数学家lebesgue
勒贝格零测度
勒贝格零测度简介勒贝格零测度（Lebesgue measure）是数学分析领域中的一个重要概念。
它是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在20世纪初提出的，用于描述和度量实数集合的大小。
在数学中，我们常常需要研究集合的大小或者度量，例如长度、面积和体积等。
然而，对于某些特殊的集合，如不可数无穷集合或非常奇特的集合，传统的测度方法已经不再适用。
这时候就需要引入勒贝格零测度来解决这个问题。
零测度的定义给定一个实数集合X，如果存在一个可测集E，使得X包含于E中，并且E的勒贝格测度为0，则称X具有勒贝格零测度。
简单来说，如果一个集合可以被完全覆盖并且其覆盖部分的总长度、面积或体积为0，则该集合具有勒贝格零测度。
零测度的性质可加性勒贝格零测度具有可加性。
即如果两个零测度集合A和B没有交集，则它们的并集A∪B的勒贝格测度也为0。
这一性质使得我们可以将零测度集合进行分解，并对其进行更深入的研究。
子集与超集如果一个集合A具有勒贝格零测度，而B是A的子集，则B也具有勒贝格零测度。
这意味着零测度是具有传递性的，即包含在一个零测度集合中的任何子集都具有零测度。
相反地，如果一个集合C的超集具有非零测度，则C本身也不可能具有勒贝格零测度。
应用领域勒贝格零测度在数学分析、实变函数和概率论等领域中都有广泛应用。
以下是一些常见应用：积分理论在积分理论中，勒贝格零测度被用来定义可积函数。
对于不可积函数，我们可以通过将其限制在一个具有勒贝格零测度的子集上来解决积分问题。
流形理论在流形理论中，我们经常需要考虑一些特殊的几何对象，如曲线、曲面或高维流形。
通过引入勒贝格零测度，我们可以对这些几何对象进行更精确的度量和描述。
概率论在概率论中，勒贝格零测度被用来定义随机变量的分布函数。
通过对样本空间进行分解，我们可以得到更准确的概率分布结果。
总结勒贝格零测度是数学分析领域中一个重要的概念，用于描述和度量特殊集合的大小。
Lebesgue积分与Lebesgue测度
Lebesgue积分与Lebesgue测度Lebesgue积分是数学分析中的一种积分方法，它是由法国数学家亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在20世纪初提出的。
与传统的黎曼积分相比，Lebesgue积分在理论上更加严密，也更加广泛地适用于各种函数类。
为了介绍Lebesgue积分，首先需要了解Lebesgue测度。
Lebesgue测度是由Lebesgue在衡量集合的大小时提出的一种新的测度方法。
在传统的黎曼积分中，我们通过将函数分解为若干小区间上的近似和来进行积分。
而Lebesgue积分则通过将函数关注的点和其取值联系起来，基于集合的度量来定义积分。
Lebesgue测度的定义从开区间扩展到一般的集合上，通过定义集合的外测度、内测度和可测性来确定集合的Lebesgue测度。
其中，外测度是通过向置换集合中的开区间进行测量所得到的上估计，而内测度则是通过向置换集合的闭区间进行测量所得到的下估计。
如果对于任意给定的正实数ε，可以找到一个开区间覆盖集合，使得这些开区间的总长度与集合的外测度之差小于ε，则称该集合是可测的，且定义其外测度为集合的Lebesgue测度。
Lebesgue积分的定义基于Lebesgue测度，它通过将积分的定义扩展到更广泛的函数类上。
传统的黎曼积分只适用于可积函数，即函数在有限闭区间上有界且有有限个间断点的函数。
而Lebesgue积分则可以对更一般的函数进行积分，包括不可积函数、无界函数和带有无穷间断点的函数。
它的优势在于，在定义和计算上更加简洁和自然。
Lebesgue积分的定义通过将函数的取值和其关注的点联系起来，将函数视为一个整体来进行积分。
对于一个非负的可测函数，Lebesgue积分被定义为函数图像下方的小矩形与x轴之间的面积之和，即以函数图像作为被积函数，Lebesgue测度作为积分定义的测度，进行积分运算。
Lebesgue积分的性质与黎曼积分相类似，包括线性性、有界性、可加性、保序性等。
勒贝格 Lebesgue 定理
勒贝格定理
注：若f ( x), g( x)在[a,b]上可积，f ( x)与g( x)可以复合， f ( g( x))在[a,b]上也不一定可积.
