博弈论及其应用-第四章1-rev

不完全信息下公共产品的提供
类型依存的行动空间： 此博弈的一个纯战略 ai (ci )是从[c, c ]到{0,1}的一个 函数，其中 0表示不提供， 1表示提供。 参与人i的支付函数为 ui (ai , a j , ci ) max(a1 , a2 ) ai ci
张红霞 博弈论及其应用
贝叶斯均衡的应用举例
张红霞 博弈论及其应用
贝叶斯均衡的应用举例
价格函数：P a q1 q2 ; 企业i的利润函数： i qi (a q1 q2 ci ), i 1,2 企业1的单位成本为： c1 c2L , p(c2 c2L ) 企业2的单位成本： c2 H H c , p ( c c ) 1 2 2 2
* 战略a 期望效 i ( i )的情况下最大化自己的 * * 用函数vi。换言之， a * ( a1 (1 ),, an ( n ))
是一个贝叶斯纳什均衡 ，如果对于所有的 i, ai Ai (i ),
ai * ai* (i ) arg max pi ( i i )ui ( ai , a ( i );i , i ) i
不完全信息下：参与人i的类型 i
i知道自己的类型，其他人不知道
参与人2 抓 不抓 1+ 1 ,0
参与人1
抓 不抓
-1,-1 0,1+2
0,0
张红霞 博弈论及其应用
贝叶斯博弈与混合战略均衡
在 [ , ] 上服从均匀分布 类型依存的战略： 参与人1： 1 1* ，抓；否则，不抓 参与人2： 1 1* ，抓；否则，不抓 分析：
L 2
企业1最大化自己的期望利润
1 1 L E 1 q1 (1 q1 q2 ) q1 (1 q1 q2H ) 2 2
由一阶条件可得
1 1 L 1 H 1 q (1 q2 q2 ) (1 Eq2 ) 2 2 2 2
* 1
张红霞 博弈论及其应用
贝叶斯均衡的应用举例
略空间、信息集、支付函数等任何特征
张红霞 博弈论及其应用
不完全信息和海萨尼转换

不完全信息意味着至少有一个参与人有多个类 型
i 表示参与人i的一个特定类型， i 表示参 与人i的所有可能类型的集合 ，i i
假定{i }in1 取自某个客观的分布函 数P(1 ,,n )
分布函数是所有参与人的共同知识
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贝叶斯纳什均衡

不完全信息博弈的战略式表述
所有参与人同时行动，战略空间等同于其行
动空间 参与人的行动空间是类型依存的（typecontingent） 参与人的支付函数也是类型依存的
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贝叶斯纳什均衡

不完全信息博弈的战略式表述
定义：n人静态贝叶斯博弈的战 略式表述包括： 参与人的类型空间 1 ,, n , 条件概率p1 ,, pn , 类型依存的战略空间 A1 (1 ),, An ( n ), 和类型依 存支付函数u1 ( a1 ,, an ; n ),, u1 ( a1 ,, an ; n )。 参与人i知道自己的类型 i i，条件概率描述 给定自己属于 i的情况下，参与人 i有关其他参 与人类型 i i的不确定性。表示如下 G { A1 ,, An ;1 ,, n ; p1 ,, pn ; u1 ,, un }

张红霞 博弈论及其应用
贝叶斯均衡的应用举例

不完全信息下的Cournot模型
参与人的类型是成本函数 假定企业1的单位成本是共同知识，企业2的
单位成本可能是低成本，也可能是高成本 企业2知道自己的成本，企业1只知道企业2 成本类型的各种可能性 每个企业的选择都是最大化自己的利润函数
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贝叶斯均衡的应用举例

不完全信息下公共产品的提供
存在ci* ,当ci [c, ci* ]时，i才会提供。
* 同理，存在c* , 当 c [ c , c j j j ]时，j才会提供。
* z j Prob(c c j c* ) P ( c j j)
ci* 1 P(c* j)
张红霞 博弈论及其应用
贝叶斯均衡的应用举例
q2 q1(q2)
纳什均衡
贝叶斯均衡
1/2 11/24 5/24 1/6
q2L(q1)
q2H(q1)
1/4 1/3 5/12
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q1
贝叶斯均衡的应用举例

