北师大版必修一第三章对数函数的图像与性质
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高中数学北师大版必修一《对数函数》课件
y = Loga x(a>1)
y = Loga x (0<a<1)
图像
定义域
(0，+∞)
值域
R
单调性
增函数
过定点
（1，0）
0<x<1时，y<0 取值范围 x>1时，y>0
(0，+∞) R
减函数 （1，0） 0<x<1时，y>0 x>1时，y<0
名称 一般情势
图像
a>1 0<a<1
定义域 值域 单调性
解1：要使函数有意义：必须x+2 >0, 即x>-2， 所以loga(x+2) 的定义域 是：{x|x >-2}
解2：要使函数有意义：必须4 – x2 >0, 即-2<x＜2， 所以loga（4 – x2） 的定 义域是：(-2,2)
1、求下列函数的定义域。
2、求下列函数的定义域：
（1） y log3 (1 x) (,1)
北师大版 高中数学
对数函数的图像 和性质
（2） y log3 x
（3）y
log 7
1
1 3x
（4）
y
1 log 2
x
[1,)
(, 1) 3
(0,1) (1,)
3、比较大小。
6
（底数相同时找出对应的4对数函数）
解：对于
，如图
在定义域上递减
2
lnx fx =
ln0.5
-10
-5
5
-2
-4
（底数不同时，取特殊中间值）
第（2）题中取0， 第（3）题中取1，
北师大版 高中数学
3.2对数函数y=log2x的图象和性质课件-高一上学期数学北师大版必修第一册
零和负数没有对数
右
________边
当 x>1 时，图象位于 x
>
当 x>1 时，y____0
轴____方；
当 0<x<1 时，
上
<
当 0<x<1 时，y____0
下
图象位于 x 轴____方
y＝log2x 在(0，＋∞)上
上升
图象是________的
增
是________函数
•例4：比较下列各题中两个数的大小：
O
(1,0)
（2）
x
解：从图（1）上可以看出，点P（a,b）与点Q（b,a）
关于直线y=x对称.函数y=log2x与函数y=2x互为反函
数，对应于函数y=log2x图象上的任意一点P（a,b），
P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数y=2x图像上，
所以，函数y=log2x的图象与函数y=2x的图象关于直
1.优化设计
2.课本113A：4,5
过定点
性
同正异负
在(0,+∞)上是 增函数
在(0,+∞)上是 减函数
质
当x>1时， y>0
当x=1时， y=0
当0<x<1时，y<0
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0
当0<x<1时，y>0
1.对数函数y=log2x的图象和性质.
2.函数y=f(x)与它的反函数的图像关于直线y=x对称.
作业 ：
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
0.5
•
右
________边
当 x>1 时，图象位于 x
>
当 x>1 时，y____0
轴____方；
当 0<x<1 时，
上
<
当 0<x<1 时，y____0
下
图象位于 x 轴____方
y＝log2x 在(0，＋∞)上
上升
图象是________的
增
是________函数
•例4：比较下列各题中两个数的大小：
O
(1,0)
（2）
x
解：从图（1）上可以看出，点P（a,b）与点Q（b,a）
关于直线y=x对称.函数y=log2x与函数y=2x互为反函
数，对应于函数y=log2x图象上的任意一点P（a,b），
P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数y=2x图像上，
所以，函数y=log2x的图象与函数y=2x的图象关于直
1.优化设计
2.课本113A：4,5
过定点
性
同正异负
在(0,+∞)上是 增函数
在(0,+∞)上是 减函数
质
当x>1时， y>0
当x=1时， y=0
当0<x<1时，y<0
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0
当0<x<1时，y>0
1.对数函数y=log2x的图象和性质.
2.函数y=f(x)与它的反函数的图像关于直线y=x对称.
作业 ：
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
0.5
•
北师大版高中数学必修一课件-3.5.3对数函数的图像与性质
x2 4x 5 0 1 x 5
由 1 x 5 ,所以 在此区间内 ( x2 4 x 5)的最大值为9 所以 0 x 2 4x 5 9从而
log1 ( x2 4x 5) log1 9 2
即值3域为 [2, ) .3
例题解析
(4) y loga ( x2 x)
x
得到 log57<log47, 所以 log56>log47.