例如:R(
x)为[0,1]上黎曼函数,取f
(u)
1, u 0, u
f ( qk ) 0 pk
存在无理数序列
k
,
lim
k
k
x, lim k
f
(k )
lim
k
k
=x
f ( x)在[0,1]不连续点集D( f ) 0，1，
D( f )是区间,不是零测集,f ( x)在[0,1] 有界,所以f 在[0,1]上不可积.
勒贝格定理应用
例4
判断函数在0,1
可积性.f
(
x)
1 x
0 f ( x) 1,函数有界.
y 1
o 1 1 1 1
1x
543 2
f
( x)在[0,1]上有界并且其不连续点集D(
f
)
1
n
n
2, 3,
{0},
D( f )是可数集，所以是零测集，所以f 在[0,1]上可积.
勒贝格定理应用
例2 判断下面函数在[0,1]上可积性
y
f
(
x
)
sgn
勒贝格定理
推论
1) 如果f 在a,b可积 f 0 ,则1/ f 在a,b可积; 2) 如果f , g在a,b可积,则fg在a,b可积; 3) 如果f 在a,b可积,则f 在任何子区间c,d a,b可积； 4) 如果f , g在a,b可积 g 0,则f / g在a,b可积；
定积分黎曼定理
定积分黎曼定理定积分黎曼定理（LebesgueIntegralTheorem），简称为黎曼定理，是20世纪初发现的重要数学定理。
由瑞士数学家黎曼发现，它确定了极限积分和定积分之间的关系，标志着计算数学的起源。
黎曼定理是指定积分可以用极限积分来代替，即定积分的积分范围是无穷多的。
也就是说，在定积分中，当积分范围上的点数量变到无穷多时，可以用极限积分来代替定积分。
这也是传统积分的重要推论，并且表明积分也具有统计意义。
许多现代数学的应用都是建立在黎曼定理的基础之上的，特别是微分几何、拓扑学和数学物理学，都基本可以归结为定积分黎曼定理。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而极大简化了数学分析的不变性，降低计算的复杂度，使用的面更宽。
【定积分的基本概念】定积分是定义在实函数上的积分，也叫定义域积分，是积分理论中重要的概念。
定积分是指积分运算时，函数在指定的区间内定义，其实质是用函数曲线下的面积来表示函数的实际值。
定积分的计算一般分成定积分的确定法与定积分的近似计算法。
定积分确定法是按照函数定义、函数特征，使用函数谱、分类归纳等方法，最终计算出某函数的定积分问题；而定积分的近似计算法是按照特定的积分运算方法，假定积分函数是离散的、有规律的，使用数值近似法，将求解的过程转化为数值运算的过程，从而计算出某函数的定积分问题。
【定积分黎曼定理的重要性】定积分黎曼定理是积分概念的大突破，为计算数学的发展和传统积分统计理论提供了基础。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而简化了数学推导过程，提高了计算效率。
黎曼定理也是微分几何、拓扑学和数学物理学的基础，极大地拓展了科学的发掘和应用领域。
有无数的实例表明，定积分黎曼定理的应用确实十分广泛。
例如，它可以用来证明函数的可微性，也可以用来证明某一函数的导数的可积性，以及证明极限积分和定积分之间的某些关系等。
归结起来，可以说，定积分黎曼定理无疑是科学实践中不可缺少的。
【定积分黎曼定理的计算】根据定积分黎曼定理的定义，定积分的计算一般分为两步：确定积分的范围以及确定积分的函数。
lebesgue积分的几个充要条件
lebesgue积分的几个充要条件Lebesgue分是一种实用的数学概念，它用于衡量定义在某一特定函数上的极限。
它于1902年由法国数学家H. 依拉克莱(Henri Lebesgue)提出，是现代分析学中最基础而又最重要的定义之一。
它被广泛用于各种不同的数学问题，如求解偏微分方程、研究随机过程、处理信号等等。
Lebesgue分的几个充要条件是：（1）长性：函数的积分和总面积大于等于0，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx≥0；（2）均值定理：当f(x)为连续函数时，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx既可以计算函数的积分，又可以计算函数的平均值，即有I=∫a[f(x)]dx=f(x)dx/n；（3）许使用分段/离散函数，一般情况下，可以用离散函数替代连续函数来计算积分，即可以用一个小的窗口，以一定的步长来计算离散函数的积分，而不需要使用连续函数；（4）法性质：即函数的积分可以分解为多个积分，并可以结合得到最后的总积分，即有I=∫af(x)dx=∑∫af1(x)dx+∫af2(x)dx+……+∫afn(x)dx；（5）盖定理：函数的积分可以用来表示定义域[a,b]的面积，也可以用来表示图像下面的积分面积，即有I=∫af(x)dx=∫bak(x)dx，其中k(x)为图像下面的函数；（6）换性质：函数积分的顺序是可以换的，即有I=∫af(x)dx=∫bf(b-x)dx；（7）线性性质：函数积分与系数相乘是线性关系，即有I=∫af(x)dx=c∫af(x)dx，其中c∈R。
Lebesgue分有很多种应用，它可以用来测量一个连续函数的极限界限，也可以用来计算多变量的函数的积分。
它也被广泛应用于函数分析、统计信号处理、最优化、概率和复变函数等领域，用来研究复杂的数学结构。