不完全信息下公共产品的提供

公共品的好处（每人1单位是共同知识） 每人的提供成本只有自己知道（因此，提供成本是 参与人的类型）

均衡状态下两个反应函数都成立，求解得
* L* H* q1 1 / 3; q2 11/ 24; q2 5 / 24

与完全信息情况下纳什均衡的比较
* q1
1 1 5 * (1 q2 ); q2 ( q1 ), or 2 2 4
* q2
1 3 ( q1 ) 2 4
NE q1NE 1 / 4 ; q L 2 L 1 / 2; NE q1NE 5 / 12 ; q H 2H 1/ 6
博弈论及其应用
不完全信息静态博弈
不完全信息静态博弈
不完全信息和海萨尼转换 贝叶斯纳什均衡 贝叶斯纳什均衡的应用 不完全信息下的贝叶斯纳什均衡与完全 信息下的混合战略纳什均衡

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不完全信息和海萨尼转换
完全信息：参与人的特征、类型是共同 知识 不完全信息：至少有一个参与人不知道 其他参与人的特征、类型
t=a-3/4=5/4, 或t=a-5/4=3/4依赖于企业2的实际成本 由一阶条件可得
1 q ( q1 ; t ) (t q1 ) 2
* 2
企业2的最优产量不仅依赖于企业1的产量，还依赖 于自己的成本
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贝叶斯均衡的应用举例
1 5 1 3 H q ( q1 ); q2 ( q1 ) 2 4 2 4
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不完全信和海萨尼转换
pi ( i i )为给定 i的条件下 i发生的概率 p ( i , i ) pi ( i i ) p ( i ) p ( i , i ) p( i ,i )
i
参与人i的条件概率：参与人i的信念
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贝叶斯纳什均衡
贝叶斯均衡在本质上是一个一致性预测， 即每个参与人i都能正确地预测到具有类 * 型 j 的参与人j将选择 ai (i ) ，参与人i有 关其他参与人的信念（条件概率）的信 念不进入均衡的定义，唯一重要的是自 己的信念和其他参与人的类型依存战略 贝叶斯均衡存在多重性问题

海萨尼（Harsanyi）转换
Harsanyi1967-1968提出了海萨尼转换
（Harsanyi transformation） 针对不完全信息博弈提出的处理方法 引入虚拟参与人－“自然”（nature） 自然首先行动决定参与人的特征（如在位者 的成本函数），参与人自己知道自己的特征， 其他人不知道 不完全信息博弈由此转换为完全但不完美信 息博弈
令a 2, c1 1, c2L 3 / 4, c2H 5 / 4, 1 / 2 由此，企业2的成本期望值与企业 1相同
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贝叶斯均衡的应用举例

企业2知道企业1的成本，企业2将最大化自己的利 润来选择产量
max 2 q2 (t q1* q2 )
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贝叶斯博弈与混合战略均衡

抓钱博弈
参与人2 抓 不抓 1,0
参与人1
抓 不抓
-1,-1 0,1
0,0
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贝叶斯博弈与混合战略均衡
纯战略NE：（抓，不抓），（不抓，抓）； 混合战略NE：每个参与人以1/2的概率选择
抓
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贝叶斯博弈与混合战略均衡
vi pi (i i )ui (ai (i ), ai (i );i ,i )
i
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贝叶斯纳什均衡
定 义
n人不完全信息静态博弈 G { A1 ,, An ;1 ,, n ; p1 ,, pn ; u1 ,, un } 其纯战略贝叶斯纳什均 衡是一个类型依存 战略组合 {ai* ( i )}in1，其中每个参与人 i在给 定自己的类型 i 和其他参与人的类型依 存
* * ci* , c* 都满足 c 1 P ( 1 P ( c )) j
* 如果存在唯一的 c* , 则ci* c* 1 P ( c ) j
例如P ()为[0,2]上的均匀分布， P(c) c / 2 则有c* 1 c* / 2, c* 2 / 3
张红霞 博弈论及其应用

c1 , c2具有相同的、独立的定 义在[c, c ]上的分布 函数P(), P()是共同知识
张红霞 博弈论及其应用
贝叶斯均衡的应用举例

不完全信息下公共产品的提供
参与人B 提供 不提供 1-c1,1
参与人A
提供 不提供
1-c1,1-c2 1,1-c2
0,0
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贝叶斯均衡的应用举例

不完全信息的情况很常见 例如市场进入博弈，进入者不清楚在位者的
特征:高成本还是低成本
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不完全信息和海萨尼转换
高成本在位者
在位者
默许 进入者 进入 不进入 40,50 斗争 -10,0
0,300
0,300
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