5.3 对数函数的图像 与性质
抽象概括
图像
0 <a < 1
y
a>1
y
1
o
x0
1
x
定义域 值域 单调性 奇偶性 过定点
0<x<1
x>1
x( 0,+) R
单调递减 非奇非偶
(1,0) y>0 y<0
x( 0,+) R
单调递增 非奇非偶
( 1,0 ) y< 0
y>0
抽象概括
y
3
y=log2x
2
1
y=lgx
所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域为
(1,2).
(4)因为 4x-3>0,
x>3/4
log0.5(4x-3)0, 4x-3≤
定义域为 (3/4,1].
例题解析
例 2比较下列各组中两个值的大小:
(1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=log0.5(4x-3).
解: (1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的
由 1 x 5 ,所以 在此区间内 ( x2 4 x 5)的最大值为9 所以 0 x 2 4x 5 9从而
log1 ( x2 4x 5) log1 9 2
即值3域为 [2, ) .3
例题解析
(4) y loga ( x2 x)
x
得到 log57<log47, 所以 log56>log47.
5.3 对数函数的图像 与性质
抽象概括
图像
0 <a < 1
y
a>1
y
1
o
x0
1
x
定义域 值域 单调性 奇偶性 过定点
0<x<1
x>1
x( 0,+) R
单调递减 非奇非偶
(1,0) y>0 y<0
x( 0,+) R
单调递增 非奇非偶
( 1,0 ) y< 0
y>0
抽象概括
y
3
y=log2x
2
1
y=lgx
所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域为
(1,2).
(4)因为 4x-3>0,
x>3/4
log0.5(4x-3)0, 4x-3≤
定义域为 (3/4,1].
例题解析
例 2比较下列各组中两个值的大小:
(1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=log0.5(4x-3).
解: (1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的
北师大版(2019)必修第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质 课件(共15张PPT)
注意定义域
∴ x的取值范围是（1，
+ ∞）
【变式】已知a 1,函数f x
求f x
loga x 1
0时x的取值范围.
(0,1)
loga 1 x
环节五：归纳小结，深化目标
思考:本课你学到了哪些知识？
请回忆学习过程，其中提炼了哪些方法？数学思想？
知
识
线
思
想
方
法
线
应
用
线
数形结合
图像
性质
分类讨论
特殊到一般
单
2
关于x轴对称！
由此我们可以得到又一对称规则：
y
f x 与y
f x 图象关于x轴对称
环节二：自主动手，绘出图象
尝试在同一直角坐标系中分别画出y log 2 x、
y log 1 x、y log3 x、y log 1 x的图象
2
3
y
y
log 2 x
y
o
1
log 3 x
x
y
log 1 x
3
y
log 1 x
4.3.2对数函数y
log a x 的图象和性质
学习目标
学习目标
1.掌握对数函数的图象与性质.
2.会应用对数函数的图象与性质比较大小、求
定义域和值域、确定单调区间等.
3.体会数形结合思想在研究函数问题中的应用.
环节一：温故知新，导入新课
1.上节我们学过y=log2x的图像，你还能画出它的函数
图象吗？
y
y log 2 x
o
2.结合上节所学内容，你能画y
x
log 1 x的图象吗？
2
y
4.3.3对数函数y=logax的图像和性质课件-高一上学期数学北师大版
x
y log1 x
5
y log1 x
3
y log1 x
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
2.根据图像，类比a>1的情形，总结对数函数y=logax当底数0<a<1时有哪些性质？
图像特征
性质
3y
2 1
O
1 23 456 78
1
2 x 1
x
y log1 x
5
y log1 x
3
y log1 x
2
函数图像都在y轴_右__边__ 过点(_1_,0_)__
于是
t0
2 5730
4.09 .
6.68
两边取以2为底的对数,得
t0 5730
log2
4.09 . 6.68
解得
t0
5730 log 2
668 409
5730 0.7077
4055.
所以该木炭已衰减了约4055年,即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学,回答下列问题： （1）对数函数图像和性质有哪些 （2）底数a对函数y=logax的图像有什么影响？
1 e5730r . 2
解得
r ln 2 . 5730
因此14C的衰减规律服从指数型函数
ln2 t
t
C(t) C0e 5730 C0 2 . 5730
学习目标
新课讲授
课堂总结
设发现汉漠拉比王朝字样的木炭时(1950年),该木炭已衰减了t0年.因为放射性
物质的衰减速度与其质量成正比,所以
C(t0 ) 4.09 , C0 6.68
课堂总结
y log1 x
5
y log1 x
3
y log1 x
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
2.根据图像，类比a>1的情形，总结对数函数y=logax当底数0<a<1时有哪些性质？
图像特征
性质
3y
2 1
O
1 23 456 78
1
2 x 1
x
y log1 x
5
y log1 x
3
y log1 x
2
函数图像都在y轴_右__边__ 过点(_1_,0_)__
于是
t0
2 5730
4.09 .