例如，可以用它来计算多元函数的导数、研究随机过程，解决最优化问题，研究复杂的微积分函数结构等等。
虽然Lebesgue分有一些明确的充要条件，但它们在实际应用中也不是绝对的。
Lebesgue测度
Lebesgue测度【摘要】：本次大作业主要研究Lebesgue外侧度，Lebesgue测度，Lebesgue可测集的定义、性质，以及个人对Lebesgue测度的一些理解。
【关键词】：Lebesgue 外测度、Lebesgue测度、Lebesgue可测集1.Lebesgue其人以及Lebesgue引入Lebesgue测度的动机1.1、Lebesgue其人介绍勒贝格（1875～1941）Lebesgue，Henri Lon法国数学家。
1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。
1894～1897年在巴黎高等师范学校学习。
1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。
1922年任法兰西学院教授，同年被选为巴黎科学院院士。
勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。
他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。
在定义积分时他也采取划分值域而不是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。
他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。
利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。
另外,他在维数论方面也有贡献。
1.2、Lebesgue引入Lebesgue测度的动机19 世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段．1854 年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数．随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就巳经开展了对积分理论的改造工作．当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位．积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的．因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中．这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广．勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充．2、Lebesgue 可测集的相关定义 2.1、Lebesgue 外测度对于每一个实数子集E ，定义:(E) =inf{}此时我们称（E ）为E 的Lebesgue 外测度，由于全体实数R 是一个开区间并且E 是R 的子集，所以上述定义是合理的，并且（E ）是一个非负广义实数。
勒贝格可积性研究
勒贝格可积性研究勒贝格可积性（Lebesgue integrability）是数学分析中的一个重要概念，由法国数学家亨利·勒贝格在20世纪初提出。
勒贝格可积性是测度论的核心内容之一，并在实分析、概率论和数论等领域中有着广泛的应用。
具体地说，假设我们有一个定义在测度空间上的函数f：E→R，其中E是测度空间，R是实数集。
我们想要判断f是否是可积的，也就是说，我们想要找到一个值来“衡量”f在E上的积分是否存在。
∫f*(x)dx = sup{∫g(x)dx ， g是一个简单函数，且0≤g(x)≤f(x)}而f的上积分（upper integral）定义为：∫f*(x)dx = inf{∫g(x)dx ， g是一个简单函数，且f(x)≤g(x)}如果f的下积分和上积分都相等且有限，我们则称函数f是可积的，其积分等于下积分或上积分的值。
这就是勒贝格可积性的定义。
勒贝格可积性的实质是通过数列逼近来对函数进行近似。
简单函数可以看作是定义在有限测度空间上的分段常值函数，通过对定义域进行分割，并在每个子集上取常值来近似原函数。
我们用这些简单函数的积分值的下确界和上确界来近似原函数的积分值，如果这两个值相等且有限，那么我们就认为原函数是可积的。
勒贝格可积性的研究主要涉及了对可积函数的性质和定理的探讨。
例如，勒贝格可积性具有线性性质，即两个可积函数的线性组合仍然是可积的。
此外，如果一个函数在一些测度为零的集合上取值为零，则它是可积的。
还有，如果一个函数是有界的，则它也是可积的。
另一个与勒贝格可积性相关的重要结果是勒贝格收敛定理（Lebesgue convergence theorem）。
该定理认为，如果一个函数序列在测度空间上逐点收敛于另一个函数，并且这个函数序列都可积，则收敛函数也是可积的，并且其积分等于逐点收敛的函数序列的积分值。
总而言之，勒贝格可积性是测度论的重要内容，它为实分析、概率论和数论等领域中的积分理论提供了坚实的基础。
Lebesgue积分与收敛定理
