曲线回归

ˆ 二、指数曲线方程 y = ae bx的配置
ˆ = ae bx y
两边取对数：
(11·1)
ˆ ln y = ln a + bx
令 y ′ = ln y ，可得直线回归方程：
(11·2)
ˆ y ′ = ln a + bx
若 y ′与x的线性相关系数：
(11·3)
ry′x =
SPy′x SS y′ ⋅ SS x
(11·4)
显著，就可进一步计算回归统计数：
b = SPy′x / SS x ln a = y ′ − bx a = e ln a
ˆ 三、幂函数曲线方程 y = ax b 的配置
(11·5)
ˆ = ax b y
(11·6)
当 y 和 x 都大于0时可线性化为：
ˆ ln y = ln a + b ln x

(11·10)
四、Logistic曲线方程的配置
k y= − bx 1 + ae
（a、b、k均＞0）
(11·11)
K 可由两种方法估计：
①如果y是累积频率，则显然k=100%； ②如果y是生长量或繁殖量，则可取3对观察值 （x1，y1）、（x2，y2）、和（x3，y3），代入(11·11) 得： y1 = k (1 + ae − bx1 )
x
第二节 曲线方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序
ˆ = ae bx的配置 二、指数曲线方程 y
三、幂函数曲线方程的配置 四、Logistic曲线方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序
曲线方程配置(curve fitting)：是指对两个变数资 料进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的 过程。 由试验数据配置曲线回归方程，一般包括以下3个基 本步骤：
− bx 2 y 2 = k (1 + ae ) − bx3 y 3 = k (1 + ae )
若令 x2 = ( x1 + x3 ) / 2 ，解得：
k=
y ( y1 + y 3 ) − 2 y1 y 2 y 3
2 2 2 y 2 − y1 y 3
(11·12)
移项，取自然对数得：
2
k
，k 次多项式的回归平方
和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X 的多项式的相关密切程度。
R y·x，x 2， ，x k = U k / SS y ⋯
(11·25)
决定系数：在Y 的总变异中，可由X 的k 次多项式 说明的部分所占的比率。
R
2 y x，x 2， ，x k · ⋯
= U k SS y
一、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
ˆ y = ae
y
bx
ˆ y = ab
x
a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
ˆ 图11.1方程 y = ae bx 的图象二、对数函数曲线ຫໍສະໝຸດ 对数函数方程的一般表达式为：
ˆ y = a + b ln x
y
b ＞0
b＜0
图11.2 方程
ˆ y =a+blnx
x
的图象
三、幂函数曲线
ˆ k−y ln( ) = ln a − bx ˆ y
(11·13)
令 y′ = ln( k − y ) ，可得直线回归方程：
y
ˆ y′ = ln a − bx
y ′ 和 x 的相关系数：
(11·14)
ry′x =
SPy′x SS y′ ⋅ SS x
(11·15)
回归统计数 a 和 b 由下式估计：
第十一章
曲线回归
第一节 曲线的类型与特点 第二节 曲线方程的配置 第三节 多项式回归
曲线回归(curvilinear regression)或非线 性回归(non-linear regression)：两个变数 间呈现曲线关系的回归。 曲线回归分析或非线性回归分析：以最小二 乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征 和规律的方法。
(11·20)
可采用矩阵方法求解。即由
1 x11 1 x12 X= ⋮ ⋮ 1 x 1n x 21 x 22 ⋮ x 2n ⋯ x k1 1 x11 ⋯ x k 2 1 x12 = ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ x kn 1 x1n
2 k x11 ⋯ x 11 2 k x12 ⋯ x 12 ⋮ ⋯ ⋮ x12n ⋯ x 1k n
(二) k 次多项式必要性的假设测验 若k次多项式的k次项不显著，可由（k-1）次方程 描述Y 与X 的曲线关系。 有必要测验多项式增加一次所用去的1个自由度， 对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加)是 否“合算”。因此由：
U k − U k −1 F= Qk /[n −(k + 1)]
可测验k 次多项式的适合性。
