运筹学04对偶问题
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《运筹学》线性规划的对偶问题
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
运筹学对偶理论
动态规划的对偶性
动态规划的对偶性是指对于给定的动态规划问 题，可以构造一个与之对应的对偶问题，这两 个问题的最优解是相互对应的。
在动态规划中，原问题通常关注的是多阶段决 策的最优解，而对偶问题则关注的是如何将原 问题的最优解转化为一系列子问题的最优解。
对偶理论在动态规划中也有着广泛的应用，例 如在计算机科学、人工智能、控制系统等领域。
运筹学对偶理论
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论在运筹学中的应用 • 对偶理论的局限性与挑战 • 对偶理论案例分析
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
在运筹学中，对偶问题是指原问题的 目标函数和约束条件保持不变，但变 量的约束方向被颠倒的问题。
线性规划中的对偶问题
在线性规划中，原问题为最大化问题 ，其对偶问题则为一个等价的线性规 划问题，目标函数变为最小化问题。
对偶理论面临的挑战
算法优化
01
对偶理论在求解大规模优化问题时，算法效率和稳定性面临挑
战。
多目标优化问题
02
对偶理论在处理多目标优化问题时，难以权衡和协调不同目标
之间的矛盾。
动态环境适应性
03
对偶理论在应对动态环境和不确定性因素时，需要进一步改进
和优化。
对偶理论的未来发展方向
拓展应用领域
进一步探索对偶理论在其他领域的应用，如金融、 医疗、交通等。
详细描述
在金融风险管理问题中，动态规划对偶理论可以用于确定 最优的风险管理策略，以最小化风险并最大化收益。通过 构建动态规划模型，可以找到最优的风险管理方案，提高 金融机构的风险管理能力。
总结词
动态规划对偶理论在电力系统优化问题中具有重要应用。
政治经济学-运筹学-对偶-对偶问题总结
原问题求极大值时,对偶问题求极小：
约束条件中是 <= 对偶变量是 >= 相反 约束条件中是 = 对偶变量是 无约束 相反 约束条件中是 >= 对偶变量是 <= 相反 变量条件中是 <= 对偶约束是 <= 相同 变量条件中是 无约束 对偶约束是 = 相反 变量条件中是 >= 对偶约束是 >= 相同 原问题求极小值时,对偶问题求极大：
约束条件中是 <= 对偶变量是 <= 相同 约束条件中是 = 对偶变量是 无约束 相反 约束条件中是 >= 对偶变量是 >= 相同 变量条件中是 >= 对偶约束是 <= 相反 变量条件中是 无约束 对偶约束是= 相反 变量条件中是 <= 对偶约束是 >= 相反 1231231231231231231231231212max min 2523..225..12221,321,00,0x x x y y y s t x x x s t y y y x x x y y y x x x y y y x x y y -++++⎧⎧⎪⎪++≤-+≥-⎪⎪⎪⎪-+-≥⇒+-≥⎨⎨⎪⎪-+=-+=⎪⎪⎪⎪≥≥≤⎩⎩原问题：。
运筹学(对偶问题及性质)
1
若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
2
当B为最优基时，应有
3
令Y=CBB-1, 则
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0 -Ys1
XB XN
Xs
0 Xs b
B N
I
cj-zj
CB CN
0
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
02
对偶性质
对偶性质
例2.4 已知线性规划 的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。 解：写出原问题的对偶问题，即 标准化
Y＊=(1,1)，最优值w=26。
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：
对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： 吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：
原问题的松弛变量
x1
x2
x3
x4
x5
x3
15/2
0
0
1
5/4
-15/2
x1
7/2
若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
2
当B为最优基时，应有
3
令Y=CBB-1, 则
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0 -Ys1
XB XN
Xs
0 Xs b
B N
I
cj-zj
CB CN
0
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
02
对偶性质
对偶性质
例2.4 已知线性规划 的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。 解：写出原问题的对偶问题，即 标准化
Y＊=(1,1)，最优值w=26。
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：
对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： 吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：
