算符与对易关系习题解

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第三章 算符与对易关系习题解
门福殿教授著《量子力学》
∴
3cos x 是
d2 的本征函数，其对应的本征值为－1。 dx 2
d2 d (sin x + cos x) = (cos x − sin x ） = − sin x − cos x 2 ⑤ dx dx = −(sin x + cos x)
积分得： lnψ =
1 x2 ( − λ x) + C ' i 2
整理得：ψ = Ce
i x2 − ( −λ x ) 2
ˆ 的本征函数，对应的本征值为 λ ，且 K ˆ =L ˆM ˆ 和 [L ˆ, M ˆ ] = 1 ，证明，则 u = L ˆϕ 8．若 ϕ 为 K
ˆ 的本征函数，对应的本征值为 λ − 1 ； v = M ˆ ϕ 也是 K ˆ 的本征函数，对应的本征值为 也是 K
α 2 x2 1 α −1 e 2 (2α x − 1) 的状态中， μω 2 x 2 ，处在ψ ( x) = 2 2 π
μω
，问：
（1）它的能量有无确定值？如果有，是多少？ （2）它的动量有无确定值？ 解： （1）用哈密顿算符作用在波函数上：
α 2 x2 d2 1 α −1 2 2 2 μω ] (2α x − 1) + x e 2μ dx 2 2 2 π
−
1 d 2 dψ (r ) = Eψ 2 μ r dr dr
2
令
U (r ) = rψ ,
k =
2
2μ E
2
，得
d 2u + k 2u = 0 2 dr
其通解为
u (r ) = A cos kr + B sin kr A B ∴−ψ (r ) = cos kr + sin kr r r
波函数的有限性条件知， A= 0 由波函数的连续性条件，有
1 = ∫ dθ = ∫ dϕ = ∫ ψ (r ) r 2 sin θ dr
Fra Baidu bibliotek
（3）
∫
∞
∞
−∞
ψ *4
d2 dφ φ dx = 4ψ * 2 dx dx
∞
∞ -∞
− 4∫
dψ * dφ dx −∞ dx dx
∞
2 ∞ d ψ * d ψ * dφ dψ * dx = −(4 φ − 4∫ φ dx ) = −4 ∫ −∞ dx dx −∞ dx 2 dx −∞
∞ d 2ψ * d2 = 4∫ φ dx = ∫ (4 2 ψ )*φ dx −∞ dx 2 −∞ dx ∞
则有 最后得
ˆ − 1) β ˆ−β ˆ 2α ˆ ˆβ ˆ=β (α ˆ2 − β ˆ 2α ˆ。 ˆβ ˆ = 2β α ˆα ˆ2 − β ˆ 3α ˆ2 ˆβ ˆ = 2β 即β
ˆ 左乘上式得 再以 β ˆ (α ˆ2 − β ˆ 2α ˆ2 ， ˆβ ˆ ) = 2β β
则有 最后得
ˆ3 − β ˆ 3α ˆ2 ˆ ˆ3 − β ˆ = 2β αβ ˆ3 − β ˆ 3α = 3β ˆ2 αβ ˆn − β ˆ nα ˆ n −1 ： ˆβ ˆ = nβ α
ln φ = − Fe− ix + ln c ˆ 的本征值） φ = ce− Fe （ F 是F
− ix
ˆ + x 的本征函数和本征值。 7.对一维运动，求算符 p
解：设波函数为ψ ( x) ，本征值为 λ ，则有
(−i dψ
d + x)ψ ( x) = λψ ( x) dx
=
ψ
1 ( x − λ )dx i
成立，
应用数学归纳法可以证明 先设
ˆ n −1 − β ˆ n −1α ˆ n−2 ˆ = (n − 1) β αβ ˆα ˆ n −1 − β ˆ nα ˆ n −1 ˆβ ˆ = (n − 1) β β
ˆ 左乘上式得 以β
则有 最后得
ˆ − 1) β ˆ n −1 − β ˆ nα ˆ n −1 ˆβ ˆ = (n − 1) β (α ˆn − β ˆ nα ˆ n −1 ˆβ ˆ = nβ α
2
1 − α 2 x2 2
[−
（1）
令φ = e
(2α x − 1)
