数学期望

§1 数学期望
定义：设离散型随机变量X 的分布律为

xk pk
k 1
P{ X xk } pk , k 1,2, .


如果级数 xk pk 绝对收敛，则称 xk pk 的和为 X 的数学期
k 1
k1
望，记为 E( X ). 即 E( X ) xk pk .
i 1
n
E(X) E(Xi ) np i1
Xi（i 1,2, , n）相互独立.
n
D(X) D(Xi ) np(1 p)
i1
3. 设 X ~ ()
分布律为：P( X k) ke , k 0, 1, 2,
k!
E( X ) k ke k ke
4). 设 X,Y 相互独立，则有 E(XY ) E( X ) E(Y ),
推广：设 X1, X2, , Xn 相互独立，
证明则：仅E对( 连 X1续X2型 随X机 n ) 变E量( X加以 1 ) 证E(明X。2 ) E( Xn ),


1) E(C) Cf (x)dx C f (x)dx C.
1 (b2 ab a2 ) ( a b )2 1 (b a)2
3
2
12
即 E( X ) a b , D( X ) (b a)2 .
2
12
23
5. 指数分布
设 X 是服从参数为 的指数分布，
密度函数为
f
(
x
)

1

e
x
/
0
x0 其它
E(X)
E(X) 的偏离程度，又因为E[ X E(X) ] 的运算复杂。
2). 由定义知：对离散型随机变量X ，若分布律为：
P(X xk ) pk , k 1,2,
则 D( X ) [xk E( X )]2 pk
k 1

E[g(X)] g(xk )pk . k 1
24
6.
设 X ~ N(, 2)
X 的概率密度为
f (x)
1
(x )2
e 2 2
2
先求 Z X 的期望和方差 (z)
1
z2
e2

1
z2
1
E(Z) z e 2 dz
z2
2
z2
e 2 d( )
E(Z2 )
D(X) E{[X E(X)]2 }
E{[X Y E(X) E(Y)]2}
E{[(X E(X)) (Y E(Y))]2}
E{[(X E(X))2 (Y E(Y))2 2(X E(X))(Y E(Y))]2} E{( X E( X ))2 } E{(Y E(Y ))2 } 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
2. 设 X ~ B(n, p)
分布律为：P( X

k)

C
k n
pk (1
p)nk ,
k 0,1,2, , n.
设
1, Xi 0,
事件 A 在第 i 次试验中发生， 事件 A 在第 i 次试验中不发生. i 1,2, , n
n
则 X Xi , 且 E( Xi ) p, D( Xi ) p(1 p), i 1,2, , n
又记 ( X ) D( X ) 称 ( X ) 为 X 的标准差或均方差.
1). 为什么用[X E(X)]2 的期望来衡量X 与 E(X) 的偏离程度？
首先，因为用X E(X) 有正有负，相互抵消，不能用E[X E(X)]
来衡量 X 与 E(X) 的偏离程度;
其次，如果用 X E(X) 的期望 E[ X E(X) ]，来衡量 X 与
对连续型随机变量X ，设密度函数为f (x),
则
D( X )

[x

E(
X
)]2
f
(
x)dx

D(X) E{[X E(X)]2 }

3). D( X ) 的常用的计算公式
E[g(X)] g(x)f (x)dx
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
则有

E(Z ) E[g( X,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
2). ( X,Y ) 是连续型随机变量，概率密度为 f (x, y),
则有

E(Z) E[g(X, Y)]
g(x, y)f (x, y)dxdy

说明: 在已知Z是X,Y的连续函数前提下,当我们求 E(Z)时不必知道Z的分布, 只需知道(X,Y)的分布就可 以了.
2). D(CX) C 2 D( X ), C为常数.
D(CX) E(C2X2 ) [E(CX)]2 C2E(X2 ) C2[E(X)]2 C 2{E( X 2 ) [E( X )]2 } C 2 D( X ).
3). D(X Y) E{[(X Y) E(X Y)]2}
类似可证
D( X ) D(Y ) 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
若 X,Y 独立,则
E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E{XY XE(Y ) YE( X ) E( X )E(Y )} E(XY) E(XE(Y)) E(YE(X)) E(E(X)E(Y))
f (x
)


b
1
a
,
0,
a x b， 其它.
E(X)

xf(x)dx
b
x
1
dx a b

a ba
2
E(X2 ) x2 f (x)dx b x2 1 dx 1 (b2 ab a2 )

a ba
3
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
D(X) D(Z ) E[(Z E(Z ))2 ]
E[(Z )2 ] E[(Z)2 ] 2E(Z2 )
若 X,Y 独立，则有D( X Y ) D( X ) D(Y )
这一性质可推广到有n 个相互独立的随机变量之和的情况.
4). D( X ) 0 P{X E( X )} 1
1). D(C) 0, C为常数.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
证明：D(C) E(C2 ) [E(C)]2 C2 C2 0.
分布律为：P( X 0) 1 p, P( X 1) p.
E( X ) 0 (1 p) 1 p p.
E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p).
2)
设
X
的概率密度为

f (x
)
则 E(CX)

Cx f (x)dx C

x f (x)dx CE( X ).


4.2 方差
一、方差的定义 定义：设 X 是随机变量，若E{[ X E( X )]2 } 存在，则称它为
X 的方差，记为D( X ) 即 D( X ) E{[ X E( X )]2 }


k e
k0
k!
k 1
k!
k1 (k 1)!

e
k1
e e
k1 (k 1)!
E( X 2 ) E[X( X 1) X ] E[X(X 1)] E(X) 2
而 E( X ( X 1)) k(k 1) k e k(k 1) k e
四、数学期望的性质
1). E(C) C, C为常数，
2). E(CX) CE( X ), C为常数，
3). E( X Y ) E( X ) E(Y ),
推广：设 X1, X2, , Xn 是 n 个随机变量， 则 E( X1 X2 Xn ) E( X1 ) E( X2 ) E( Xn ),
k0
k!
k2
k!

2 e
k2
2 e e 2
k2 (k 2)!
所以 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
即 E( X ) D( X )
22
4.
设 X ~ U(a,
密度函数为
b)
证明：D( X ) E{[ X E( X )]2 } E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2 }
E(X2 ) 2E(XE(X)) E([E(X)]2 )
E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2 E( X 2 ) [E( X )]2
k 1
E(Y) E[g(X)] g(xk )pk .
k 1
2). X 是连续型随机变量，概率密度为 f (x),
若 g(x) f (x)dx 绝对收敛，则有


E(Y ) E[g( X )] g(x) f (x)dx
(证明超过范围，略)
说明: 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求