6.68
两边取以2为底的对数,得
t0 5730
log2
4.09 . 6.68
解得
t0
5730 log 2
668 409
5730 0.7077
4055.
所以该木炭已衰减了约4055年,即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学,回答下列问题： （1）对数函数图像和性质有哪些 （2）底数a对函数y=logax的图像有什么影响？
1 e5730r . 2
解得
r ln 2 . 5730
因此14C的衰减规律服从指数型函数
ln2 t
t
C(t) C0e 5730 C0 2 . 5730
学习目标
新课讲授
课堂总结
设发现汉漠拉比王朝字样的木炭时(1950年),该木炭已衰减了t0年.因为放射性
物质的衰减速度与其质量成正比,所以
C(t0 ) 4.09 , C0 6.68
课堂总结
2025年北师大版高中数学必修第一册课件 4.3.3对数函数y=logax的图像和性质(第2课时)
第2课时（☆重点题型全解☆）北师大必修第一册2025年北师大版高中数学必修第一册课件1.函数求值2.奇偶性3.单调性及其应用4.两种特殊的恒成立不等式环节一复习对数函数的图像和性质函数y ＝log a x (a ＞1)y ＝log a x (0＜a ＜1)图像当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大函数y＝log a x(a＞1)y＝log a x(0＜a＜1)性质定义域：_____________值域：___________过点_______，即x＝1时，y＝______.x______1时,y＞0;_________时,y＜0.x______1时，y＜0;_________时,y＞0.单调性：在(0，＋∞)上是增函数.单调性：在(0，＋∞)上是减函数.(0，＋∞)R(1,0)0＞＞0＜x＜10＜x＜1环节二对数型函数求值1.对数型函数求值 直接代入1.对数型函数求值 分段代入1.对数型函数求值 求参代入环节二对数型函数求式2.对数型函数求式 待定系数法解析:由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=log a x(a>0,且a≠1,x>0),则2=log a4=log a22=2log a2,即log a2=1,得a=2.故所求函数的解析式为y=log2x. 答案:A2.对数型函数求式 反函数解析:易知函数y=f(x)是函数y=e x的反函数,所以f(x)=ln x.答案:C2.对数型函数求式 抽像关系解析:因为f(x)=log a x(a>0,且a≠1),所以f(xy)=log a(xy).又f(x)+f(y)=log a x+log a y=log a(xy),所以f(xy)=f(x)+f(y).2.对数型函数求式 利用奇偶性解析:设x<0,则-x>0.又x>0时,f (x )=log 2x ,∴f (-x )=log 2(-x ).又∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∴x<0时,f (x )=-log 2(-x ).答案:D改变自变量中间解析式2.对数型函数求式 利用图像2.对数型函数求式 换元法经典题：换元+赋值环节三对数型函数奇偶性解析:因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.答案:B化简函数前就求定义域，不要化简后求定义域如果不结合定义域化简，从表面看，这是个非奇非偶函数。
4.3.2对数函数y=log2x的图像和性质课件-高一上学期数学北师大版
9y
y = 2x
8
7
6
5 4
3
(0,1)2
1
y log2 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1 (1,0)
-2
-3
学习目标
新课讲授
课堂总结
对函数y=log2x图象上的任意 一点P(a,b),有b=log2a.点P关于直线 y=x的对称点是Q(b,a),而a=2b,即点 Q在函数y=2x的图象上(如图).同样 地,函数y=2x图象上的任意一点,它 关于直线y=x的对称点也在函数 y=log2x的图象上.所以,函数y=log2x 的图象与函数y=2x的图象关于直线 y=x对称.
y
3
2
1
11 42
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9x
–1
–2
–3
学习目标
新课讲授
课堂总结
方法二:由指数函数的图象得到对数函数的图象.
