第三章-算符之间的对易关系.
算符对易关系_第三章
13
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测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件
1.坐标和动量
[,] 0 [pˆ, pˆ]0 [,p ˆ]i (,x,y,z)
2.角动量和坐标
[Lˆx , x] 0 [Lˆx, y]i z
[Lˆx,z]i y
即
[Lˆ,]i 或 [,Lˆ]i
3.角动量和动量
[Lˆx, pˆx] 0
[Lˆx, pˆy]i pˆz
即
[L ˆ,p ˆ]i p ˆ
22 r12rr2r2Lˆ2r2
pˆ
2 r
2
Lˆ2
2r2
径向动能算符 横向动能算符
其中径向动量算符 这是因为
pˆr
i r
1 r
p ˆr22r1 r r r2 2 r 2 r21 r r1 r r r2
2
2
r2
2 r
r
2
r2
r
r2
r
2
1 r
2 r2
(r
)
几个重要算符在球坐标系中的表示
1.算符的共轭
数： caib
cc*aib
矩阵： F ij
Fij Fj*i （即转置后取复共轭）
算符： 对任意的波函数 和1 ，2 的Aˆ 共轭 满足Aˆ
1 *A ˆ 2 d 2(A ˆ1 )*d
如 Aˆ c（复数），则
1 * c 2 d ( c1 ) *2 d1 * c *2 d
sinsin cossin
cosi sinj
e sin cos
0 k
3. 的Lˆ 本z 征解
Lˆz
i
d d
m
Aeim
由周期性条件
()(2) eim2 1 m 0 , 1 , 2 ,
本征值
m ( m 0 , 1 , 2 , )
新编文档-222- 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系-精品文档
x ˆ,y ˆ y ˆ,z ˆ z ˆ,x ˆ 0 x ˆ,x ˆ y ˆ,y ˆ z ˆ,z ˆ 0
结论：坐标分量算符之间是对易的——,0
2. 动量各分量之间的对易关系
p ˆx,p ˆyp ˆxp ˆyp ˆyp ˆx 2 x 2y 2 y 2x0
y ˆ p ˆ z , z ˆ p ˆ x y ˆ p ˆ z , x ˆ p ˆ z z ˆ p ˆ y , z ˆ p ˆ x z ˆ p y , x ˆ p ˆ z
y ˆ p ˆ z ,z ˆ p ˆ x 0 0 z ˆ p y ,x ˆ p ˆ z
3.7 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
一. 量子力学的算符基本对易关系
记 A ˆ,B ˆA ˆB ˆ B ˆA ˆ ，如两算符 Aˆ, Bˆ ,满足 A ˆ,B ˆ 0.
称 Aˆ , Bˆ 对易
常用的对易关系式
A ˆ,B ˆB ˆ,A ˆ
A ˆ,A ˆ 0
设 ——任意态函数
xˆpˆxixx
p ˆxx ˆ ih xx ih ih x x
x ˆp ˆxp ˆxx ˆ i
为任意波函数, 所以
x ˆ,p ˆx x ˆp ˆx p ˆx x ˆ ih
同理 y ˆ,p ˆy z ˆ,p ˆz i
① 角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系
L ˆ x , x ˆ y ˆ p ˆ z z ˆ p ˆ y , x ˆ y ˆ p ˆ z , x ˆ z ˆ p ˆ y , x ˆ
（ A ˆ ,B ˆ C ˆ A ˆ ,B ˆ A ˆ ,C ˆ
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符之阿布丰王创作3.1 算符概述设某种运算把函数u 变成函数v ，用算符暗示为：ˆFuv =（3.1-1） ˆF称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能分歧。
例如，11du v dx=，22xu v =，3v =，(,)x t ϕ∞-∞⎰，(,)x i p x hx edx C p t -=，则d dx，x ，dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFuMu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆI u=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGuGFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并不是所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可暗示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆF Fv FF v v --==，从而由ˆFv af =得：1ˆF af υ-=。
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
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第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
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p j ( j 1,2,3) ( p x , p y , p z ) 其中 xi (i 1,2,3) ( x, y, z ) ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系 x , x ] 0, [ L x , y ] iz , [ L x , z ] iy [ L [ L y , x] iz , [ L y , y ] 0, [ L y , z ] ix [ L z , x] iy, [ Lz , y ] ix, [ L z , z ] 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法
[ Lx , y ] [ y p z z p y , y] [ y p z , y ] [ z p y , y ] y[ p z , y ] [ y, y ] p z z[ p y , y ] [ z, y ] p y
(15)
• 记忆方法：从左至右以 x y z x 依次循环指标为 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
（6）
• 称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） 即 F G G F • 若 （7）
• 称算符 F 与 G 是对易的 即 F G G F • 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
, G ] [G, F ] [F [ F , G M ] [ F , G] [ F , M ] [ F , G M ] G[ F , M ] [ F , G ] M [ F G, M ] F [G, M ] [ F , M ] G
2 d d 例如 F 则 F2 2 dx dx
n d Fn n dx
为了运算上的方便，引入量子括号
F , G F G G F
（5）
• 若
F , G 0
F , G 0
pz, px 0
（13）
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
x p x ix x p x x i ( x ) i ix x x
• 比较后可得
x p x p x x i
x , p x i
但是
（14a）
（14b）
x, p y 0
x, p z 0
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 (14c) xi , p j i ij
为任意函数 一般 F G G F ，例如粒子的哈
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
( F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n 个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
(8) (9) (10) (11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
x, y 0
动量算符是微分算符
[ y, z] 0
[ z, x] 0
（12）
2 2 因为 则 xy yx
px , p y 0
py, pz 0
z[ p y , y ] iz
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[ Lx , p x ] 0, [ L x , p y ] i p z , [ Lx , p z ] i p y [ L y , p x ] i p z , [ L y , p y ] 0, [ L y , p z ] i p x [ Lz , p x ] i p y , [ Lz , p y ] i p x , [ Lz , p z ] 0
（16）
另外有
[ Lx , Ly ] i Lz
[ L y , L z ] i L x
[ L z , L x ] i L y （17）
（18）
L L i L
• 1.4 几个重要的推论 2 2 2 2 • (1) [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] 0 z x z y z z z
力学量算符之间的对易关系
• 讨论微观态 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量 F , G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 • 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 三个定理: 力学量守恒定理
• 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 F 与 G 之和 F G 定义为
( F G) F G
（1）
密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U (r )之和
p H U (r ) T U (r ) 2 2