概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
合集下载
概率第一章
1.2.1 基本事件空间与事件
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
概率论与数理统计(完整版)
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
随机事件与概率教案
概率论与数理统计教学教案第1章随机事件与概率B 称为事件k n A 个事件为B 称为事件1nk k A =为n 个事件,n A 的积事件，称1k k A ∞=为可列个事件的积事件）事件A B -称为事件与事件B 的差事件，表示A 发生且 ,∅=B A 称为事件A 与事件B 是互不相容或互斥的，表示事件与事件B 不能同时发生A B S =且B =∅，称事件与事件B 互为逆事件，或称事件A 与事件A ,B 中必有一个发生，且仅有一个发生，的对立事件记作S A =-.．事件间的运算律：设,,A B C 为事件，则有）交换律: A B A =, A ）结合律: A C B A ()(=）分配律: ()(B A C B A = ()(B A C B A =B C ;ABC A B C =;ABCABC ABC ; ABC ABC ABC ABC AB BC CA =;）至多有两个次品（考虑其对立事件）)()()ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C ==.授课序号02(n k -+)k n ≤个元素的不同组合总数为1)(1)!n k k --+是平面上某个区域, 它的面积记为的位置和形状无关，)()A A μ=. ,2,, 有11i i i A ∞∞==⎫=⎪⎭∑2．概率的运算性质（1）0≤（2）A 若+P(A n ).（3）对于任意两个事件)(A B P -=,)k人取到具有快充功能的充电器（记为事件件产品，其中有货架上有外观相同的商品求这两件商品来自同一产地的概率某接待站在某一周曾接待过推断接待时间是有规定的?B=)0.6授课序号03)2|B A =两点说明：计算条件概率的方法在缩减的样本空间）在样本空间S 中，先求事件．乘法公式：(P AB A A A ,,,21 2,,;n2n B B S =,)n，则()AP=全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，题，最后应用概率的可加性求出最终结果的样本空间为，.)(|)C P A B C在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为只白球，每次自袋中任取一只球若在袋中连续取球四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到授课序号04k i n <≤三个事件相互独立：)()(C P A ，）()3n n ≥）若事件,21A A ,,n A 相互独立，则有212()1()n n P A A P A A A =-1212()1()()()n n P A A A P A P A P A =-=- ．独立性在系统可靠性中的应用 对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性. 对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的（2）每次试验都仅考虑两个可能结果：事件A 和事件A ，且在每次试验中都有p A P =)(，p A P -=1)(．2.定理：设在一次试验中事件A 发生的概率为p ()01p <<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生了k ()k n ≤次的概率为k n k k n n p p C k P --=)1()(，n k ,,2,1,0 =，10<<p .三．例题讲解例1.设B A ,互不相容，若0)(,0)(>>B P A P ，问B A ,是否相互独立？例2.设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立,BC =∅,若1()(),2P A P B ==1(|)4P AC A B =,求()P C .例3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，设甲的成功率为0.4，乙的成功率为0.3，丙的成功率为0.2，求密码被破译的概率.例1.26 加工某一零件共需经过7道工序, 每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.例4.来看四个独立工作的元件组成的系统的可靠性，设每个元件的可靠性均为p ，分别按图1.4的两种方式组成系统（分别记为S 1和S 2），求两种组合方式的可靠性.图1.4 系统S 1（左图）和系统S 2（右图） 例5.某店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在1小时内用秤15分钟．问该店配置几台秤较为合理．数字化仓库评估规范1 范围本文件规定了数字化仓库评估的基本原则与评估指标构成及评估内容，并提供了评估指标体系的构建和评估分析方法。
概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
1-第二节古典概率与几何概率
N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
01.2古典概率几何概率统计概率
54
P( A)
C52 C82
2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
概率论与数理统计 第一章1.3古典概型与几何概型
基本事件总数为 24. 记 (1), (2), (3), (4) 的事件分
别为 A, B,C, D.
(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成 1,2,3,4 的
顺序;
(1) A 中有两种排法, 故有
P(
A)
2 24
1 12
.
(2) 第 1 号球排在最右边或最左边;
(2) B 中有 2 (3!) 12 种排法, 故有
完
计算古典概率的方法
基本计数原理
加法原理
乘法原理
排列组合方法 排列公式
应用举例
组合公式
二项式
完
例 1 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3
个黑球, 7 个白球, 求: (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的
概率 以及两个球全是黑球的概率.
顺序;
(2) 第 1 号球排在最右边或最左边; (3) 第 1 号球与第 2 号球相邻;
解 将 4 个球随意地排成一行有4!=24 种排法, 即 基本事件总数为 24. 记 (1), (2), (3), (4) 的事件分 别为 A, B,C, D.
解 将 4 个球随意地排成一行有4!=24 种排法, 即
三班 6 名的分法有:
C145C151C
6 6
15! 4!5!6!
(种).
解 15 名优秀生分别分配给一班 4 名, 二班 5 名,
三班 6 名的分法有:
C145C151C
பைடு நூலகம்
6 6
15! 4!5!6!
