河南郑州高三数学第二次质量预测答案(理)人教版
【2020年数学高考】河南省郑州市2020届高三第二次质量预测 数学理.doc
2020年河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A． B．C． D．2.若复数,则复数在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.命题“”的否定为( )A．B．C．D．4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )A．B． C.D．5.运行如图所示的程序框图，则输出的为( )A．1009 B．-1008 C.1007 D．-10096.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A． B． C. D．7.已知平面向量满足,若,则的最小值为( ) A．-2 B．- C. -1 D．08.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A．240种 B．188种 C.156种 D．120种9.已知函数,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度10.函数在区间上的大致图象为( )A． B．C. D．11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A．23 B．42 C.12 D．5212.已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为( )A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为．14.已知实数满足条件则的最大值为．15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为．16.已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.内接于半径为的圆，分别是的对边，且.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若是边上的中线，，求的面积.18.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19.如图所示四棱锥平面为线段上的一点，且,连接并延长交于.(Ⅰ)若为的中点，求证：平面平面；(Ⅱ)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.21.已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为(为参数).(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学参考答案一、选择题1-5: BCCBD 6-10: DBDCA 11、12：AB二、填空题13.4860 14. 15. 16.三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得，可化为即.(Ⅱ)以为邻边作平行四边形，在中，.在中，由余弦定理得.即：,解得，.故1sin 2ABC S bc A ∆== 18.解：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件，则.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，服从二项分布，即，故.(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得7815137()1003005007009005205050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则该自然村年均用电量约156 000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益元.19. 解：（Ⅰ）在中，，故,23BCD CBE CEB ππ∠=∠=∠=，因为，∴，从而有.3FED BEC AEB π∠=∠=∠=∴FED FEA ∠=∠，故． 又，．又平面，故平面，，CF EF F ⋂=故平面.又AD ⊂平面，∴平面平面.（Ⅱ）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则(000)(200)(30)(00)(003).A B C D P ，，，，，，，，，，故(10BC =uu u r，(33CP =-，）uu r，(30CD =-uu u r． 设平面的法向量111(1)y z =，，n ，则11110,330,z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得112.3y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩即12(1).3=，n 设平面的法向量222(1)y z =，，n，则22230330z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面与平面的夹角的余弦值为12124||3cos ||||θ===n n n n20.解：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连，则，取关于轴的对称点，连，故．所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，曲线方程为.(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设(0,),Q m 设直线的方程为，，得22(34)4110.k x kx ++-=由直线作直线故121222411,,3434k x x x x k k --+=⋅=++ 由得MQO NQO ∠=∠,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零.故121212121212121112()()2220,kx m kx m kx x m x x y m y m x x x x x x +-+-+-+--+=+== 1212222111144(6)2()()2()0.23423434k k m kx x m x x k m k k k ---+-+=⋅+-⋅==+++存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意．21.（Ⅰ）'()2xf x e x =-， 由题设得'(1)2f e =-，(1)1f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为(2) 1.y e x =-+(Ⅱ)x e x f x 2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以max ()(1)1,[0,1]f x f e x ==-∈.)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当0>x 时，,1)2()(+-≥x e x f设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln21g e g =->=<<，∴0)2(ln '<g ，所以，存在0(0,12)x n ∈，使得0'()0g x =，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增， 又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x . 又ln 1x x ≥+，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，当1=x 时，等号成立. 22.解：(Ⅰ)由直线过点A则易得直线的直角坐标方程为20x y +-=根据点到直线的距离方程可得曲线1C 上的点到直线l 的距离(Ⅱ)由（1）知直线的倾斜角为34π， 则直线的参数方程为31cos ,431si (n ,4)x t y t f x ππ⎧⎪⎪=⎨=-+=+⎪⎪⎩（t 为参数）. 又易知曲线的普通方程为22143x y +=. 把直线的参数方程代入曲线t 23.解：(Ⅰ)()12f x x +-≥可化为||112ax x -+-≥．||1122a a x x -+-≥-∴11,2a -≥解得：0a ≤或4a ≥．∴实数a 的取值范围为(,0][4,).-∞+∞ （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知 1.2a <31,(),2()1,(1),231,(1),a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a-∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增， min ()()11,22a a f x f a ∴==-+=-解得：4 2.3a =<4.3a ∴=。
