高考数学分类汇编：数列

2016年高考数学试题分类汇编

数列

一、选择题

1、（2016年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且

*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，

*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .

(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)

若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）

A.{}n S 是等差数列

B.{}2n S 是等差数列

C.{}n d 是等差数列

D.{}

2

n d 是等差数列

【答案】A

二、填空题学科网

1、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20.

2、（2016年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为 .

【答案】4

三、解答题

1、（2016年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列{}n b 的公比329

33

b q b =

==， 所以2

11b b q

=

=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．

所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．

（II ）由（I ）知，21n a n =-，1

3n n b -=． 因此1

213n n n n c a b n -=+=-+．

从而数列{}n c 的前n 项和

()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+

()12113213n n n +--=+-学科网

2

31

2

n n -=+．

2、（2016年江苏省高考）

记{}1,2,100U =…，

.对数列{}(

)*

n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T

S

=;若

{}12,,k T t t t =…，，定义1

2

+k

T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.

现设{}(

)*

n a n N

∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T

S

.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，

，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥I . （1）由已知得1*13,n n a a n N -=•∈.

于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈， 所以1121133(31)32

k k

k r k S a a a -≤+++=+++=-

（3）下面分三种情况证明.

①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.

令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.

由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，

从而11

12113131133

2222

l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤L L ，

故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I .

综合①②③得，2C C D D S S S +≥I .

3、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和2

38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且

1n n n a b b +=+.

（I ）求数列{}n b 的通项公式；

（II ）令1

(1)(2)n n n n

n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .

【解析】（Ⅰ）由题意得⎩⎨

⎧+=+=3

222

11b b a b b a ，解得3,41==d b ，得到13+=n b n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11

2)1(3)

33()66(=-⋅+=++=n n

n n n n n c ，从而 ]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T

利用“错位相减法”即得223+⋅=n n n T

试题解析：（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨

⎧+=+=3

22211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d

b 321721111，解之得

3,41==d b ，所以13+=n b n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11

2)1(3)

33()66(=-⋅+=++=n n

n n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T

，所以]2)1(242322[322

543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得

2

22

1

43223]2)1(1

2)

12(44[3]2

)1(2

2222[3++++⋅-=+---+=+-+⋅⋅⋅+++⨯=-n n n n n n n n n T 。

所以223+⋅=n n n T

4、（2016年上海高考）对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*

N n ∈}，B ={x |x =n b ，

*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B =U ，则称