10.15指数型函数的对称、平移与绝对值函数图像)
哈哈哈哈对称的图像关于与____
)()(y x f y x f -== 对称。
的图像关于与____)()(y x f y x f --==
对称。
的图像关于与函数、函数)(
33y B x x y --==
别、自对称与他对称的区C
（1）轴对称。于是偶函数，本身图像关函数y y 2
x = （2）轴对称。的图像关于与函数函数y 212y x
x y ??
? ??== 二、函数图像的平移 图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,)1(,2)(A =-=x f x f x
发现：函数y =)1(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。
类似：函数y =)1(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。
图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,1)(,2)(B =-=x f x f x
发现：函数y =1)(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 那么：函数y =1)(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。
C 、。）的对称轴为则函数为偶函数已知________2(,)(-x f x f
。）的对称中心为则函数为奇函数已知________(,)2(x f x f +
系？）的图像是什么样的关与函数思考题：函数x f x f -+3()1(
二、指数类绝对值函数图像
的图像变换得来。的图像，思考如何通过、画出函数x x
y 22y A ==
的图像。的图像变换得到思考：如何通过12
y 2+==x x y
B 、图像变换得来。的图像，思考如何通过画出函数1212-=-=x
x y y
的图像变换出函数思考：如何通过122-==x x y y
C 、）个的实根的个数是（方程22
=+x x
二次函数图像平移习题
二次函数图像平移习题 1．要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 2将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 4.已知二次函数21(11)y x bx b =-+-≤≤，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 5.把二次函数2 x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y C. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 6．对于抛物线22 (2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（ ） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x 轴上方 7.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 8．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ） （A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10 k k >-≠且
超经典二次函数图象的平移和对称变换总结
二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变
二次函数平移规律
二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，
再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y
指数函数图像与性质的教案
§3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高
指数函数的图像及性质
讲 义 教材与考点分析： 本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质，函数是数学研究的主要对象，也是考试必然会涉及的知识点，我们必须从简单的函数出发，学好每一类基本初等函数。 考点1：分数指数幂 我们规定分数指数幂的意义： 负分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 考点2：有理数指数幂的运算性质 ),,0,0())(3(,))(2(, )1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===?+ 考点3：指数函数及其性质 a>1 0
Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第2题. 若11()()23 x x <，则x 满足（ ） Ａ．0x > Ｂ．0x < Ｃ．0x ≤ Ｄ．0x ≥ 第3题. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图象大致为（ ） 第5题. 当0a >且1a ≠时，函数2()3x f x a -=-必过定点 ． 第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x 的表达式为 ． 第7题. 当0x >时，函数()()21x f x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 ． 第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>，1)a ≠且中x 的取值范围．
1015指数型函数的对称平移与绝对值函数图像).
指数函数图像与性质（2） (图像对称、平移与绝对值函数图像) 一、函数图像间的对称性 对称。的图像关于与函数、函数______212y A x x y ??? ??== 若___)(,2)(=-=x f x f x 则， 这两个函数的图像关于____对称。 抽象化：函数对称。的图像关于与____)()(y x f y x f -== 回顾：①轴对称。）关于）与点（点（y ,,y x y x - ②对称。）关于）与点（点（____,,y x y x - ③对称。）关于）与点（点（____,,y x y x -- 扩展为函数性质： 对称。的图像关于与____)()(y x f y x f -== 对称。 的图像关于与____)()(y x f y x f -== 对称。的图像关于与____)()(y x f y x f --== 对称。的图像关于与函数、函数)( 33y B x x y --== 别、自对称与他对称的区C （1）轴对称。于是偶函数，本身图像关函数y y 2 x = （2）轴对称。的图像关于与函数函数y 212y x x y ??? ??== 二、函数图像的平移 图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,)1(,2)(A =-=x f x f x 发现：函数y =)1(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。
类似：函数y =)1(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,1)(,2)(B =-=x f x f x 发现：函数y =1)(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 那么：函数y =1)(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 C 、。）的对称轴为则函数为偶函数已知________2(,)(-x f x f 。）的对称中心为则函数为奇函数已知________(,)2(x f x f + 系？）的图像是什么样的关与函数思考题：函数x f x f -+3()1( 二、指数类绝对值函数图像 的图像变换得来。 的图像，思考如何通过、画出函数x x y 22y A == 的图像。 的图像变换得到思考：如何通过12 y 2+==x x y B 、图像变换得来。的图像，思考如何通过画出函数1212-=-=x x y y 的图像变换出函数思考：如何通过122-==x x y y C 、）个的实根的个数是（方程22 =+x x