河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学(理)试题 Word版含解析
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理科数学试题卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A
B A =，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,9]-∞
B. (,9)-∞
C. [2,9]
D. (2,9) 【答案】B
【解析】
【分析】
由A B A =得到A B ⊆，建立不等式，即可求出a 的取值范围．
【详解】解：{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A = 所以A B ⊆，当A =∅时，135a a +>-解得3a <；
当A ≠∅时，
∴352213513a a a a -<⎧⎪+≤-⎨⎪+>⎩
解得39a ≤<
9a ∴<
故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题． 2.已知复数32i z i +=
（i 其中是虚数单位，满足21i =-），则z 的共轭复数是（ ） A. 12i -
B. 12i +
C. 12i --
D. 12i -+ 【答案】C
【解析】
【分析】
由21i =-化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则z 的共轭复数可求．
【详解】解：322222(2)12i i i i i z i i i i i i ++++=
====-+--， 则12z i =--．。
郑州高三第二次质量检测理数学(理科)及答案
2018年髙中毕业年级第二次质量预测理科数学试題卷第1卷（共甜分〉迪择題；本大砂边牛小嵐毎小題5给共甜处花却小題峪出的四个选项中，只有一項垦杆創a日要求的-h 已MW^F={i[y= V-x J + X4 2（^£^（?= {x|lnx<H HJ* n Q =（）A [0* J 2} & {1. 2} d.⑷.2] D* [0.町2. S3L«U =壬？划星炊』花复军面内对应町点在（）A.霸一彖瑁匕第二撇阻S第三凝限D.第四魏限乩命更一3工+ 2壬D"的黔建为（>A,匕 t fl,2l 才一％ * E A 8, Vx € flZjjX2…取* 忑 A （JG 遵一3Xn*2> M. 9X O«（1,21^-SX B+ 2>04.已暂双曲线G呂―首二】前一漲葡近绒与直统已工一y*5=D垂克•则取脸线C的葛心垦算千（）A. B. ^― C. D. 2^/5乩运行如驗所示阶程严権乳則箱出和油（）「呼]A『工二心」'F 二—m”, r^in-iJ-J+WA. 100& 3. -1003 C*10O? I>. -1009民巴M E二严〔?：；：* ' %定恥为弘戳乳gx肚旳肩弧二畑.M{叫）丑谨増飙列.则靖]取世范回星（）乩 O + «） 乩+ W ） C.C1，3） 几（3 - + «）1.已知宇面向曼0.扒访I 足|a| - Ibl = H - 1,若口- b = g JUS +占）■ （2占-c ）的島小僮为< ）益-2 0. -/3 C. -I D* 0S- f 红強行功> 建一倒现代优輝犁直财够片.谀片讲连了申国簿军M 歧龙夹击队”華命执希 脈係柱丹的按事、範乐辻程申.海车規輕宴我啟员北惓議竜處六坝任吳・沖对任畀町喷号稷 出了如下厦求，車虎任筹？I 必鏡毎DE 前三艮・且任齐职F 必纯特!X —起・忠达六坯狂备呼年 间輩澤方異共祎（）JL 240 种 B. 18G C.1E6 D. 120 W=乩已拠畠册8二询ms （2i-£-CDG 皱若宴博卅个寄備戟的图矗.则可以特旌蝮『00的翌稼（丿A.向左平曾'尊也忙度a +向石早幕f 介駐牧快度 C.向左字畤个氧橙隹滾 九向右不S|尹睾住£廈口.如閒・已知勵內強6的庞戌在岂怖廉点.為点在H 柚上.且垃点口 町.囱“妒+护-4«+3 -险逹■*前更线I 与曆井刖玄干尸心期賂确I 冋V|+ 4|Q 阳們最丿暇力10* BQ ^ty - ?in I fl + cos 2^c ）在区叫一⑺ 卸上M 弋锁图费为（ ）A+ 23 乩 42 C12 九 52垢•已却盹=但|代0£〕=； O^JV =（阳{旳=睦苕存在山右此0"巧便词健-0| = %两蘇丽00対庆町互为■苕f （x}-沪“ - 1场駅刃・工’ -讥产互力5度孚月 函菱” •测实載“苗射昼范因为（）a $冷 乩影］c - &4） 臥E 禺第口堆£共90 *>二、填空瓏（議19 5幷・灌分幼分.将褂秦览在答JS 戟卜J打.已知二珈貞Gs —耳*啲噩开式中二项弍臬叛之和为64•削展开式申疋曲东删为 _____□已旬实畑沖足竟件陞+ y>御士曲最犬值 _________________ .站•觀国也代戟学若麦（九謝立转几间査凤入的Pt 兜+从甚尹一件藪韋附谓哥见・ 杀妃”静粘“星?a 四个面都是肓珮三彌形的豈樓够.熹”誉廉"的三況图E 图申阿格银上毎 个尔正卉母的询哙矜门妬慳断示「已地几冋怫高壮谑町谒几和療外接铁的亵僧腰坦巳知惓劭车彳石=1（2“ Q ）的龙搞痺勺FC1脇凤蔑心爭曙的二"点都色橢鼬上.说g 毗三撇辺朋、BC.肚『冲点廿别力6 £. K.且三茉边所在・tU 惮空异剔为町、%、匕・E 知、7匕均齐为0 0为量标醸虎・著直线D6 9E.。
河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学答案
，因为点 在椭圆 上，
所以 化简得 ． …………………………8分
直线 的方程为 ，据椭圆的对称性，四边形 的面积 ，……10分
所以，
，所以
所以，四边形 的面积为定值12． ……………………………………12分
21.解析：（Ⅰ）当 时，曲线
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
不妨取 ，则 ， ，∴ .
而平面 的一个法向量为 ，…………………………………………10分
∴ .
故二面角 的余弦值为 .…………………………………………………12分
20.解(I)设 ，由题意， ， ……………………………2分
化简得 ，…（3分）所以，动点 的轨迹 的方程为 … 4分
整理得： 即 解得： ，
故实数a的取值范围为 ……………………………………10分
23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝ ………………………3分
由f(x)的单调性及f(－ )＝f(2)＝5，
得f(x)＞5的解集为{x|x＜－ ，或x＞2}．……………………………………5分
（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥ ………………………7分
………………………2分
时，切线的斜率为 ，又切线过点
所以切线方程为 …………………………4分
（Ⅱ） ，
………5分
当 时， ，函数 在 上单调递减；………………………7分
当 时，令 ，
当 时，即 ， ，此时 ，函数 在 上单调递增;
当 时，即 ，方程 有两个不等实根 ，
所以 ，
此时，函数 在 上单调递增；在 上单调递减.……………11分
显然 的取值为0，1，2，3, 4 . 且 .
