高考数学分类汇编：数列

2016年高考数学试题分类汇编

数列

一、选择题

1、（2016年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且

*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，

*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .

(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)

若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）

A.{}n S 是等差数列

B.{}2n S 是等差数列

C.{}n d 是等差数列

D.{}

2

n d 是等差数列

【答案】A

二、填空题学科网

1、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20.

2、（2016年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ?N ，{23}n S ?，则k 的最大值为 .

【答案】4

三、解答题

1、（2016年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列{}n b 的公比329

33

b q b =

==， 所以2

11b b q

=

=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．

所以21n a n =-（1n =，2，3，???）．

（II ）由（I ）知，21n a n =-，1

3n n b -=． 因此1

213n n n n c a b n -=+=-+．

从而数列{}n c 的前n 项和

()11321133n n S n -=++???+-+++???+

()12113213n n n +--=+-学科网

2

31

2

n n -=+．

2、（2016年江苏省高考）

记{}1,2,100U =…，

.对数列{}(

)*

n a n N ∈和U 的子集T ，若T =?,定义0T

S

=;若

{}12,,k T t t t =…，，定义1

2

+k

T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.

现设{}(

)*

n a n N

∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T

S

.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ?…，

，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ??≥,求证：2C C D D S S S +≥I . （1）由已知得1*13,n n a a n N -=?∈.

于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ?L ，1*30,n n a n N -=>∈， 所以1121133(31)32

k k

k r k S a a a -≤+++=+++=-

（3）下面分三种情况证明.

①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.

令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.

由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，

从而11

12113131133

2222

l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤L L ，

故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I .

综合①②③得，2C C D D S S S +≥I .

3、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和2

38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且

1n n n a b b +=+.

（I ）求数列{}n b 的通项公式；

（II ）令1

(1)(2)n n n n

n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .

【解析】（Ⅰ）由题意得??

?+=+=3

222

11b b a b b a ，解得3,41==d b ，得到13+=n b n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11

2)1(3)

33()66(=-?+=++=n n

n n n n n c ，从而 ]2)1(242322[31432+++???+?+?+?=n n n T

利用“错位相减法”即得223+?=n n n T

试题解析：（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由??

?+=+=3

22211b b a b b a ，即???+=+=d b d

b 321721111，解之得

3,41==d b ，所以13+=n b n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11

2)1(3)

33()66(=-?+=++=n n

n n n n n c ，又n n c c c c T +???+++=321，即]2)1(242322[31432+++???+?+?+?=n n n T

，所以]2)1(242322[322

543+++???+?+?+?=n n n T ，以上两式两边相减得

2

22

1

43223]2)1(1

2)

12(44[3]2

)1(2

2222[3++++?-=+---+=+-+???+++?=-n n n n n n n n n T 。

所以223+?=n n n T

4、（2016年上海高考）对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*

N n ∈}，B ={x |x =n b ，

*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ?=?且*N A B =U ，则称

{n a }与{n b }是无穷互补数列.

（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；

（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通

项公式.

解析：（1）因为4?A ，4?B ，所以4?A B U ， 从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．

数列{}n b 的前16项的和为()()

23412202222++???+-+++

()5120

20221802

+?--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=． 由136151a d =-≥，得1d =或2．

若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；

若2d =，则16a =，24n a n =+，,5

25,5n n n b n n ≤?=?->?

．

综上，24n a n =+，,5

25,5

n n n b n n ≤?=?->?．

5、（2016年四川高考）已知数列{a n }的首项为1， S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=S n +1，其中q ﹥0，n ∈N +

(Ⅰ)若a 2，a 3，a 2+ a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设双曲线

x 2﹣

у2

a n 2

=1的离心率为e n ，且e 2=2，求e 12+ e 22+…+e n 2， 解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 3都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.

从而1=n n a q -.

由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2,a a ，故=2q . 所以1*2()n n a n -=?N .

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.

所以双曲线2

2

21n

y x a -=

的离心率n e =

由22e =

解得q =

.所以，

22222(1)1222

2(1)

2

(11)(1+)[1]1

[1]1

1(31).2

n n n n n

e e e q q q n q q n q n --++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+

-

6、（2016年天津高考）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且

6123

112

,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列()

{}

21n

n b -的前

2n 项和.

解析：（Ⅰ）解：设数列}{n a 的公比为q ，由已知有

2

1112

11q a q a a =-，解之可得1,2-==q q ，又由631)1(61=--=

q q a S n 知1-≠q ，所以632

1)

21(61=--a ，解之得11=a ，所以12-=n n a . （Ⅱ）解：由题意得2

1

)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=

-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为

2

1

，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2

n n b -的前n 项和为n T ，则

2212212

221224232221222

)

(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=

+???++=+-+???++-++-=-

7、（2016年全国I 卷高考）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足

12111

==3

n n n n b b a b b nb +++=1，，.

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和.

解：（I ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===

得1221121

,1,,3

a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-. （II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为1

3

的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则

11

1()313.122313

n

n n S --==-?-

8、（2016年全国II 卷高考）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式；

（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5

a d ==， 所以{}n a 的通项公式为23

5

n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??

=????

， 当n =1,2,3时，23

12,15n n b +≤

<=； 当n =4,5时，23

23,25n n b +≤<=；

当n =6,7,8时，23

34,35

n n b +≤<=；

当n =9,10时，

23

45,45

n n b +≤

<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=.

9、（2016年全国III 卷高考）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，

211(21)20n n n n a a a a ++---=.

（I ）求23,a a ；

（II ）求{}n a 的通项公式.

10、（2016年浙江高考）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；

（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.

解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=??=+?，则12

13a a =??=?，

又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=，

所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==. 当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥. 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.

当3n ≥时，229(13)(7)(2)3511

31322

n n n n n n n T --+---+=+-=

-， 所以，2*

2,13511,2,2

n

n n T n n n n N =?

?=?--+≥∈?

?.