指数函数及其图像与性质
指数函数及其图像与性质 数学学科刘春梅 学习情境：指数函数及其图像与性质（暂定一课时） 明确任务与咨讯 学习任务描述： ⑴能画出指数函数的简图； ⑵能使用指数函数的图像及性质判断指数函数的单调性； 学习目标: 通过本情境的学习，你应该： 1、能理解指数函数的概念、图像及性质； 2、能在老师的指导下会画出指数函数的简图； 3、能在老师的指导下熟练使用指数函数图象及性质判断指数函数的单调性；任务实施 班组成员分工，根据学生数量把全班分成4个班组，每组以7_——8人为宜，每组各选一名组长，并分配职责。 小组名称：工作理念：序号姓名职务岗位职责 1 组长全面组织协调、分配任务 2 解说员1 负责阐述本组观点或答案 3 解说员2 负责阐述本组观点或答案 4 记录员负责记录各小组探讨结果 5 监督员协助组长考核小组各成员表现 6 成果展示员1 负责板演所得结果 7 成果展示员2 负责板演所得结果 8 记分员负责统计各组分数 备注：各组所得分数为本组各成员得分，对组内表现优秀者再适当加分奖励（优秀者由老师根据课堂表现直接认定）。 引导问题1：某种物质的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，知道分裂的次数x,如何求得细胞的个数y呢？ 引导问题2：上述问题得到的函数有什么特征？ 1、函数中的自变量是 2、函数中的自变量在什么位置？ 3、这个函数与以前我们所学过的函数有什么不同？ 引导问题3：通过引导问题2我们可以抽象出一个什么函数？ 引导问题4：研究一个函数最好的方式是什么？
引导问题5： 在练习本上利用“描点法”作指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像。 注：老师在学生展示成果后，用多媒体展示指数函数y=2x ,y=3x ,y=5x ,y=0.3x ,y=0.5x ,y=0.7x 的图像 引导问题6：通过看指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像你能抽象出指数函数的图像具 有什么性质？ 引导问题7：完成下面的表格，完成之后请同学们互相对照。 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的性质 指数函数y=a x (a>0且a ≠1) 0
指数函数的图像及性质知识要点
第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征. 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0
问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 0a =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x ＜0，x a ＜1 x ＜0，x a ＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）. x y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小关系；
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质： y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
指数函数平移变换教案
指数函数平移变换教案 一．教学目标： 1．了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题. 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 3．培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯 4．通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。 二．教学重、难点： 1. 函数图象的变换； 2. 指数函数性质的运用. 3．底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体 三、教学方法： 引导——发现教学法、比较法、讨论法 四、教学过程： 二、讲授范例： 例 1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数
的图象的关系. 2122)1(++==x x y y 与 2122)2(--==x x y y 与 解：⑴作出图像，显示出函数数据表 比较函数 x y 2= , 12+=x y , 22+=x y 的关系： x y 2=向左平行移动1个单位长度12+=x y x y 2 =向左平行移动2个单位长度2 2+=x y 例 1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数 的图象的关系. 2122)1(++==x x y y 与 2122)2(--==x x y y 与 解:⑵作出图像，显示出函数数据表 x y 2
小结:比较函数x y 2= 与 m x y -=2的关系 当m>0时, 向右平行移动m 个单位长度变为m x y -=2 当m<0时,了 向左平行移动|m|个单位长度m x y -=2 推广:比较函数)(x f y =与)(m x f y -=的关系 当m>0时,y=f(x) 向右平行移动m 个单位长度变为y=f(x-m) 当m<0时,y=f(x) 向左平行移动|m|个单位长度变为y=f(x-m) 例2 .作出函数x y ??? ??=21图像，求它定义域、值域，并探讨 x y ??? ??=21与 x y ? ?? ??=21图像的关系. 解：?? ???<≥?? ? ??=0,20 ,21x x y x x 定义域：x ∈R 值 域：]1,0( 关系：x y ??? ??=21将y 轴右侧的部分翻折到y 轴左侧x y ??? ??=21 例3 .作出函数1 21-? ?? ??=x y 图像，求它定义域、值域，并探讨1 21-? ? ? ??=x y 与1 21-? ? ? ??=x y 图像的关系. 解：?? ???<≥?? ? ??=--1,21 ,2111 x x y x x 定义域：x ∈R 值 域：]1,0( 关系：1 21-? ? ? ??=x y 将x =1右侧的部分翻折到x =1左侧1 21-? ? ? ??=x y 推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出： x y 2=x y 2=
初中数学二次函数图像的平移
二次函数图象的平移 【知识要点】 1．二次函数()02≠+=a c ax y 的图象画法． 方法一，用“列表、描点、连线”方法来画； 方法二，将二次函数()20y ax a =≠的图象向上平移c 个单位. 2．二次函数()02≠+=a c ax y 的性质 二次函数 02 3．利用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解有关简单的实际问题. （1）根据题意建立二次函数关系式，并注意其定义域； （2）应用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解决相关的实际问题. 4．y=ax 2 +bx+c 配成顶点式的一般步骤： 【经典例题】 例1 （1）在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．221x y -=，2212+-=x y ，12 1 2--=x y .