河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测(理数)
河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}531|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{<<=x x B ，且A B A =I ，则实数a的取值范围是 A ．]9,(-∞B ．)9,(-∞C ．]9,2[D ．)9,2(2．已知复数32iiz +=（其中i 是虚数单位，满足12-=i ），则z 的共轭复数是 A ．i 21- B ．i 21+ C ．i 21-- D ．i 21+-3．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A ．20 B ．21 C ．20.5 D ．234． 圆4)12()2(22=-++y x 关于直线08=+-y x 对称的圆的方程为A ．4)2()3(22=+++y xB ．4)6()4(22=-++y xC ．4)6()4(22=-+-y xD ．4)4()6(22=+++y x5． 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A ．30米B ．20米C ．215米D ．15米6．若⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，⎪⎭⎫⎝⎛-=απα4sin 2cos 2，则α2sin 的值为A ．87- B ．87 C ．81- D ．817．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x 的取值范围是A ．),2(+∞B ．]4,2(C ．]10,4(D ．),4(+∞8． 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨 曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示 收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示 收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL ∆的面积，将SaGini =，称为 基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为)(x f y =，则对)1,0(∈∀x ，均有1)(>xx f ； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(2∈=x x y ，则41=Gini ； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(3∈=x x y ，则21=Gini ．其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 9． 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96 B ．84 C ．120 D ．360 10．已知等差数列}{n a 的公差0=/d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则362++n n a S 的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．2 11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为A ．π6B ．π2C ．π6D ．π2412．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 作直线x ab y -=的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2=，则该双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式62⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 。
2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷(理科)(二模)(附答案详解)
2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2=2x}，集合B={x∈Z|0<x<3}，则A∪B=()A. {2}B. {0,1,2}C. {x|0<x<3}D. {x|0≤x<3}2.已知i是虚数单位，若z=1+i1−i−3i，则|z|=()A. 1B. √2C. 2D. 43.设a=20.2，b=sin2π3，c=log25，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b4.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为()A. 9.5尺B. 10.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺5.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AA1，M是AA1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为()A. 215B. √1717C. √74D. √85856.(2x2−ax )(x−2x)4的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为()A. −32B. 32C. −64D. 647.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则()A. φ=π3，ω=7π3B. y=f(x+2)是奇函数C. 直线x=−4是f(x)的对称轴D. 函数f(x)在[3,4]上单调递减8. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，则他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有( )A. 240种B. 480种C. 540种D. 720种9. 若平面上两点A(−2,0)，B(1,0)，动点P 满足|PA|=2|PB|，则动点P 的轨迹与直线l ：y =k(x −2)的公共点的个数为( )A. 2B. 1C. 0D. 与实数k 的取值有关10. 2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t(单位：年)的衰变规律满足N =N 0⋅(12)t5730(N 0表示碳14原有的质量).经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的√22至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？( )(参考数据：log 23≈1.6)A. 2600年B. 3100年C. 3200年D. 3300年11. 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a >0)的左、右焦点，点A 在双曲线的右支上，点P(√5,2)是平面内一定点，若对任何实数m ，直线2x +y +m =0与双曲线C 至多有一个公共点，则|AP|+|AF 2|的最小值( )A. 2√6−4B. 3√5−4C. 2√6−2D. 2√5−212. 已知数列{a n }满足a 2=2，a 2n =a 2n−1+2n (n ∈N ∗)，a 2n+1=a 2n +(−1)n (n ∈N ∗)，则数列{a n }第2022项为( )A. 21012−2B. 21012−3C. 21011−2D. 21011−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =sinx −2cosx 在点(π,2)处的切线方程是______． 14. 已知椭圆x 216+y 27=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，椭圆上一点P 满足|OP|=3，则△F 1PF 2的面积为______．15. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2BC =2CD =2，将△ACD 沿AC 折叠形成三棱锥D 1−ABC.当二棱锥D 1−ABC 体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为______．16. 已知函数f(x)=e x −2，g(x)=x 2+ax(a ∈R)，ℎ(x)=kx −2k +1(k ∈R)，给出下列四个命题，其中真命题有______.(写出所有真命题的序号) ①存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有一个根； ②存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有三个根；③任意实数a ，存在不相等的实数x 1、x 2，使得f(x 1)−f(x 2)=g(x 1)−g(x 2)； ④任意实数a ，存在不相等的实数x 1、x 2，使得f(x 1)−f(x 2)=g(x 2)−g(x 1).三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的34，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．