原问题的松弛变量
x1
x2
x3
x4
x5
x3
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0
0
1
5/4
-15/2
x1
7/2
运筹学04-线性规划的对偶问题
生产计划问题
总结词
生产计划问题是线性规划对偶问题的另一个重要应用，主要研究如何安排生产 计划，以满足市场需求并实现利润最大化。
详细描述
在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最小化生产成本并最大化利润。 通过线性规划对偶问题，可以确定最优的生产计划，使得生产过程中的资源得 到充分利用，同时满足市场需求。
对偶理论的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
混合整数对偶
随着混合整数规划问题的日益增多，对偶理论在 处理这类问题中的研究将更加深入。
大数据优化
随着大数据技术的不断发展，如何利用对偶理论 进行大规模优化问题的求解将成为一个重要研究 方向。
人工智能与优化
人工智能和机器学习方法为优化问题提供了新的 思路，与对偶理论的结合将有助于开发更高效的 算法。
THANKS
感谢观看
线性规划问题的数学模型
目标函数
通常是一个线性函数，表示要优化的目标。
约束条件
通常是一组线性等式或不等式，表示决策变 量所受到的限制。
可行解集合
满足所有约束条件的解的集合，称为可行解 集合。
02
对偶问题概念
对偶问题的定义
线性规划的对偶问题是通过将原问题 的约束条件和目标函数进行转换，形 成与原问题等价的新问题。
对偶理论与实际问题的结合
01
02
03
供应链管理
在供应链优化问题中，对 偶理论可以用于协调供应 商和零售商之间的利益， 实现整体最优。
金融风险管理
在金融领域，对偶理论可 以用于评估和管理投资组 合的风险，提高投资效益。
交通调度
在交通调度问题中，对偶 理论可以用于优化车辆路 径和调度计划，提高运输 效率。
管理运筹学线性规划的对偶问题优质课件
AX b
s.t.
X
0
YA C s.t.Y 0
• 其中Y=（y1,y2,…,ym）,其他同前。
• 3.1.3 一般问题旳对偶问题——非对称型对偶问题
• • 线性规划有时以非对称型出现，那么怎样从原始问题写出
它旳对偶问题呢？
11
OR:SM
• 例1 写出下列线性规划旳对偶问题
max Z ( x) 2x2 5x3
23
OR:SM
• 例4 求解下列线性规划问题
max Z ( x) 4 x1 3x2
Y1
x1
6
Y2
x2 8
Y3
s.t.
x1
x2
7
Y4
3
x1
x2
15
Y5
x2 1
x1, x2 0
(3 7)
• 解：该问题仅有两个变量，但约束较多，其对偶问题为
minW ( y) 6 y1 8 y2 7 y3 15 y4 y5
y1 y3 3y4 4
s.t.
y2
y3
y4
y5
3
y1, y2 , , y5 0
(3 8)
24
OR:SM
• 把上述问题（3-8）作为原始问题求解，其最终单纯形表见下 表（3.3）
22
OR:SM
• 3.1.5 对偶问题旳最优解
• 主要推论： • 1.原始问题单纯形表中松驰变量旳检验数恰好相应着对偶
问题旳一种解。 • 2.原始问题单纯形表中,原始问题旳松弛变量旳检验数相应
于对偶问题旳决策变量;而原始问题旳决策变量旳检验数相应 于对偶问题旳松弛变量,只是符号相反。
• 注意：在两个互为对偶旳线性规划问题中，可任选一种进行 求解，一般是选择约束条件少旳，因求解旳工作量主要受到 约束条件个数旳影响。
对偶理论知识点总结
对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。
优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。
而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。
对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。
原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。
具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。
在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
《运筹学》第四章对偶问题
CX ≤Y b 性质3 最优性
设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则当
CX = Yb
时， X, Y分别是(P1)与(D1)的最优解。
性质4无界性 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题的解无界， 则另一个问题无可行解。
性质5 对偶定理 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题有最优解，
资源 产品
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z 2x1 3x2
设第i种资源价格为yi,( i=1, 2, 3) 则有
2x1 2x2 12
y1
x1 2x2 8
4 x1
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T
( D1):min w=8y1+12y2+36y3 ( Ds):min w=8y1+12y2+36y3
y1
+3y3 ≥ 3
y1 +3y3 -y4 = 3
s.t.