(种).
(1) 将 3 名优秀生分配给三个班级各一名, 共有 3!
种分法, 再将剩余的 12 名新生分配给一班 3 名,
茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章 (2)
上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个 班级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多 数人直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告 诉我们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机 现象统计规律的重要性.
4. 求概率的几何方法
例四. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求 其中恰有k(k≤D)件次品的概率.
解 : 样本空间就是从 N个产品中取 n件的不同 方式, 样本点数就是方式数
n CN
所求事件是 n个产品中有 k件次品 , 这个事件可以 通过两个步骤完成 :
k (1)从D件次品里取 k件, 方式数为 C D
n k (2)从N D个正品中取 n k件, 方式数为C N D
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
分房模型在统计物理学里也有应用. 在那里将本例 中的“人”理解成“粒子”, “房间”理解成不同 的“能级”.
例七.(生日问题) 某班级有n个人 (n≤365), 问至少 有两个人的生日在同一天的概率有多大? 解: 假定一年按365天计算, 把365天当作365个“房间”,
那么问题类比于例五. 这时, 事件“n个人生日全不相同”就相当于例五中 的(2):“恰有n个房间, 其中各住一人”. 令A={n个人中至少有两个人的生日在同一天}, 则其 对立事件是{n个人的生日全不相同}. 根据例五(2)知
4. 求概率的几何方法
例四. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求 其中恰有k(k≤D)件次品的概率.
解 : 样本空间就是从 N个产品中取 n件的不同 方式, 样本点数就是方式数
n CN
所求事件是 n个产品中有 k件次品 , 这个事件可以 通过两个步骤完成 :
k (1)从D件次品里取 k件, 方式数为 C D
n k (2)从N D个正品中取 n k件, 方式数为C N D
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
分房模型在统计物理学里也有应用. 在那里将本例 中的“人”理解成“粒子”, “房间”理解成不同 的“能级”.
例七.(生日问题) 某班级有n个人 (n≤365), 问至少 有两个人的生日在同一天的概率有多大? 解: 假定一年按365天计算, 把365天当作365个“房间”,
那么问题类比于例五. 这时, 事件“n个人生日全不相同”就相当于例五中 的(2):“恰有n个房间, 其中各住一人”. 令A={n个人中至少有两个人的生日在同一天}, 则其 对立事件是{n个人的生日全不相同}. 根据例五(2)知
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
19
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
解
n Nk
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球
P( A1)
k! Nk
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k )
P(
A2 )
Ckm
(N 1)km Nk
（3）恰有 k 个盒子中各有一球 每个盒子至多一球
P( A3 )
CNk k! Nk
ANk Nk
N (N 1)
(N k 1) ANk
基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生
有限性 等可能性
具有上述特点的随机试验E称为古典(等可能)概型.
3
02 古典概率
1. 古典概率
设随机试验E为古典概型，记
n 样本空间S 中所包含的基本事件的个数
k 事件A中所包含的基本事件的个数
则 P( A) k n
概率的古典定义
对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数问题，该问题通常可以 借助排列组合公式以及加法和乘法原理等进行计算.
（1） 设样本空间S是平面上某个区域， 它的面积记为μ(S);
S
12
02 古典概率
（2） 向区域S上随机投掷一点
“随机投掷一点”的含义是: 该点落入S内任何部分区域内的可能性只与 这部分区域的面积成比例，而与这部分区域 的位置和形状无关.
S
13
02 古典概率
（3） 设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点， 该点落在区域A的概率为
解 令A={恰有k件次品}
P( A)
C C k nk M NM
C
n N
超几何公式
6
02 古典概率
快充
普充
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取，求第k次摸得黑球的 概率．
(1)有放回抽取：
a
a
b
(2)不放回抽取： a ab
无放回和有放回答案相同！ 简单理解是“抽签理论或排队理论”：如10个充电器含3个快充，每次抽中快 充的概率都是3/10，与次序无关！
4
02 古典概率
（1）加法原理 设完成一件事有m 种方式，第i 种方式有ni种方法， 则完成这件事共有:n1 n2 nm种不同的方法.
（2）乘法原理 设完成一件事需要m个步骤，第i个步骤有ni种方法， 则完成这件事共有: n1 n2 nm种不同的方法.
（3）排列公式 Ank n(n 1)
X
Y
|
1
2
( A) (S)
1
1 2
2
1
3 4
解法2 利用均匀分布计算（第三章）
y
1 A
O 1/2 1
x
18
第2讲 古典概率与几何概率
知识点解读—古典概型与几何概型
古典概型是最简单的一种概率模型，要掌握好古典概型，必须 学好排列组合公式.会利用排列组合公式去求样本点总数和事件 包含的样本点个数. 几何概型的概率计算的关键是将样本空间和随机事件用正确的 图形表示出来. 几何图形的度量主要是长度，面积或体积等，经常运用积分等 工具去求解.
C a1 a b 1
Ca ab
a ab
8
02 古典概率
例（分房模型）
设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ k N ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球（ m k ） （3）恰有 k 个盒子中各有一球.