(Ⅰ)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣 没有兴趣 合计男 女 合计(Ⅱ)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为23，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是34和47，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p 和43−p ，其中0<p <23(p ∈R)，判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.82818. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设asinB =bcos(A −π6)．(Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AD =2，求△ABC 面积的最大值．19. 如图，四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AB =AA 1=2A 1D 1=2，∠ABC =60°，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：AA 1⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求锐二面角A −DD 1−C 的正切值．20. 已知抛物线C ：x 2=4y ，过抛物线外一点N 作抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点．(Ⅰ)若点N 的纵坐标为−2，求证：直线AB 恒过定点；(Ⅱ)若|AB|=m(m >0)，求△ABN 面积的最大值(结果用m 表示)．21. 已知函数f(x)=ln(x +1)−x +1．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数g(x)=ae x −x +lna ，若函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).已知M 是曲线C 1上的动点，将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ，设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)设点Q(1,0)，若射线l ：θ=π3与曲线C 1，C 2分别相交于异于极点O 的A ，B 两点，求△ABQ 的面积．23.已知f(x)=|x−a|．(Ⅰ)若f(x)≥|2x−1|的解集为[0,2]，求实数a的值；(Ⅱ)若对于任意的x∈R，不等式f(x)+|x+2a|>2a+3恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x2=2x}={0,2}，集合B={x∈Z|0<x<3}={1,2}，则A∪B={0,1,2}．故选：B．先分别求出集合A，B，然后结合集合的并集运算可求．本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=1+i1−i −3i=(1+i)2(1−i)(1+i)−3i=i−3i=−2i，∴|z|=√02+(−2)2=2．故选：C．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵1<20.2<2，sin2π3=√32，log25>2，∴sin2π3<20.2<log25，即b<a<c，故选：C．易知1<20.2<2，sin2π3=√32，log25>2，从而比较大小即可．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．【解析】解：设冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列{a n }， 则a 1=18.5，a 4=15.5， 故3d =15.5−18.5=−3， 所以d =−1，a 7=a 1+6d =18.5−6=12.5． 故选：D ．由已知结合等差数列的性质先求出d ，然后结合通项公式可求．本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：连接A 1C 1，C 1M ，BC 1，∵AB//CD//C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1//BC 1， ∴AD 1与BM 所成角即为BC 1与BM 所成角，即∠C 1BM ， 不妨设AA 1=1，则AB =2， ∵BM =√22+(12)2=√172，BC 1=√12+22=√5，C 1M =√22+22+(12)2=√332， ∴cos∠C 1BM =BM 2+BC 12−C 1M 22BM⋅BC 1=174+5−3342×√172×√5=√8585， 即异面直线AD 1与BM 所成角的余弦值为√8585．故选：D ．根据AD 1//C 1可知所求角为∠C 1BM ，利用余弦定理可求得cos∠C 1BM ，从而得到异面直线AD 1与BM 所成角的余弦值．本题考查了异面直线所成的角，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：令x =1，则展开式的各项系数和为(2−a)(1−2)4=2−a =3，解得a =−1，所以二项式为(2x 2+1x )(x −2x )4，则二项式的展开式的常数项为2x 2×C 43x(−2x )3=−64， 故选：C ．先令x =1，由此求出a 的值，然后根据二项式定理求出展开式的常数项即可求解． 本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：显然A =2，由f(0)=1得cosφ=12， 结合“五点法作图”可知φ=π3+2kπ,k ∈Z ，由0<φ<π2得φ=π3， 据图可知T4>12，即T >2，所以0<ω<π，因为f(12)=2cos(12ω+π3)=0，则12ω+π3=π2+2kπ，k ∈Z ，ω=π3+4kπ，所以k =0时ω=π3符合题意，所以f(x)=2cos(π3x +π3)， 故A 错误；对于B ，f(0+2)=2cosπ=−2≠0，故y =f(x +2)图象不过原点，f(x +2)不是奇函数，B 错误；对于C ，f(−4)=2cos(−π)=−2，为f(x)的最小值，故x =−4为函数f(x)的对称轴，C 正确；对于D ，x ∈[3,4]时，π3x +π3∈[4π3,5π3]，因为y =−2cosx 在[4π3,5π3]上不单调，故D 错误．故选：C ．利用最高点纵坐标求出A ，利用特殊点(0,1)求出φ的值，再结合特殊点(0,12)求出ω的值，然后结合余弦函数的图象和性质逐项判断．本题考查三角函数的据图求式问题，以及三角函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选取3个，然后与舞蹈和小品共同5个节目按舞蹈在前、小品在后排序，则不同的演出顺序种数有55C43AA22=240种，故选：A．先选后排，然后结合排列组合中的定序问题倍缩法求解即可．本题考查了排列组合及简单的计数问题，重点考查了排列组合中的定序问题，属基础题．9.【答案】A【解析】解：设点P(x,y)，由题意：|PA|=2|PB|得：√(x+2)2+y2=2√(x−1)2+y2，整理得到点P的轨迹方程为x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，因为直线y=k(x−2)过定点(2,0)，即所求圆的圆心，故直线和圆2个交点，故选：A．设出点P(x,y)，直接法求出点P的轨迹方程，再由直线过定点，判断公共点的个数．本题主要考查轨迹方程及其应用，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题．10.【答案】A【解析】解：由题意得：√22N0<N0⋅(12)t5730<34N0，∴√22<(12)t5730<34，∴{(12)t5730>(12)12(12)t5730<34，解得：2292<t<2865，故选：A．根据题意列出不等式，求出2292<t<2865，从而求出正确答案．本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．11.【答案】Cx，【解析】解：由双曲线方程可知其渐近线方程为：y=±2a∵直线2x+y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，∴2x+y+m=0与双曲线渐近线重合或平行，∴−2=−2，解得：a=1，a∴双曲线C：x2−y2=1，则F1(−√5,0),F2(√5,0)，4由双曲线定义知：|AF1|−|AF2|=2a=2，∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|−2≥|PF1|−2(当且仅当F1，A，P三点共线时取等号)，又|PF1|=√(√5+√5)2+(2−0)2=2√6，∴(|AP|+|AF2|)min=2√6−2，故选：C．根据直线2x+y+m=0与双曲线公共点个数可知其与双曲线渐近线平行或重合，由此可求得a，利用双曲线定义可得|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|−2，可知当F1，A，P三点共线时取得最小值．本题考查了双曲线的定义和性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}满足a2=2，a2n=a2n−1+2n(n∈N∗)，a2n+1=a2n+(−1)n(n∈N∗)，∴a2n=a2n−1+2n=a2(n−1)+(−1)n−1+2n，所以，a2n−a2(n−1)=(−1)n−1+2n，∴a4−a2=(−1)1+22，a6−a4=(−1)2+23，a8−a6=(−1)3+23，.......a2022−a2020=(−1)1010+21011，将上述各式两边分别取和，得a2022−a2=−1+1−1+1+....