数学期望及其应用

样都呈阴性，这样对这 k 个人只需要一次化验； 若 k 个人的
血样合在一起呈阳性，说明 k 个人中至少有一个人的血液为
阳性，这时对这 k 个人的血样再逐个化验，这样，这 k 个人需
进行 k + 1 次化验． 设对每个人的检验结果为阳性的概率都
独立地为 p，求：
（ 1） k 个人的血样混在一起检验呈阳性的概率；
则 Xi 的分布律为
Xi
1
k +1
p
qk
1 － qk
因此，E（ Xi ） = 1 × qk + （ k + 1） （ 1 － qk ） = 1 + k － kqk ．
依题意知 X = X1 + X2 + … + Xm ．
故 E（ X） = E（ X1 ） + E（ X2 ） + … + E（ Xm ）
∫ xf（ x） dx． －∞ +∞ ∫ 注： 如果积分 | x | f（ x） dx 不收敛的话，那么连续随 －∞
机变量的数学期望就不存在了． 三、数学期望的性质和定理 性质 1 设 C 是常数，则有 E（ C） = C． 性质 2 设 X 是随机变量，C 是常数，则有 E（ CX） =
CX． 性质 3 设 X，Y 是两个随机变量，则有 E（ X + Y） =
（ 2） 在第二种方案下，需要进行检验次数的数学期望．
解 （ 1） 记 q = 1 － p，则 k 个人的血样混在一起呈阳性 的概率为 1 － qk．
（ 2）
设在第二种方案下，N 个人分成 m
=
N k
个组，引入
随机变量
{ Xi =
1，第 i 组呈阴性， i = 1，2，…，m， k + 1，第 i 组呈阳性，
∑
错误分析与应对策略 本题错在混淆第一型曲面积分
与第二需要 满 足 积 分 曲 面 关 于 坐 标 面 具 有 对 称 性 和
被积函数关于相应变量具有奇偶性即可． 例如，计算 zdS，
∑
利用对称性，则有 zdS = 0． 但是第二类曲面积分的值与积
一、引 言 数学期望简称期望，又称均值，是随机变量重要的数字 特征之一，它反映了随机变量取值的平均水平，而随机变量 的其他数字特征如方差、协方差都是由数学期望来定义的， 因此，对随机变量 的 数 学 期 望 及 其 应 用 的 研 究 与 探 讨 显 得 很有必要． 二、数学期望的概念 定义 1 设离散型随机变量 X 的概率分布为 P｛ X = xi ｝ =
∑
分曲面的侧密切相关，需要考虑被积函数的奇偶性、积分曲
面的对称性和积分曲面的侧．
正解 1
∑
=
∑1
∑ ∑ +
， 其 中 ：Z
2
1
=
∑ 槡1 － x2 － y2 ，取上侧；
：Z =
2
槡1 － x2 － y2 ，取下侧； 且
∑ ∑ ， 在 xOy 平面上的投影区域
1
2
Dxy = ｛ （ x，y） | x2 + y2 ≤ 1｝ ，
∞
∑ pi ，i = 1，2，…，如果级数 xi pi 绝对收敛，则定义 X 的数学 i =1 ∞
∑ 期望（ 又称均值） 为 E（ X） = xi pi ． i =1 定义 2 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f（ x） ． ∫+∞
如果 xf（ x） dx 绝对收敛，则定义 X 的数学期望为 E（ X） = －∞ +∞
四、数学期望的简单应用
（ 一） 数学期望关于定理 1 的应用
例 1 设随机变量 X 在［0，π］上服从均匀分布，求 Y =
sinX 的数学期望．
解 由于 X 在［0，π］上服从均匀分布，故 X 的密度函
{ 数为 f（ x） =
1 ，0 π
＜
x
＜
π，
0，其他，
所以，由定理 1 得
∫+∞
E（ Y） = E（ sinX） = sinxf（ x） dx －∞
（ 二） 常见错误 混淆第一型曲面 积 分 与 第 二 型 曲 面 积 分 的 对 称 性 ，二 者是有所不同的． （ 三） 典型例题
例4 外侧［4］．
∑ 计算 zdxdy，其中 是球面 x2 + y2 + z2 = 1 的
∑
∑ 错解 积分曲面 关于 xOy 平面对称，被积函数 z 关
于 z 是奇函数，所以 zdxdy = 0．
= m（ 1 + k － kqk）
=
N k
（
1
+
k
－
kqk ）
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数学学习与研究 2019. 9
高教视野
GAOJIAO SHIYE
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∑ yOz 平面前半部分为 ，则有 1
P（ x，y，z） dydz = ∑
{ 2 P（ x，y，z） dydz，当 P（ － x，y，z） = － P（ x，y，z） ， ∑1 0，当 P（ － x，y，z） = P（ x，y，z） ．
∑ E（ Y） = E（ g（ X） ） = g（ xk ） pk ． k =1 （ 2） 如果 X 是连续型随机变量，它的密度函数为 f（ x） ． +∞
∫ 如果 g（ x） f（ x） dx 绝对收敛，则有 －∞ ∫+∞ E（ Y） = E（ g（ X） ） = g（ x） f（ x） dx． －∞
∫=
1
sinx·
1
dx
=
1 （ － cosx）
π = 2．
0
π
π
0
π
（ 二） 数学期望在血液检验中的应用
例 2 对 N 个人的血液进行某项检验，可以采用两种
方法：
第一种方案： 逐个检验，这样需要化验 N 次．
第一种方案： 把 k 个人的血样合在一起检验（ 设 N 是 k
的倍数，并且 N 很大） ． 若化验结果为阴性，说明 k 个人的血
E（ X） + E（ Y） ． 性质 4 设 X，Y 是相互独立的随机变量，则有 E（ XY） =
E（ X） E（ Y） ． 定理 1 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y = g（ X） （ g 是连续
函数） ． （ 1） 如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为 P｛ X =
∞
∑ xk ｝ = pk ，k = 1，2，…，若 级 数 g（ xk ） pk 绝 对 收 敛，则 有 k =1 ∞
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GAOJIAO SHIYE
数学期望及其应用
◎贾会芳 （ 郑州工业应用技术学院基础教学部，河南 郑州 451100）
【摘要】首先，本文介绍了数学期望的概念； 其次，介绍 了数学期望的性质和相关定理； 最后，通过具体的例子探讨 了数学期望在多个方面的简单应用．
【关键词】数学期望； 随机变量； 应用