博弈论基础及应用

博弈论（对策论、游戏论）

博弈论又名对策论、游戏论，是一门研究互动关系“游戏”的参与者各自选择策略的科学，博弈论把这些复杂关系理论化，以便分析其中的逻辑和规律，并对实际决策提供指导和借鉴。

游戏三要素（博弈的规则、结构）：

1、博弈、游戏参加者。

博弈论分析，假定参与者都是机智而理性的。

2、行为和策略空间。

博弈参与者必须知道他自己及其对手伙伴的策略选择范围，并了解各种策略之间的因果关系。

3、有可评价优劣高下的决策行为结果。

博弈论用数字表示这类结果，并称之为支付。

支付矩阵

可以用支付矩阵（得益矩阵、收益矩阵、赢得矩阵）来描述一个博弈结构。

厂商B

厂商A

支配策略：

由于游戏参与者试图实现自身利益最大化并具有理性的决策能力，加上信息方面的假定，所以上述支付矩阵表示的博弈具有一个简单而确定的结果。从厂商A角度来说，它采取策略“下”而得到的支付总是好于“上”（2,1分别对1,0）。同样，对于厂商B来说，选择策略“左”得到的利益总是优于“右”（1,2分别对0,1）。因此，我们可以确定预期均衡选择策略是A选择“下”而B选择“左”的策略。

囚徒困境：

下面支付矩阵表示著名的“囚徒困境”游戏，从博弈论角度看，这是一个存在支配均衡的博弈；因为对囚犯A、B来说，无论对方如何选择，“坦白”都是各自的最优选择。

虽然从两名囚犯共同利益看，最好的选择是合作，即同时选择保持沉默，然而，由于猜忌，试图获得更大好处(3个月刑期)等竞争性动机阻碍了他们达到更好的互利选择，他们面临“囚徒困境”。我们将看到，寡头垄断厂商经常面临类似的困境。

囚犯B

囚犯A

纳什均衡：

支配均衡是一个特例，并非每个博弈都存在支配均衡。下面修改的支配均衡表示博弈中，厂商A、B在选择做广告问题上存在的策略关系。其中厂商A没有支配策略，因为A的最佳决策取决于B的选择。例如，当B选择做广告时，A应当选择做广告，由此得到10而不是6的支付得益，然而，当B选择不做广告时，A应当选择不做广告，从而得到20而不是15的支付得益。假定两个厂商需要同时决策，A应当如何决策？

厂商B

厂商A 解答这个问题，A 需要把自己放在B 的位臵，从B 的角度看什么是最好的选择，并在此基础上考虑自己的选择。支付矩阵表明B 有一个支配策略：不论A 选择如何，B 选择做广告时利益较大（5，8对0，2），因而A 可以判断B 会选择做广告，而在B 做广告时，A 应当选择做广告，因而。均衡结果是双方都做广告。 上述均衡结果被称作纳什均衡。

纳什均衡指给定一组对手行为前提下，各博弈方存在的最佳选择；在纳什均衡状态下，只要其他参与者不变换策略选择，任何单个参与者不可能单方面通过变换策略来提高它的所获支付。美国数学家和统计学家纳什（Nash ）50年代提出的折椅概念，所以称作纳什均衡。

纳什均衡和支配策略均衡的区别是：在纳什均衡下，“我（你）所做的是给定你（我）的选择我（你）所能做的最好的”。而支配均衡下，“我（你）所做的是不论你（我）的选择，我（你）所能做的更好的”。支配均衡必然是纳什均衡，纳什均衡未必是支配均衡。

一个博弈可能有好几个纳什均衡（即几组稳定并且自我坚持的策略），有时又可能不存在纳什均衡，下面左表存在两个纳什均衡，右表则没有纳什均衡。

A 重复博弈：

上面讨论的“囚徒困境”暗含所几个假定是静态所一次性的博弈，

结果陷入了个体理性决策导致集体非理性结果的困境。现在我们改变条件，讨论博弈可以多次进行的重复博弈（Repeated Game ）,这时，囚犯同时选择沉默有可能成为纳什均衡。

因为重复性博弈中，选择坦白的机会成本太高，可能成为不利的选择。例如：A 有机会对B 组成策略联盟，并对B 宣布如下方针：我将选择沉默，并要求你也如此来增进各自利益；然而，如果你半途背叛选择坦白，我从下一阶段游戏开始一直选择坦白，这一方针跟A 利益一致，因而是可信的。从B 角度来看，如和A 合作，可能每阶段得到1年监禁的较好结果；如中途变卦，固然当期可得3个月的更好结果，但此后便每次面临5年监禁的结果，显然是不利的。因而重复博弈中，“沉默”＋“沉默”点可能成为双方的最佳选择，因而成为纳什均衡。——由于博弈条件由一次性变为重复性，均衡状态随之发生变化。

序列博弈

前面讨论的博弈是参与者同时选择。

在序列博弈（Sequential Game ）中，各博弈方先后依次行动。

下面的支付矩阵描述了一个博弈，如果同时行动，它有两个纳什均衡（“甜，咸”或“咸，甜”）。假定A 可以先推出甜饼干（假如较快投入生产），就有了序列博弈：A 先作决策，B 随后选择。A 决策是必须考虑竞争