+1+22+23+.......+21011=22(1−21010)1−2，所以，a2022=a2+21012−4=21012−1，故选：A．由题意得a2n−a2(n−1)=(−1)n−1+2n，利用累加法即可求得结论．本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查等比数列的前n项和公式及学生的运算能力，属中档题．13.【答案】x+y−2−π=0【解析】解：因为y=sinx−2cosx，所以y′=cosx+2sinx，则当x=π时，y′=−1，又因为x=π时，y=2，故曲线在(π,2)处的切线方程为y−2=−(x−π)，整理得x+y−2−π=0，故答案为：x+y−2−π=0．求出曲线在x=π处的导数值，得到切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：由椭圆x216+y27=1可得c2=a2−b2=16−7=9，∴c=3，∴|F1F2|=2c=6，又∵O为F1F2的中点，|OP|=3，∴△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，即PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=36，又∵|PF1|+|PF2|=2a=8，∴(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=64，∴|PF1||PF2|=14，|PF1||PF2|=7，∴△F1PF2的面积为12故答案为：7．由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|=3推出△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求出结果．本题主要考查了椭圆的定义，考查了焦点三角形的面积，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．15.【答案】5√5π6【解析】解：在等腰梯形ABCD中，因为AD=DC=BC，AB=2，容易知∠DAB=60°，∠ADC=120°，∠ACB=90°，当三棱锥D1−ABC体积最大时，此时平面AD1C⊥平面ABC，又面AD1C∩面ABC=AC，且BC⊂面ABC，BC⊥AC，故BC⊥面AD1C，因为∠BCA=90°，故△BCA为直角三角形，不妨取斜边AB的中点为M，则MA=MC=MB，过M作平面ABC的垂线MP，取AC中点为H，连接D1H，因为D1A=D1C，故D 1H⊥AC，又面AD1C⊥面ABC，面AD1C∩ABC=AC，D1H⊂面AD1C，故D 1H⊥面ABC，故D 1H//MP，则D1，H，O，M四点共面．因为AD1=AC，取△AD1C的外心为N，过N作D1H的垂线交MP于点O，则OD1=OC=OA=OB，故该三棱锥的外接球球心为O，设其半径为R，则由图可知：OD12=ON2+D1N2，又OD1=R，在△AD 1C 中，由正弦定理可得2D 1N =AC sin∠AD 1C =√3√32=2，故D 1N =1，又ON =HM =12BC =12，故R 2=14+1=54，R =√52，故三棱锥外接球体积V =43πR 3=43π×5√58=5√56π． 故答案为：5√56π． 找到体积最大时的状态，结合三棱锥的几何特点，求得外接球球心，再求半径和体积即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．16.【答案】①②④【解析】解：画出|f(x)|=|e x −2|的函数图象，如图：ℎ(x)=kx −2k +1经过定点(2,1)，从图中可以看出存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有一个根；①正确；存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有三个根，②正确；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f(x 1)−f(x 2)=g(x 1)−g(x 2)， 只需函数f(x)=e x −2，g(x)=x 2+ax(a ∈R)始终有两个交点， 当a =1时，g(x)=x 2+x =(x +12)2+34，开口向上，且最小值为34，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；要想对任意实数a，存在不相等的实数x1、x2，使得f(x1)−f(x2)=g(x2)−g(x1)，即f(x1)−f(x2)=−[g(x1)−g(x2)]，只需f(x)=e x−2与−g(x)=−x2−ax，无论a取何值都有两个交点，其中−g(x)=−x2−ax=−(x+a2)2+a24开口向下，且有最大值为a24≥0，且恒过(0,0)，画出两函数图象如下，其中−g(x)=−x2−ax=−(x+a2)2+a24为一组抛物线，用虚线表示：无论a取何值，都有两个交点，④正确；故答案为：①②④．①②画出函数|f(x)|=|e x−2|图象，结合ℎ(x)=kx−2k+1经过定点(2,1)，数形结合进行判断；③转化为两函数的交点问题，可以举出反例；④转化为两函数交点问题，能够得到一组二次函数，均过原点，且开口向下，利用图象，数形结合得以证明．本题考查了利用函数图象研究函数零点、转化思想、数形结合思想、难点是准确画出每种情况的图象，属于难题．17.【答案】解：(I)由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，可得男生有50人，女生有50人，又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的34，所以有100×34=75人，没有兴趣的有25人， 因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：所以K 2=100×(30×5−20×45)275×25×50×50=12>10.828，所以有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关． (II)甲获胜的概率最大，理由如下： 甲在两轮中均获胜的概率为P 1=23×23=49， 乙在两轮中均获胜的概率为P 2=34×47=37，丙在两轮中均获胜的概率为P 3=p ×(43−p)=43p −p 2， ∵p >0,0<43−p <1,0<p <23，∴13<p <23，∵P 1−P 3=p 2−43p +49=(p −23)2， ∴P 1−P 3>0显然P 1−P 2>0，∴P 1>P 2，P 1>P 3，即甲获胜的概率最大．【解析】(I)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及独立性检验公式，即可求解． (II)根据已知条件，分别求出甲，乙，丙通过选拔的概率，通过比较大小，即可求解． 本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为asinB =bcos(A −π6)，由正弦定理得：sinAsinB =sinBcos(A −π6)， 又B ∈(0,π)，sinB >0，所以sinA =cos(A −π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=√32cosA +12sinA ，即：12sinA =√32cosA ，可得tanA =√3，又A ∈(0,π)， 所以A =π3；(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理得：cosA =12=b 2+c 2−a 22bc，①又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BD =2a 3,CD =a3，且∠ADB +∠ADC =π，即cos∠ADB +cos∠ADC =0，由余弦定理(2a 3)2+22−c 22⋅2a 3⋅2+(a 3)2+22−b 22⋅a3⋅2=0，得a 2=3b 2+32c 2−18，②将①②联立得：18−bc =2b 2+12c 2≥2bc ，即bc ≤6，(当且仅当b =√3,c =2√3时等号成立)，所以S =12⋅bc ⋅sinA =√34bc ≤3√32．【解析】(Ⅰ)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanA =√3，结合范围A ∈(0,π)，可求A 的值．(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理得cosA =12=b 2+c 2−a 22bc，根据题意，由∠ADB +∠ADC =π，利用余弦定理得a 2=3b 2+32c 2−18，联立方程利用基本不等式可求bc ≤6，，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取AB 、AD 的中点M 、N ，连接CM 、CN ，∵ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴CM ⊥AB ，CN ⊥AD ．∵平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，且平面ABCD ∩ADD 1A 1=AD ． ∴CN ⊥平面ADD 1A 1，AA 1⊂平面ADD 1A 1.∴CN ⊥AA 1，同理CM ⊥AA 1，CM ⊂平面ABCD ，CN ⊂平面ABCD ，且CM ∩CN =C ， ∴AA 1⊥平面ABCD ．