− b = SPy′x / SS x ln a = y ′ + bx ln a a=e
(11·16)
第三节
多项式回归
一、多项式回归方程
二、多项式回归的假设测验
一、多项式回归方程
(一) 多项式回归方程式 多项式回归(polynomial regression)：当两个变数 间的曲线关系很难确定时，可以使用多项式去逼近。 二次多项式，其方程为：
ˆ y2 = a + b1 x + b2 x(11·17)
2
三次多项式的方程式为：
ˆ y3 = a + b1 x + b2 x + b3 x
2
3
(11·18)
多项式方程的一般形式为：
ˆ k = a + b1 x + b2 x 2 + ⋯ + bk x k y
(二)多项式方程次数的初步确定
(11·19)
(一)多项式回归关系的假设测验 多项式回归(Uk)由X的各次分量项的不同所引起，具 有： = k ν 。
离回归(Qk)：与X 的不同无，具有 ν = n − ( k + 1 ) 。
Uk / k F= Qk /[n −(k + 1)]
可测验多项式回归关系的真实性。
(11·24)
相关指数：R
y x， x ， ， x · ⋯
曲线回归分析方法的主要内容有：
① 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规 律； ② 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如 回归参数、极大值、极小值和渐近值等； ③ 为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足 时作出理论上的外推。
第一节 曲线的类型与特点
一、指数函数曲线 二、对数函数曲线 三、幂函数曲线 四、双曲函数曲线 五、S型曲线
(11·7)
若令 y ′ = ln y ，x ′ = ln x ，即有线性回归方程：
ˆ y ′ = ln a + bx ′
若线性相关系数：
(11·8)
ry′x′ =
SPy′x′ SS y′ ⋅ SS x′
(11·9)
显著，回归统计数：
b = SPy′x′ / SS x′ ln a = y ′ − bx ′ a = e ln a
Qk n − (k + 1)
(11·23)
即是多项式回归方程的估计标准误。
二、多项式回归的假设测验
多项式回归的假设测验包括三项内容： ①总的多项式回归关系是否成立？ ②能否以k-1次多项式代替k次多项式，即是否有必 要配到k次式？ ③在一个k次多项式中，X 的一次分量项、二次分量 项、…、k-1次分量项能否被略去(相应的自由度和 平方和并入误差)？
1．根据变数X 与Y 之间的确切关系，选择适当的曲 线类型。 2．对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原 理配置直线回归方程，并作显著性测验。 3．将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并 对有关统计参数作出推断。
表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法
应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点： (1) 若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置， 需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小的当选。 ˆ 2 ∑( y − y ) (2) 若转换无法找出显著的直线化方程，可采用 多项式逼近， (3) 当一些方程无法进行直线化转换，可采用最 小二乘法拟合。
(11·27)
(三) 各次分量项的假设测验
偏回归平方和：
U Pi = b
2 i
c(i +1)(i +1)
(11·28)
此 U P 具有 ν = 1 ，故由： i
F=
U Pi Qk /[n −(k + 1)]
(11·29)
可测验i次分量是否显著。
和
y1 y2 Y= ⋮ y n
求得 X ′ X 、 ′ Y 和( X ′ X )-1，并由 X b=( X ′ X )-1( X ′ Y )获得相应的多项式回归统计数。 (四) 多项式回归方程的估计标准误
y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分：
SSy=Uk+Qk
(11·21)
SS y = Y ′ Y −(1′Y)2 /n Qk = Y ′ Y − b ′ X ′ Y U k = b ′ X ′ Y −(1′Y)2 /n = SS y − Qk
k 次多项式的离回归标准误可定义为：

(11·22)
s y/x，x 2， ，x k = ⋯
幂函数曲线指y是x某次幂的函数曲线，其方程为：
ˆ y = ax
y
a ＞0 b ＞1
b
y
a＞0，b＜0
a ＞0 0＜ b ＜1
x
ˆ 图11.3 方程 y = ax b 的图象