高等数学积分学总结
高等数学一-微积分总结-知识归纳整理
导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。
a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。
2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。
A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。
A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。
记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。
例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。
积分公式如同数学世界中的宝库，为我们解决各种问题提供了有力的武器。
下面就为大家详细介绍一下高等数学中常见的积分公式。
一、基本积分公式1、常数积分公式∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对一个常数进行积分，结果是这个常数乘以自变量 x 再加上一个常数 C。
2、幂函数积分公式∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式很好理解。
比如∫x² dx ＝（1/3)x³＋ C 。
3、指数函数积分公式∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
4、对数函数积分公式∫（1/x) dx ＝ ln|x| ＋ C这是对数函数积分的基本形式。
二、三角函数积分公式1、正弦函数积分公式∫sin x dx ＝ cos x ＋ C2、余弦函数积分公式∫cos x dx ＝ sin x ＋ C3、正切函数积分公式∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C4、余切函数积分公式∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C三、反三角函数积分公式1、反正弦函数积分公式∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C2、反余弦函数积分公式∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C3、反正切函数积分公式∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2)ln(1 ＋ x²) ＋ C四、有理函数积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如 P(x)／Q(x) 的有理函数积分，通常需要先将其分解为部分分式，然后再利用上述基本积分公式进行积分。
五、定积分的基本性质1、线性性质∫kf(x) ＋ lg(x) dx ＝k∫f(x) dx ＋l∫g(x) dx （k，l 为常数）2、区间可加性∫a,b f(x) dx ＝∫a,c f(x) dx ＋∫c,b f(x) dx （a ＜ c ＜ b）六、换元积分法换元积分法是积分计算中的一种重要方法。
高数求积分方法总结
高数求积分方法总结高等数学求积分(Integration)方法总结1、换元法(Substitution Method)换元法是指计算积分时，根据被积函数和被积的变量的关系，将被积的变量由一个变量改变成另一个变量，以便转换待积函数的形式，使得函数变得更加简单，进而求解积分。
2、积分变形法(Integration Transformation Method)积分变形法就是在求解积分时先对被积函数做变形，通过将积分中的被积函数分解成多个部分，并对这些部分分别做不同的变换，使用不同的积分公式或积分变换公式，从而得出积分的解。
3、分部积分法(Partial Integration Method)分部积分法也称作展开积分法，它是将多项式的积分运算定义为求取多个式子的和，通过重项定理可以将多项式的积分分解成更简单的积分运算。
5、解析法(Analytic Function Method)解析法指的是将待积函数转换为某种常用标准函数，并应用相应积分公式进行求解积分，这可以有效地将复杂的函数形式转换成简单的函数形式，大大简化计算积分的求解工作。
6、复合分部积分法(Multiple Partial Integration)复合分部积分法是指在进行积分计算时，对被积函数进行分部展开，但是分部展开的函数又包含不同的其他多项式，这时可以就每一部分函数单独进行求积分处理，直至将所有部分积分完成，最后将积分结果求和，获得最终的积分解析结果。
7、级数法(Series Method)级数法是指将被积函数按级数的形式表达出来以后，把积分转换成求和公式，然后将每一层级按照一定的几何级数关系依次求解，最后将所求的积分求和而得出解析函数的积分表达。
8、蒙特卡洛算法(Monte Carlo Method)蒙特卡洛算法是采用抽样统计的方法来求解待积函数的积分，它可以将复杂的积分转换成随机变量的抽样统计，当抽样次数足够多时，便可以获得较为准确的积分值。
高等数学七类积分总结 -回复
高等数学七类积分总结 -回复
高等数学中，常见的七类积分总结如下：
1. 一般函数的积分：对于给定函数，可以通过积分求解其不定
积分和定积分，其中不定积分得到的是一个具有任意常数项的解。
