论
理论形成的背景：
实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解；人 们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区域，即 靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层）和大部分远 离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯度较小的区域可 以利用理想流体的欧拉方程和伯努利方程求解；对很薄的 边界层可以通过简化后再求解。这样就将整个区域求解问 题转化为主流区的理想流体的流动问题和靠近壁面边界层 内的流动问题。当然，与此同时就有一个区域的划分问题 或者说有一个边界层厚度的确定问题。
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边界层理论
意义：粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究
理想流体流动的实际意义，在流体力学的发展中起了非 常重要的作用。
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第一节 边界层的基本概念
一、边界层的定义 边界层：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速度
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
f ( ) A2 2 1 A22 5 11 A23 8 375 A24 11 L
2! 2 5! 4 8!
8 11!
注意：层流底层和边界层的区别与联系 层流底层是根据有无脉动现象来划分；边界层则是
根据有无速度梯度来划分。边界层内的流体可以是层流 流动，也可以是作湍流流动。
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第一节 边界层理论的基本概念
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注：x
t
x
x
x
y
x
y
z
z
z
X
1
p x
2x
x2
2 x
y 2
2z
z 2
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量
力对流动产生的影响较小，则有方程组
x
y 0
x y
连续性方程
第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
一、 微分方程的建立 对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下 满足的控制方程为
x
y
0
x y
连续性方程
x
x
x
y
x
y
X
1
p
x
2x
x2
2x
y 2
x方向动量传输方程
x
y
x
y
y
y
Y
1
p yBiblioteka 2 yx22 y
y 2
y方向动量传输方程
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第一节 边界层理论的基本概念
（1）层流区： x<xc （xc为对应于Rex=2×105的流进深度。）
（ 2 ） 过 渡 区 ： 随 着 流 进 深 度 的 增 长 ， 当 x>xc ， 使 得 Rex>2×105，且 Rex<3×106时。 在这一 区 域内，边界层的厚度随着流进尺寸的增加 而迅速增加。
于是， x方向动量传输方程可简化为
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
关于y轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度δ很
小，第三式中的Vy对x和y的各项偏导数与x轴方向上的
动量传输相比均属无穷小量，可略而不计。因而，第三
式可以简化为
p 0 y
p dp x dx
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x
x
x
y
x
y
1
p x
2x
x2
2x
y 2
x
y
x
y
y
y
1
p
y
2 y
x2
2 y
y 2
x方向动量传输方程 y方向动量传输方程
因为 x 是一个无穷小量，所以 x
x
x
x
2 x
x 2
是一个高价无穷小，可以略去不计。
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
第一节 边界层理论的基本概念
当Re< Recr时，流动为层流；Re > Recr 时，流动为湍流。 对于流体掠过平板的流动，流动形态仍然可通过雷诺数来
判别，不过此时的雷诺数用 Rex=xν0ρ/η 计算。
其中：x 为流体进入平板的长度，又称进流深度；
ν0 为主流区流体速度。 对于光滑平板而言：Rex<2×10 5 时为层流；Rex>3×10 6 时为湍流；2×10 5 <Rex <3×10 6为层流到湍流的过渡区。
梯度较大的流体薄层。 边界层的厚度：流速相当于主流区速度的99%处，到固
体壁面的距离称为边界层厚度。
二、边界层的形成与特点
为什么会形成边界层？因为流体内部存在粘附力或粘性 力。
我们已经知道：流体流过管道时，其流动形态是通过雷 诺数来判别的。Re=dυρ/η
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（3）湍流区：随着流进尺寸的进一步增加，使得Rex > 3×106，这时边界层内的流动形态已进入湍 流状态，边界层的厚度随流进长度的增加而 迅速增加。
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第一节 边界层理论的基本概念
应特别强调的是：无论过渡区还是湍流区，其边界层最 靠近壁面的一层始终都是作层流运动， 此即所谓的层流底层。
第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
对主流区中的同一 y 值，不同的 x 值其伯努利方程可写为
p 02 C 2g
由于ρ与υ0皆为常数，故p为常数，即 dp/dx=0
因此
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
所以，原方程组就简化为
x
y
0
x y
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
定解条件为
y 0， 0， 0
x
y
y ，
x
0
普朗特边界层微分方程的解是由他的学生布拉修斯
在1908年首先求出的，他首先引入了流函数的概念，
得出边界层微分方程的解是一无穷级数。