第三章 算符之间的对易关系

力学量算符之间的对易关系
• 讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 的可能值。 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态ψ 中的一组不同 力学量 F,G,⋯ 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 ，将会得到什么结果呢？ 这个问题。 这个问题。 • 主要内容有： 主要内容有： 一个关系： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
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（25） ）
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的本征函数。 可见Gϕn也是算符 F 的属于本征值 λn 的本征函数。已经 ∧ 非简并， 假定λn非简并，所以对应 λn 的两个本征函数 ϕn 和 Gϕn 最多 只能相差一个常数， 只能相差一个常数，所
F(Gϕn ) = G(F ϕn ) = λn (Gϕn )
∧
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（26） ）
[L , Lz ] = 0
∧ 2
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• 2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 逆定理：如果一组算符对易， 系的共同的本征函数。 系的共同的本征函数。 这里仅就非简并本征函数系加以证明 ∧ ∧ ∧ 相互对易， 若算符 F和 G 相互对易，对于 F 的本征函数 ϕn ，有
F ϕn = λnϕn
（16） ）
另外有
[Lx , Ly ] = iℏ Lz
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[Ly , Lz ] = iℏ Lx
∧
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） [Lz , Lx ] = iℏ Ly （17） （18） ）
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L× L = iℏ L
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• 1.4 几个重要的推论 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ • (1) [L2 , L ] = [L2 , L ] +[L2 , L ] +[L2 , L ] = 0 z x z y z z z
• 称算符 F与 G是对易的 即 F G = G F • 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
∧ ∧ ∧ ∧ [F, G] =∧−[G, F] ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [F, G+ M] = [F, G] + [F, M] ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [F, G M] = G[F, M] +[F, G] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [F G, M] = F[G, M] +[F, M]G
同 征 定 （ 括 定 ） 共 本 态 理 包 逆 理 不 定 系 确 关 三个定理: 三个定理 力 量 恒 理 学 守 定
∧
• 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 ∧ ∧ ∧ ∧ （1）算符之和：算符 F 与 G 之和 F+G 定义为 ）算符之和：
(F+ G)ψ = Fψ + Gψ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ F, G = F G− G F
（5） ）
• 若
∧
∧
∧ ∧ F, G ≠ 0
∧ ∧ F, G = 0
∧
∧
∧ ∧ ∧ ∧
（6） ）
∧ ∧ ∧ ∧
• 称算符 F与 G 是不对易的（不能交换位置） 即 F G ≠ G F 是不对易的（不能交换位置） • 若 （7） ）
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• 1.3 角动量算符的对易关系 ∧ ∧ ∧ , [Lx , x] = 0,[Lx , y] = iℏz,[Lx∧ z] = −iℏy ∧ ∧ [Ly , x] = −iℏz,[Ly , y] = 0,[Ly , z] = iℏx ∧ ∧ ∧ [Lz , x] = iℏy,[Lz , y] = −iℏx,[Lz , z] = 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法 只证明其中一个，
[L , Lj ] = 0,
∧ ∧ 2
∧ 2 ∧
j = (1,2,3) = (x, y, z)
∧ ∧ 2 ∧ 2 ∧ 2
（19） ） （20） ）
(2) [Lj , p ] = 0, [L, p ] = 0, [L , p ] = 0
∧
•
的函数， （3）球坐标下 L 是 θ,ϕ 的函数，若有径向函数算符U(r) ） 则 ∧ ∧ （21） ） [L,U(r)] = 0, [L2 ,U(r)] = 0
∧ ∧
∧ ∧
ψ = ∑cnϕn
n
（23） ）
• 有 (F G− G F)ψ = ∑cn (F G− G F)ϕn = 0 则
∧
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
F G− G F = 0或 [F, G] = 0
∧
∧ ∧
n ∧ ∧
∧
∧
（24） ）
是对易的。 这时才说 F 和 G 是对易的。这个结论可以推广到多个算 符，即 ϕ 如果一组算符有共同的本征函数完备系 n，则这组算符对易 ∧ ∧ 2 2 例如 L Ym (θ,ϕ) = l(l +1)ℏ Ylm (θ,ϕ) Lz Ym (θ,ϕ) = mℏYlm (θ,ϕ) ∧ ∧ 即在 Ylm (θ,ϕ) 态中 L2 , Lz 同时有确定值 l(l +1)ℏ2 mℏ ，所以 及 ∧ ∧ Ylm (θ,ϕ) 是 L2 , Lz的共同的本征函数，并且是完备的，所以 的共同的本征函数，并且是完备的，
• 例题一 任意态 ψ = Y3,1 (θ,ϕ) + Y2,2 (θ,ϕ) − Y1,−1 (θ,ϕ) 的可能值、 求ψ 态中 L , Lz 的可能值、概率及 L , Lz 。 ∧ ∧ 解法一 可以看出 ψ 是L2 , Lz 的共同本征函数所组成， 的共同本征函数所组成， 列表对应求解： 列表对应求解：
[Lx , y] = [ y pz − z py , y] = [ y pz , y] −[z py , y] = y[ pz , y] +[ y, y] pz − z[ py , y] −[z, y] py
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
(15)
• 记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为 记忆方法： 任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
= −z[ py , y] = iℏz
∧
• 以相同的推导方法和记忆规律，有 以相同的推导方法和记忆规律，