2. 有理函数的积分：有理函数指的是多项式函数之比，可以通
过分解成部分分式来求解其积分。
常见的部分分式分解包括线性因子
和二次因子。
3. 幂函数的积分：幂函数的积分分为两种情况，一是指数不等
于-1的幂函数，可以通过幂函数的求导逆运算来求解其不定积分；二
是指数等于-1的幂函数，即倒数函数，可以通过换元法或利用对数函
数的性质来求解。
4. 三角函数的积分：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，可以通过利用三角函数的反函数和三角函数的恒等式来
求解其积分。
5. 反三角函数的积分：反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，可以通过换元法和利用反三角函数的恒等式来求
解其积分。
6. 指数函数和对数函数的积分：指数函数的积分可以通过利用
指数函数和自然对数函数之间的关系得到；对数函数的积分可以通过
部分积分法和适当的换元法来求解。
7. 特殊函数的积分：包括双曲函数、高斯函数、伽马函数等，
对于这些特殊函数的积分，可以通过利用其定义和相关的性质来求解。
以上是高等数学中常见的七类积分的总结，通过熟练掌握这些积
分方法，可以更好地解决数学问题。
高等数学应试攻略积分知识点的掌握与运用
高等数学应试攻略积分知识点的掌握与运用高等数学应试攻略：积分知识点的掌握与运用在高等数学的学习中，积分是一个至关重要的知识点，也是考试中的重点和难点。
掌握积分的概念、性质、计算方法以及应用，对于在考试中取得好成绩至关重要。
本文将详细探讨积分知识点的掌握与运用，帮助大家在应试中更加得心应手。
一、积分的基本概念积分包括定积分和不定积分。
不定积分是求导的逆运算，而定积分则是一个数值，表示曲线下的面积。
不定积分的定义是：如果函数 F(x) 的导数是 f(x)，那么 F(x) 就是f(x) 的一个不定积分，记作∫f(x)dx ＝ F(x) ＋ C，其中 C 是常数。
定积分的定义则是：设函数 f(x) 在区间 a, b 上有定义，用分点 a ＝x₀＜ x₁＜ x₂＜＜ xₙ ＝ b 将区间 a, b 分成 n 个小区间，在每个小区间 xᵢ₋₁, xᵢ上任取一点ξᵢ（i ＝ 1, 2,， n），作和式∑f(ξᵢ)Δxᵢ，当 n无限增大且小区间长度的最大值趋近于零时，如果和式的极限存在，那么这个极限值就叫做函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分，记作∫ₐᵇf(x)dx。
二、积分的性质积分具有许多重要的性质，这些性质在解题中经常用到。
1、线性性质不定积分的线性性质为：∫k₁f(x) ＋ k₂g(x)dx ＝ k₁∫f(x)dx ＋k₂∫g(x)dx，其中 k₁、k₂为常数。
定积分的线性性质为：∫ₐᵇk₁f(x) ＋ k₂g(x)dx ＝ k₁∫ₐᵇf(x)dx ＋k₂∫ₐᵇg(x)dx。
2、区间可加性不定积分没有区间可加性，而定积分具有区间可加性。
即如果 c 在区间 a, b 内，那么∫ₐᵇf(x)dx ＝∫ₐᶜf(x)dx ＋∫ᶜᵇf(x)dx。
3、奇偶性如果函数 f(x) 是奇函数，即 f(x) ＝ f(x)，那么在关于原点对称的区间上，其定积分的值为 0；如果函数 f(x) 是偶函数，即 f(x) ＝ f(x)，那么在关于原点对称的区间上，其定积分的值为2∫₀ᵃf(x)dx，其中 a 为区间的一半。
积分公式大全高等数学
积分公式大全高等数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：1. 不定积分的基本概念不定积分也称为原函数的求法，是导数的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数，记作\int f(x)dx=F(x)+C，其中C为积分常数。
不定积分的性质：（1）线性性质：\int (kf(x)+mg(x))dx=k\int f(x)dx+m\int g(x)dx（2）分部积分法：\int u dv = uv - \int v du（3）换元积分法：\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du2. 常见函数的积分公式（1）多项式函数\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C，其中n≠-1\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C（2）三角函数\int \sin x dx=-\cos x+C\int \cos x dx=\sin x+C\int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C\int \cot x dx=\ln|\sin x|+C（4）双曲函数\int \sinh x dx=\cosh x+C\int \cosh x dx=\sinh x+C3. 特殊积分公式（1）环形面积积分\int_0^R\int_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dydx=\frac{\pi R^2}{2}（2）参数方程曲线围成的面积\int_a^b\frac{1}{2}(f(x)g'(x)-f'(x)g(x))dx（3）曲线长度\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx（4）体积与表面积\int_a^b\pi y^2dx 计算曲线围成的旋转体体积\int_a^b2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx 计算曲线围成的旋转体表面积以上只是一部分常见的积分公式和性质，高等数学中的积分还涉及到定积分、多重积分、广义积分等更为复杂的概念和方法。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高等数学第五章定积分总结