对数函数x=logay和指数函数y=ax所表示的x和y两个变量之间的关系是一
样的,因而函数x=log2y与y=2x的图像一样(如图).
y 2x
y
1
换一种写法 用y表示x
x log2 y
新课讲授
课堂总结
练一练 1.比较下列各题中两个数的大小:
(2)因为函数y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数,且2.7<3.6,所 以log22.7<log23.6,因此-log22.7 > -log23.6.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2. (1)求使不等式log2x>5成立的实数x的集合; (2)已知log2(2x-1)=log2(x2-16),求x的值.
北师大版高中数学高一3.5.3对数函数的图像和性质
梳理 一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数 越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底 数越小越靠近x轴.
[思考辨析 判断正误] 1.y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数.( × )
2. y log1 x2 在(0，＋∞)上为增函数.( × )
知识点二 对数不等式的解法
思考 log2x<log23等价于x<3吗？ 答案 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0， ∴log2x<log23⇔0<x<3.
梳理 一般地，对数不等式的常见类型：
fx＞0可省略， 当 a＞1 时，logaf(x)＞logag(x)⇔gx＞0，
2
解答
命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围 例 2 已知函数y log1 (x2 ax a) 在区间(－∞， 2)上是增函数，求实
2
数 a 的取值范围.
解答
反思与感悟 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同， 若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.另外应注意单 调区间必须包含于原函数的定义域.
∴11－－a42xx22＝1，即 1－a2x2＝1－4x2 对定义域内任意 x 恒成立，∴a2＝4.
又a≠2，∴a＝－2.
12345
解析 答案
5.函数f(x)＝ln x2的减区间为__(－__∞__，__0_)___.
12345
答案
1.判断函数奇偶性的三个步骤
规律与方法
(1)一看：定义域是否关于原点对称.
函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性.
高中数学北师大版 必修一 对数函数y=logax的图象和性质 课件
根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为0＜ a＜1和a＞1的情况讨论．分别选取 a 2 和 a 1 为例，在同一直角坐
2 标系中，画出相应的函数图象．
新知探究
从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象 关于直线y＝x对称．一个函数图象上的任意一点关于y＝x的对称点， 一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．
答案：（1）lg0.6＜lg0.8． （2）log0.56＜log0.54． （3）当0＜m＜1时，logm5＞logm7；当m＞1时，logm5＜logm7．
目标检测
3 某地去年GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的 平均增长率为6.8%．
（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函 数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？
（2）增函数
（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
新知探究
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)． 解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值． 因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数， 且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
例4 溶液酸碱度的测量． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶 液中氢离子的浓度之间的变化关系； 所以，随着[H＋]的增大，pH减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．
新知探究
例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中 [H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水 的pH．
2 标系中，画出相应的函数图象．
新知探究
从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象 关于直线y＝x对称．一个函数图象上的任意一点关于y＝x的对称点， 一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．
答案：（1）lg0.6＜lg0.8． （2）log0.56＜log0.54． （3）当0＜m＜1时，logm5＞logm7；当m＞1时，logm5＜logm7．
目标检测
3 某地去年GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的 平均增长率为6.8%．
（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函 数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？
（2）增函数
（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
新知探究
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)． 解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值． 因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数， 且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
例4 溶液酸碱度的测量． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶 液中氢离子的浓度之间的变化关系； 所以，随着[H＋]的增大，pH减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．
新知探究
例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中 [H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水 的pH．
北师版数学高一北师大版必修一课件3.5.1对数函数的图像与性质
A.(－13，＋∞) C.(－13，13)
B.(－∞，－13) D.(－13，1)
解析 由13－ x＋x＞ 1＞00，， 可得－13＜x＜1.
12345
解析答案
12345
3.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是 ()
解析答案
12345
4.若a＞0，a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图像恒过定点__(_2_,1_)___. 解析 函数图像过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga(x－1)＋1过定点(2,1).
解析答案
12345
5.若函数f(x)＝ax－1的反函数的图像过点(4,2)，则a＝___4_____. 解析 ∵f(x)的反函数图像过(4,2)， ∴f(x)的图像过(2,4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.
解析答案
课堂小结 1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝ logax(a＞0，a≠1)这种形式. 2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图像直接产生影响，学会以分类 的观点认识和掌握对数函数的图像和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
得b<a，所以0<b<a<1.
解析答案
例3 函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过的定点( D )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(－2,1)
D.(－1,1)
解析 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2) ＋1的图像过定点(－1,1).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0，a≠1)的图像必过定点的坐 标为__(_0_,_2_) __. 解析 当x＝0时，f(x)＝2，所以函数f(x)的图像必过定点(0,2).