1 1 1 − α 2 x2 − α 2 x2 − α 2 x2 dφ 1 2 2 2 2 (2α x − 1)] + e = − α ⋅ 2 x[e ⋅ 2α = −α xφ + 2α e 2 dx 2 1 1 − α 2 x2 − α 2 x2 d 2φ 1 2 2 2 2 = −α φ − α x[−α xφ + 2α e ⋅ 2α ⋅ (− )α 2 ⋅ 2 ]+ e 2 2 dx 2
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第三章 算符与对易关系习题解
门福殿教授著《量子力学》
ˆϕ +M ˆ λϕ = (λ + 1) M ˆ ϕ = (λ + 1)v =M
ˆ 的本征函数，对应的本征值为 λ + 1 。 故 v 也是 K
9.一维线形谐振子的势能 U ( x) = 式中 α =
λ + 1。
[解] 则 依题意
ˆ ϕ = λϕ K ˆu = K ˆL ˆϕ = L ˆM ˆL ˆϕ = L ˆ(L ˆM ˆ − 1)ϕ = L ˆK ˆϕ − L ˆϕ K ˆ λϕ − L ˆ ϕ = (λ − 1) L ˆ ϕ = (λ − 1)u =L
ˆ 的本征函数，对应的本征值为 λ − 1 ， 故u 是 K ˆ = KM ˆ ˆ ϕ = LMM ˆ ˆ ˆ ϕ = (1 + ML ˆ ˆ )M ˆϕ = M ˆ ϕ + MK ˆ ˆϕ Kv
−∞
ψ*
∞ ∞ d d d φ dx = − ∫ ( ψ *)φ dx = − ∫ ( ψ ) *φ dx −∞ −∞ dx dx dx
≠∫ (
−∞
∞
d ψ ) *φ dx dx
d 不是厄米算符 dx ∞ ∞ d d （2） ∫ ψ * i φ dx = iψ *φ ∞ ψ *φ dx -∞ − i ∫ −∞ −∞ dx dx ∞ ∞ d d d = −i ∫ ( ψ ) *φ dx = ∫ (i ψ ) *φ dx ∴ i 是厄米算符 −∞ dx −∞ dx dx
x
因此动量也无确定值。 10.一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 U ( r ) = ⎨ 态波函数。 解：据题意，在 r ≥ a 的区域， U (r ) = ∞ ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域 粒子的波函数
⎧ ∞, ⎩0,
r ≥ a; 求粒子处于 S 态的能级和定 r<a
ψ =0
(r ≥ a)
1 2 − α 2 x2 1 1 ωφ + (− )(−4α 3 xe 2 ) ≠ λφ } + μω 2 x 2φ = 2 2 2μ
因此能量无确定值。 另外，很显然
α x α α −1 α −1 e 2 (2α x − 1) = e 2 2 π 2 π
2 2
ψ ( x) =
2 2
x
⋅ 2α x −
（1）
ˆ − Dx ˆ )ψ ( x) = x dψ ( x) − d ( xψ ( x)) = x dψ ( x) − x dψ ( x) −ψ ( x) = −ψ ( x) ， ( xD dx dx dx dx ˆ − Dx ˆ = −1 ，代入（1）式，得所求证结果。 因此 xD ˆ 满足条件 α ˆ−β ˆα ˆβ ˆ = 1， ˆ 、β 2．如果算符 α
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门福殿教授著《量子力学》
第二章
算符与对易关系
d ˆ + x)( D ˆ − x) = D ˆ 2 − x2 − 1 , 试证： ( D dx ˆ + x)( D ˆ − x) = D ˆ 2 − Dx ˆ + xD ˆ − x2 证明： ( D ˆ + xD ˆ ，让其作用在ψ ( x) 上，有 其中的： − Dx ˆ= 1．设 D
∴
sin x + cos x 是
ix
d2 的本征函数，其对应的本征值为－1。 dx 2
ˆ = −ie 6.求算符 F
d 的本征函数和本征值。 dx
ˆ 的本征方程为 解： F ˆ φ = Fφ F dφ
即
− ieix
d φ = Fφ dx
φ
= iFe −ix dx = −d ( Fe− ix ) = d (− Fe −ix )
ix
ˆ = −ie 3.求算符 F