（2）在同一坐标系中画出函数y=x 2，y=(x+1)2，y=(x －2)2 的图像，并说出它们的位置关系。 例2 如图，一次函数b ax y +=2与二次函数b ax y -=2在同一坐标系中的图象是（ ）. 例3 （1）抛物线y=23 12 +x 的顶点坐标是 ，对称轴是 。 （2）y=2x 2 +5的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向 ，当x= 时，y 有最 值为 ，这是由y=2x 2 得到的。 （3）y=－8x 2 沿y 轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为 ，顶点坐标为 。 （4）已知函数y=ax 2 与函数y=－2 3 2x +c 的图象形状相同，且将抛物线y=ax 2沿对称轴平移2个单位就得到与抛物线y=－ 2 3 2x +c 完全重合，则a= ，c= （5）一条抛物线其形状与抛物线y=2x 2 相同，对称轴与抛物线y=(x －2)2 相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是 。 （6）将抛物线y=7(x －2)2 向左平移2个单位所得的抛物线的函数关系式是： 。 （7）函数y=(3－2x)2 －2有最 值，当x= 时，这个值等于 。 例5 直接说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 （1）y=2(x+3)2 +5 （2）y=－3(x －1)2 －2 （3）y=4(x －3)2 +7 （4）y=－5(x+2)2 －6 O A O B O C O D
二次函数图形的变化
二次函数教学设计 一、知识点复习 1、二次函数的一般形式是什么？顶点坐标呢？ 2、二次函数图像平移的规律是什么？ 设计意图：通过简单的知识点复习，引导学生将知识进行拓展。 二、知识提升 例1：若函数y ＝(m －3) 是二次函数，则m ＝______. 设计意图：本题其实是针对二次函数定义的练习，若此函数为二次函数，只要满足两点即可：一是最高项次数是2，二是最高项的系数不能为0。但此时，不妨借机引导学生升华知识，若函数为一次函数、反比例函数呢？ 跟踪训练 1、若函数 是一次函数， 则m ＝_____. 2、若函数 是反比例函数，则m ＝_____ 拓展提高 若函数 与x 轴只有一个交点，那么m 的值为多少？ 例2：将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋1 设计意图：此题为二次函数图像平移的基础题，只要学生对二次函数图像平移的规律理解就能做，因此，可以借此复习二次函数图像的简单平移，同时引导学生，二次函数并不一定是顶点式，那么一般的二次函数怎么平移呢，进行知识上的升华。同时，也与点的平移进行区别。 跟踪训练 2213m m x ＋－4)1(222+-=-+m m x m y 122-+=m m mx y 121)2(2++++=m x m mx y
将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线为( ) A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1 C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1 拓展提高 1、将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是什么？ 2、已知点A（－1， 2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是________ 三、课堂小结 四、当堂检测
指数函数的图象及其性质
指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、教学目标 知识与技能:了解指数函数的模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。 过程与方法：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索指数函数的单调性与特殊点。 情感、态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数的图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探索问题。 四、教学重点与难点 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 五、教学过程： （一）创设游戏情境，设疑激趣(约3分钟) 学生分成小组，动手折纸 , 观察对折次数与所得纸的层数的关系。得出折一次为 2 层纸，折两次为 22层纸 , 折三次为 23层纸 ...那么，如何用x来表示y呢？ 老师引导学生共同探究 X=0,y=20=1 X=1,y=21=2
二次函数图像的图形变换
二次函数图象变换的评析练习 二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。 图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a 值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a 值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。 练习1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a 值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a 值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x 轴对称和关于y 轴对称两种方式。 二次函数图像关于x 轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a 值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 二次函数图像关于y 轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a 值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 练习2.求抛物线y=x2-2x-3关于x 轴以及y 轴对称的抛物线的解析式。 分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a 值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x 轴对称，a 值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y 轴对称，a 值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。 