(Ⅱ)取CD 中点E ，分别以AB 、AE 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系： ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0),D(−1,√3,0),D 1(−12,√32,2),N(−12,√32,0)， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0),D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−2)．记平面ADD 1A 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ ，显然n 1⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−√32,0)，设平面CDD 1的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∴{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y −2z =0， ∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,4,√3)，记锐二面角A −D 1D −CD 的大小为θ．∴cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√3×√19=√19，∴tanθ=√152， ∴锐二面角A −DD 1−C 的正切值为√152．【解析】(Ⅰ)取ABAD 的中点M 、N ，连接CMCN 、AC ，由题意，CM ⊥AB ，CN ⊥AD ，由平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，可得CN ⊥平面ADD 1A 1，进而有CN ⊥AA 1，同理CM ⊥AA 1，根据线面垂直的判断定理即可求解；(Ⅱ)取CD 中点E ，结合(Ⅰ)，分别以ABAEAA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法即可求解．本题主要考查线面垂直的判定，空间向量及其应用，二面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由y =14x 2，y′=12x ，则直线NA 的斜率为x12， 则直线NA 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，整理得x 1x −2y +2y 1−x 12=0，由于x 12=4y 1，即x 1x −2y −2y 1=0，同理可得直线NB 的方程为x 2x −2y −2y 2=0，又直线NA 和直线NB 都过N(x 0,y 0)，则x 1x 0−2y 0−2y 1=0，x 2x 0−2y 0−2y 2=0， 从而A ，B 均为直线x 0x =2(y 0+y)上的点，故直线AB 的方程为x 0x =2(y 0+y)， 又y 0=−2，故直线AB 的方程为x 0(x −0)=2(y −2)， 故直线AB 过定点(0,2)；(2)设N(x 0,y 0)，由(1)知直线AB 的方程为x 0x =2(y 0+y)，把它与抛物线x 2=4y 联立得，x 2−2x 0x +4y 0=0，其中Δ=4x 02−16y 0>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理得x 1+x 2=2x 0，x 1+x 2=4y 0，则|AB|=√1+x 024√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(x 02+4)(x 02−4y 0)=m ，∴4x 02−4y 0=m 2x 02+4，又点N 到直线AB 的距离d =0200√x 0+4=020√x 0+4，∴S =12|AB|⋅d =12020√x 0+4⋅m =12m 3(x 02+4)32≤m 316(当x 0=0时，有最大值)， 故△ABN 面积的最大值为m 316．【解析】(1)利用导数求出直线NA 和直线NB 的方程，由直线NA 和直线NB 都过N(x 0,y 0)，即可求出直线AB 的方程，再根据点N 的纵坐标为−2，即可得到直线AB 恒过定点， (2)将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线距离公式求出△ABN 的高，即可求出△ABN 面积的最大值本题考查抛物线的简单性质，利用导数求得切线斜率是关键，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x >--1}，f′(x)=1x+1−1=−xx+1，令f′(x)>0，解得−1<x <0，令f′(x)<0，解得x >0， 故函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单减区间为(0,+∞)．(Ⅱ)要使函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点， 即f(x)=g(x)有两个实根，即ln(x +1)−x +1=ae x −x +lna 有两个实根， 即e x+lna +x +lna =ln(x +1)+x +1， 整理为e x+lna +x +lna =e ln(x+1)+ln(x +1)，设函数ℎ(x)=e x +x ，则上式为ℎ(x +lna)=ℎ(ln(x +1))，因为ℎ′(x)=e x +1>0恒成立，所以ℎ(x)=e x +x 单调递增，所以x +lna =ln(x +1)， 所以只需使lna =ln(x +1)−x 有两个根，设M(x)=ln(x +1)−x ， 由(1)可知，函数M(x))的单调递增区间为(−1,0)，单减区间为(0,+∞)， 故函数M(x)在x =0处取得极大值，M(x)max =M(0)=0， 当x →−1时，M(x)→−∞，当x →+∞时，M(x)→−∞， 要想lna =ln(x +1)−x 有两个根，只需lna <0，解得0<a <1． 所以a 的取值范围是(0,1)．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)问题转化为只需使lna =ln(x +1)−x 有两个根，设M(x)=ln(x +1)−x ，结合函数M(x)的单调性得到只需lna <0，求出a 的取值范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=2cosθ，已知M 是曲线C 1上的动点，将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ，设点N 的轨迹为曲线C 2， C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．(2)由题意可以，|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3， 所以|AB|=||OB|−|OA||=√3−1． 又Q 到射线l 的距离为d =|OQ|sin π3=√32．故△ABQ 的面积为S =12×√32×(√3−1)=3−√34．第21页，共21页 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用点到直线的直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)≥|2x −1|，即|x −a|≥|2x −1|，两边平方整理得：3x 2+(2a −4)x +1−a 2≤0，由题意可知0和2是方程3x 2+(2a −4)x +1−a 2=0的两个实数根，由根与系数的关系知{13(1−a 2)=0×2−13(2a −4)=0+2，解得a =−1． (Ⅱ)因为f(x)+|x +2a|>|x −a|+|x +2a|≥|(x −a)−(x +2a)|=3|a|， 所以要使不等式f(x)+|x +2a|>2a +3恒成立，只需3|a|>2a +3，当a ≥0时，3a >2a +3，解得a >3，即a >3．当a <0时，−3a >2a +3，解得a <−35，即a <−35．综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,−35)∪(3,+∞)．【解析】(Ⅰ)不等式等价于|x −a|≥|2x −1|，两边平方整理为3x 2+(2a −4)x +1−a 2≤0，根据不等式与对应方程的关系求出a 的值；(Ⅱ)利用绝对值不等式求出f(x)+|x +2a|>3|a|，由此求关于a 的不等式解集即可． 本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。
2024年郑州高三二模数学答案