2y2+4y3 ≥ 5
y1 , y2, y3 ≥ 0
s.t.
2y2+4y3 -y5 = 5
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
大连海事大学交通运输管理学院
2.4.1 对偶问题的提出 2.4.2 原问题与对偶问题 2.4.3 对偶问题的性质 2.4.4 对偶变量的经济含义 2.4.5 对偶单纯形法
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则当
CX = Yb
时， X, Y分别是(P1)与(D1)的最优解。
性质4无界性 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题的解无界， 则另一个问题无可行解。
性质5 对偶定理 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题有最优解，
资源 产品
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z 2x1 3x2
设第i种资源价格为yi,( i=1, 2, 3) 则有
2x1 2x2 12
y1
x1 2x2 8
4 x1
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T
( D1):min w=8y1+12y2+36y3 ( Ds):min w=8y1+12y2+36y3
y1
+3y3 ≥ 3
y1 +3y3 -y4 = 3
s.t.
2y2+4y3 ≥ 5
y1 , y2, y3 ≥ 0
s.t.
2y2+4y3 -y5 = 5
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
大连海事大学交通运输管理学院
2.4.1 对偶问题的提出 2.4.2 原问题与对偶问题 2.4.3 对偶问题的性质 2.4.4 对偶变量的经济含义 2.4.5 对偶单纯形法
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
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则 Y CB B 1 为对偶问题
Min s.t
CB
W Yb YA C Y 0 Z XB XB b B-1b CBB-1b
0 XS B-1 -CBB-1
XB I 0
CN-CBB-1N
Min W = 30y1+ 60y2 + 24y3 例1 Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 30 y1 y1+3y2 + 0y3 40 3X1+2X2 60 y2 s.t 2y1+2y2 + 2y3 50 s.t y3 2X2 24 y1 , y2 , y3 0 X1 , X2 0 Max W’ = -30y1- 60y2 24y3 y1+3y2 + 0y3 – y4 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 = 50 s.t y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3 称为影子价格
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 3 x 2 x 7 1 2 4 x1 x2 9 x1 , x2 0
上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划
Min s.t
7 y1 9 y2 Z 7 y1 3 y1 4 y2 5 3 y1 2 y1 y2 6 2 y1 y, y, y 0 1 1 2
所以Y*是对偶问题的可行解， 1 W Y b C B b B 对偶问题的目标函数值为 X*是原问题的最优解，原 问题的目标函数值为
Z CX CB B 1 b
Z W
推论： 若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另一个 也有最优解，且目标函数最优值相等。
一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种：
CX YAX Yb
所以原问题的目标函数值有上界，即可找到有限 最优解；对偶问题有下界，也存在有限最优解。
(2) 当X*为原问题的一个最优解，B为相应的最优基,通 过引入松弛变量Xs,将问题(P)转化为标准型
C 0 CB B A I C CB B 1 A CB B
Z CX AX X s b X , X s 0
对偶问题 Min W Yb YA Ys c s.t Y , Ys 0
AX X s b
X s b AX
YA Ys C Ys YA C YAX Ys X CX
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B各生产多少, 可获最大利润?