厂商B

厂商A

者的理性反应；A知道不论自己推出哪种饼干，B处于自身利益会推出另一种；因而A推出甜饼干，B在给定A 决策时选择咸饼干；给定B的选择，A的选择仍然最佳。结果两个纳什均衡点收敛为一个（下，左）。其中A由于具有先行者优势（First Mover’s Advantege）而得到较大利益。

中国电信、中国联通的价格竞争模型：

A（中国电信）是老牌企业，实力雄厚，占据了绝大多数的市场份额；

B（中国联通）刚成立不久，翅膀没有长硬，是政府为打破垄断鼓励竞争而筹建的，B得到了政府的一些优惠，其中就有B的价格可以比A低10％。这一举动，还不会对A产生多大的影响，因为A的根基实在是太牢固了。在这样的市场分配下，A、B可以达到平衡，但由于B在价格方面的优势，市场份额逐步壮大，到了一定程度，对A造成了影响。这时候，A该怎么办？

B（中国联通）

A

A降价、B维持，则A获利15，B损失5，整体获利10；

A维持、B维持，则A获利5，B获利10，整体获利15；

A维持、B降价，则A损失10，B获利15，整体获利5；

A降价、B降价，则A损失5，B损失5，整体损失10。

从A角度看，显然降价要比维持好，降价至少可以保证比B好，在概率均等的情况下，A降价的收益为15×50％－5×50％＝5，维持的收益为5×50％－10×50％＝－2.5，为了自身利益的最大化，A就不可避免地选择了降价。

从B角度看，降价也比维持好，其降价收益为5，维持收益为2.5，B也会选择降价。在这轮博弈中，A、B 都将降价作为策略，因此各损失5，整体损失10，整体收益是最差的。这就是此博弈最终所出现的纳什均衡。电信业价格战博弈模型是典型的囚徒困境现象，各个局部都寻求利益的最大化，而整体利益却不是最优，甚至是最差。

许多其他行业的价格竞争都是典型的囚徒困境现象，如可口可乐公司和百事可乐公司之间的竞争、各大航空公司之间的价格竞争等等。

OPEC组织成员国之间的合作与背叛

“囚徒困境”告诉我们，个人理性和集体理性之间存在矛盾，基于个人理性的正确选择会降低大家的福利，也就是说，基于个人利益最大化的前提下，帕累托改进得不到进行，帕累托最优得不到实现。

上述我们在对电信价格竞争的博弈分析中，只是一次性的“囚徒困境”博弈，因此得到了互相降价的纳什均衡。而在现实生活当中，信任与合作很少达到如此两难的境地，无论在自然界还是在人类社会，“合作”都是一种随处可见的现象。比如中东石油输出国组织（Organizationg of Petroleum Expoting Countries 简称OPEC）的成立，本身就是要限制各石油生产国的产量，以保持石油价格，以便获取利润，是合作的产物。OPEC之所以能够成立，各组织成员国之间之所以能够合作，是因为囚徒困境如果是一次性博弈(One shot game)的话，基于个人利益最大化，得到纳什均衡解，但如果是多次博弈，人们就有了合作的可能性，囚徒困境就有可能破解，合作就有可能达成。连续的合作有可能成为重复的囚徒困境的均衡解，这也是博弈论上著名的“大众定理”(Folk Theorem)的含义。

但合作的可能性不是必然性。博弈论的研究表明，要想使合作成为多次博弈的均衡解，博弈的一方（最好是实力更强的一方）必须主动通过可信的承诺(Credible commitment)，向另一方表示合作的善意，努力把这个善意表达清楚，并传达出去。如果该困境同时涉及多个对手，则要在博弈对手中形成声誉，并用心地维护这个声誉。这里“可信的承诺”是一个很牵强的翻译，“Credibl e commitment”并不是什么空口诺言，而是实实在在的付出。所以合作是非常困难的。所以OPEC组织经常会有成员国不遵守组织的协定，私自增加石油产量。每个成员国

都这样想，只要他们不增加产量，我增加一点点产量对价格没什么影响，结果每个国家都增加产量，造成石油价格下跌，大家的利润都受到损失。当然，一些产量增加较少的国家损失更多，于是也更加大量生产，造成价格进一步下降--结果，陷入一个困境：大家都增加产量，价格下跌，大家再增加产量，价格再下跌……。

理论上，几乎所有的卡特尔（正是串谋在一起的厂商称作Cartel）都会遭到失败，原因就在于卡特尔的协定（类似囚犯的攻守同盟）不是一个纳什均衡，没有成员有兴趣遵守。那么是不是不可能有卡特尔合作成功了？理论上，如果是无限期的合作，双方考虑长远利益，他们的合作是会成功的。但只要是有限次的合作，合作就不会成功。比如合作１０次，那么在第九次博弈参与人就会采取不合作态度，因为大家都想趁最后一次机会捞一把，反正以后我也不会跟你合作了。但是大家料到第九次会出现不合作，那么就很可能在第八次就采取不合作的态度。第八次不合作会使大家在第七次就不合作……一直到，从第一次开始大家都不会采取合作态度。