7
02 古典概率
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取， 求第k次摸得黑球的概率． (2)不放回抽取
解法1
把球编号，按抽取次序把球排成一列，样本点总 数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! ． 事件A相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，每
种放法又对应其它a+b－1个球的(a+b－1)! 种放
法, 故事件A包含的样本点数为a(a+b－1)!
解法2 只考虑前k个位置
a(a b 1)! a (a b)! a b
aAk 1 a b 1 Ak ab
a ab
解法3 共a +b个次序，总数:从a +b个次序里边挑a 个给 黑球。事件A的次数：把第k个位置放黑球，剩 下a +b-1个位置，挑a-1个给黑球
2.几何概率
设样本空间为有限区域 S, 若样本点落入S内任何区域 A中的概率 与区域A的测度成正比, 则样本点落入A内的概率为
P( A) A的测度 S 的测度
17
02 几何概率
典型例题
约会问题
在区间(0, 1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.
解法1 利用几何概型计算
P |
A
S
P( A) ( A) (S)
14
02 古典概率 （3） 假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用
P( A) ( A) (S)
确定，只不过把() 理解为长度或体积即可.
15
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 几何概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
解
n Nk
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球
P( A1)
k! Nk
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k )
P(
A2 )
Ckm
(N 1)km Nk
（3）恰有 k 个盒子中各有一球 每个盒子至多一球
P( A3 )
CNk k! Nk
ANk Nk
N (N 1)
(N k 1) ANk
基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生
有限性 等可能性
具有上述特点的随机试验E称为古典(等可能)概型.
3
02 古典概率
1. 古典概率
设随机试验E为古典概型，记
n 样本空间S 中所包含的基本事件的个数
k 事件A中所包含的基本事件的个数
则 P( A) k n
概率的古典定义
对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数问题，该问题通常可以 借助排列组合公式以及加法和乘法原理等进行计算.
（1） 设样本空间S是平面上某个区域， 它的面积记为μ(S);
S
12
02 古典概率
（2） 向区域S上随机投掷一点
“随机投掷一点”的含义是: 该点落入S内任何部分区域内的可能性只与 这部分区域的面积成比例，而与这部分区域 的位置和形状无关.
S
13
02 古典概率
（3） 设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点， 该点落在区域A的概率为
解 令A={恰有k件次品}
P( A)
C C k nk M NM
C
n N
超几何公式
6
02 古典概率
快充
普充
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取，求第k次摸得黑球的 概率．
(1)有放回抽取：
a
a
b
(2)不放回抽取： a ab
无放回和有放回答案相同！ 简单理解是“抽签理论或排队理论”：如10个充电器含3个快充，每次抽中快 充的概率都是3/10，与次序无关！
4
02 古典概率
（1）加法原理 设完成一件事有m 种方式，第i 种方式有ni种方法， 则完成这件事共有:n1 n2 nm种不同的方法.
（2）乘法原理 设完成一件事需要m个步骤，第i个步骤有ni种方法， 则完成这件事共有: n1 n2 nm种不同的方法.
（3）排列公式 Ank n(n 1)
X
Y
|
1
2
( A) (S)
1
1 2
2
1
3 4
解法2 利用均匀分布计算（第三章）
y
1 A
O 1/2 1
x
18
第2讲 古典概率与几何概率
知识点解读—古典概型与几何概型
古典概型是最简单的一种概率模型，要掌握好古典概型，必须 学好排列组合公式.会利用排列组合公式去求样本点总数和事件 包含的样本点个数. 几何概型的概率计算的关键是将样本空间和随机事件用正确的 图形表示出来. 几何图形的度量主要是长度，面积或体积等，经常运用积分等 工具去求解.
C a1 a b 1
Ca ab
a ab
8
02 古典概率
例（分房模型）
设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ k N ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球（ m k ） （3）恰有 k 个盒子中各有一球.
7
02 古典概率
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取， 求第k次摸得黑球的概率． (2)不放回抽取
解法1
把球编号，按抽取次序把球排成一列，样本点总 数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! ． 事件A相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，每
种放法又对应其它a+b－1个球的(a+b－1)! 种放
法, 故事件A包含的样本点数为a(a+b－1)!
解法2 只考虑前k个位置
a(a b 1)! a (a b)! a b
aAk 1 a b 1 Ak ab
a ab
解法3 共a +b个次序，总数:从a +b个次序里边挑a 个给 黑球。事件A的次数：把第k个位置放黑球，剩 下a +b-1个位置，挑a-1个给黑球
2.几何概率
设样本空间为有限区域 S, 若样本点落入S内任何区域 A中的概率 与区域A的测度成正比, 则样本点落入A内的概率为
P( A) A的测度 S 的测度
17
02 几何概率
典型例题
约会问题
在区间(0, 1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.
解法1 利用几何概型计算
P |
A
S
P( A) ( A) (S)
14
02 古典概率 （3） 假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用
P( A) ( A) (S)
确定，只不过把() 理解为长度或体积即可.
15
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 几何概率