郑州市2024高三第二次质量预测数学（参考答案）一、单选题二、多选题题号91011答案ADABDACD三、填空题14-四、解答题15.解：(1)前3局比赛甲都不下场说明前3局甲都获胜，故前3局甲都不下场的概率为1111.2228P =⨯⨯=...........................4分(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3............................5分其中，0X =表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则111(0)224P X ==⨯=；...........................6分1X =表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则11111(1)22222P X ==⨯+⨯=；............................8分2X =表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则1111(2)2228P X ==⨯⨯=；...........................9分3X =表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则1111(3)2228P X ==⨯⨯=；...........................10分所以X 的分布列为题号12345678答案BDCBDCCAX 0123P14121818...........................11分故X 的数学期望为811119()0123.4288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=...........................13分16.解：(1)函数定义域为(0,)+∞，222(12)()ax a x af x x +--'=,...........................2分因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以2(1)120f a a '=+-=，解得12a =-或1a =，因为0a ，所以 1.a =...........................5分此时()()()221121x x x x f x x x'+--==-令()0fx '>得1x >，令()0f x '<得01x <<，∴)(x f 在）（1,0单调递减，在）（+∞,1单调递增，所以1x =是函数的极小值点.所以 1.a =...........................7分(2)当0a =时，x x f =)(，则函数()f x 的单调增区间为(0,);+∞...........................8分当0a >时，222(12)(21)()()ax a x a ax x a f x x x+--+-'==，...........................9分因为0a >，0x >，则210ax +>，令()0f x '>得x a >；令()0f x '<得0x a <<;∴函数的单调减区间为(0,),a 单调增区间为(,).a +∞...........................13分综上可知：当0a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无递减区间；当0a >时，函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增............................15分17.证明：取BC 中点O ，连接AO ，EO.ABC ∆是等边三角形，O 为BC 中点，∴AO BC ⊥，........................2分又EB EC =，∴EO BC ⊥,........................3分AO EO O ⋂=，∴BC AEO ⊥平面,又AE AEO ⊂平面，∴BC AE ⊥.........................5分||||2MNS MKS NKSM N S S S KS y y ∆∆∆=+=⋅⋅-2242||2514424174m m m m +=⋅⋅+=⋅令1||[2,)t m m=+∈+∞，2221||111149224924174MNS m t m S t m t m t ∆+=⋅=⋅=⋅++++，若6m =，满足要求的数列{}n a 中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.若7m =，满足要求的数列{}n a 中有三项为1，两项为2，符合m 的6增数列.所以，当5=n 时，若存在m 的6增数列，m 的最小值为7..........................8分（3）若数列{}n a 中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列{}n a 中存在大于1的项，若首项11a ≠，将1a 拆分成1a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以11a =.当2,3,...,i n =时，若1i i a a +>，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≤.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将1i a +改为11i a +-，并在数列首位前添加一项1，所以k 的值变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.若数列{}n a 中存在相邻的两项1,32i i a a +≥=，设此时{}n a 中有x 项为2，将1i a +改为2，并在数列首位前添加12i a +-个1后，k 的值至少变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以数列{}n a 的各项只能为1或2，所以数列{}n a 为1,1,...,1,2,2,,2 的形式.设其中有x 项为1，有y 项为2，因为存在100的k 增数列，所以2100x y +=，所以()22100221002(25)1250k xy y y y y y ==-=-+=--+，所以，当且仅当50,25x y ==时，k 取最大值为1250..........................17分。
河南郑州、平顶山、濮阳市高三二次质量预测(二模)数学(理)标准答案(扫描)
2017年高中毕业年级第二次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1. A．2.C3.B4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.D 11.C 12.B二、填空题13.14．112；15.5；16．6.三、解答题17.（Ⅰ），由，得，两式相减得，………………3分由得到，又所以为以-3为首项以3为公比的等比数列故………………6分（Ⅱ），…………9分………………12分18．(Ⅰ)证明：在三棱柱中，，且连结，在中，因为D, E分别为棱AB, BC的中点. 所以. 又为的中点，可得，所以，………………2分因此四边形为平行四边形，所以,又，所以.………………4分(Ⅱ)证明：由于底面ABC是正三角形，为的中点，所以,又，又，所以………………6分在平面内，过点作，交直线于，连结,，由此得，为直线与所成的角.设三棱柱的棱长为，可得，由∽，所以,在中，.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.………………12分19.解析：（I）………………4分（II）由（I）知，，从而………………6分由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组频率0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02………………9分根据题意，生产该食品的平均成本为………………12分20.解析：（Ⅰ）将椭圆化成标准方程，………………3分（Ⅱ）由题意，设，直线的斜率存在，设为，联立得：，此时由得，………………6分则为，则为………………8分则得故的中点为由弦长公式可得到，若存在圆，则圆心在上，的中点到直线的距离为………………10分又存在这样的，使的在同一个圆上. ………………12分21．解：（Ⅰ）函数的定义域为，当时，；当时，.所以，在上单调递减；在上单调递增. ………………2分若在上单调递减；在上单调递增，则………………4分(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根. ………………5分转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点，如图.可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须. ………………6分令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以. ………………8分（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，即，，不妨设，作差得，，即. 原不等式等价于令，则，……10分设，，∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．……12分22．解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是，曲线C的普通方程是易得圆心到直线l的距离d=1，所以所求的弦长为………………5分（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，各弦中点得轨迹的极坐标方程为.…………10分23.解(Ⅰ)当时，由得，两边平方整理得，解得或∴原不等式的解集为………………5分（Ⅱ）由得，令，则故，从而所求实数的范围为………………10分。
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2010年高中毕业班第二次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题
CADBA BBCCD AD 二、填空题 13.4； 14.1
2
-； 15.[6,)+∞； 16.①②④. 三、解答题
17.（Ⅰ）解：由→
→
n //m 得(23)cos 3cos 0b c A a C -⋅-=.………………１分 由正弦定理得2sin cos 3sin cos 3sin cos 0B A C A A C --=， ∴ 2sin cos 3sin()0B A A C -+=.