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Lx , px ] = 0,[Lx , py ] = iℏ pz ,[Lx , pz ] = −iℏ py ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Ly , px ] = −iℏ pz ,[Ly , py ] = 0,[Ly , pz ] = iℏ px ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Lz , px ] = iℏ py ,[Lz , py ] = −iℏ px ,[Lz , pz ] = 0
(8) (9) (10) (11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
[x, y] = 0
动量算符是微分算符
[ y, z] = 0
[z, x] = 0
（12） ）
∂2 ∂2 因为 则 = ∂x∂y ∂y∂x
∧ ∧ px , py = 0
∧ ∧ p y , pz = 0
(4)
[Li , r ] = 0, [L, r 2 ] = 0
2
∧
∧
（22） ）
• 2 共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易 共同本征函数完备系带来算符对易 ∧ ∧ 设两个算符 F 和 G有一个共同的本征函数 ϕn ，则必有 ∧ ∧ F ϕn = λaϕn 及 Gϕn = λbϕn ，即在ϕn 态中可以同时确定 这两个力学量的数值， 这两个力学量的数值，那么
∧
（28） ）
• 2.3 力学量完全集 ∧ 有些情况下， 有些情况下，力学量 F 的本征值是全部简并或部分简 ∧ 并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以， 并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F 的本 ∧ 征值不足以完全确定本征函数， ∧ 征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 F 独立且和 ∧ ∧ ∧ F 对易的其它力学量 G 。如果∧F,∧G 的共同的本征函数仍然 ∧ ∧ 有简并， 有简并，则必定还存在独立于 F, G 而又和 F, G 对易的其它 ∧ ∧ ∧ ∧ 的共同的本征函数是否还有简并？ 力学量 M ， F, G, M 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符， 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符， 如果它们的共同的本征函数是非简并的， 如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全 确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。 确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。 完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。 完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。请大家将一 维谐振子、角动量、 维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对照一 下。（注意：完全集中力学量的数目一般 ≥体系的自由度） 。（注意： 体系的自由度） 注意
2
2 3
2 3
1 3
2
L Ylm(θ,ϕ) = l(l +1)ℏ Ylm(θ,ϕ) Lz Ylm (θ,ϕ) = mℏYlm (θ,ϕ)
∧
∧
∧ x, px = iℏ
但是
（14a） ） （14b） ）
∧ x, py = 0
∧ x, p z = 0
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 ∧ (14c) xi , p j = iℏδij


p j ( j = 1,2,3) ≡ ( px , py , pz ) 其中 xi = (i = 1,2,3) ≡ (x, y, z) 坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系， ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。 它力学量的对易关系均可由此导出。
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∧
∧
（1） ）
∧
F 一般 ∧ + G = G+ F ，例如粒子的哈 密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U(r)之和
∧ p H= +U(r) = T +U(r) 2µ ∧ ∧ ∧ 2
ψ为任意函数
∧
∧
∧
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为 ）算符之积：
∧
(F G)ψ = F(Gψ )
∧ ∧
Gϕn = µnϕn
∧
（27） ）
ϕ • 可见， n 同时也是 G 的属于本征值 µn的本征函数。同 可见， 的本征函数。 ∧ ∧ ∧ 的其它本征函数也有此结论。所以， 理，对 F 的其它本征函数也有此结论。所以， 和G 有组 F 成完备系的共同的本征函数。 成完备系的共同的本征函数。 ∧ ∧ 2 例如， 例如，角动量算符 [L , Lz ] = 0 ，所以它们有组成完备系的 态中， 共同的本征函数 Ylm (θ,ϕ) ，在 Ylm (θ,ϕ) 态中，力学量 L2 , Lz l(l +1)ℏ2 及 mℏ 。 同时有确定值 ∧ 氢原子哈密顿算符 ∧ p2 H= +U(r) 2µ ∧
所以， 对易， 所以，H, L2 , Lz 对易，它们有组成完备系的共同的本征函 在该台中三者同时有确定值： 数 RnYlm (θ,ϕ) ，在该台中三者同时有确定值： n , l(l +1)ℏ2 , mℏ E
∧
∧ p2 ∧2 [H, L ] = [ , L ] +[U(r), L2 ] = 0 2µ ∧ ∧ 2
(F G− G F)ϕn = (λaλb − λaλb )ϕn = 0
∧ ∧ ∧ ∧
但下结论过早， 这似乎提醒我们有 (F G− G F) = 0，但下结论过早，因为 ∧ ∧ 这只是针对某一个特殊函数（ ），如果 这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ϕn），如果F 和G有 一组完备的共同本征函数， 一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
∧
∧
（2） ）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G− G F ≠ 0
∧ ∧
∧
∧
（3） ）
n个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
∧ d2 d 例如 F = 则 F2 = 2 dx dx
∧
∧
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dn F = n dx
∧ n
为了运算上的方便， 为了运算上的方便，引入量子括号
∧ ∧ pz , px = 0
13） （13）
坐标算符与动量算符： 坐标算符与动量算符：设 ψ 为任意函数
∧ ∂ x px ψ = −iℏx ψ ∂x ∧ ∂ ∂ px xψ = −iℏ (xψ ) = −iℏψ − iℏx ψ ∂x ∂x
• 比较后可得
x px ψ − px xψ = iℏψ