高等数学第五章定积分总结定积分作为微积分的重要概念，是无穷积分的一种形式，并在多个领域中有着广泛的应用。
本章主要介绍了定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法和应用。
首先，本章介绍了定积分的概念和定义。
定积分是一个数值，表示在给定的区间上，函数曲线与x轴之间的面积。
定积分可以分为两个部分：积分号和被积函数。
积分号表示积分的区间，被积函数表示要求积分的函数。
定积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行，具体方法和结论有不少。
其次，本章介绍了定积分的性质。
定积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质。
线性性质表示定积分可以进行加减运算，并且可以乘以一个常数。
区间可加性是指定积分的区间可以分为多个子区间，进行分段积分。
保号性表示如果被积函数在一些区间上恒大于等于0，那么该区间上的定积分也大于等于0。
这些性质为定积分的计算和应用提供了更多的方便性。
然后，本章介绍了定积分的计算方法。
定积分的计算可以通过不定积分和定积分的关系来进行。
通过求解原函数，并利用牛顿-莱布尼茨公式，可以简化计算过程。
本章还介绍了定积分的几何意义，即定积分表示函数曲线与x轴围成的面积，也可以表示其中一种物理量在一定时间或一定空间内的累积变化量。
最后，本章介绍了定积分的应用。
定积分在几何学、物理学、经济学等多个领域中有着广泛的应用。
例如，通过定积分可以计算曲线的弧长、曲线围成的面积、质心的坐标等几何问题；通过定积分可以计算物体的质量、重心、转动惯量等物理问题；通过定积分可以计算收益、成本、利润等经济问题。
这些应用都是建立在定积分的几何意义和计算方法的基础之上，对于深入理解和运用定积分具有重要意义。
总之，定积分是微积分中的重要概念，不仅具有丰富的理论性质，还有着广泛的应用价值。
通过学习定积分的定义、性质、计算方法和应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的知识，为解决实际问题提供更有效的数学工具。
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) d
4.3 Stokes 公式：
Pdx Qdy Rdz rotF ndS F ndS
C Q Q R P R P ( y z ) dydz ( z x ) dzdx ( x y ) dxdy
C
Pdx Qdy Pdx Qdy rotF kd F kd
C D D Q P ( x y ) d D
或
C
Pdx Qdy Pdy Qdx F nd divFd
2
1
d
2 ( )
1 ( )
sin d
2 ( , )
1 ( , )
f ( , , ) 2d
（切片法： Dz z ）
（球坐标）
5.4 曲线积分 类型 形式 第I型
I 4 f ( x, y, z )ds
C
第 II 型（ F Pi Qj Rk ）
ba
S ( D)
dx d
质量
V () L(C)
S ( )
dV ds dS
ds
dS
矩 质心 转动惯量
--
弯曲薄板的质量 变力做功
功、流量、 环量、通量 流量、通量
--
（或流量或通量） 流量（通量）
--
--
定向曲面
--
四、重要联系及公式
4.1 Newton-Leibniz 公式： f ( x)dx F (b) F (a )
二、共同点
2.1 定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限 2.2 性质：线性性质、可加性、估值
三、不同点
类型 定积分 二重积分 三重积分 第I型 曲线积分 第I型 曲面积分 第 II 型 曲线积分 第 II 型 曲面积分 几何 背景 面积 体积 --物理 背景 细杆的质量 平面薄板的质量 几何体的质量 弯曲杆件的质量 积分 区域 区间 平面区域 空间区域 无向曲线 曲面 (未定向) 有向曲线 特殊被积 函数“1” 微元 应用点
5.5 曲面积分 类型 形式 第I型
I 6 f ( x, y, z )dS
第 II 型（ F Pi Qj Rk ）
I 7 F ndS F dS
Pdydz Qdzdx Rdxdy
（流量或者通量） 曲面方程 是否定侧 微元
: g ( x, y, z) c
x2 y 2 z 2
dV 2 sin d d d
函 任意 数 微元
f ( x2 y 2 , z) f ( x2 z 2 , y) f ( y z , x)
2 2
dV dxdydz
dV rdrd dz
积 分 向坐标面投影或先 向 坐 标 轴 向坐标面投影或先 （ ） 次序 一后二或切条法 投 影 或 先 一后二法或切条法 二 后 一 或 （ z r ） 切片法 不 等 z1 ( x, y ) z z2 ( x, y ) ( x, y ) Dxy 式组 积 分 形式
g D
I 7 F
D
g |g p|
d
六、Green 公式
环量—旋度形式：
Pdx Qdy rotF kd F kd
C D D
(
D
Q x
P y ) d