Lebesgue积分与收敛定理Lebesgue积分是数学分析中一种重要的积分方式，它由法国数学家Henri Lebesgue于20世纪初提出，并成为现代测度论的基础。
Lebesgue 积分理论相比于传统的黎曼积分理论更加广泛适用于各种函数，且具有更强的收敛性质。
Lebesgue积分的定义和计算方法相对复杂，但其背后的思想却非常直观。
Lebesgue积分是通过测量函数在定义域上的取值与所谓的测度之间的关系来定义的。
具体而言，给定一个定义在实数轴上的函数f(x)，我们可以将实数轴分割成许多维度无穷小的区间，并在每个区间上计算函数的取值与区间长度的乘积。
然后将所有这些乘积相加，即可得到Lebesgue积分。
与黎曼积分相比，Lebesgue积分的优势在于其更强的收敛定理。
在Lebesgue积分中，我们可以定义函数序列的极限，并通过极限的性质来研究函数的收敛行为。
其中最为重要的收敛定理包括单调收敛定理、Fatou引理、Lebesgue收敛定理和控制收敛定理等。
单调收敛定理是指如果一个递增（或递减）的函数序列在积分定义域上逐点收敛于某个函数，那么它的积分也收敛，并且其积分值等于极限函数的积分。
这一定理在研究一些特殊的函数序列，如三角函数序列和幂函数序列时特别有用。
Fatou引理和Lebesgue收敛定理则是用来研究函数序列的逐点收敛性质的定理。
Fatou引理是指对于任意一个非负的函数序列，其逐点极限的积分不能大于或小于其下极限（上极限）的积分。
Lebesgue收敛定理则是对一般函数序列加以推广的结果，它给出了函数序列逐点收敛的充要条件，并且得出了收敛函数的积分等于极限函数的积分。
控制收敛定理是通过额外的控制函数来研究函数序列的收敛性质。
具体而言，如果对于一个函数序列，存在一个可测函数g(x)和一个可积函数h(x)，使得对于所有的x，序列中的每个函数的绝对值都小于g(x)，并且序列中的每个函数与极限函数之间的差的绝对值都小于h(x)，那么这个序列就称为控制收敛的。
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勒贝格勒贝格，H．L．(Lebesgue，Henri Léon) 1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月2 6日卒于巴黎．数学．勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养．在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别善长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落．在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎．1894年考入高等师范学校．1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年．在这期间，出版了E．波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《函数论讲义》(Lecons sur la théorie des functions 1898)，特别是研究生R．贝尔(Baire)发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文．这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情．从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”(I ntégrale，longueur，aire)．在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论．此后，他开始在大学任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期间，他进一步出版了一些重要著作：《积分法和原函数分析的讲义》(Leconssur l‘intégration et la recherche des fonctions primitives，1904)；《三角级数讲义》(Lecons sur les séries trigonométriques，1906)．接着，勒贝格又于1910—1919年在巴黎(韶邦)大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果．勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号，翌年作为C．若尔当(Jordan)的后继人被选为巴黎科学院院士．勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题．19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段．1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数．随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就巳经开展了对积分理论的改造工作．