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
定理2 (弱对偶定理)
yb X ， 分别为 (P), (D) 的可行解，则有 C X y
证明：由A X b, y 0
有 yA X y b
由 yA C, X 0 有 y A X C X
所以 C X y A X yb
推论1、(P), (D)都有可行解，则必都有最优解。 推论2、(P)有可行解, 但无有限最优解，则(D)无可 行解。 定理3、 X , y 分别为(P), (D)的可行解，且 C X = y b , 则它们是(P), (D) 的最优解。
则上式化为
令
y1 y1 y1
Min s.t
Z 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y 无限制, y 0 2 1
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希望通 过将现有资源承接对外加工来获得收益，那么应 如何确定各资源的使用价格？
两个原则 1. 所得不得低于生产 的获利 2. 要使对方能够接受
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30 y1
约束条件 s.t 3x1 + 2x2 60 2x2 24 y2 y3
解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题
Min s.t
例3：求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 可先化为对称型，再求其对偶规划。
40
2y1 + 2 y2 + 2y3 50
(2) 对偶问题的形式
定义 设原线性规划问题为
Max Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x j 0 j 1,2, , n
1. 都有最优解，且目标函数最优值相等；
2. 两个都无可行解；
3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
定理5 若 X , Y分别为(P) ,
(D)的可行解，则X , Y为 最优解的充要条件是 证: (必要性） 原问题
Y b AX 0 YA C X 0
同时
成立
Max s.t
＝
对偶问题变量类型
的对应关系
约束
＝
0 变量 0
无限制
4.2 对偶问题的基本性质
定理1 对偶问题的对偶就是原问题
Max Z=CX s.t. AX ≤b X ≥0 对偶的定义
Min W=Yb s.t. YA ≥C Y≥0
Min Z’=-CX s.t. -AX≥-b X ≥0
Max W’=-Yb s.t. -YA≤-C Y≥0 对偶的定义
s.t
s.t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
m
A n
≤ b
n
例2：求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2 W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
Min s.t
W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
设三种资源的使用单价分别为 y1 , y2 , y3
y1 +3 y2 40
x1，x2 0
生产单位产品A的资源消耗所得不少于单位产品A的获利
生产单位产品B的资源消耗所得不少于单位产品B的获利 2y1 + 2 y2 + 2y3 50
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
YAX YX s Yb
YX s Ys X 0
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
Max Z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0
n m XS
X
m Y
A
YS
I
= b
Min W=Yb s.t. ATY-YS=C W, WS ≥0
XTYS=0 YTXS=0
n
AT
m
-I
n
= C
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym
ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
4.3 对偶问题的解
Max Z CX 0 X s * 为原问 X * ˆ 题的一 设原问题为 AX IX s b 令 X X s.t s 最优解 X , X 0 s
证明：对任X，有CX y b =CX
X最优
定理4(主对偶定理) 若一对对偶问题(P)和(D)都有可行解，则它们都 有最优解，且目标函数的最优值必相等。
证明： (1) 当X*和Y*为原问题和对偶问题的一个可行解 有
AX b YAX Yb
YA C
YAX CX
对偶问题目标函数值
原问题目标函数值
Max W’ = -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 + y7 ) s.t y1+3y2 + 0y3 – y4 + y6 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 + y7 = 50 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
Min s.t
CB
W Yb YA C Y 0 Z XB XB b B-1b CBB-1b
0 XS B-1 -CBB-1
XB I 0
CN-CBB-1N
Min W = 30y1+ 60y2 + 24y3 例1 Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 30 y1 y1+3y2 + 0y3 40 3X1+2X2 60 y2 s.t 2y1+2y2 + 2y3 50 s.t y3 2X2 24 y1 , y2 , y3 0 X1 , X2 0 Max W’ = -30y1- 60y2 24y3 y1+3y2 + 0y3 – y4 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 = 50 s.t y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3 称为影子价格
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 3 x 2 x 7 1 2 4 x1 x2 9 x1 , x2 0
上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划
Min s.t
7 y1 9 y2 Z 7 y1 3 y1 4 y2 5 3 y1 2 y1 y2 6 2 y1 y, y, y 0 1 1 2
所以Y*是对偶问题的可行解， 1 W Y b C B b B 对偶问题的目标函数值为 X*是原问题的最优解，原 问题的目标函数值为
Z CX CB B 1 b
Z W
推论： 若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另一个 也有最优解，且目标函数最优值相等。
一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种：
CX YAX Yb
所以原问题的目标函数值有上界，即可找到有限 最优解；对偶问题有下界，也存在有限最优解。
(2) 当X*为原问题的一个最优解，B为相应的最优基,通 过引入松弛变量Xs,将问题(P)转化为标准型
C 0 CB B A I C CB B 1 A CB B
Z CX AX X s b X , X s 0
对偶问题 Min W Yb YA Ys c s.t Y , Ys 0
AX X s b
X s b AX
YA Ys C Ys YA C YAX Ys X CX
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B各生产多少, 可获最大利润?