∴ 2sin cos 3sin 0B A B -=.………………3分
()3,0,sin 0,cos ,6
A B B A A π
π∈∴≠=
∴=.………………5分 （Ⅱ）解：
,6
A π
=
2
2cos sin(2)B A B ∴+-1cos 2sin cos 2cos
sin 26
6
B B B π
π
=++-
=3cos(2)16
B π
+
+，………………8分
2
2cos sin(2)(13,1)B A B +-∈-．
22cos sin(2)B A B +-的最小值为1 3.-………………10分
18. (Ⅰ)证明：由题意：1,2,3AE DE AD ===
，
90EAD ∴∠=，即EA AD ⊥， 又EA AB ⊥，AB AD A ⋂=， AE ∴⊥平面ABCD ．…………3分 (Ⅱ)解：作AK DE ⊥于点K ，
11
,33
AE AD BF BC =
=， //AB EF ∴．
又AB ⊄平面CDEF ，EF ⊂平面CDEF ， //AB ∴平面CDEF ．
故点A 到平面CDEF 的距离即为点B 到平面CDEF 的距离．…………5分 由图1,,,EF AE EF ED ED EA E ⊥⊥⋂=， EF ∴⊥平面AED ，
AK ⊂平面AED ，
AK EF ∴⊥，又AK DE DE EG E ⊥⋂，＝． AK ∴⊥平面CDEF ．
故AK 的长即为点B 到平面CDEF 的距离．…………7分 在Rt ADE 中，3AK =
， 所以点B 到平面CDEF 的距离为
3
．…………8分 （用等体积法做，可根据实际情况分步给分） (Ⅲ)解：以点A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 则5(0,2,0),(3,1,0),(0,0,1),(0,,1)3
B C E F ，
1
(0,,1),(3,1,0),(3,1,1)3
BF BC CE =-=-=--，
设平面BCF 的法向量(1,,)n y z =，
由0
BF n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3(1,3,)n =．…………10分 记直线CE 与平面BCF 所成的角为α，
则53
||653sin ||||1335
3
CE n CE n α⋅===⋅⨯⨯．
所以，直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值为
65
．…………12分 19. （Ⅰ）证明：由题意得121n n b b ++=，11222(1)n n n b b b +∴+=+=+，……………3分 又
111121,0,110a b b b =+∴=+=≠，……………4分
所以数列{1}n b +是以1为首项，2为公比的等比数列．……………5分
(Ⅱ)解：由⑴知，1
12n n b -+=，2121n n n a b ∴=+=-，……………7分
故1112211
(21)(21)2121
n n n n n n n n n c a a +++===-
----．……………9分 12311111
113372121n n n n T c c c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++
+=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
1
121n +=-
-．…………………10分
由20092010
n T >，且n *
∈N ，解得满足条件的最小的n 值为10．…………12分
20、（Ⅰ）解：设盒子中有“会徽卡”n 张，依题意有，28
25
1282=-C C n ，
解得3n =，
即盒中有“会徽卡”3张．……4分
(Ⅱ)解：因为ξ表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，所以ξ的所有可能取值为1，2，3，4，……5分
14
5)1(2825===C C P ξ；
7
2
)2(2
62
428151326252823=••+•==C C C C C C C C C P ξ； 143)3(24232
614
122815132424262228151324242615112823=••••+•••+•••==C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P ξ； 7
1
)4(2
222241311261412281513=••••••==C C C C C C C C C C C P ξ， 随机变量ξ的分布列为：
…………………………10分
ξ∴的数学期望为7
15
71414337221451=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ．……12分 21.（Ⅰ）解：
2,NP NQ =∴点Q 为PN 的中点，
又
0GQ NP ⋅=，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合.
∴.||||GN PG =………………2分
又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+==
∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且2,1a c ==，
∴b G ==的轨迹方程是22
1.43
x y +=………………5分 (Ⅱ)解：不存在这样一组正实数，下面证明：………………6分
由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN 的斜率存在时，设之为k ， 故直线MN 的方程为：(1)y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ，
则22
1122
22143
1
43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1
2121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．…8分 注意到12121y y x x k -=--，且12012
022
x x x y y y +⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ，则00314x y k = ， ②
又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =．
因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<，这与04x =矛盾， 所以所求这组正实数不存在．…………11分
当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，则此时1212,2y y x x =+=， 代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾． 综上，所求的这组正实数不存在．………………12分
22、（Ⅰ）解：由题意2
()x a
f x x -'=
． ………………1分 当0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，
此时函数在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，
2
min ()()ln f x f a a ==，无最大值．………………3分
当0<a 时，函数)(x f 的定义域为)0,(-∞，
此时函数在(,)a -∞上是减函数，在(,0)a 上是增函数，
2
min ()()ln f x f a a ==，无最大值．………………5分
(Ⅱ)取1=a ，由⑴知0)1(1
ln )(=≥--=f x
x x x f ， 故
x
e x x ln ln 11=-≥， 取 ,3,2,1=x ，则!
ln 131211n e n n
≥++++ ．………………8分
(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点)1
ln ,(0
000x x x x T --
， 切线方程：)1(112
0--=
+x x x y ，将点T 坐标代入得：
2
20000)1(11ln x x x x x -=+--，即011
3ln 2000=--+x x x ， ① 设113ln )(2--+
=x x x x g ，则3
)
2)(1()(x
x x x g --='．………………10分 0x >，
()g x ∴在区间)1,0(，),2(+∞上是增函数，在区间)2,1(上是减函数，
故1
()(1)10,()(2)ln 204
g x g g x g ==>==+>极大值极小值． 又11
()ln
12161ln 43044
g =+--=--<， 注意到()g x 在其定义域上的单调性，知()0g x =仅在1(,1)4
内有且仅有一根 所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．………………12分。