d ˆ = eix 的对易关系。 和G dx ˆ ] = [−ieix d , eix ] 让其作用在ψ ( x) 上，有 ˆ ,G 解： [ F dx ix dψ ( x) dψ ( x) dψ ( x) ix d ix ix d[e ψ ( x )] [−ie , e ]ψ ( x) = −ie + iei 2 x = −ieix ieixψ ( x) − ieix eix + iei 2 x dx dx dx dx dx d = −ieix ieixψ ( x) = ei 2 xψ ( x) 因此有： [−ieix , eix ]ψ ( x) = ei 2 xψ ( x) dx d [−ieix , eix ] = ei 2 x dx d d d2 d2 ,i , 4 2 ,i 2 。 4.下列算符中哪些是厄密算符： dx dx dx dx
d2 ∴ 4 2 是厄米算符 dx
（4）对于 i
d2 ，仿照（3）的步骤，可知，不是厄米算符。 dx 2 d2 的本征函数？ dx 2
（3） sin x ∴ (4) 3cos x (5) sin x + cos x
5.下列函数中哪些是 （1） e 解：①
x
（2） x
2
d2 2 (x ) = 2 dx 2 d2 x e = ex dx 2
ˆ2 − β ˆ 2α ˆ， ˆβ ˆ = 2β 求证： α
ˆ3 − β ˆ 3α ˆ2 ， ˆβ ˆ = 3β α ˆn − β ˆ nα ˆ n −1 ˆβ ˆ = nβ α ˆ 左乘之得 ˆ−β ˆα ˆβ ˆ = 1 ，以 β 证明： 利用条件 α ˆα ˆ−β ˆ 2α ˆ ˆβ ˆ =β β
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第三章 算符与对易关系习题解
∞
门福殿教授著《量子力学》
∞
解： （1）
∫
−∞
ψ*
d φ dx = ψ *φ dx
∞ -∞
−∫ (
−∞
d ψ *)φ dx dx
当 x → ±∞，ψ → 0，φ → 0
∴ ∴
∫
∞
ψ (0) 有限，则
∴
ψ (r ) =
B sin kr r
ψ (a) = 0 ⇒
∵B ≠ 0 ∴ ka = nπ
B sin ka = 0 a
(n = 1, 2, )
k= B nπ r sin r a
nπ a
∴
n 2π 2 2 En = 2μ a 2
π π
a
ψ (r ) =
其中 B 为归一化，由归一化条件得
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第三章 算符与对易关系习题解
门福殿教授著《量子力学》
由于在 r < a 的区域内， U (r ) = 0 。只求角动量为零的情况，即 = 0 ，这时在各个方向 发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度 θ 、ϕ 无关，是各向同性的，因此，粒 子的波函数只与 r 有关，而与 θ 、ϕ 无关。设为ψ (r ) ，则粒子的能量的本征方程为
x 2 不是
d2 的本征函数。 dx 2
②
∴
ex 是
d2 的本征函数，其对应的本征值为 1。 dx 2
d2 d ③ 2 (sin x) = (cos x) = − sin x dx dx
∴ 可见， sin x 是
d2 的本征函数，其对应的本征值为－1。 dx 2
④
d2 d (3cos x) = (−3sin x) = −3cos x = −(3cos x) 2 dx dx
= −α 2φ + α 4 x 2φ − 2α 3 xe
带入（1）式得：
2 1 − α 2 x2 2
1 − α 2 x2 2
− 2α 3 xe
1 − α 2 x2 2
= −α 2φ + α 4 x 2φ − 4α 3 xe
1 − α 2 x2 2
−
2μ
{−α 2φ + α 4 x 2φ − 4α 3 xe
α α −1 e 2 2 π
2 2
x
=ψ1 +
1 ψ0 2
能量可能取值为 E0 =
1 3 ω , E1 = ω ，概率分别为： 1/ 3, 2 / 3 2 2
2 2 2 2
（2）用动量算符作用在波函数上：
dψ −i = −i dx
1 − α x α α α −1 2 2 2 e 2 (−α xφ + 2α e ) = i (α x)ψ − 2i α 2 π 2 π