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
定理2 (弱对偶定理)
yb X ， 分别为 (P), (D) 的可行解，则有 C X y
证明：由A X b, y 0
有 yA X y b
由 yA C, X 0 有 y A X C X
所以 C X y A X yb
推论1、(P), (D)都有可行解，则必都有最优解。 推论2、(P)有可行解, 但无有限最优解，则(D)无可 行解。 定理3、 X , y 分别为(P), (D)的可行解，且 C X = y b , 则它们是(P), (D) 的最优解。
则上式化为
令
y1 y1 y1
Min s.t
Z 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y 无限制, y 0 2 1
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希望通 过将现有资源承接对外加工来获得收益，那么应 如何确定各资源的使用价格？
两个原则 1. 所得不得低于生产 的获利 2. 要使对方能够接受
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30 y1
约束条件 s.t 3x1 + 2x2 60 2x2 24 y2 y3
解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题
Min s.t
例3：求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 可先化为对称型，再求其对偶规划。
40
2y1 + 2 y2 + 2y3 50
(2) 对偶问题的形式
定义 设原线性规划问题为
Max Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x j 0 j 1,2, , n
1. 都有最优解，且目标函数最优值相等；
2. 两个都无可行解；
3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
定理5 若 X , Y分别为(P) ,
(D)的可行解，则X , Y为 最优解的充要条件是 证: (必要性） 原问题
Y b AX 0 YA C X 0
同时
成立
Max s.t
＝
对偶问题变量类型
的对应关系
约束
＝
0 变量 0
无限制
4.2 对偶问题的基本性质
定理1 对偶问题的对偶就是原问题
Max Z=CX s.t. AX ≤b X ≥0 对偶的定义
Min W=Yb s.t. YA ≥C Y≥0
Min Z’=-CX s.t. -AX≥-b X ≥0
Max W’=-Yb s.t. -YA≤-C Y≥0 对偶的定义
s.t
s.t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
m
A n
≤ b
n
例2：求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2 W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
Min s.t
W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
设三种资源的使用单价分别为 y1 , y2 , y3
y1 +3 y2 40
x1，x2 0
生产单位产品A的资源消耗所得不少于单位产品A的获利
生产单位产品B的资源消耗所得不少于单位产品B的获利 2y1 + 2 y2 + 2y3 50
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
YAX YX s Yb
YX s Ys X 0
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
Max Z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0
n m XS
X
m Y
A
YS
I
= b
Min W=Yb s.t. ATY-YS=C W, WS ≥0
XTYS=0 YTXS=0
n
AT
m
-I
n
= C
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym
ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
4.3 对偶问题的解
Max Z CX 0 X s * 为原问 X * ˆ 题的一 设原问题为 AX IX s b 令 X X s.t s 最优解 X , X 0 s
证明：对任X，有CX y b =CX
X最优
定理4(主对偶定理) 若一对对偶问题(P)和(D)都有可行解，则它们都 有最优解，且目标函数的最优值必相等。
证明： (1) 当X*和Y*为原问题和对偶问题的一个可行解 有
AX b YAX Yb
YA C
YAX CX
对偶问题目标函数值
原问题目标函数值
Max W’ = -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 + y7 ) s.t y1+3y2 + 0y3 – y4 + y6 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 + y7 = 50 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0