3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a 值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。 练习3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________ 分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a 值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕其顶点旋转180°后，a 值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-(x-1)2+2。 二次函数图象的变换练习 1、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ） A. 右移两个单位，下移一个单位 B. 右移两个单位，上移一个单位 C. 左移两个单位，下移一个单位 D. 左移两个单位，上移一个单位 2、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤 是（ ） A. 右移三个单位，下移四个单位 B. 右移三个单位，上移四个单位 C. 左移三个单位，下移四个单位 D. 左移四个单位，上移四个单位 3、二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位. B. 向右移动1个单位，向上移动3个
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数
y=a x a>10
指数函数的图像及性质
指数函数的图像及性质教学设计
2、指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为三节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校实际，在本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 （3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标
《探索二次函数图像平移的规律》
《探索二次函数图像平移的规律》 发表时间：2012-01-12T08:44:18.537Z 来源：《教育学文摘》2012年01月总第47供稿作者：赵正杰 [导读] 本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的。 ——数学兴趣活动教学设计 ◆赵正杰陕西省洋县湑水初中723300 教材分析：本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的，目的是加强学生的动手操作能力，培养学生探索发现、归纳总结的数学素养，开拓学生的知识视野。学生前面已经学过二次函数图像的画法，它对解决本节课的问题有一定的帮助。虽然这些内容没有在教材中安排，但是它将来与高中数学知识相结合对培养学生数形结合数学思想的形成有很好的促进作用。通过让学生经历动手操作、合作交流、观察归纳的过程，总结出二次函数图像平移时解析式的变化规律，体验数学活动的乐趣与成功的快乐，从而促进学生对二次函数图像平移的理解，激发学生学习数学的兴趣。 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）经历操作、观察、欣赏、合作交流的过程，逐步认识二次函数图像平移的存在与解析式之间的联系。 （2）经过操作、交流、探索、观察、归纳的过程，总结出二次函数图像平移过程中二次函数解析式的变化规律。 2.过程与方法目标 经历自己操作、探索、观察、归纳、概括等过程，以及同学间的交流与合作，进一步发展同学们的合作意识、空间观念，发现函数 y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律，从而了解数形结合的数学思想对学习数学的重要性。 3.情感与态度目标 （1）通过同学们的亲自操作与实践，感受“生活中处处有数学”，让学生乐学数学，激发他们学习数学的兴趣。 （2）通过同学们的操作实践、观察发现、概括归纳，体验数学的内在美，感受成功的快乐，培养学生的创新能力。 教学重点与难点： 重点：掌握函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。 难点：观察发现、概括归纳函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。 教学方法：采用引导发现法、实验探究法的教学方法，本着启发性、直观性的教学原则，体现以教师为主导、学生为主体的教学思想来完成教学目标。 学习方法：实验探究法、观察分析法、合作交流法、归纳总结法。 教学准备： 1.课前准备好一张八开的白纸，并在上面画好单位长度为一厘米的直角坐标系（也可直接用相同单位长度的坐标纸）。 2.一段平直的细铁丝（不能太硬）。 教学过程： 一、创设情境，引入课题 首先，请同学们六人一组，共分成八组，每组围成一圈进行活动。 提醒大家：前面我们在画二次函数图像时先把二次函数的解析式由一般式y=ax2+bx+c化为配方式y=a(x+h)2+k，这样从对称轴两边依次取值，不但方便好算，而且描点画出的图像在对称轴两边也是一样高的，比较美观。 师：请同学们拿出准备好的坐标纸、铅笔、尺子、练习本等（约二分钟）。 二、动手操作，课堂探究 1.先记录下这些二次函数的解析式：y=x2+1，y=(x+1)2+1，y=(x+2)2+1，y=(x+3)2+1，y=(x-1)2+1， y=(x-2)2+1,y=(x-3)2+1。 2.观察讨论这些函数解析式都有哪些特征？（约二分钟） 生：（1）二次项系数a的值都是1。 （2）它们都是配方式。 （3）配方后配方式中的k值都是1没变，只是h值发生了变化。 老师对同学们的回答表示肯定，也可能回答不全面，也可能有其他回答，老师加以引导。 师：请同学们在练习本上依次对以上7个二次函数进行列表。可两名同学分工合作，一名同学完成前4个，另一名同学完成后3个。（要求在对称轴两边各至少取三个值，约八分钟。） 师：请同学们按照前面的列表，依次在准备好的坐标纸上描点、连线，并一个一个地画出七个二次函数的图像（两名同学按照前面的分工一起合作完成），再在函数的图像边上标明它的解析式（提醒学生画完一个图像再画第二个，以免发生混淆，约八分钟）。 学生完成后，请同学们拿出细铁丝，在其中一个函数的图像上慢慢地弯成抛物线状，然后又移动到其它函数的图像上比一比，再与同组同学的交流一下，共同议一议。 师：（1）你发现了什么？ （2）想一想，上面的7个二次函数的解析式恢复成一般式后， a、h、k中只有谁没有发生变化？你能用自己的语言把探索出的结论说一下吗？（讨论后再回答） 生：我们所画的函数图像都是相同的。 生：当解析式变成一般式后，只有二次项系数a=1没有变。所以能够确定，当二次项系数a=1时抛物线的形状是相同的，与h、k的值无关。 师：同学们的发现很正确。那么a都是2或a都是3……抛物线的形状又将如何呢（请同学们课后探索。） 师：请同学们再把铁丝弯成的抛物线放到函数y=x2+1的图像上，先把抛物线水平向左平移一个单位，观察一下，得到了谁的图像？再