当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位．积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的．因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中．这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广．勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充．为勒贝格积分理论的创立作出重要贡献的首先应推若尔当，他在《分析教程》(Cours d’analyse，189 3)一书中阐述了后人称谓的若尔当测度论，并讨论了定义在有界若尔当可测集上的函数，采用把定义域分割为有限个若尔当可测集的办法来定义积分．虽然若尔当的测度论存在着严重的缺陷(例如存在着不可测的开集，有理数集不可测等)，而且积分理论也并没有作出实质性的推广，但这一工作极大地影响着勒贝格研究的视野．在这一方向上迈出第二步的杰出人物是波莱尔，1898年在他的《函数论讲义》中向人们展示了“波莱尔集”的理论．他从R1中开集是构成区间的长度总和出发，允许对可列个开集作并与补的运算，构成了所谓以波莱尔可测集为元素的σ代数类，并在其上定义了测度．这一成果的要点是使测度具备完全可加性(若尔当测度只具备有限可加性)，即对一列互不相交的波莱尔集{E n}，若其并集是有界的，则其并集的测度等于每个E n的测度的和．此外，他还指出，集合的测度和可测性是两个不同的概念．但在波莱尔的测度思想中，却存在着不是波莱尔集的若尔当可测集(这一点很可能是使他没有进一步开创积分理论的原因之一)．特别是其中存在着零测度的稠密集，引起了一些数学家的不快．然而勒贝格却洞察了这一思想的深刻意义并接受了它．他突破了若尔当对集合测度的定义中所作的有限覆盖的限制，以更加一般的形式发展和完善了波莱尔的测度观念，给予了集合测度的分析定义：设E [a，b]，考虑可数多个区间{Ii}对E作覆盖．定义数值m*(E)+m*([a，b]＼E)=b-a，则称E为可测集(即E是勒贝格可测的)．在此基础上，勒贝格引入了新的积分定义：对于一个定义在[a，b]上的有界实值函数f(x)(m≤f(x)≤M)，作[m，M]的分割△：m=y0＜y1＜…＜y n-1＜y n=M．令E i={x∈[a，b]:y i-1≤f(x)≤y i}，(i=1，2，…n)并假定这些集合是可测的(即f(x)是勒贝格可测函数)．考虑和式如果当max{y i-y i-1}→0时，s△与S△趋于同一极限值，则称此值为f(x)在[a，b]上的积分，勒贝格曾对他的这一积分思想作过一个生动有趣的描述：“我必须偿还一笔钱．如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一地还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分；不过，我还有另外一种作法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分”．在他的这一新概念中，凡若尔当可测集，波莱尔可测集都是勒贝格可测集．勒贝格积分的范围包括了由贝尔引入的一切不连续函数．从数学发展的历史角度看，新的积分理论的建立是水到渠成的事情．但是可贵的是，与同时代的一些数学家不同，在勒贝格看来，积分定义的推广只是他对积分理论研究的出发点，他深刻地认识到，在这一理论中蕴含着一种新的分析工具，使人们能在相当大范围内克服黎曼积分中产生的许多理论困难．而正是这些困难所引起的问题是促使勒贝格获得这一巨大成就的动力．这方面的第一个问题是早在19世纪初期由J．傅里叶(Fou-rier)在关于三角级数的工作中不自觉地引发的：当一个有界函数可以表示为一个三角级数时，该级数是它的傅里叶级数吗？这一问题与一个无穷级数是否可以逐项积分有着密切的关系．傅里叶当时曾认为在其和为有界函数时这一运算是正确的，从而给上述问题以肯定的回答．然而到了19世纪末期，人们认识到逐项积分并不总是可行的，甚至对于黎曼可积函数的一致有界的级数也是这样，因为由该级数所表示的函数不一定是黎曼可积的．这个问题的讨论促使勒贝格在新的积分理论中获得了一个十分重要的结果：控制收敛定理．作为一个特殊情形他指出，勒贝格可积的一致有界级数都可以逐项进行积分，从而支持了傅里叶的判断．逐项积分在本质上就是积分号下取极限的问题，它是积分论中经常遇到的最重要的运算之一．从而这一定理的创立显示出勒贝格积分理论的极大优越性．微积分基本定理是微积分学的核心．然而这一公式的运用在黎曼积分意义下却有较大的限制，在1878—1881年间，U．迪尼(Dini)和V．沃尔泰拉(Volterra)曾构造了这样的函数，它们具有有界的导函数，但是导函数不是黎曼可积的，从而基本定理对此是不适用的．此后，联系到黎曼积分对无界函数的推广也发现了类似的困难．然而，在新的积分理论中，勒贝格指出，对有界函数来说，这一困难是不存在的．在f'是有限值但无界的情形，只要是可积的，基本定理仍是成立的，而且这正相当于f是有界变差函数．同时，逆向问题也被人们提出来了：何时一个连续函数是某个函数的积分？为此，A．哈纳克(Harnack)曾导入了后来叫做绝对连续的函数．