通量—散度形式：
Pdy Qdx F nd divFd
未定侧
dS
g g p
定侧（即选定 法向量 n 的方向）
d
g dS nds d ，其中 n 与 的梯度 g p
方向一致取“+” ，否则取“-” 其中： p i （往 yoz 面投影）或 j （往 zox 面投影）或 k （往 xoy 面投影） 积分形式
I 6 f ( x, y, z ) |g p| d
C D D Q P ( x y ) d D
大前提：曲线 C 分段光滑。 条件：① 曲线 C 正向； ② 曲线 C 封闭； ③ P、Q 在 C 及其内部具有一阶连续偏导数。 6.1 满足所有条件 直接使用 Green 公式的两种形式之一进行计算皆可，效果相同。 6.2 若仅不满足条件①，则在 C 上满足 Green 公式的条件，在 C 上的技术结果 乘以（-1）即可。即有：
Pdx Qdy
C
C C1 Cm
Pdx Qdy
C1
Pdx Qdy
Cm
Pdx Qdy
七、Gauss 公式
Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdV
P ( x Q y R z ) dV
面积微元 特点 分类 区 域 特征 D 不等 式 二次积分 I型 极点在 D 内部
d rdrd
D 为圆域、环域或扇形域 II 型 极点在 D 外部 界 III 型 极点在 D 边
（以先 r 后 的积 分次序为 例）
1 2 , 0 r r ( )
1 2 , 0 r1 ( ) r r2 ( )
a
D
b
I 4 f ( x, y, z )ds ； I 5 F dr Pdx Qdy Rdz ；
C C C
I 6 f ( x, y, z )dS ； I 7 F ndS F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
C D D Q P ( x y ) d D
6.3 若仅仅不满足条件②，则可采用添加光滑曲线 C1 以便使用 Green 公式。 添加时候， 应注意： 1） 在 C C1 以及 C C1 内部应该满足 Green 公式的条件， 2） C1 尽量简单且积分 Pdx Qdy 容易计算。即有：
区 分类 域 图形 D 不等 式
Y-型 略
x1 ( y ) x x2 ( y ), c yd
复杂 略 分细 多个 X，Y 型之和
b
a
dx
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
d
c
dy
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x, y )dx
利用 D 的对称性和 f ( x, y) 关于某个变量的奇偶性计算 被积函数中含有 x 2 y 2 项
大前提：曲面分片光滑。 条件：① 曲面 取外法线方向； ② 曲面 封闭； ③ P、Q、R 在曲面 及其内部具有一阶连续偏导数 7.1 满足 Gauss 公式的所有条件，则直接使用 Gauss 公式计算。 7.2 若仅有条件①不满足，则可在 上使用 Gauss 公式。即
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
, Cm 。应注意：
, Cm 完全包含于 C 内； , Cm 定向为顺时针方向；
,m ；
3）每个 Ci 内部有且只有一个点不满足条件③， i 1, 2, 4）曲线积分
Ci
Pdx Qdy 容易计算， i 1, 2,
,m 。
则在曲线 C C1 C2
Cm 及其内部满足 Green 公式的条件。于是
czd ( x , y ) Dz
z1 ( r , ) z z2 ( r , ) r1 ( ) r r2 ( )
1 2
1 ( , ) 2 ( , ) 1 ( ) 2 ( ) 1 2
f (r , , z )dz
4.4 Gauss 公式：
Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdV
Q P R ( x y z ) dV
五、基本计算方法
5.1 定积分 方法：凑微分法、换元法、分部积分法 特殊结论： （1）对称性与奇偶性： （2）周期性： （3）无界性：
《高等数学》中的积分学总结
高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分） 、二重积分、三重
积分、曲线积分（对弧长、对坐标） 、曲面积分（对面积、对坐标） 。 一、符号形式
I1 f ( x)dx ； I 2 f ( x, y)d ； I 3 f ( x, y, z )dV ；
a
b
b
a
f ( x)dx
5.2 二重积分
I 2 f ( x, y)d ，其中 D 为平面有界区域。
D
面积微元 特点 直 角 坐 标 系 二次积分 特殊方法 特点 极坐标系
x r cos y r sin
d dxdy
任意 X-型 略
y1 ( x) y y2 ( x), a xb
直角 ( x, y, z )
柱坐标 (r, , z)
x r cos y r sin zz
球面坐标 ( , , )
x sin cos y sin sin z cos
特 区 任意 点 域
坐标面的投影为 圆形、环形、 扇形区域
球体、半球体、 锥面与球面围成的立 体 被 积 函 数 含 有
a b
4.2 Green 公式： 环量—旋度形式：
Pdx Qdy rotF kd F kd
C D D Q P ( x y ) d D
通量—散度形式：
Pdy Qdx F nd divFd
C D D P ( x D Q y
1 2 , r1 ( ) r r2 ( )