约在1890年期间，绝对连续函数就被当作绝对收敛的积分的特征性质来研究，虽然还没有人能真正证明任何绝对连续函数都是一个积分．然而，勒贝格通过对于导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察，认识到在他的积分意义下，上述结论是正确的．从而得出了积分与原函数之间的一个完整结果：公式(1)成立的充分且必要条件是： f(x)是[a，b]上的绝对连续函数．另一个与积分论有关的问题是曲线的长度问题．19世纪前期，很少有人注意到一条曲线长度的定义和可求长问题．一般都认为以y=f(x)(a≤x≤b)所描述的曲线段总是有长度的，且长度可用表示．杜·布瓦-雷蒙(Du Bois-Reymond)在研究关于两点间长度最短的曲线的变分问题时，从G．P．L．狄利克雷(Dirichlet)关于函数的一般观点出发探讨了曲线长度的概念．由于用到了极限过程这一分析手段，他认为(1879)积分理论对曲线长度的概念和可求长性质的陈述是必不可少的．但到了19世纪末期，这一见解由于L．希弗尔(Scheeffer，1859—1885)举出的反例而受到责难，这一反例致使定积分感兴趣，并应用他的积分论中的方法和结果，证明了曲度长度与积分概念是密切相关的，从而恢复了杜·布瓦-雷蒙断言的可信性．勒贝格关于微积分基本定理和曲线可求长理论的研究，促使他发现有界变差函数是几乎处处可微的这一事实．(注：若尔当曾指出不定积分是有界变差函数．)这一定理的重要性在于：人们对于连续函数的可微性已经讨论了一个多世纪，在19世纪的几乎前半个世纪，人们还一直认为连续函数在其定义区域中的绝大多数点上都是可微的．虽然连续函数总被误认为是逐段单调的，但这使单调性与可微性联系起来了，尽管是脆弱的．19世纪末期，这一看法逐渐被人怀疑，甚至有些其地位不低于魏尔斯特拉斯的数学家都觉得存在着无处可微的连续的单调函数．于是，在这一意义下，勒贝格的定理支持了前一代数学家的直觉印象．在传统的关于二重积分与累次积分的等值性定理上，黎曼积分也反映出它的不足之处，人们发现了使该定理不成立的例子．从而作为一个结论，这一定理的传统说法必须修改，然而在把积分推广于无界函数的情形时，这一修改变得更加严峻．对此，勒贝格的重积分理论，使得用累次积分来计算二重积分的函数范围扩大了．他在1902年给出的一个结果奠定了1907年G．傅比尼(Fubini)创立的著名定理的基础．勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如P．法图(Fatou)，F．里斯(Riesz)和E．菲舍尔(Fischer)等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展．其中特别是里斯关于L p空间的工作(注：勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的)，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置．虽然勒贝格在最初阶段专注于他自己的积分理论，然而在激励抽象测度和积分论研究的开展上，他的工作仍是先导性的．1910年，勒贝格发表题为“关于不连续函数的积分”(Sur I’intégrationdes fonctions discontinues)的重要专题报告．在这里他不仅把积分、微分理论推广于n维空间，而且引入了可数可加集合函数的概念(定义于勒贝格可测集类上)，指出这些函数是定义在集合类上的有界变差函数．正是因为对于有界变差与可加性概念之间联系的考察，使得J．拉东(Radon)作出了更广的积分定义，其中把T．-J．斯蒂尔吉斯(Stieltjes)积分和勒贝格积分作为它的特殊情形．他还在1913年的文章中指出，勒贝格的思想在更一般的背景上也是有效的．勒贝格的一生都献给了数学事业，在1922年被推举为院士时，他的著作和论文已达90种之多，内容除积分理论外，还涉及集合与函数的构造(后来由俄国数学家H．鲁金(ЛyэиH)及其他学者进一步作出发展)、变分学、曲面面积以及维数理论等重要结果．在勒贝格生前最后20年中，研究工作仍然十分活跃并反映出广泛的兴趣，不过作品内容大都涉及教育、历史及初等几何．勒贝格的工作是对本世纪科学领域的一个重大贡献，但和科学史上所有新思想运动一样，并不是没有遇到阻力的．原因是在勒贝格的研究中扮演了重要角色的那些不连续函数和不可微函数被人认为违反了所谓的完美性法则，是数学中的变态和不健康部分．从而受到了某些数学家的冷淡，甚至有人曾企图阻止他关于一篇讨论不可微曲面的论文的发表．勒贝格曾感叹地说：“我被称为一个没有导数的函数的那种人了！”然而，不论人们的主观愿望如何，这些具有种种奇异性质的对象都自动地进入了研究者曾企图避开它们的问题之中．勒贝格充满信心地指出：“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费他们的时间，而不是在从事有用的工作．”由于在实变函数理论方面的杰出成就，勒贝格相继获得胡勒维格(Houllevigue)奖(1912年)；彭赛列(Poncelet)奖(1914年)和赛恩吐(Saintour)奖(1917年)．许多国家和地区(如伦敦、罗马、丹麦、比利时、罗马尼亚和波兰)的科学院都聘他为院士，许多大学授予他名誉学位，以表彰他的贡献．。